Theorem lediv2a 12023

Description: Division of both sides of 'less than or equal to' into a nonnegative number. (Contributed by Paul Chapman, 7-Sep-2007.)

Assertion

Ref	Expression
lediv2a	⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐶 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐴))

Proof of Theorem lediv2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm3.2 469	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)))
2	1	pm2.43i 52	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
3	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
4		leid 11216	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ≤ 𝐶)
5	4	anim1ci 616	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) → (0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐶))
6	3, 5	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐶)))
7	6	ad2antlr 727	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐶)))
8	7	3adantl2 1168	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐶)))
9		id 22	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
10	9	ad2ant2r 747	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
11	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
12		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < 𝐴)
13	12	anim1i 615	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵))
14	11, 13	jca 511	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))
15	14	3adantl3 1169	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))
16		lediv12a 12022	. 2 ⊢ ((((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐶)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵))) → (𝐶 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐴))
17	8, 15, 16	syl2anc 584	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐶 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5093  (class class class)co 7352  ℝcr 11012  0cc0 11013   < clt 11153   ≤ cle 11154   / cdiv 11781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782

This theorem is referenced by:  lediv2ad  12958  dchrisum0lem1b  27454  pntrmax  27503