Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lnatexN Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lnatexN 38645
Description: There is an atom in a line different from any other. (Contributed by NM, 30-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnatex.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lnatex.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lnatex.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
lnatex.n 𝑁 = (Linesβ€˜πΎ)
lnatex.m 𝑀 = (pmapβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lnatexN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘ž   ≀ ,π‘ž   𝑃,π‘ž   𝑋,π‘ž
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘ž)   𝐾(π‘ž)   𝑀(π‘ž)   𝑁(π‘ž)
Proof of Theorem lnatexN
Dummy variables π‘Ÿ 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnatex.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2732 . . . 4 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
3 lnatex.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
4 lnatex.n . . . 4 𝑁 = (Linesβ€˜πΎ)
5 lnatex.m . . . 4 𝑀 = (pmapβ€˜πΎ)
61, 2, 3, 4, 5isline3 38642 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))))
76biimp3a 1469 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠)))
8 simpl2r 1227 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))) ∧ π‘Ÿ = 𝑃) β†’ 𝑠 ∈ 𝐴)
9 simpl3l 1228 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))) ∧ π‘Ÿ = 𝑃) β†’ π‘Ÿ β‰  𝑠)
109necomd 2996 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))) ∧ π‘Ÿ = 𝑃) β†’ 𝑠 β‰  π‘Ÿ)
11 simpr 485 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))) ∧ π‘Ÿ = 𝑃) β†’ π‘Ÿ = 𝑃)
1210, 11neeqtrd 3010 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))) ∧ π‘Ÿ = 𝑃) β†’ 𝑠 β‰  𝑃)
13 simpl11 1248 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))) ∧ π‘Ÿ = 𝑃) β†’ 𝐾 ∈ HL)
14 simpl2l 1226 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))) ∧ π‘Ÿ = 𝑃) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐴)
15 lnatex.l . . . . . . . . 9 ≀ = (leβ€˜πΎ)
1615, 2, 3hlatlej2 38241 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ 𝑠 ≀ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))
1713, 14, 8, 16syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))) ∧ π‘Ÿ = 𝑃) β†’ 𝑠 ≀ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))
18 simpl3r 1229 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))) ∧ π‘Ÿ = 𝑃) β†’ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))
1917, 18breqtrrd 5176 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))) ∧ π‘Ÿ = 𝑃) β†’ 𝑠 ≀ 𝑋)
20 neeq1 3003 . . . . . . . 8 (π‘ž = 𝑠 β†’ (π‘ž β‰  𝑃 ↔ 𝑠 β‰  𝑃))
21 breq1 5151 . . . . . . . 8 (π‘ž = 𝑠 β†’ (π‘ž ≀ 𝑋 ↔ 𝑠 ≀ 𝑋))
2220, 21anbi12d 631 . . . . . . 7 (π‘ž = 𝑠 β†’ ((π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋) ↔ (𝑠 β‰  𝑃 ∧ 𝑠 ≀ 𝑋)))
2322rspcev 3612 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑠 β‰  𝑃 ∧ 𝑠 ≀ 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋))
248, 12, 19, 23syl12anc 835 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))) ∧ π‘Ÿ = 𝑃) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋))
25 simpl2l 1226 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))) ∧ π‘Ÿ β‰  𝑃) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐴)
26 simpr 485 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))) ∧ π‘Ÿ β‰  𝑃) β†’ π‘Ÿ β‰  𝑃)
27 simpl11 1248 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))) ∧ π‘Ÿ β‰  𝑃) β†’ 𝐾 ∈ HL)
28 simpl2r 1227 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))) ∧ π‘Ÿ β‰  𝑃) β†’ 𝑠 ∈ 𝐴)
2915, 2, 3hlatlej1 38240 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ π‘Ÿ ≀ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))
3027, 25, 28, 29syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))) ∧ π‘Ÿ β‰  𝑃) β†’ π‘Ÿ ≀ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))
31 simpl3r 1229 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))) ∧ π‘Ÿ β‰  𝑃) β†’ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))
3230, 31breqtrrd 5176 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))) ∧ π‘Ÿ β‰  𝑃) β†’ π‘Ÿ ≀ 𝑋)
33 neeq1 3003 . . . . . . . 8 (π‘ž = π‘Ÿ β†’ (π‘ž β‰  𝑃 ↔ π‘Ÿ β‰  𝑃))
34 breq1 5151 . . . . . . . 8 (π‘ž = π‘Ÿ β†’ (π‘ž ≀ 𝑋 ↔ π‘Ÿ ≀ 𝑋))
3533, 34anbi12d 631 . . . . . . 7 (π‘ž = π‘Ÿ β†’ ((π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋) ↔ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ ≀ 𝑋)))
3635rspcev 3612 . . . . . 6 ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ ≀ 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋))
3725, 26, 32, 36syl12anc 835 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))) ∧ π‘Ÿ β‰  𝑃) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋))
3824, 37pm2.61dane 3029 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋))
39383exp 1119 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) β†’ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋))))
4039rexlimdvv 3210 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋)))
417, 40mpd 15 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  lecple 17203  joincjn 18263  Atomscatm 38128  HLchlt 38215  Linesclines 38360  pmapcpmap 38363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-lat 18384  df-clat 18451  df-oposet 38041  df-ol 38043  df-oml 38044  df-covers 38131  df-ats 38132  df-atl 38163  df-cvlat 38187  df-hlat 38216  df-lines 38367  df-pmap 38370
This theorem is referenced by:  lnjatN  38646
  Copyright terms: Public domain W3C validator