Theorem msqge0 10841

Description: A square is nonnegative. (Contributed by NM, 23-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
msqge0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐴 · 𝐴))

Proof of Theorem msqge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq12 6887	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 · 𝐴) = (0 · 0))
2	1	anidms 563	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐴) = (0 · 0))
3		0cn 10320	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
4	3	mul01i 10516	. . . 4 ⊢ (0 · 0) = 0
5	2, 4	syl6eq 2849	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐴) = 0)
6	5	breq2d 4855	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → (0 ≤ (𝐴 · 𝐴) ↔ 0 ≤ 0))
7		0red 10332	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 ∈ ℝ)
8		simpl 475	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8, 8	remulcld 10359	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
10		msqgt0 10840	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
11	7, 9, 10	ltled 10475	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐴))
12		0re 10330	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		leid 10423	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ≤ 0)
14	12, 13	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ 0)
15	6, 11, 14	pm2.61ne 3056	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐴 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2971   class class class wbr 4843  (class class class)co 6878  ℝcr 10223  0cc0 10224   · cmul 10229   ≤ cle 10364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-po 5233  df-so 5234  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559

This theorem is referenced by:  msqge0i  10858  msqge0d  10888  recextlem2  10950  sqge0  13194  bernneq  13244