Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  k0004ss1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem k0004ss1 42515
Description: The topological simplex of dimension 𝑁 is a subset of the real vectors of dimension (𝑁 + 1). (Contributed by RP, 29-Mar-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
k0004.a 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑛 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝑡𝑘) = 1})
Assertion
Ref Expression
k0004ss1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴𝑁) ⊆ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛   𝑡,𝑛   𝑘,𝑁   𝑡,𝑁,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑡,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem k0004ss1
StepHypRef Expression
1 k0004.a . . . 4 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑛 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝑡𝑘) = 1})
21k0004val 42514 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴𝑁) = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑁 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑡𝑘) = 1})
3 simp2 1138 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑁 + 1))) ∧ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑡𝑘) = 1) → 𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑁 + 1))))
43rabssdv 4036 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑁 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑡𝑘) = 1} ⊆ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑁 + 1))))
52, 4eqsstrd 3986 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴𝑁) ⊆ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑁 + 1))))
6 reex 11150 . . 3 ℝ ∈ V
7 unitssre 13425 . . 3 (0[,]1) ⊆ ℝ
8 mapss 8833 . . 3 ((ℝ ∈ V ∧ (0[,]1) ⊆ ℝ) → ((0[,]1) ↑m (1...(𝑁 + 1))) ⊆ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))))
96, 7, 8mp2an 691 . 2 ((0[,]1) ↑m (1...(𝑁 + 1))) ⊆ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1)))
105, 9sstrdi 3960 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴𝑁) ⊆ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  {crab 3406  Vcvv 3447  wss 3914  cmpt 5192  cfv 6500  (class class class)co 7361  m cmap 8771  cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062  0cn0 12421  [,]cicc 13276  ...cfz 13433  Σcsu 15579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-icc 13280  df-seq 13916  df-sum 15580
This theorem is referenced by:  k0004ss2  42516  k0004ss3  42517
  Copyright terms: Public domain W3C validator