MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lediv2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lediv2a 12144
Description: Division of both sides of 'less than or equal to' into a nonnegative number. (Contributed by Paul Chapman, 7-Sep-2007.)
Assertion
Ref Expression
lediv2a ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐶 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐴))

Proof of Theorem lediv2a
StepHypRef Expression
1 pm3.2 468 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)))
21pm2.43i 52 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
32adantr 479 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
4 leid 11346 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶𝐶)
54anim1ci 614 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) → (0 ≤ 𝐶𝐶𝐶))
63, 5jca 510 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐶𝐶𝐶)))
76ad2antlr 725 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐶𝐶𝐶)))
873adantl2 1164 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐶𝐶𝐶)))
9 id 22 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
109ad2ant2r 745 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
1110adantr 479 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
12 simplr 767 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < 𝐴)
1312anim1i 613 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ 𝐴𝐵) → (0 < 𝐴𝐴𝐵))
1411, 13jca 510 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴𝐴𝐵)))
15143adantl3 1165 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴𝐴𝐵)))
16 lediv12a 12143 . 2 ((((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐶𝐶𝐶)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴𝐴𝐵))) → (𝐶 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐴))
178, 15, 16syl2anc 582 1 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐶 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084  wcel 2098   class class class wbr 5150  (class class class)co 7424  cr 11143  0cc0 11144   < clt 11284  cle 11285   / cdiv 11907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908
This theorem is referenced by:  lediv2ad  13076  dchrisum0lem1b  27466  pntrmax  27515
  Copyright terms: Public domain W3C validator