Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  k0004ss1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem k0004ss1 39405
Description: The topological simplex of dimension 𝑁 is a subset of the real vectors of dimension (𝑁 + 1). (Contributed by RP, 29-Mar-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
k0004.a 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(𝑛 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝑡𝑘) = 1})
Assertion
Ref Expression
k0004ss1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴𝑁) ⊆ (ℝ ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛   𝑡,𝑛   𝑘,𝑁   𝑡,𝑁,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑡,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem k0004ss1
StepHypRef Expression
1 k0004.a . . . 4 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(𝑛 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝑡𝑘) = 1})
21k0004val 39404 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴𝑁) = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑡𝑘) = 1})
3 simp2 1128 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1))) ∧ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑡𝑘) = 1) → 𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1))))
43rabssdv 3903 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑡𝑘) = 1} ⊆ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1))))
52, 4eqsstrd 3858 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴𝑁) ⊆ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1))))
6 reex 10363 . . 3 ℝ ∈ V
7 unitssre 12636 . . 3 (0[,]1) ⊆ ℝ
8 mapss 8186 . . 3 ((ℝ ∈ V ∧ (0[,]1) ⊆ ℝ) → ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1))) ⊆ (ℝ ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1))))
96, 7, 8mp2an 682 . 2 ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1))) ⊆ (ℝ ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1)))
105, 9syl6ss 3833 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴𝑁) ⊆ (ℝ ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1601  wcel 2107  {crab 3094  Vcvv 3398  wss 3792  cmpt 4965  cfv 6135  (class class class)co 6922  𝑚 cmap 8140  cr 10271  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275  0cn0 11642  [,]cicc 12490  ...cfz 12643  Σcsu 14824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-icc 12494  df-seq 13120  df-sum 14825
This theorem is referenced by:  k0004ss2  39406  k0004ss3  39407
  Copyright terms: Public domain W3C validator