MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmobndi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nmobndi 30296
Description: Two ways to express that an operator is bounded. (Contributed by NM, 11-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoubi.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
nmoubi.y π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
nmoubi.l 𝐿 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
nmoubi.m 𝑀 = (normCVβ€˜π‘Š)
nmoubi.3 𝑁 = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
nmoubi.u π‘ˆ ∈ NrmCVec
nmoubi.w π‘Š ∈ NrmCVec
Assertion
Ref Expression
nmobndi (𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ ((π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘Ÿ)))
Distinct variable groups:   𝑦,π‘Ÿ,𝐿   𝑦,π‘ˆ   𝑦,π‘Š   π‘Œ,π‘Ÿ,𝑦   𝑀,π‘Ÿ,𝑦   𝑇,π‘Ÿ,𝑦   𝑋,π‘Ÿ,𝑦   𝑁,π‘Ÿ,𝑦
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(π‘Ÿ)   π‘Š(π‘Ÿ)
Proof of Theorem nmobndi
StepHypRef Expression
1 leid 11315 . . . 4 ((π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ β†’ (π‘β€˜π‘‡) ≀ (π‘β€˜π‘‡))
2 breq2 5152 . . . . 5 (π‘Ÿ = (π‘β€˜π‘‡) β†’ ((π‘β€˜π‘‡) ≀ π‘Ÿ ↔ (π‘β€˜π‘‡) ≀ (π‘β€˜π‘‡)))
32rspcev 3612 . . . 4 (((π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ ∧ (π‘β€˜π‘‡) ≀ (π‘β€˜π‘‡)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ (π‘β€˜π‘‡) ≀ π‘Ÿ)
41, 3mpdan 684 . . 3 ((π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ (π‘β€˜π‘‡) ≀ π‘Ÿ)
5 nmoubi.u . . . . . . 7 π‘ˆ ∈ NrmCVec
6 nmoubi.w . . . . . . 7 π‘Š ∈ NrmCVec
7 nmoubi.1 . . . . . . . 8 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
8 nmoubi.y . . . . . . . 8 π‘Œ = (BaseSetβ€˜π‘Š)
9 nmoubi.3 . . . . . . . 8 𝑁 = (π‘ˆ normOpOLD π‘Š)
107, 8, 9nmoxr 30287 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ (π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ*)
115, 6, 10mp3an12 1450 . . . . . 6 (𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ (π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ*)
1211adantr 480 . . . . 5 ((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘β€˜π‘‡) ≀ π‘Ÿ)) β†’ (π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ*)
13 simprl 768 . . . . 5 ((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘β€˜π‘‡) ≀ π‘Ÿ)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
147, 8, 9nmogtmnf 30291 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ) β†’ -∞ < (π‘β€˜π‘‡))
155, 6, 14mp3an12 1450 . . . . . 6 (𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ -∞ < (π‘β€˜π‘‡))
1615adantr 480 . . . . 5 ((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘β€˜π‘‡) ≀ π‘Ÿ)) β†’ -∞ < (π‘β€˜π‘‡))
17 simprr 770 . . . . 5 ((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘β€˜π‘‡) ≀ π‘Ÿ)) β†’ (π‘β€˜π‘‡) ≀ π‘Ÿ)
18 xrre 13153 . . . . 5 ((((π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ* ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (-∞ < (π‘β€˜π‘‡) ∧ (π‘β€˜π‘‡) ≀ π‘Ÿ)) β†’ (π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ)
1912, 13, 16, 17, 18syl22anc 836 . . . 4 ((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ (π‘β€˜π‘‡) ≀ π‘Ÿ)) β†’ (π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ)
2019rexlimdvaa 3155 . . 3 (𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ (π‘β€˜π‘‡) ≀ π‘Ÿ β†’ (π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ))
214, 20impbid2 225 . 2 (𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ ((π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ (π‘β€˜π‘‡) ≀ π‘Ÿ))
22 rexr 11265 . . . 4 (π‘Ÿ ∈ ℝ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
23 nmoubi.l . . . . 5 𝐿 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
24 nmoubi.m . . . . 5 𝑀 = (normCVβ€˜π‘Š)
257, 8, 23, 24, 9, 5, 6nmoubi 30293 . . . 4 ((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) β†’ ((π‘β€˜π‘‡) ≀ π‘Ÿ ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘Ÿ)))
2622, 25sylan2 592 . . 3 ((𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ ((π‘β€˜π‘‡) ≀ π‘Ÿ ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘Ÿ)))
2726rexbidva 3175 . 2 (𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ (π‘β€˜π‘‡) ≀ π‘Ÿ ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘Ÿ)))
2821, 27bitrd 279 1 (𝑇:π‘‹βŸΆπ‘Œ β†’ ((π‘β€˜π‘‡) ∈ ℝ ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((πΏβ€˜π‘¦) ≀ 1 β†’ (π‘€β€˜(π‘‡β€˜π‘¦)) ≀ π‘Ÿ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069   class class class wbr 5148  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„cr 11112  1c1 11114  -∞cmnf 11251  β„*cxr 11252   < clt 11253   ≀ cle 11254  NrmCVeccnv 30105  BaseSetcba 30107  normCVcnmcv 30111   normOpOLD cnmoo 30262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9440  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-grpo 30014  df-gid 30015  df-ginv 30016  df-ablo 30066  df-vc 30080  df-nv 30113  df-va 30116  df-ba 30117  df-sm 30118  df-0v 30119  df-nmcv 30121  df-nmoo 30266
This theorem is referenced by:  nmounbi  30297  nmobndseqi  30300  nmobndseqiALT  30301  htthlem  30438
  Copyright terms: Public domain W3C validator