MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumless Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isumless 15878
Description: A finite sum of nonnegative numbers is less than or equal to its limit. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumless.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isumless.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isumless.3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
isumless.4 (𝜑𝐴𝑍)
isumless.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
isumless.6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
isumless.7 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ 𝐵)
isumless.8 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
isumless (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ≤ Σ𝑘𝑍 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem isumless
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumless.4 . . 3 (𝜑𝐴𝑍)
21sselda 3995 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘𝑍)
3 isumless.6 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
43recnd 11287 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
52, 4syldan 591 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
65ralrimiva 3144 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
7 isumless.1 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
87eqimssi 4056 . . . . 5 𝑍 ⊆ (ℤ𝑀)
98orci 865 . . . 4 (𝑍 ⊆ (ℤ𝑀) ∨ 𝑍 ∈ Fin)
109a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑍 ⊆ (ℤ𝑀) ∨ 𝑍 ∈ Fin))
11 sumss2 15759 . . 3 (((𝐴𝑍 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑍 ⊆ (ℤ𝑀) ∨ 𝑍 ∈ Fin)) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘𝑍 if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
121, 6, 10, 11syl21anc 838 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘𝑍 if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
13 isumless.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
14 eleq1w 2822 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗𝐴𝑘𝐴))
15 fveq2 6907 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝐹𝑗) = (𝐹𝑘))
1614, 15ifbieq1d 4555 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → if(𝑗𝐴, (𝐹𝑗), 0) = if(𝑘𝐴, (𝐹𝑘), 0))
17 eqid 2735 . . . . . 6 (𝑗𝑍 ↦ if(𝑗𝐴, (𝐹𝑗), 0)) = (𝑗𝑍 ↦ if(𝑗𝐴, (𝐹𝑗), 0))
18 fvex 6920 . . . . . . 7 (𝐹𝑘) ∈ V
19 c0ex 11253 . . . . . . 7 0 ∈ V
2018, 19ifex 4581 . . . . . 6 if(𝑘𝐴, (𝐹𝑘), 0) ∈ V
2116, 17, 20fvmpt 7016 . . . . 5 (𝑘𝑍 → ((𝑗𝑍 ↦ if(𝑗𝐴, (𝐹𝑗), 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐴, (𝐹𝑘), 0))
2221adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑗𝑍 ↦ if(𝑗𝐴, (𝐹𝑗), 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐴, (𝐹𝑘), 0))
23 isumless.5 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
2423ifeq1d 4550 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → if(𝑘𝐴, (𝐹𝑘), 0) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
2522, 24eqtrd 2775 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑗𝑍 ↦ if(𝑗𝐴, (𝐹𝑗), 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
26 0re 11261 . . . 4 0 ∈ ℝ
27 ifcl 4576 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℝ)
283, 26, 27sylancl 586 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℝ)
29 isumless.7 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ 𝐵)
30 leid 11355 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵𝐵)
31 breq1 5151 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) → (𝐵𝐵 ↔ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ≤ 𝐵))
32 breq1 5151 . . . . . 6 (0 = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) → (0 ≤ 𝐵 ↔ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ≤ 𝐵))
3331, 32ifboth 4570 . . . . 5 ((𝐵𝐵 ∧ 0 ≤ 𝐵) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ≤ 𝐵)
3430, 33sylan 580 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ≤ 𝐵)
353, 29, 34syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ≤ 𝐵)
36 isumless.3 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
377, 13, 36, 1, 25, 5fsumcvg3 15762 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑗𝑍 ↦ if(𝑗𝐴, (𝐹𝑗), 0))) ∈ dom ⇝ )
38 isumless.8 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
397, 13, 25, 28, 23, 3, 35, 37, 38isumle 15877 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ≤ Σ𝑘𝑍 𝐵)
4012, 39eqbrtrd 5170 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ≤ Σ𝑘𝑍 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wss 3963  ifcif 4531   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5689  cfv 6563  Fincfn 8984  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153   + caddc 11156  cle 11294  cz 12611  cuz 12876  seqcseq 14039  cli 15517  Σcsu 15719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720
This theorem is referenced by:  isumltss  15881  climcnds  15884  harmonic  15892  mertenslem1  15917  prmreclem5  16954  ovoliunlem1  25551  ovoliun2  25555  esumpcvgval  34059  eulerpartlems  34342  geomcau  37746
  Copyright terms: Public domain W3C validator