Theorem msqge0 11740

Description: A square is nonnegative. (Contributed by NM, 23-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
msqge0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐴 · 𝐴))

Proof of Theorem msqge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq12 7421	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 · 𝐴) = (0 · 0))
2	1	anidms 566	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐴) = (0 · 0))
3		0cn 11211	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
4	3	mul01i 11409	. . . 4 ⊢ (0 · 0) = 0
5	2, 4	eqtrdi 2787	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐴) = 0)
6	5	breq2d 5160	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → (0 ≤ (𝐴 · 𝐴) ↔ 0 ≤ 0))
7		0red 11222	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 ∈ ℝ)
8		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8, 8	remulcld 11249	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
10		msqgt0 11739	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
11	7, 9, 10	ltled 11367	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐴))
12		0re 11221	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		leid 11315	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ≤ 0)
14	12, 13	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ 0)
15	6, 11, 14	pm2.61ne 3026	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐴 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939   class class class wbr 5148  (class class class)co 7412  ℝcr 11112  0cc0 11113   · cmul 11118   ≤ cle 11254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452

This theorem is referenced by:  msqge0i  11757  msqge0d  11787  recextlem2  11850  sqge0  14106  bernneq  14197