Theorem fz0n 35723

Description: The sequence (0...(𝑁 − 1)) is empty iff 𝑁 is zero. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fz0n	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0...(𝑁 − 1)) = ∅ ↔ 𝑁 = 0))

Proof of Theorem fz0n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12501	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		nn0z 12515	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		peano2zm 12537	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
5		fzn 13462	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) < 0 ↔ (0...(𝑁 − 1)) = ∅))
6	1, 4, 5	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) < 0 ↔ (0...(𝑁 − 1)) = ∅))
7		elnn0 12405	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
8		nnge1 12175	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
9		nnre 12154	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
10		1re 11134	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
11		subge0 11652	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁 − 1) ↔ 1 ≤ 𝑁))
12		0re 11136	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		resubcl 11447	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
14		lenlt 11213	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁 − 1) ↔ ¬ (𝑁 − 1) < 0))
15	12, 13, 14	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁 − 1) ↔ ¬ (𝑁 − 1) < 0))
16	11, 15	bitr3d 281	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 ≤ 𝑁 ↔ ¬ (𝑁 − 1) < 0))
17	9, 10, 16	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝑁 ↔ ¬ (𝑁 − 1) < 0))
18	8, 17	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ (𝑁 − 1) < 0)
19		nnne0 12181	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
20	19	neneqd 2930	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 = 0)
21	18, 20	2falsed 376	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) < 0 ↔ 𝑁 = 0))
22		oveq1 7360	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 − 1) = (0 − 1))
23		df-neg 11369	. . . . . . 7 ⊢ -1 = (0 − 1)
24	22, 23	eqtr4di 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 − 1) = -1)
25		neg1lt0 12135	. . . . . 6 ⊢ -1 < 0
26	24, 25	eqbrtrdi 5134	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 − 1) < 0)
27		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
28	26, 27	2thd 265	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁 − 1) < 0 ↔ 𝑁 = 0))
29	21, 28	jaoi 857	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → ((𝑁 − 1) < 0 ↔ 𝑁 = 0))
30	7, 29	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) < 0 ↔ 𝑁 = 0))
31	6, 30	bitr3d 281	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0...(𝑁 − 1)) = ∅ ↔ 𝑁 = 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4286   class class class wbr 5095  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   < clt 11168   ≤ cle 11169   − cmin 11366  -cneg 11367  ℕcn 12147  ℕ₀cn0 12403  ℤcz 12490  ...cfz 13429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12755  df-fz 13430

This theorem is referenced by: (None)