Theorem fz0n 35947

Description: The sequence (0...(𝑁 − 1)) is empty iff 𝑁 is zero. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fz0n	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0...(𝑁 − 1)) = ∅ ↔ 𝑁 = 0))

Proof of Theorem fz0n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12511	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		nn0z 12524	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		peano2zm 12546	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
5		fzn 13468	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) < 0 ↔ (0...(𝑁 − 1)) = ∅))
6	1, 4, 5	sylancr 588	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) < 0 ↔ (0...(𝑁 − 1)) = ∅))
7		elnn0 12415	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
8		nnge1 12185	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
9		nnre 12164	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
10		1re 11144	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
11		subge0 11662	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁 − 1) ↔ 1 ≤ 𝑁))
12		0re 11146	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		resubcl 11457	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
14		lenlt 11223	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁 − 1) ↔ ¬ (𝑁 − 1) < 0))
15	12, 13, 14	sylancr 588	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁 − 1) ↔ ¬ (𝑁 − 1) < 0))
16	11, 15	bitr3d 281	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 ≤ 𝑁 ↔ ¬ (𝑁 − 1) < 0))
17	9, 10, 16	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝑁 ↔ ¬ (𝑁 − 1) < 0))
18	8, 17	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ (𝑁 − 1) < 0)
19		nnne0 12191	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
20	19	neneqd 2938	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 = 0)
21	18, 20	2falsed 376	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) < 0 ↔ 𝑁 = 0))
22		oveq1 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 − 1) = (0 − 1))
23		df-neg 11379	. . . . . . 7 ⊢ -1 = (0 − 1)
24	22, 23	eqtr4di 2790	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 − 1) = -1)
25		neg1lt0 12145	. . . . . 6 ⊢ -1 < 0
26	24, 25	eqbrtrdi 5139	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 − 1) < 0)
27		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
28	26, 27	2thd 265	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁 − 1) < 0 ↔ 𝑁 = 0))
29	21, 28	jaoi 858	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → ((𝑁 − 1) < 0 ↔ 𝑁 = 0))
30	7, 29	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) < 0 ↔ 𝑁 = 0))
31	6, 30	bitr3d 281	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0...(𝑁 − 1)) = ∅ ↔ 𝑁 = 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4287   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   < clt 11178   ≤ cle 11179   − cmin 11376  -cneg 11377  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ...cfz 13435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436

This theorem is referenced by: (None)