Theorem k0004ss1 43723

Description: The topological simplex of dimension 𝑁 is a subset of the real vectors of dimension (𝑁 + 1). (Contributed by RP, 29-Mar-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
k0004.a	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑛 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1})

Assertion

Ref	Expression
k0004ss1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴‘𝑁) ⊆ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛   𝑡,𝑛   𝑘,𝑁   𝑡,𝑁,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑡,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem k0004ss1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		k0004.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑛 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1})
2	1	k0004val 43722	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴‘𝑁) = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑁 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1})
3		simp2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑁 + 1))) ∧ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1) → 𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑁 + 1))))
4	3	rabssdv 4068	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑁 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑡‘𝑘) = 1} ⊆ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑁 + 1))))
5	2, 4	eqsstrd 4015	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴‘𝑁) ⊆ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑁 + 1))))
6		reex 11231	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
7		unitssre 13511	. . 3 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
8		mapss 8908	. . 3 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ (0[,]1) ⊆ ℝ) → ((0[,]1) ↑m (1...(𝑁 + 1))) ⊆ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))))
9	6, 7, 8	mp2an 690	. 2 ⊢ ((0[,]1) ↑m (1...(𝑁 + 1))) ⊆ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1)))
10	5, 9	sstrdi 3989	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴‘𝑁) ⊆ (ℝ ↑m (1...(𝑁 + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3418  Vcvv 3461   ⊆ wss 3944   ↦ cmpt 5232  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419   ↑_m cmap 8845  ℝcr 11139  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143  ℕ₀cn0 12505  [,]cicc 13362  ...cfz 13519  Σcsu 15668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-icc 13366  df-seq 14003  df-sum 15669

This theorem is referenced by:  k0004ss2  43724  k0004ss3  43725