MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lemulge11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lemulge11 12025
Description: Multiplication by a number greater than or equal to 1. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
lemulge11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 1 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ด ยท ๐ต))

Proof of Theorem lemulge11
StepHypRef Expression
1 ax-1rid 11129 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
21ad2antrr 725 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 1 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
3 simpll 766 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 1 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
4 simprl 770 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 1 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
53, 4jca 513 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 1 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด))
6 simplr 768 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 1 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
7 1re 11163 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„
8 0le1 11686 . . . . . 6 0 โ‰ค 1
97, 8pm3.2i 472 . . . . 5 (1 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 1)
106, 9jctil 521 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 1 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((1 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 1) โˆง ๐ต โˆˆ โ„))
115, 3, 10jca31 516 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 1 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง ((1 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 1) โˆง ๐ต โˆˆ โ„)))
12 leid 11259 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ด)
1312ad2antrr 725 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 1 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ด)
14 simprr 772 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 1 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 1 โ‰ค ๐ต)
1513, 14jca 513 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 1 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ด โˆง 1 โ‰ค ๐ต))
16 lemul12a 12021 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง ((1 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 1) โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ด โ‰ค ๐ด โˆง 1 โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ด ยท 1) โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)))
1711, 15, 16sylc 65 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 1 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ด ยท 1) โ‰ค (๐ด ยท ๐ต))
182, 17eqbrtrrd 5133 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 1 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ด ยท ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5109  (class class class)co 7361  โ„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   ยท cmul 11064   โ‰ค cle 11198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396
This theorem is referenced by:  lemulge12  12026  lemulge11d  12100  faclbnd  14199  divalglem1  16284
  Copyright terms: Public domain W3C validator