MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfin4-2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isfin4-2 10311
Description: Alternate definition of IV-finite sets: they lack a denumerable subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfin4-2 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝐴))

Proof of Theorem isfin4-2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfin4 10294 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴)))
2 infpssr 10305 . . . . 5 ((𝑥𝐴𝑥𝐴) → ω ≼ 𝐴)
32exlimiv 1925 . . . 4 (∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴) → ω ≼ 𝐴)
4 infpss 10214 . . . 4 (ω ≼ 𝐴 → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴))
53, 4impbii 208 . . 3 (∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴) ↔ ω ≼ 𝐴)
65notbii 320 . 2 (¬ ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴) ↔ ¬ ω ≼ 𝐴)
71, 6bitrdi 287 1 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wex 1773  wcel 2098  wpss 3944   class class class wbr 5141  ωcom 7852  cen 8938  cdom 8939  FinIVcfin4 10277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-fin4 10284
This theorem is referenced by:  isfin4p1  10312  fin23lem41  10349  isfin32i  10362  isfin1-2  10382  fin34  10387  fin41  10441  gchinf  10654
  Copyright terms: Public domain W3C validator