Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lnatexN Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lnatexN 38953
Description: There is an atom in a line different from any other. (Contributed by NM, 30-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnatex.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lnatex.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lnatex.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
lnatex.n 𝑁 = (Linesβ€˜πΎ)
lnatex.m 𝑀 = (pmapβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lnatexN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘ž   ≀ ,π‘ž   𝑃,π‘ž   𝑋,π‘ž
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘ž)   𝐾(π‘ž)   𝑀(π‘ž)   𝑁(π‘ž)
Proof of Theorem lnatexN
Dummy variables π‘Ÿ 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnatex.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2730 . . . 4 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
3 lnatex.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
4 lnatex.n . . . 4 𝑁 = (Linesβ€˜πΎ)
5 lnatex.m . . . 4 𝑀 = (pmapβ€˜πΎ)
61, 2, 3, 4, 5isline3 38950 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))))
76biimp3a 1467 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠)))
8 simpl2r 1225 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))) ∧ π‘Ÿ = 𝑃) β†’ 𝑠 ∈ 𝐴)
9 simpl3l 1226 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))) ∧ π‘Ÿ = 𝑃) β†’ π‘Ÿ β‰  𝑠)
109necomd 2994 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))) ∧ π‘Ÿ = 𝑃) β†’ 𝑠 β‰  π‘Ÿ)
11 simpr 483 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))) ∧ π‘Ÿ = 𝑃) β†’ π‘Ÿ = 𝑃)
1210, 11neeqtrd 3008 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))) ∧ π‘Ÿ = 𝑃) β†’ 𝑠 β‰  𝑃)
13 simpl11 1246 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))) ∧ π‘Ÿ = 𝑃) β†’ 𝐾 ∈ HL)
14 simpl2l 1224 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))) ∧ π‘Ÿ = 𝑃) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐴)
15 lnatex.l . . . . . . . . 9 ≀ = (leβ€˜πΎ)
1615, 2, 3hlatlej2 38549 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ 𝑠 ≀ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))
1713, 14, 8, 16syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))) ∧ π‘Ÿ = 𝑃) β†’ 𝑠 ≀ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))
18 simpl3r 1227 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))) ∧ π‘Ÿ = 𝑃) β†’ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))
1917, 18breqtrrd 5175 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))) ∧ π‘Ÿ = 𝑃) β†’ 𝑠 ≀ 𝑋)
20 neeq1 3001 . . . . . . . 8 (π‘ž = 𝑠 β†’ (π‘ž β‰  𝑃 ↔ 𝑠 β‰  𝑃))
21 breq1 5150 . . . . . . . 8 (π‘ž = 𝑠 β†’ (π‘ž ≀ 𝑋 ↔ 𝑠 ≀ 𝑋))
2220, 21anbi12d 629 . . . . . . 7 (π‘ž = 𝑠 β†’ ((π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋) ↔ (𝑠 β‰  𝑃 ∧ 𝑠 ≀ 𝑋)))
2322rspcev 3611 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑠 β‰  𝑃 ∧ 𝑠 ≀ 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋))
248, 12, 19, 23syl12anc 833 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))) ∧ π‘Ÿ = 𝑃) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋))
25 simpl2l 1224 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))) ∧ π‘Ÿ β‰  𝑃) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐴)
26 simpr 483 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))) ∧ π‘Ÿ β‰  𝑃) β†’ π‘Ÿ β‰  𝑃)
27 simpl11 1246 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))) ∧ π‘Ÿ β‰  𝑃) β†’ 𝐾 ∈ HL)
28 simpl2r 1225 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))) ∧ π‘Ÿ β‰  𝑃) β†’ 𝑠 ∈ 𝐴)
2915, 2, 3hlatlej1 38548 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ π‘Ÿ ≀ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))
3027, 25, 28, 29syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))) ∧ π‘Ÿ β‰  𝑃) β†’ π‘Ÿ ≀ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))
31 simpl3r 1227 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))) ∧ π‘Ÿ β‰  𝑃) β†’ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))
3230, 31breqtrrd 5175 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))) ∧ π‘Ÿ β‰  𝑃) β†’ π‘Ÿ ≀ 𝑋)
33 neeq1 3001 . . . . . . . 8 (π‘ž = π‘Ÿ β†’ (π‘ž β‰  𝑃 ↔ π‘Ÿ β‰  𝑃))
34 breq1 5150 . . . . . . . 8 (π‘ž = π‘Ÿ β†’ (π‘ž ≀ 𝑋 ↔ π‘Ÿ ≀ 𝑋))
3533, 34anbi12d 629 . . . . . . 7 (π‘ž = π‘Ÿ β†’ ((π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋) ↔ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ ≀ 𝑋)))
3635rspcev 3611 . . . . . 6 ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑃 ∧ π‘Ÿ ≀ 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋))
3725, 26, 32, 36syl12anc 833 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))) ∧ π‘Ÿ β‰  𝑃) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋))
3824, 37pm2.61dane 3027 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠))) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋))
39383exp 1117 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) β†’ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋))))
4039rexlimdvv 3208 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (π‘Ÿ β‰  𝑠 ∧ 𝑋 = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)𝑠)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋)))
417, 40mpd 15 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑁) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  𝑃 ∧ π‘ž ≀ 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆƒwrex 3068   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  lecple 17208  joincjn 18268  Atomscatm 38436  HLchlt 38523  Linesclines 38668  pmapcpmap 38671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-lines 38675  df-pmap 38678
This theorem is referenced by:  lnjatN  38954
  Copyright terms: Public domain W3C validator