Theorem nn2ge 12405

Description: There exists a positive integer greater than or equal to any two others. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nn2ge	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem nn2ge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12382	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		nnre 12382	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		leid 11445	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≤ 𝐵)
6	5	anim1ci 628	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵))
7	3, 6	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵))
8		breq2 5112	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ≤ 𝑥 ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
9		breq2 5112	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐵 ≤ 𝑥 ↔ 𝐵 ≤ 𝐵))
10	8, 9	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥) ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵)))
11	10	rspcev 3580	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥))
12	7, 11	syldan 603	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥))
13	12	adantll 727	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥))
14		leid 11445	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ 𝐴)
15	14	anim1i 627	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴))
16	1, 15	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴))
17		breq2 5112	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ≤ 𝑥 ↔ 𝐴 ≤ 𝐴))
18		breq2 5112	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐵 ≤ 𝑥 ↔ 𝐵 ≤ 𝐴))
19	17, 18	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥) ↔ (𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
20	19	rspcev 3580	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥))
21	16, 20	syldan 603	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥))
22	21	adantlr 728	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥))
23	2, 4, 13, 22	lecasei 11455	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090   class class class wbr 5108  ℝcr 11238   ≤ cle 11383  ℕcn 12375

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-nn 12376

This theorem is used by: (None)