Theorem k0004ss1 44578

Description: The topological simplex of dimension 𝑁 is a subset of the real vectors of dimension (𝑁 + 1). (Contributed by RP, 29-Mar-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
k0004.a	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑛 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1})

Assertion

Ref	Expression
k0004ss1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴‘𝑁) ⊆ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛   𝑡,𝑛   𝑘,𝑁   𝑡,𝑁,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑡,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem k0004ss1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		k0004.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑛 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1})
2	1	k0004val 44577	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴‘𝑁) = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑁 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1})
3		simp2 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑁 + 1))) ∧ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1) → 𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑁 + 1))))
4	3	rabssdv 4014	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑁 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1} ⊆ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑁 + 1))))
5	2, 4	eqsstrd 3956	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴‘𝑁) ⊆ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑁 + 1))))
6		reex 11129	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
7		unitssre 13452	. . 3 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
8		mapss 8837	. . 3 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ (0[,]1) ⊆ ℝ) → ((0[,]1) ↑m (1...(𝑁 + 1))) ⊆ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))))
9	6, 7, 8	mp2an 693	. 2 ⊢ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑁 + 1))) ⊆ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1)))
10	5, 9	sstrdi 3934	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴‘𝑁) ⊆ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3389  Vcvv 3429   ⊆ wss 3889   ↦ cmpt 5166  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ↑_m cmap 8773  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041  ℕ₀cn0 12437  [,]cicc 13301  ...cfz 13461  Σcsu 15648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-icc 13305  df-seq 13964  df-sum 15649

This theorem is referenced by:  k0004ss2  44579  k0004ss3  44580