Theorem fz0n 35725

Description: The sequence (0...(𝑁 − 1)) is empty iff 𝑁 is zero. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fz0n	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0...(𝑁 − 1)) = ∅ ↔ 𝑁 = 0))

Proof of Theorem fz0n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12547	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		nn0z 12561	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		peano2zm 12583	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
5		fzn 13508	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) < 0 ↔ (0...(𝑁 − 1)) = ∅))
6	1, 4, 5	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) < 0 ↔ (0...(𝑁 − 1)) = ∅))
7		elnn0 12451	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
8		nnge1 12221	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
9		nnre 12200	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
10		1re 11181	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
11		subge0 11698	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁 − 1) ↔ 1 ≤ 𝑁))
12		0re 11183	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		resubcl 11493	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
14		lenlt 11259	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁 − 1) ↔ ¬ (𝑁 − 1) < 0))
15	12, 13, 14	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁 − 1) ↔ ¬ (𝑁 − 1) < 0))
16	11, 15	bitr3d 281	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 ≤ 𝑁 ↔ ¬ (𝑁 − 1) < 0))
17	9, 10, 16	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝑁 ↔ ¬ (𝑁 − 1) < 0))
18	8, 17	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ (𝑁 − 1) < 0)
19		nnne0 12227	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
20	19	neneqd 2931	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 = 0)
21	18, 20	2falsed 376	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) < 0 ↔ 𝑁 = 0))
22		oveq1 7397	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 − 1) = (0 − 1))
23		df-neg 11415	. . . . . . 7 ⊢ -1 = (0 − 1)
24	22, 23	eqtr4di 2783	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 − 1) = -1)
25		neg1lt0 12181	. . . . . 6 ⊢ -1 < 0
26	24, 25	eqbrtrdi 5149	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 − 1) < 0)
27		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
28	26, 27	2thd 265	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁 − 1) < 0 ↔ 𝑁 = 0))
29	21, 28	jaoi 857	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → ((𝑁 − 1) < 0 ↔ 𝑁 = 0))
30	7, 29	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) < 0 ↔ 𝑁 = 0))
31	6, 30	bitr3d 281	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0...(𝑁 − 1)) = ∅ ↔ 𝑁 = 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4299   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   < clt 11215   ≤ cle 11216   − cmin 11412  -cneg 11413  ℕcn 12193  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536  ...cfz 13475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476

This theorem is referenced by: (None)