Mathbox for Richard Penner < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  k0004ss1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem k0004ss1 40941
 Description: The topological simplex of dimension 𝑁 is a subset of the real vectors of dimension (𝑁 + 1). (Contributed by RP, 29-Mar-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
k0004.a 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑛 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝑡𝑘) = 1})
Assertion
Ref Expression
k0004ss1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴𝑁) ⊆ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛   𝑡,𝑛   𝑘,𝑁   𝑡,𝑁,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑡,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem k0004ss1
StepHypRef Expression
1 k0004.a . . . 4 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑛 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝑡𝑘) = 1})
21k0004val 40940 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴𝑁) = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑁 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑡𝑘) = 1})
3 simp2 1134 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑁 + 1))) ∧ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑡𝑘) = 1) → 𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑁 + 1))))
43rabssdv 4003 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑁 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑡𝑘) = 1} ⊆ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑁 + 1))))
52, 4eqsstrd 3954 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴𝑁) ⊆ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑁 + 1))))
6 reex 10632 . . 3 ℝ ∈ V
7 unitssre 12894 . . 3 (0[,]1) ⊆ ℝ
8 mapss 8451 . . 3 ((ℝ ∈ V ∧ (0[,]1) ⊆ ℝ) → ((0[,]1) ↑m (1...(𝑁 + 1))) ⊆ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))))
96, 7, 8mp2an 691 . 2 ((0[,]1) ↑m (1...(𝑁 + 1))) ⊆ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1)))
105, 9sstrdi 3928 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴𝑁) ⊆ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3110  Vcvv 3441   ⊆ wss 3882   ↦ cmpt 5113  ‘cfv 6329  (class class class)co 7142   ↑m cmap 8404  ℝcr 10540  0cc0 10541  1c1 10542   + caddc 10544  ℕ0cn0 11900  [,]cicc 12746  ...cfz 12902  Σcsu 15051 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7451  ax-cnex 10597  ax-resscn 10598  ax-1cn 10599  ax-icn 10600  ax-addcl 10601  ax-addrcl 10602  ax-mulcl 10603  ax-mulrcl 10604  ax-i2m1 10609  ax-1ne0 10610  ax-rnegex 10612  ax-rrecex 10613  ax-cnre 10614  ax-pre-lttri 10615  ax-pre-lttrn 10616 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3722  df-csb 3830  df-dif 3885  df-un 3887  df-in 3889  df-ss 3899  df-nul 4246  df-if 4428  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-po 5441  df-so 5442  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-pred 6121  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-er 8287  df-map 8406  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-pnf 10681  df-mnf 10682  df-xr 10683  df-ltxr 10684  df-le 10685  df-icc 12750  df-seq 13382  df-sum 15052 This theorem is referenced by:  k0004ss2  40942  k0004ss3  40943
 Copyright terms: Public domain W3C validator