Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmobndi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmobndi 28662
 Description: Two ways to express that an operator is bounded. (Contributed by NM, 11-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoubi.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmoubi.y 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmoubi.l 𝐿 = (normCV𝑈)
nmoubi.m 𝑀 = (normCV𝑊)
nmoubi.3 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmoubi.u 𝑈 ∈ NrmCVec
nmoubi.w 𝑊 ∈ NrmCVec
Assertion
Ref Expression
nmobndi (𝑇:𝑋𝑌 → ((𝑁𝑇) ∈ ℝ ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑟,𝐿   𝑦,𝑈   𝑦,𝑊   𝑌,𝑟,𝑦   𝑀,𝑟,𝑦   𝑇,𝑟,𝑦   𝑋,𝑟,𝑦   𝑁,𝑟,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑟)   𝑊(𝑟)

Proof of Theorem nmobndi
StepHypRef Expression
1 leid 10779 . . . 4 ((𝑁𝑇) ∈ ℝ → (𝑁𝑇) ≤ (𝑁𝑇))
2 breq2 5039 . . . . 5 (𝑟 = (𝑁𝑇) → ((𝑁𝑇) ≤ 𝑟 ↔ (𝑁𝑇) ≤ (𝑁𝑇)))
32rspcev 3543 . . . 4 (((𝑁𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑇) ≤ (𝑁𝑇)) → ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑁𝑇) ≤ 𝑟)
41, 3mpdan 686 . . 3 ((𝑁𝑇) ∈ ℝ → ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑁𝑇) ≤ 𝑟)
5 nmoubi.u . . . . . . 7 𝑈 ∈ NrmCVec
6 nmoubi.w . . . . . . 7 𝑊 ∈ NrmCVec
7 nmoubi.1 . . . . . . . 8 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
8 nmoubi.y . . . . . . . 8 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
9 nmoubi.3 . . . . . . . 8 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
107, 8, 9nmoxr 28653 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → (𝑁𝑇) ∈ ℝ*)
115, 6, 10mp3an12 1448 . . . . . 6 (𝑇:𝑋𝑌 → (𝑁𝑇) ∈ ℝ*)
1211adantr 484 . . . . 5 ((𝑇:𝑋𝑌 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑇) ≤ 𝑟)) → (𝑁𝑇) ∈ ℝ*)
13 simprl 770 . . . . 5 ((𝑇:𝑋𝑌 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑇) ≤ 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ)
147, 8, 9nmogtmnf 28657 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇:𝑋𝑌) → -∞ < (𝑁𝑇))
155, 6, 14mp3an12 1448 . . . . . 6 (𝑇:𝑋𝑌 → -∞ < (𝑁𝑇))
1615adantr 484 . . . . 5 ((𝑇:𝑋𝑌 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑇) ≤ 𝑟)) → -∞ < (𝑁𝑇))
17 simprr 772 . . . . 5 ((𝑇:𝑋𝑌 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑇) ≤ 𝑟)) → (𝑁𝑇) ≤ 𝑟)
18 xrre 12608 . . . . 5 ((((𝑁𝑇) ∈ ℝ*𝑟 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < (𝑁𝑇) ∧ (𝑁𝑇) ≤ 𝑟)) → (𝑁𝑇) ∈ ℝ)
1912, 13, 16, 17, 18syl22anc 837 . . . 4 ((𝑇:𝑋𝑌 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑇) ≤ 𝑟)) → (𝑁𝑇) ∈ ℝ)
2019rexlimdvaa 3209 . . 3 (𝑇:𝑋𝑌 → (∃𝑟 ∈ ℝ (𝑁𝑇) ≤ 𝑟 → (𝑁𝑇) ∈ ℝ))
214, 20impbid2 229 . 2 (𝑇:𝑋𝑌 → ((𝑁𝑇) ∈ ℝ ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑁𝑇) ≤ 𝑟))
22 rexr 10730 . . . 4 (𝑟 ∈ ℝ → 𝑟 ∈ ℝ*)
23 nmoubi.l . . . . 5 𝐿 = (normCV𝑈)
24 nmoubi.m . . . . 5 𝑀 = (normCV𝑊)
257, 8, 23, 24, 9, 5, 6nmoubi 28659 . . . 4 ((𝑇:𝑋𝑌𝑟 ∈ ℝ*) → ((𝑁𝑇) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟)))
2622, 25sylan2 595 . . 3 ((𝑇:𝑋𝑌𝑟 ∈ ℝ) → ((𝑁𝑇) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟)))
2726rexbidva 3220 . 2 (𝑇:𝑋𝑌 → (∃𝑟 ∈ ℝ (𝑁𝑇) ≤ 𝑟 ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟)))
2821, 27bitrd 282 1 (𝑇:𝑋𝑌 → ((𝑁𝑇) ∈ ℝ ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 ((𝐿𝑦) ≤ 1 → (𝑀‘(𝑇𝑦)) ≤ 𝑟)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  ∃wrex 3071   class class class wbr 5035  ⟶wf 6335  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  ℝcr 10579  1c1 10581  -∞cmnf 10716  ℝ*cxr 10717   < clt 10718   ≤ cle 10719  NrmCVeccnv 28471  BaseSetcba 28473  normCVcnmcv 28477   normOpOLD cnmoo 28628 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657  ax-pre-sup 10658 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-er 8304  df-map 8423  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-sup 8944  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-div 11341  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-n0 11940  df-z 12026  df-uz 12288  df-rp 12436  df-seq 13424  df-exp 13485  df-cj 14511  df-re 14512  df-im 14513  df-sqrt 14647  df-abs 14648  df-grpo 28380  df-gid 28381  df-ginv 28382  df-ablo 28432  df-vc 28446  df-nv 28479  df-va 28482  df-ba 28483  df-sm 28484  df-0v 28485  df-nmcv 28487  df-nmoo 28632 This theorem is referenced by:  nmounbi  28663  nmobndseqi  28666  nmobndseqiALT  28667  htthlem  28804
 Copyright terms: Public domain W3C validator