MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfin4-2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isfin4-2 9729
Description: Alternate definition of IV-finite sets: they lack a denumerable subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfin4-2 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝐴))

Proof of Theorem isfin4-2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfin4 9712 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴)))
2 infpssr 9723 . . . . 5 ((𝑥𝐴𝑥𝐴) → ω ≼ 𝐴)
32exlimiv 1931 . . . 4 (∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴) → ω ≼ 𝐴)
4 infpss 9632 . . . 4 (ω ≼ 𝐴 → ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴))
53, 4impbii 212 . . 3 (∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴) ↔ ω ≼ 𝐴)
65notbii 323 . 2 (¬ ∃𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴) ↔ ¬ ω ≼ 𝐴)
71, 6syl6bb 290 1 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ FinIV ↔ ¬ ω ≼ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wex 1781  wcel 2112  wpss 3885   class class class wbr 5033  ωcom 7564  cen 8493  cdom 8494  FinIVcfin4 9695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fin4 9702
This theorem is referenced by:  isfin4p1  9730  fin23lem41  9767  isfin32i  9780  isfin1-2  9800  fin34  9805  fin41  9859  gchinf  10072
  Copyright terms: Public domain W3C validator