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Theorem fmuldfeq 43831
Description: X and Z are two equivalent definitions of the finite product of real functions. Y is a set of real functions from a common domain T, Y is closed under function multiplication and U is a finite sequence of functions in Y. M is the number of functions multiplied together. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmuldfeq.1 β„²π‘–πœ‘
fmuldfeq.2 β„²π‘‘π‘Œ
fmuldfeq.3 𝑃 = (𝑓 ∈ π‘Œ, 𝑔 ∈ π‘Œ ↦ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))))
fmuldfeq.4 𝑋 = (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘€)
fmuldfeq.5 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
fmuldfeq.6 𝑍 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€))
fmuldfeq.7 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ V)
fmuldfeq.8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
fmuldfeq.9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:(1...𝑀)βŸΆπ‘Œ)
fmuldfeq.10 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
fmuldfeq.11 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
fmuldfeq ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘‹β€˜π‘‘) = (π‘β€˜π‘‘))
Distinct variable groups:   𝑑,𝑇   𝑓,𝑔,𝑑,𝑇   𝑓,𝑖,𝑑,𝑇   𝑓,𝐹,𝑔   𝑓,𝑀,𝑔   π‘ˆ,𝑓,𝑔,𝑑   𝑓,π‘Œ,𝑔   πœ‘,𝑓,𝑔   𝑖,𝑀   π‘ˆ,𝑖
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑,𝑖)   𝑃(𝑑,𝑓,𝑔,𝑖)   𝐹(𝑑,𝑖)   𝑀(𝑑)   𝑋(𝑑,𝑓,𝑔,𝑖)   π‘Œ(𝑑,𝑖)   𝑍(𝑑,𝑓,𝑔,𝑖)

Proof of Theorem fmuldfeq
Dummy variables π‘˜ 𝑏 𝑛 π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1zzd 12535 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 1 ∈ β„€)
2 fmuldfeq.8 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
32nnzd 12527 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
43adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
52nnge1d 12202 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝑀)
65adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 1 ≀ 𝑀)
7 nnre 12161 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
8 leid 11252 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℝ β†’ 𝑀 ≀ 𝑀)
92, 7, 83syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ≀ 𝑀)
109adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑀 ≀ 𝑀)
111, 4, 4, 6, 10elfzd 13433 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑀 ∈ (1...𝑀))
1223ad2ant1 1134 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
13 eleq1 2826 . . . . . . 7 (π‘š = 1 β†’ (π‘š ∈ (1...𝑀) ↔ 1 ∈ (1...𝑀)))
14133anbi3d 1443 . . . . . 6 (π‘š = 1 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘š ∈ (1...𝑀)) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 1 ∈ (1...𝑀))))
15 fveq2 6843 . . . . . . . 8 (π‘š = 1 β†’ (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘š) = (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜1))
1615fveq1d 6845 . . . . . . 7 (π‘š = 1 β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘š)β€˜π‘‘) = ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜1)β€˜π‘‘))
17 fveq2 6843 . . . . . . 7 (π‘š = 1 β†’ (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘š) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜1))
1816, 17eqeq12d 2753 . . . . . 6 (π‘š = 1 β†’ (((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘š)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘š) ↔ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜1)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜1)))
1914, 18imbi12d 345 . . . . 5 (π‘š = 1 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘š ∈ (1...𝑀)) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘š)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘š)) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 1 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜1)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜1))))
20 eleq1 2826 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑛 β†’ (π‘š ∈ (1...𝑀) ↔ 𝑛 ∈ (1...𝑀)))
21203anbi3d 1443 . . . . . 6 (π‘š = 𝑛 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘š ∈ (1...𝑀)) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀))))
22 fveq2 6843 . . . . . . . 8 (π‘š = 𝑛 β†’ (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘š) = (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›))
2322fveq1d 6845 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑛 β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘š)β€˜π‘‘) = ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘))
24 fveq2 6843 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑛 β†’ (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘š) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›))
2523, 24eqeq12d 2753 . . . . . 6 (π‘š = 𝑛 β†’ (((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘š)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘š) ↔ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›)))
2621, 25imbi12d 345 . . . . 5 (π‘š = 𝑛 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘š ∈ (1...𝑀)) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘š)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘š)) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›))))
27 eleq1 2826 . . . . . . 7 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ (π‘š ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀)))
28273anbi3d 1443 . . . . . 6 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘š ∈ (1...𝑀)) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀))))
29 fveq2 6843 . . . . . . . 8 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘š) = (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜(𝑛 + 1)))
3029fveq1d 6845 . . . . . . 7 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘š)β€˜π‘‘) = ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘‘))
31 fveq2 6843 . . . . . . 7 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘š) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜(𝑛 + 1)))
3230, 31eqeq12d 2753 . . . . . 6 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ (((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘š)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘š) ↔ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜(𝑛 + 1))))
3328, 32imbi12d 345 . . . . 5 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘š ∈ (1...𝑀)) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘š)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘š)) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀)) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜(𝑛 + 1)))))
34 eleq1 2826 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑀 β†’ (π‘š ∈ (1...𝑀) ↔ 𝑀 ∈ (1...𝑀)))
35343anbi3d 1443 . . . . . 6 (π‘š = 𝑀 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘š ∈ (1...𝑀)) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑀))))
36 fveq2 6843 . . . . . . . 8 (π‘š = 𝑀 β†’ (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘š) = (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘€))
3736fveq1d 6845 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑀 β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘š)β€˜π‘‘) = ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘€)β€˜π‘‘))
38 fveq2 6843 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑀 β†’ (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘š) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€))
3937, 38eqeq12d 2753 . . . . . 6 (π‘š = 𝑀 β†’ (((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘š)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘š) ↔ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘€)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€)))
4035, 39imbi12d 345 . . . . 5 (π‘š = 𝑀 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘š ∈ (1...𝑀)) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘š)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘š)) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘€)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€))))
41 1z 12534 . . . . . . . 8 1 ∈ β„€
42 seq1 13920 . . . . . . . 8 (1 ∈ β„€ β†’ (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜1) = ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜1))
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . 7 (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜1) = ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜1)
44 1zzd 12535 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
45 1le1 11784 . . . . . . . . . . . . 13 1 ≀ 1
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 1)
4744, 3, 44, 46, 5elfzd 13433 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 1 ∈ (1...𝑀))
48 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑖 𝑑 ∈ 𝑇
49 fmuldfeq.5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
50 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ⅎ𝑖𝑇
51 nfmpt1 5214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ⅎ𝑖(𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
5250, 51nfmpt 5213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ⅎ𝑖(𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
5349, 52nfcxfr 2906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑖𝐹
54 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑖𝑑
5553, 54nffv 6853 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑖(πΉβ€˜π‘‘)
56 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑖1
5755, 56nffv 6853 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑖((πΉβ€˜π‘‘)β€˜1)
58 nffvmpt1 6854 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑖((𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))β€˜1)
5957, 58nfeq 2921 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑖((πΉβ€˜π‘‘)β€˜1) = ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))β€˜1)
6048, 59nfim 1900 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑖(𝑑 ∈ 𝑇 β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜1) = ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))β€˜1))
61 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 1 β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘–) = ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜1))
62 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 1 β†’ ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))β€˜π‘–) = ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))β€˜1))
6361, 62eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 1 β†’ (((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘–) = ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))β€˜π‘–) ↔ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜1) = ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))β€˜1)))
6463imbi2d 341 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 1 β†’ ((𝑑 ∈ 𝑇 β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘–) = ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))β€˜π‘–)) ↔ (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜1) = ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))β€˜1))))
65 ovex 7391 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...𝑀) ∈ V
6665mptex 7174 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)) ∈ V
6749fvmpt2 6960 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)) ∈ V) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) = (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
6866, 67mpan2 690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ (πΉβ€˜π‘‘) = (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
6968fveq1d 6845 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘–) = ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))β€˜π‘–))
7060, 64, 69vtoclg1f 3525 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ (1...𝑀) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜1) = ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))β€˜1)))
7147, 70syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜1) = ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))β€˜1)))
7271imp 408 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜1) = ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))β€˜1))
73 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)) = (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
74 fveq2 6843 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 1 β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–) = (π‘ˆβ€˜1))
7574fveq1d 6845 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 1 β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) = ((π‘ˆβ€˜1)β€˜π‘‘))
7647adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 1 ∈ (1...𝑀))
77 fmuldfeq.9 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:(1...𝑀)βŸΆπ‘Œ)
7877, 47ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜1) ∈ π‘Œ)
7978ancli 550 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (πœ‘ ∧ (π‘ˆβ€˜1) ∈ π‘Œ))
80 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (π‘ˆβ€˜1) β†’ (𝑓 ∈ π‘Œ ↔ (π‘ˆβ€˜1) ∈ π‘Œ))
8180anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = (π‘ˆβ€˜1) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ) ↔ (πœ‘ ∧ (π‘ˆβ€˜1) ∈ π‘Œ)))
82 feq1 6650 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = (π‘ˆβ€˜1) β†’ (𝑓:π‘‡βŸΆβ„ ↔ (π‘ˆβ€˜1):π‘‡βŸΆβ„))
8381, 82imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = (π‘ˆβ€˜1) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„) ↔ ((πœ‘ ∧ (π‘ˆβ€˜1) ∈ π‘Œ) β†’ (π‘ˆβ€˜1):π‘‡βŸΆβ„)))
84 fmuldfeq.10 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
8584a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ π‘Œ β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„))
8683, 85vtoclga 3535 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆβ€˜1) ∈ π‘Œ β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘ˆβ€˜1) ∈ π‘Œ) β†’ (π‘ˆβ€˜1):π‘‡βŸΆβ„))
8778, 79, 86sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜1):π‘‡βŸΆβ„)
8887ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘ˆβ€˜1)β€˜π‘‘) ∈ ℝ)
8973, 75, 76, 88fvmptd3 6972 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))β€˜1) = ((π‘ˆβ€˜1)β€˜π‘‘))
9072, 89eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜1) = ((π‘ˆβ€˜1)β€˜π‘‘))
91 seq1 13920 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ β„€ β†’ (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜1) = (π‘ˆβ€˜1))
9241, 91ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜1) = (π‘ˆβ€˜1)
9392fveq1i 6844 . . . . . . . 8 ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜1)β€˜π‘‘) = ((π‘ˆβ€˜1)β€˜π‘‘)
9490, 93eqtr4di 2795 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜1) = ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜1)β€˜π‘‘))
9543, 94eqtr2id 2790 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜1)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜1))
96953adant3 1133 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 1 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜1)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜1))
97 simp31 1210 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ β„• ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›)) ∧ (πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀))) β†’ πœ‘)
98 simp1 1137 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ β„• ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›)) ∧ (πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
99 simp33 1212 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ β„• ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›)) ∧ (πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀))) β†’ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀))
10098, 99jca 513 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ β„• ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›)) ∧ (πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀))) β†’ (𝑛 ∈ β„• ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀)))
101 elnnuz 12808 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• ↔ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
102101biimpi 215 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
103102anim1i 616 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ β„• ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀)) β†’ (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀)))
104 peano2fzr 13455 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑛 ∈ (1...𝑀))
105100, 103, 1043syl 18 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ β„• ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›)) ∧ (πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀))) β†’ 𝑛 ∈ (1...𝑀))
106 simp32 1211 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ β„• ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›)) ∧ (πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀))) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
107 simp2 1138 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ β„• ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›)) ∧ (πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀))) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›)))
10897, 106, 105, 107mp3and 1465 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ β„• ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›)) ∧ (πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀))) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›))
109105, 99, 1083jca 1129 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ β„• ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›)) ∧ (πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀))) β†’ (𝑛 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀) ∧ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›)))
110 nfv 1918 . . . . . . . . 9 β„²π‘“πœ‘
111 nfv 1918 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑓 𝑛 ∈ (1...𝑀)
112 nfv 1918 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑓(𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀)
113 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑓1
114 fmuldfeq.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑃 = (𝑓 ∈ π‘Œ, 𝑔 ∈ π‘Œ ↦ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))))
115 nfmpo1 7438 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑓(𝑓 ∈ π‘Œ, 𝑔 ∈ π‘Œ ↦ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))))
116114, 115nfcxfr 2906 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑓𝑃
117 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘“π‘ˆ
118113, 116, 117nfseq 13917 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑓seq1(𝑃, π‘ˆ)
119 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑓𝑛
120118, 119nffv 6853 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑓(seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)
121 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑓𝑑
122120, 121nffv 6853 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑓((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘)
123 nfcv 2908 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑓(seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›)
124122, 123nfeq 2921 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑓((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›)
125111, 112, 124nf3an 1905 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑓(𝑛 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀) ∧ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›))
126110, 125nfan 1903 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑓(πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀) ∧ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›)))
127 nfv 1918 . . . . . . . . 9 β„²π‘”πœ‘
128 nfv 1918 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑔 𝑛 ∈ (1...𝑀)
129 nfv 1918 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑔(𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀)
130 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑔1
131 nfmpo2 7439 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑔(𝑓 ∈ π‘Œ, 𝑔 ∈ π‘Œ ↦ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))))
132114, 131nfcxfr 2906 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑔𝑃
133 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘”π‘ˆ
134130, 132, 133nfseq 13917 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑔seq1(𝑃, π‘ˆ)
135 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑔𝑛
136134, 135nffv 6853 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑔(seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)
137 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑔𝑑
138136, 137nffv 6853 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑔((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘)
139 nfcv 2908 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑔(seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›)
140138, 139nfeq 2921 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑔((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›)
141128, 129, 140nf3an 1905 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑔(𝑛 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀) ∧ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›))
142127, 141nfan 1903 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑔(πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀) ∧ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›)))
143 fmuldfeq.2 . . . . . . . 8 β„²π‘‘π‘Œ
144 fmuldfeq.7 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ V)
145144adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀) ∧ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›))) β†’ 𝑇 ∈ V)
14677adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀) ∧ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›))) β†’ π‘ˆ:(1...𝑀)βŸΆπ‘Œ)
147 fmuldfeq.11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ π‘Œ)
1481473adant1r 1178 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀) ∧ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›))) ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ ∧ 𝑔 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ π‘Œ)
149 simpr1 1195 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀) ∧ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›))) β†’ 𝑛 ∈ (1...𝑀))
150 simpr2 1196 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀) ∧ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›))) β†’ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀))
151 simpr3 1197 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀) ∧ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›))) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›))
15284adantlr 714 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀) ∧ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›))) ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
153126, 142, 143, 114, 49, 145, 146, 148, 149, 150, 151, 152fmuldfeqlem1 43830 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀) ∧ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜(𝑛 + 1)))
15497, 109, 106, 153syl21anc 837 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ β„• ∧ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›)) ∧ (πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀))) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜(𝑛 + 1)))
1551543exp 1120 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„• β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘›)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘›)) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (1...𝑀)) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜(𝑛 + 1)))))
15619, 26, 33, 40, 96, 155nnind 12172 . . . 4 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘€)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€)))
15712, 156mpcom 38 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘€)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€))
15811, 157mpd3an3 1463 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘€)β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€))
159 fmuldfeq.4 . . . 4 𝑋 = (seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘€)
160159fveq1i 6844 . . 3 (π‘‹β€˜π‘‘) = ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘€)β€˜π‘‘)
161160a1i 11 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘‹β€˜π‘‘) = ((seq1(𝑃, π‘ˆ)β€˜π‘€)β€˜π‘‘))
162 simpr 486 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
163 elnnuz 12808 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„• ↔ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
1642, 163sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
165164adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
166 fmuldfeq.1 . . . . . . . 8 β„²π‘–πœ‘
167166, 48nfan 1903 . . . . . . 7 Ⅎ𝑖(πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)
168 nfv 1918 . . . . . . 7 Ⅎ𝑖 π‘˜ ∈ (1...𝑀)
169167, 168nfan 1903 . . . . . 6 Ⅎ𝑖((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀))
170 nfcv 2908 . . . . . . . 8 β„²π‘–π‘˜
17155, 170nffv 6853 . . . . . . 7 Ⅎ𝑖((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘˜)
172171nfel1 2924 . . . . . 6 Ⅎ𝑖((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘˜) ∈ ℝ
173169, 172nfim 1900 . . . . 5 Ⅎ𝑖(((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
174 eleq1 2826 . . . . . . 7 (𝑖 = π‘˜ β†’ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↔ π‘˜ ∈ (1...𝑀)))
175174anbi2d 630 . . . . . 6 (𝑖 = π‘˜ β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀))))
176 fveq2 6843 . . . . . . 7 (𝑖 = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘–) = ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘˜))
177176eleq1d 2823 . . . . . 6 (𝑖 = π‘˜ β†’ (((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘–) ∈ ℝ ↔ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘˜) ∈ ℝ))
178175, 177imbi12d 345 . . . . 5 (𝑖 = π‘˜ β†’ ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘–) ∈ ℝ) ↔ (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)))
17969ad2antlr 726 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘–) = ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))β€˜π‘–))
180 simpr 486 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (1...𝑀))
18177ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ π‘Œ)
182 simpl 484 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ πœ‘)
183182, 181jca 513 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (πœ‘ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ π‘Œ))
184 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = (π‘ˆβ€˜π‘–) β†’ (𝑓 ∈ π‘Œ ↔ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ π‘Œ))
185184anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = (π‘ˆβ€˜π‘–) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ) ↔ (πœ‘ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ π‘Œ)))
186 feq1 6650 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = (π‘ˆβ€˜π‘–) β†’ (𝑓:π‘‡βŸΆβ„ ↔ (π‘ˆβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„))
187185, 186imbi12d 345 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (π‘ˆβ€˜π‘–) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ π‘Œ) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„) ↔ ((πœ‘ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ π‘Œ) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„)))
188187, 85vtoclga 3535 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ π‘Œ β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘ˆβ€˜π‘–) ∈ π‘Œ) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„))
189181, 183, 188sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„)
190189adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘–):π‘‡βŸΆβ„)
191 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑑 ∈ 𝑇)
192190, 191ffvelcdmd 7037 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ∈ ℝ)
19373fvmpt2 6960 . . . . . . . 8 ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ∈ ℝ) β†’ ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))β€˜π‘–) = ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
194180, 192, 193syl2anc 585 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))β€˜π‘–) = ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
195194, 192eqeltrd 2838 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))β€˜π‘–) ∈ ℝ)
196179, 195eqeltrd 2838 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘–) ∈ ℝ)
197173, 178, 196chvarfv 2234 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
198 remulcl 11137 . . . . 5 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) β†’ (π‘˜ Β· 𝑏) ∈ ℝ)
199198adantl 483 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) β†’ (π‘˜ Β· 𝑏) ∈ ℝ)
200165, 197, 199seqcl 13929 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€) ∈ ℝ)
201 fmuldfeq.6 . . . 4 𝑍 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€))
202201fvmpt2 6960 . . 3 ((𝑑 ∈ 𝑇 ∧ (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€) ∈ ℝ) β†’ (π‘β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€))
203162, 200, 202syl2anc 585 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘β€˜π‘‘) = (seq1( Β· , (πΉβ€˜π‘‘))β€˜π‘€))
204158, 161, 2033eqtr4d 2787 1 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘‹β€˜π‘‘) = (π‘β€˜π‘‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  β„²wnfc 2888  Vcvv 3446   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  β„cr 11051  1c1 11053   + caddc 11055   Β· cmul 11057   ≀ cle 11191  β„•cn 12154  β„€cz 12500  β„€β‰₯cuz 12764  ...cfz 13425  seqcseq 13907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426  df-seq 13908
This theorem is referenced by:  stoweidlem42  44290  stoweidlem48  44296
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