Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fz0n Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fz0n 35019
Description: The sequence (0...(𝑁 − 1)) is empty iff 𝑁 is zero. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
fz0n (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0...(𝑁 − 1)) = ∅ ↔ 𝑁 = 0))

Proof of Theorem fz0n
StepHypRef Expression
1 0z 12576 . . 3 0 ∈ ℤ
2 nn0z 12590 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
3 peano2zm 12612 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
42, 3syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
5 fzn 13524 . . 3 ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) < 0 ↔ (0...(𝑁 − 1)) = ∅))
61, 4, 5sylancr 586 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) < 0 ↔ (0...(𝑁 − 1)) = ∅))
7 elnn0 12481 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
8 nnge1 12247 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
9 nnre 12226 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
10 1re 11221 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
11 subge0 11734 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁 − 1) ↔ 1 ≤ 𝑁))
12 0re 11223 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
13 resubcl 11531 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
14 lenlt 11299 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁 − 1) ↔ ¬ (𝑁 − 1) < 0))
1512, 13, 14sylancr 586 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁 − 1) ↔ ¬ (𝑁 − 1) < 0))
1611, 15bitr3d 281 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 ≤ 𝑁 ↔ ¬ (𝑁 − 1) < 0))
179, 10, 16sylancl 585 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝑁 ↔ ¬ (𝑁 − 1) < 0))
188, 17mpbid 231 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ (𝑁 − 1) < 0)
19 nnne0 12253 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
2019neneqd 2944 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 = 0)
2118, 202falsed 376 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) < 0 ↔ 𝑁 = 0))
22 oveq1 7419 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (𝑁 − 1) = (0 − 1))
23 df-neg 11454 . . . . . . 7 -1 = (0 − 1)
2422, 23eqtr4di 2789 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (𝑁 − 1) = -1)
25 neg1lt0 12336 . . . . . 6 -1 < 0
2624, 25eqbrtrdi 5187 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (𝑁 − 1) < 0)
27 id 22 . . . . 5 (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
2826, 272thd 265 . . . 4 (𝑁 = 0 → ((𝑁 − 1) < 0 ↔ 𝑁 = 0))
2921, 28jaoi 854 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → ((𝑁 − 1) < 0 ↔ 𝑁 = 0))
307, 29sylbi 216 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) < 0 ↔ 𝑁 = 0))
316, 30bitr3d 281 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0...(𝑁 − 1)) = ∅ ↔ 𝑁 = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wo 844   = wceq 1540  wcel 2105  c0 4322   class class class wbr 5148  (class class class)co 7412  cr 11115  0cc0 11116  1c1 11117   < clt 11255  cle 11256  cmin 11451  -cneg 11452  cn 12219  0cn0 12479  cz 12565  ...cfz 13491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator