Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fz0n Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fz0n 35731
Description: The sequence (0...(𝑁 − 1)) is empty iff 𝑁 is zero. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
fz0n (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0...(𝑁 − 1)) = ∅ ↔ 𝑁 = 0))

Proof of Theorem fz0n
StepHypRef Expression
1 0z 12624 . . 3 0 ∈ ℤ
2 nn0z 12638 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
3 peano2zm 12660 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
42, 3syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
5 fzn 13580 . . 3 ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) < 0 ↔ (0...(𝑁 − 1)) = ∅))
61, 4, 5sylancr 587 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) < 0 ↔ (0...(𝑁 − 1)) = ∅))
7 elnn0 12528 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
8 nnge1 12294 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
9 nnre 12273 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
10 1re 11261 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
11 subge0 11776 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁 − 1) ↔ 1 ≤ 𝑁))
12 0re 11263 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
13 resubcl 11573 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
14 lenlt 11339 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁 − 1) ↔ ¬ (𝑁 − 1) < 0))
1512, 13, 14sylancr 587 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁 − 1) ↔ ¬ (𝑁 − 1) < 0))
1611, 15bitr3d 281 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 ≤ 𝑁 ↔ ¬ (𝑁 − 1) < 0))
179, 10, 16sylancl 586 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝑁 ↔ ¬ (𝑁 − 1) < 0))
188, 17mpbid 232 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ (𝑁 − 1) < 0)
19 nnne0 12300 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
2019neneqd 2945 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 = 0)
2118, 202falsed 376 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) < 0 ↔ 𝑁 = 0))
22 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (𝑁 − 1) = (0 − 1))
23 df-neg 11495 . . . . . . 7 -1 = (0 − 1)
2422, 23eqtr4di 2795 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (𝑁 − 1) = -1)
25 neg1lt0 12383 . . . . . 6 -1 < 0
2624, 25eqbrtrdi 5182 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (𝑁 − 1) < 0)
27 id 22 . . . . 5 (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
2826, 272thd 265 . . . 4 (𝑁 = 0 → ((𝑁 − 1) < 0 ↔ 𝑁 = 0))
2921, 28jaoi 858 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → ((𝑁 − 1) < 0 ↔ 𝑁 = 0))
307, 29sylbi 217 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) < 0 ↔ 𝑁 = 0))
316, 30bitr3d 281 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0...(𝑁 − 1)) = ∅ ↔ 𝑁 = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  c0 4333   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  ...cfz 13547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator