MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn2ge Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn2ge 12237
Description: There exists a positive integer greater than or equal to any two others. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
nn2ge ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴𝑥𝐵𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem nn2ge
StepHypRef Expression
1 nnre 12217 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
21adantr 480 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
3 nnre 12217 . . 3 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
43adantl 481 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
5 leid 11308 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵𝐵)
65anim1ci 615 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴𝐵𝐵𝐵))
73, 6sylan 579 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴𝐵𝐵𝐵))
8 breq2 5143 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴𝑥𝐴𝐵))
9 breq2 5143 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → (𝐵𝑥𝐵𝐵))
108, 9anbi12d 630 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴𝑥𝐵𝑥) ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐵)))
1110rspcev 3604 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴𝑥𝐵𝑥))
127, 11syldan 590 . . 3 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴𝑥𝐵𝑥))
1312adantll 711 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴𝑥𝐵𝑥))
14 leid 11308 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴𝐴)
1514anim1i 614 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐴𝐴𝐵𝐴))
161, 15sylan 579 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐴𝐴𝐵𝐴))
17 breq2 5143 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝐴𝑥𝐴𝐴))
18 breq2 5143 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝐵𝑥𝐵𝐴))
1917, 18anbi12d 630 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐴𝑥𝐵𝑥) ↔ (𝐴𝐴𝐵𝐴)))
2019rspcev 3604 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝐴𝐵𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴𝑥𝐵𝑥))
2116, 20syldan 590 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴𝑥𝐵𝑥))
2221adantlr 712 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐵𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴𝑥𝐵𝑥))
232, 4, 13, 22lecasei 11318 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴𝑥𝐵𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wrex 3062   class class class wbr 5139  cr 11106  cle 11247  cn 12210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-nn 12211
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator