Theorem nn2ge 12172

Description: There exists a positive integer greater than or equal to any two others. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nn2ge	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem nn2ge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12152	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		nnre 12152	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		leid 11229	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≤ 𝐵)
6	5	anim1ci 616	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵))
7	3, 6	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵))
8		breq2 5102	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ≤ 𝑥 ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
9		breq2 5102	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐵 ≤ 𝑥 ↔ 𝐵 ≤ 𝐵))
10	8, 9	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥) ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵)))
11	10	rspcev 3576	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥))
12	7, 11	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥))
13	12	adantll 714	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥))
14		leid 11229	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ 𝐴)
15	14	anim1i 615	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴))
16	1, 15	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴))
17		breq2 5102	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ≤ 𝑥 ↔ 𝐴 ≤ 𝐴))
18		breq2 5102	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐵 ≤ 𝑥 ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
19	17, 18	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥) ↔ (𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
20	19	rspcev 3576	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥))
21	16, 20	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥))
22	21	adantlr 715	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥))
23	2, 4, 13, 22	lecasei 11239	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060   class class class wbr 5098  ℝcr 11025   ≤ cle 11167  ℕcn 12145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-nn 12146

This theorem is referenced by: (None)