Theorem fz0n 32519

Description: The sequence (0...(𝑁 − 1)) is empty iff 𝑁 is zero. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fz0n	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0...(𝑁 − 1)) = ∅ ↔ 𝑁 = 0))

Proof of Theorem fz0n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 11802	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		nn0z 11816	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		peano2zm 11836	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
5		fzn 12737	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) < 0 ↔ (0...(𝑁 − 1)) = ∅))
6	1, 4, 5	sylancr 579	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) < 0 ↔ (0...(𝑁 − 1)) = ∅))
7		elnn0 11707	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
8		nnge1 11466	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
9		nnre 11445	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
10		1re 10437	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
11		subge0 10952	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁 − 1) ↔ 1 ≤ 𝑁))
12		0re 10439	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		resubcl 10749	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
14		lenlt 10517	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁 − 1) ↔ ¬ (𝑁 − 1) < 0))
15	12, 13, 14	sylancr 579	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁 − 1) ↔ ¬ (𝑁 − 1) < 0))
16	11, 15	bitr3d 273	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 ≤ 𝑁 ↔ ¬ (𝑁 − 1) < 0))
17	9, 10, 16	sylancl 578	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝑁 ↔ ¬ (𝑁 − 1) < 0))
18	8, 17	mpbid 224	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ (𝑁 − 1) < 0)
19		nnne0 11472	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
20	19	neneqd 2965	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 = 0)
21	18, 20	2falsed 369	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) < 0 ↔ 𝑁 = 0))
22		oveq1 6981	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 − 1) = (0 − 1))
23		df-neg 10671	. . . . . . 7 ⊢ -1 = (0 − 1)
24	22, 23	syl6eqr 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 − 1) = -1)
25		neg1lt0 11562	. . . . . 6 ⊢ -1 < 0
26	24, 25	syl6eqbr 4964	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 − 1) < 0)
27		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
28	26, 27	2thd 257	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁 − 1) < 0 ↔ 𝑁 = 0))
29	21, 28	jaoi 844	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → ((𝑁 − 1) < 0 ↔ 𝑁 = 0))
30	7, 29	sylbi 209	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) < 0 ↔ 𝑁 = 0))
31	6, 30	bitr3d 273	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0...(𝑁 − 1)) = ∅ ↔ 𝑁 = 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∨ wo 834   = wceq 1508   ∈ wcel 2051  ∅c0 4172   class class class wbr 4925  (class class class)co 6974  ℝcr 10332  0cc0 10333  1c1 10334   < clt 10472   ≤ cle 10473   − cmin 10668  -cneg 10669  ℕcn 11437  ℕ₀cn0 11705  ℤcz 11791  ...cfz 12706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-n0 11706  df-z 11792  df-uz 12057  df-fz 12707

This theorem is referenced by: (None)