MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn2ge Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn2ge 12294
Description: There exists a positive integer greater than or equal to any two others. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
nn2ge ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴𝑥𝐵𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem nn2ge
StepHypRef Expression
1 nnre 12274 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
21adantr 480 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
3 nnre 12274 . . 3 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
43adantl 481 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
5 leid 11358 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵𝐵)
65anim1ci 616 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴𝐵𝐵𝐵))
73, 6sylan 580 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴𝐵𝐵𝐵))
8 breq2 5146 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴𝑥𝐴𝐵))
9 breq2 5146 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → (𝐵𝑥𝐵𝐵))
108, 9anbi12d 632 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴𝑥𝐵𝑥) ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐵)))
1110rspcev 3621 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴𝑥𝐵𝑥))
127, 11syldan 591 . . 3 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴𝑥𝐵𝑥))
1312adantll 714 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴𝑥𝐵𝑥))
14 leid 11358 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴𝐴)
1514anim1i 615 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐴𝐴𝐵𝐴))
161, 15sylan 580 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐴𝐴𝐵𝐴))
17 breq2 5146 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝐴𝑥𝐴𝐴))
18 breq2 5146 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝐵𝑥𝐵𝐴))
1917, 18anbi12d 632 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐴𝑥𝐵𝑥) ↔ (𝐴𝐴𝐵𝐴)))
2019rspcev 3621 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝐴𝐵𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴𝑥𝐵𝑥))
2116, 20syldan 591 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴𝑥𝐵𝑥))
2221adantlr 715 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐵𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴𝑥𝐵𝑥))
232, 4, 13, 22lecasei 11368 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴𝑥𝐵𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wrex 3069   class class class wbr 5142  cr 11155  cle 11297  cn 12267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-nn 12268
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator