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Theorem fmuldfeq 44599
Description: X and Z are two equivalent definitions of the finite product of real functions. Y is a set of real functions from a common domain T, Y is closed under function multiplication and U is a finite sequence of functions in Y. M is the number of functions multiplied together. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmuldfeq.1 β„²π‘–πœ‘
fmuldfeq.2 β„²π‘‘π‘Œ
fmuldfeq.3 𝑃 = (𝑓 ∈ π‘Œ, 𝑔 ∈ π‘Œ ↦ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))))
fmuldfeq.4 𝑋 = (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘€)
fmuldfeq.5 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
fmuldfeq.6 𝑍 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€))
fmuldfeq.7 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ V)
fmuldfeq.8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
fmuldfeq.9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:(1...𝑀)βŸΆπ‘Œ)
fmuldfeq.10 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
fmuldfeq.11 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
fmuldfeq ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘‹β€˜π‘‘) = (π‘β€˜π‘‘))
Distinct variable groups:   𝑑,𝑇   𝑓,𝑔,𝑑,𝑇   𝑓,𝑖,𝑑,𝑇   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝑀,𝑔   π‘ˆ,𝑓,𝑔,𝑑   𝑓,π‘Œ,𝑔   πœ‘,𝑓,𝑔   𝑖,𝑀   π‘ˆ,𝑖
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑,𝑖)   𝑃(𝑑,𝑓,𝑔,𝑖)   𝐹(𝑑,𝑖)   𝑀(𝑑)   𝑋(𝑑,𝑓,𝑔,𝑖)   π‘Œ(𝑑,𝑖)   𝑍(𝑑,𝑓,𝑔,𝑖)

Proof of Theorem fmuldfeq
Dummy variables π‘˜ 𝑏 𝑛 π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1zzd 12598 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 1 ∈ β„€)
2 fmuldfeq.8 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
32nnzd 12590 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
43adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
52nnge1d 12265 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝑀)
65adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 1 ≀ 𝑀)
7 nnre 12224 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
8 leid 11315 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℝ β†’ 𝑀 ≀ 𝑀)
92, 7, 83syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ≀ 𝑀)
109adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑀 ≀ 𝑀)
111, 4, 4, 6, 10elfzd 13497 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑀 ∈ (1...𝑀))
1223ad2ant1 1132 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
13 eleq1 2820 . . . . . . 7 (π‘š = 1 β†’ (π‘š ∈ (1...𝑀) ↔ 1 ∈ (1...𝑀)))
14133anbi3d 1441 . . . . . 6 (π‘š = 1 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘š ∈ (1...𝑀)) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 1 ∈ (1...𝑀))))
15 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (π‘š = 1 β†’ (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘š) = (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜1))
1615fveq1d 6894 . . . . . . 7 (π‘š = 1 β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘š)β€˜π‘‘) = ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜1)β€˜π‘‘))
17 fveq2 6892 . . . . . . 7 (π‘š = 1 β†’ (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘š) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜1))
1816, 17eqeq12d 2747 . . . . . 6 (π‘š = 1 β†’ (((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘š)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘š) ↔ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜1)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜1)))
1914, 18imbi12d 343 . . . . 5 (π‘š = 1 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘š ∈ (1...𝑀)) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘š)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘š)) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 1 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜1)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜1))))
20 eleq1 2820 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑛 β†’ (π‘š ∈ (1...𝑀) ↔ 𝑛 ∈ (1...𝑀)))
21203anbi3d 1441 . . . . . 6 (π‘š = 𝑛 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘š ∈ (1...𝑀)) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀))))
22 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (π‘š = 𝑛 β†’ (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘š) = (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›))
2322fveq1d 6894 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑛 β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘š)β€˜π‘‘) = ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘))
24 fveq2 6892 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑛 β†’ (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘š) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›))
2523, 24eqeq12d 2747 . . . . . 6 (π‘š = 𝑛 β†’ (((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘š)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘š) ↔ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›)))
2621, 25imbi12d 343 . . . . 5 (π‘š = 𝑛 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘š ∈ (1...𝑀)) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘š)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘š)) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›))))
27 eleq1 2820 . . . . . . 7 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ (π‘š ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀)))
28273anbi3d 1441 . . . . . 6 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘š ∈ (1...𝑀)) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀))))
29 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘š) = (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜(𝑛 + 1)))
3029fveq1d 6894 . . . . . . 7 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘š)β€˜π‘‘) = ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘‘))
31 fveq2 6892 . . . . . . 7 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘š) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜(𝑛 + 1)))
3230, 31eqeq12d 2747 . . . . . 6 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ (((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘š)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘š) ↔ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜(𝑛 + 1))))
3328, 32imbi12d 343 . . . . 5 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘š ∈ (1...𝑀)) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘š)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘š)) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀)) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜(𝑛 + 1)))))
34 eleq1 2820 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑀 β†’ (π‘š ∈ (1...𝑀) ↔ 𝑀 ∈ (1...𝑀)))
35343anbi3d 1441 . . . . . 6 (π‘š = 𝑀 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘š ∈ (1...𝑀)) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑀))))
36 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (π‘š = 𝑀 β†’ (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘š) = (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘€))
3736fveq1d 6894 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑀 β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘š)β€˜π‘‘) = ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘€)β€˜π‘‘))
38 fveq2 6892 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑀 β†’ (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘š) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€))
3937, 38eqeq12d 2747 . . . . . 6 (π‘š = 𝑀 β†’ (((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘š)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘š) ↔ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘€)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€)))
4035, 39imbi12d 343 . . . . 5 (π‘š = 𝑀 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘š ∈ (1...𝑀)) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘š)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘š)) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘€)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€))))
41 1z 12597 . . . . . . . 8 1 ∈ β„€
42 seq1 13984 . . . . . . . 8 (1 ∈ β„€ β†’ (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜1) = ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜1))
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . 7 (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜1) = ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜1)
44 1zzd 12598 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
45 1le1 11847 . . . . . . . . . . . . 13 1 ≀ 1
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 1)
4744, 3, 44, 46, 5elfzd 13497 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 1 ∈ (1...𝑀))
48 nfv 1916 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑖 𝑑 ∈ 𝑇
49 fmuldfeq.5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
50 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ⅎ𝑖𝑇
51 nfmpt1 5257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ⅎ𝑖(𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
5250, 51nfmpt 5256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ⅎ𝑖(𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
5349, 52nfcxfr 2900 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑖𝐹
54 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑖𝑑
5553, 54nffv 6902 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑖(πΉβ€˜π‘‘)
56 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑖1
5755, 56nffv 6902 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑖((πΉβ€˜π‘‘)β€˜1)
58 nffvmpt1 6903 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑖((𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))β€˜1)
5957, 58nfeq 2915 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑖((πΉβ€˜π‘‘)β€˜1) = ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))β€˜1)
6048, 59nfim 1898 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑖(𝑑 ∈ 𝑇 β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜1) = ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))β€˜1))
61 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 1 β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘–) = ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜1))
62 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 1 β†’ ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))β€˜π‘–) = ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))β€˜1))
6361, 62eqeq12d 2747 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 1 β†’ (((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘–) = ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))β€˜π‘–) ↔ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜1) = ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))β€˜1)))
6463imbi2d 339 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 1 β†’ ((𝑑 ∈ 𝑇 β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘–) = ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))β€˜π‘–)) ↔ (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜1) = ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))β€˜1))))
65 ovex 7445 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...𝑀) ∈ V
6665mptex 7228 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)) ∈ V
6749fvmpt2 7010 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)) ∈ V) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) = (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
6866, 67mpan2 688 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ (πΉβ€˜π‘‘) = (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
6968fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘–) = ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))β€˜π‘–))
7060, 64, 69vtoclg1f 3556 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ (1...𝑀) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜1) = ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))β€˜1)))
7147, 70syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜1) = ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))β€˜1)))
7271imp 406 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜1) = ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))β€˜1))
73 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)) = (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
74 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 1 β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–) = (π‘ˆβ€˜1))
7574fveq1d 6894 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 1 β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) = ((π‘ˆβ€˜1)β€˜π‘‘))
7647adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 1 ∈ (1...𝑀))
77 fmuldfeq.9 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:(1...𝑀)βŸΆπ‘Œ)
7877, 47ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜1) ∈ π‘Œ)
7978ancli 548 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (πœ‘ ∧ (π‘ˆβ€˜1) ∈ π‘Œ))
80 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (π‘ˆβ€˜1) β†’ (𝑓 ∈ π‘Œ ↔ (π‘ˆβ€˜1) ∈ π‘Œ))
8180anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = (π‘ˆβ€˜1) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ) ↔ (πœ‘ ∧ (π‘ˆβ€˜1) ∈ π‘Œ)))
82 feq1 6699 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = (π‘ˆβ€˜1) β†’ (𝑓:π‘‡βŸΆβ„ ↔ (π‘ˆβ€˜1):π‘‡βŸΆβ„))
8381, 82imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = (π‘ˆβ€˜1) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„) ↔ ((πœ‘ ∧ (π‘ˆβ€˜1) ∈ π‘Œ) β†’ (π‘ˆβ€˜1):π‘‡βŸΆβ„)))
84 fmuldfeq.10 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
8584a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ π‘Œ β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„))
8683, 85vtoclga 3566 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆβ€˜1) ∈ π‘Œ β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘ˆβ€˜1) ∈ π‘Œ) β†’ (π‘ˆβ€˜1):π‘‡βŸΆβ„))
8778, 79, 86sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜1):π‘‡βŸΆβ„)
8887ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘ˆβ€˜1)β€˜π‘‘) ∈ ℝ)
8973, 75, 76, 88fvmptd3 7022 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))β€˜1) = ((π‘ˆβ€˜1)β€˜π‘‘))
9072, 89eqtrd 2771 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜1) = ((π‘ˆβ€˜1)β€˜π‘‘))
91 seq1 13984 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ β„€ β†’ (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜1) = (π‘ˆβ€˜1))
9241, 91ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜1) = (π‘ˆβ€˜1)
9392fveq1i 6893 . . . . . . . 8 ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜1)β€˜π‘‘) = ((π‘ˆβ€˜1)β€˜π‘‘)
9490, 93eqtr4di 2789 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜1) = ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜1)β€˜π‘‘))
9543, 94eqtr2id 2784 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜1)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜1))
96953adant3 1131 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 1 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜1)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜1))
97 simp31 1208 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ β„• ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›)) ∧ (πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀))) β†’ πœ‘)
98 simp1 1135 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ β„• ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›)) ∧ (πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
99 simp33 1210 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ β„• ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›)) ∧ (πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀))) β†’ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀))
10098, 99jca 511 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ β„• ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›)) ∧ (πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀))) β†’ (𝑛 ∈ β„• ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀)))
101 elnnuz 12871 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• ↔ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
102101biimpi 215 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
103102anim1i 614 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ β„• ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀)) β†’ (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀)))
104 peano2fzr 13519 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑛 ∈ (1...𝑀))
105100, 103, 1043syl 18 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ β„• ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›)) ∧ (πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀))) β†’ 𝑛 ∈ (1...𝑀))
106 simp32 1209 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ β„• ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›)) ∧ (πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀))) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
107 simp2 1136 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ β„• ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›)) ∧ (πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀))) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›)))
10897, 106, 105, 107mp3and 1463 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ β„• ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›)) ∧ (πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀))) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›))
109105, 99, 1083jca 1127 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ β„• ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›)) ∧ (πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀))) β†’ (𝑛 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀) ∧ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›)))
110 nfv 1916 . . . . . . . . 9 β„²π‘“πœ‘
111 nfv 1916 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑓 𝑛 ∈ (1...𝑀)
112 nfv 1916 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑓(𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀)
113 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑓1
114 fmuldfeq.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑃 = (𝑓 ∈ π‘Œ, 𝑔 ∈ π‘Œ ↦ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))))
115 nfmpo1 7492 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑓(𝑓 ∈ π‘Œ, 𝑔 ∈ π‘Œ ↦ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))))
116114, 115nfcxfr 2900 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑓𝑃
117 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘“π‘ˆ
118113, 116, 117nfseq 13981 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑓seq1(𝑃, π‘ˆ)
119 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑓𝑛
120118, 119nffv 6902 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑓(seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)
121 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑓𝑑
122120, 121nffv 6902 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑓((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘)
123 nfcv 2902 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑓(seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›)
124122, 123nfeq 2915 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑓((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›)
125111, 112, 124nf3an 1903 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑓(𝑛 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀) ∧ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›))
126110, 125nfan 1901 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑓(πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀) ∧ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›)))
127 nfv 1916 . . . . . . . . 9 β„²π‘”πœ‘
128 nfv 1916 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑔 𝑛 ∈ (1...𝑀)
129 nfv 1916 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑔(𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀)
130 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑔1
131 nfmpo2 7493 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑔(𝑓 ∈ π‘Œ, 𝑔 ∈ π‘Œ ↦ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))))
132114, 131nfcxfr 2900 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑔𝑃
133 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘”π‘ˆ
134130, 132, 133nfseq 13981 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑔seq1(𝑃, π‘ˆ)
135 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑔𝑛
136134, 135nffv 6902 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑔(seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)
137 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑔𝑑
138136, 137nffv 6902 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑔((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘)
139 nfcv 2902 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑔(seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›)
140138, 139nfeq 2915 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑔((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›)
141128, 129, 140nf3an 1903 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑔(𝑛 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀) ∧ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›))
142127, 141nfan 1901 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑔(πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀) ∧ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›)))
143 fmuldfeq.2 . . . . . . . 8 β„²π‘‘π‘Œ
144 fmuldfeq.7 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ V)
145144adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀) ∧ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›))) β†’ 𝑇 ∈ V)
14677adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀) ∧ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›))) β†’ π‘ˆ:(1...𝑀)βŸΆπ‘Œ)
147 fmuldfeq.11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ π‘Œ)
1481473adant1r 1176 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀) ∧ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›))) ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ π‘Œ)
149 simpr1 1193 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀) ∧ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›))) β†’ 𝑛 ∈ (1...𝑀))
150 simpr2 1194 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀) ∧ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›))) β†’ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀))
151 simpr3 1195 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀) ∧ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›))) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›))
15284adantlr 712 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀) ∧ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›))) ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
153126, 142, 143, 114, 49, 145, 146, 148, 149, 150, 151, 152fmuldfeqlem1 44598 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀) ∧ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜(𝑛 + 1)))
15497, 109, 106, 153syl21anc 835 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ β„• ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›)) ∧ (πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀))) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜(𝑛 + 1)))
1551543exp 1118 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„• β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›)) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀)) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜(𝑛 + 1)))))
15619, 26, 33, 40, 96, 155nnind 12235 . . . 4 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘€)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€)))
15712, 156mpcom 38 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘€)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€))
15811, 157mpd3an3 1461 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘€)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€))
159 fmuldfeq.4 . . . 4 𝑋 = (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘€)
160159fveq1i 6893 . . 3 (π‘‹β€˜π‘‘) = ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘€)β€˜π‘‘)
161160a1i 11 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘‹β€˜π‘‘) = ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘€)β€˜π‘‘))
162 simpr 484 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
163 elnnuz 12871 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• ↔ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
1642, 163sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
165164adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
166 fmuldfeq.1 . . . . . . . 8 β„²π‘–πœ‘
167166, 48nfan 1901 . . . . . . 7 Ⅎ𝑖(πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)
168 nfv 1916 . . . . . . 7 Ⅎ𝑖 π‘˜ ∈ (1...𝑀)
169167, 168nfan 1901 . . . . . 6 Ⅎ𝑖((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀))
170 nfcv 2902 . . . . . . . 8 β„²π‘–π‘˜
17155, 170nffv 6902 . . . . . . 7 Ⅎ𝑖((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘˜)
172171nfel1 2918 . . . . . 6 Ⅎ𝑖((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘˜) ∈ ℝ
173169, 172nfim 1898 . . . . 5 Ⅎ𝑖(((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
174 eleq1 2820 . . . . . . 7 (𝑖 = π‘˜ β†’ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↔ π‘˜ ∈ (1...𝑀)))
175174anbi2d 628 . . . . . 6 (𝑖 = π‘˜ β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀))))
176 fveq2 6892 . . . . . . 7 (𝑖 = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘–) = ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘˜))
177176eleq1d 2817 . . . . . 6 (𝑖 = π‘˜ β†’ (((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘–) ∈ ℝ ↔ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘˜) ∈ ℝ))
178175, 177imbi12d 343 . . . . 5 (𝑖 = π‘˜ β†’ ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘–) ∈ ℝ) ↔ (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)))
17969ad2antlr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘–) = ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))β€˜π‘–))
180 simpr 484 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (1...𝑀))
18177ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ π‘Œ)
182 simpl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ πœ‘)
183182, 181jca 511 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (πœ‘ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ π‘Œ))
184 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = (π‘ˆβ€˜π‘–) β†’ (𝑓 ∈ π‘Œ ↔ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ π‘Œ))
185184anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = (π‘ˆβ€˜π‘–) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ) ↔ (πœ‘ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ π‘Œ)))
186 feq1 6699 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = (π‘ˆβ€˜π‘–) β†’ (𝑓:π‘‡βŸΆβ„ ↔ (π‘ˆβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„))
187185, 186imbi12d 343 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (π‘ˆβ€˜π‘–) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„) ↔ ((πœ‘ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ π‘Œ) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„)))
188187, 85vtoclga 3566 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ π‘Œ β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ π‘Œ) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„))
189181, 183, 188sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„)
190189adantlr 712 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„)
191 simplr 766 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
192190, 191ffvelcdmd 7088 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ∈ ℝ)
19373fvmpt2 7010 . . . . . . . 8 ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ∈ ℝ) β†’ ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))β€˜π‘–) = ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
194180, 192, 193syl2anc 583 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))β€˜π‘–) = ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
195194, 192eqeltrd 2832 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))β€˜π‘–) ∈ ℝ)
196179, 195eqeltrd 2832 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘–) ∈ ℝ)
197173, 178, 196chvarfv 2232 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
198 remulcl 11198 . . . . 5 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ (π‘˜ Β· 𝑏) ∈ ℝ)
199198adantl 481 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) β†’ (π‘˜ Β· 𝑏) ∈ ℝ)
200165, 197, 199seqcl 13993 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€) ∈ ℝ)
201 fmuldfeq.6 . . . 4 𝑍 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€))
202201fvmpt2 7010 . . 3 ((𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€) ∈ ℝ) β†’ (π‘β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€))
203162, 200, 202syl2anc 583 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€))
204158, 161, 2033eqtr4d 2781 1 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘‹β€˜π‘‘) = (π‘β€˜π‘‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  β„²wnf 1784   ∈ wcel 2105  β„²wnfc 2882  Vcvv 3473   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  β„cr 11112  1c1 11114   + caddc 11116   Β· cmul 11118   ≀ cle 11254  β„•cn 12217  β„€cz 12563  β„€β‰₯cuz 12827  ...cfz 13489  seqcseq 13971
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-seq 13972
This theorem is referenced by:  stoweidlem42  45058  stoweidlem48  45064
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