Theorem nn2ge 12272

Description: There exists a positive integer greater than or equal to any two others. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nn2ge	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem nn2ge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12252	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		nnre 12252	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		leid 11336	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≤ 𝐵)
6	5	anim1ci 616	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵))
7	3, 6	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵))
8		breq2 5128	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ≤ 𝑥 ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
9		breq2 5128	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐵 ≤ 𝑥 ↔ 𝐵 ≤ 𝐵))
10	8, 9	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥) ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵)))
11	10	rspcev 3606	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥))
12	7, 11	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥))
13	12	adantll 714	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥))
14		leid 11336	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ 𝐴)
15	14	anim1i 615	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴))
16	1, 15	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴))
17		breq2 5128	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ≤ 𝑥 ↔ 𝐴 ≤ 𝐴))
18		breq2 5128	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐵 ≤ 𝑥 ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
19	17, 18	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥) ↔ (𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
20	19	rspcev 3606	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥))
21	16, 20	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥))
22	21	adantlr 715	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥))
23	2, 4, 13, 22	lecasei 11346	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3061   class class class wbr 5124  ℝcr 11133   ≤ cle 11275  ℕcn 12245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-nn 12246

This theorem is referenced by: (None)