MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumless Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isumless 15797
Description: A finite sum of nonnegative numbers is less than or equal to its limit. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumless.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isumless.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isumless.3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
isumless.4 (𝜑𝐴𝑍)
isumless.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
isumless.6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
isumless.7 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ 𝐵)
isumless.8 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
isumless (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ≤ Σ𝑘𝑍 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem isumless
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumless.4 . . 3 (𝜑𝐴𝑍)
21sselda 3977 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘𝑍)
3 isumless.6 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
43recnd 11246 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
52, 4syldan 590 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
65ralrimiva 3140 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
7 isumless.1 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
87eqimssi 4037 . . . . 5 𝑍 ⊆ (ℤ𝑀)
98orci 862 . . . 4 (𝑍 ⊆ (ℤ𝑀) ∨ 𝑍 ∈ Fin)
109a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑍 ⊆ (ℤ𝑀) ∨ 𝑍 ∈ Fin))
11 sumss2 15678 . . 3 (((𝐴𝑍 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑍 ⊆ (ℤ𝑀) ∨ 𝑍 ∈ Fin)) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘𝑍 if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
121, 6, 10, 11syl21anc 835 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘𝑍 if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
13 isumless.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
14 eleq1w 2810 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗𝐴𝑘𝐴))
15 fveq2 6885 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝐹𝑗) = (𝐹𝑘))
1614, 15ifbieq1d 4547 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → if(𝑗𝐴, (𝐹𝑗), 0) = if(𝑘𝐴, (𝐹𝑘), 0))
17 eqid 2726 . . . . . 6 (𝑗𝑍 ↦ if(𝑗𝐴, (𝐹𝑗), 0)) = (𝑗𝑍 ↦ if(𝑗𝐴, (𝐹𝑗), 0))
18 fvex 6898 . . . . . . 7 (𝐹𝑘) ∈ V
19 c0ex 11212 . . . . . . 7 0 ∈ V
2018, 19ifex 4573 . . . . . 6 if(𝑘𝐴, (𝐹𝑘), 0) ∈ V
2116, 17, 20fvmpt 6992 . . . . 5 (𝑘𝑍 → ((𝑗𝑍 ↦ if(𝑗𝐴, (𝐹𝑗), 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐴, (𝐹𝑘), 0))
2221adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑗𝑍 ↦ if(𝑗𝐴, (𝐹𝑗), 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐴, (𝐹𝑘), 0))
23 isumless.5 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
2423ifeq1d 4542 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → if(𝑘𝐴, (𝐹𝑘), 0) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
2522, 24eqtrd 2766 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑗𝑍 ↦ if(𝑗𝐴, (𝐹𝑗), 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
26 0re 11220 . . . 4 0 ∈ ℝ
27 ifcl 4568 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℝ)
283, 26, 27sylancl 585 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℝ)
29 isumless.7 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ 𝐵)
30 leid 11314 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵𝐵)
31 breq1 5144 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) → (𝐵𝐵 ↔ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ≤ 𝐵))
32 breq1 5144 . . . . . 6 (0 = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) → (0 ≤ 𝐵 ↔ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ≤ 𝐵))
3331, 32ifboth 4562 . . . . 5 ((𝐵𝐵 ∧ 0 ≤ 𝐵) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ≤ 𝐵)
3430, 33sylan 579 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ≤ 𝐵)
353, 29, 34syl2anc 583 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ≤ 𝐵)
36 isumless.3 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
377, 13, 36, 1, 25, 5fsumcvg3 15681 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑗𝑍 ↦ if(𝑗𝐴, (𝐹𝑗), 0))) ∈ dom ⇝ )
38 isumless.8 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
397, 13, 25, 28, 23, 3, 35, 37, 38isumle 15796 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ≤ Σ𝑘𝑍 𝐵)
4012, 39eqbrtrd 5163 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ≤ Σ𝑘𝑍 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 844   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3055  wss 3943  ifcif 4523   class class class wbr 5141  cmpt 5224  dom cdm 5669  cfv 6537  Fincfn 8941  cc 11110  cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115  cle 11253  cz 12562  cuz 12826  seqcseq 13972  cli 15434  Σcsu 15638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639
This theorem is referenced by:  isumltss  15800  climcnds  15803  harmonic  15811  mertenslem1  15836  prmreclem5  16862  ovoliunlem1  25386  ovoliun2  25390  esumpcvgval  33606  eulerpartlems  33889  geomcau  37140
  Copyright terms: Public domain W3C validator