Theorem nn2ge 12163

Description: There exists a positive integer greater than or equal to any two others. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nn2ge	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem nn2ge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12143	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		nnre 12143	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		leid 11220	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≤ 𝐵)
6	5	anim1ci 616	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵))
7	3, 6	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵))
8		breq2 5099	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ≤ 𝑥 ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
9		breq2 5099	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐵 ≤ 𝑥 ↔ 𝐵 ≤ 𝐵))
10	8, 9	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥) ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵)))
11	10	rspcev 3573	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥))
12	7, 11	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥))
13	12	adantll 714	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥))
14		leid 11220	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ 𝐴)
15	14	anim1i 615	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴))
16	1, 15	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴))
17		breq2 5099	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ≤ 𝑥 ↔ 𝐴 ≤ 𝐴))
18		breq2 5099	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐵 ≤ 𝑥 ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
19	17, 18	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥) ↔ (𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
20	19	rspcev 3573	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥))
21	16, 20	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥))
22	21	adantlr 715	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥))
23	2, 4, 13, 22	lecasei 11230	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3057   class class class wbr 5095  ℝcr 11016   ≤ cle 11158  ℕcn 12136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-nn 12137

This theorem is referenced by: (None)