Theorem msqge0 11496

Description: A square is nonnegative. (Contributed by NM, 23-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
msqge0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐴 · 𝐴))

Proof of Theorem msqge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq12 7284	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 · 𝐴) = (0 · 0))
2	1	anidms 567	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐴) = (0 · 0))
3		0cn 10967	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
4	3	mul01i 11165	. . . 4 ⊢ (0 · 0) = 0
5	2, 4	eqtrdi 2794	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐴) = 0)
6	5	breq2d 5086	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → (0 ≤ (𝐴 · 𝐴) ↔ 0 ≤ 0))
7		0red 10978	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 ∈ ℝ)
8		simpl 483	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8, 8	remulcld 11005	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
10		msqgt0 11495	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
11	7, 9, 10	ltled 11123	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐴))
12		0re 10977	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
13		leid 11071	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ≤ 0)
14	12, 13	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ 0)
15	6, 11, 14	pm2.61ne 3030	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐴 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871   · cmul 10876   ≤ cle 11010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208

This theorem is referenced by:  msqge0i  11513  msqge0d  11543  recextlem2  11606  sqge0  13855  bernneq  13944