![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > lemulge11 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Multiplication by a number greater than or equal to 1. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.) |
Ref | Expression |
---|---|
lemulge11 | โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง (0 โค ๐ด โง 1 โค ๐ต)) โ ๐ด โค (๐ด ยท ๐ต)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ax-1rid 11129 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ (๐ด ยท 1) = ๐ด) | |
2 | 1 | ad2antrr 725 | . 2 โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง (0 โค ๐ด โง 1 โค ๐ต)) โ (๐ด ยท 1) = ๐ด) |
3 | simpll 766 | . . . . 5 โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง (0 โค ๐ด โง 1 โค ๐ต)) โ ๐ด โ โ) | |
4 | simprl 770 | . . . . 5 โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง (0 โค ๐ด โง 1 โค ๐ต)) โ 0 โค ๐ด) | |
5 | 3, 4 | jca 513 | . . . 4 โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง (0 โค ๐ด โง 1 โค ๐ต)) โ (๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด)) |
6 | simplr 768 | . . . . 5 โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง (0 โค ๐ด โง 1 โค ๐ต)) โ ๐ต โ โ) | |
7 | 1re 11163 | . . . . . 6 โข 1 โ โ | |
8 | 0le1 11686 | . . . . . 6 โข 0 โค 1 | |
9 | 7, 8 | pm3.2i 472 | . . . . 5 โข (1 โ โ โง 0 โค 1) |
10 | 6, 9 | jctil 521 | . . . 4 โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง (0 โค ๐ด โง 1 โค ๐ต)) โ ((1 โ โ โง 0 โค 1) โง ๐ต โ โ)) |
11 | 5, 3, 10 | jca31 516 | . . 3 โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง (0 โค ๐ด โง 1 โค ๐ต)) โ (((๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด) โง ๐ด โ โ) โง ((1 โ โ โง 0 โค 1) โง ๐ต โ โ))) |
12 | leid 11259 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ ๐ด โค ๐ด) | |
13 | 12 | ad2antrr 725 | . . . 4 โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง (0 โค ๐ด โง 1 โค ๐ต)) โ ๐ด โค ๐ด) |
14 | simprr 772 | . . . 4 โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง (0 โค ๐ด โง 1 โค ๐ต)) โ 1 โค ๐ต) | |
15 | 13, 14 | jca 513 | . . 3 โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง (0 โค ๐ด โง 1 โค ๐ต)) โ (๐ด โค ๐ด โง 1 โค ๐ต)) |
16 | lemul12a 12021 | . . 3 โข ((((๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด) โง ๐ด โ โ) โง ((1 โ โ โง 0 โค 1) โง ๐ต โ โ)) โ ((๐ด โค ๐ด โง 1 โค ๐ต) โ (๐ด ยท 1) โค (๐ด ยท ๐ต))) | |
17 | 11, 15, 16 | sylc 65 | . 2 โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง (0 โค ๐ด โง 1 โค ๐ต)) โ (๐ด ยท 1) โค (๐ด ยท ๐ต)) |
18 | 2, 17 | eqbrtrrd 5133 | 1 โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง (0 โค ๐ด โง 1 โค ๐ต)) โ ๐ด โค (๐ด ยท ๐ต)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 class class class wbr 5109 (class class class)co 7361 โcr 11058 0cc0 11059 1c1 11060 ยท cmul 11064 โค cle 11198 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5260 ax-nul 5267 ax-pow 5324 ax-pr 5388 ax-un 7676 ax-resscn 11116 ax-1cn 11117 ax-icn 11118 ax-addcl 11119 ax-addrcl 11120 ax-mulcl 11121 ax-mulrcl 11122 ax-mulcom 11123 ax-addass 11124 ax-mulass 11125 ax-distr 11126 ax-i2m1 11127 ax-1ne0 11128 ax-1rid 11129 ax-rnegex 11130 ax-rrecex 11131 ax-cnre 11132 ax-pre-lttri 11133 ax-pre-lttrn 11134 ax-pre-ltadd 11135 ax-pre-mulgt0 11136 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3449 df-sbc 3744 df-csb 3860 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-nul 4287 df-if 4491 df-pw 4566 df-sn 4591 df-pr 4593 df-op 4597 df-uni 4870 df-br 5110 df-opab 5172 df-mpt 5193 df-id 5535 df-po 5549 df-so 5550 df-xp 5643 df-rel 5644 df-cnv 5645 df-co 5646 df-dm 5647 df-rn 5648 df-res 5649 df-ima 5650 df-iota 6452 df-fun 6502 df-fn 6503 df-f 6504 df-f1 6505 df-fo 6506 df-f1o 6507 df-fv 6508 df-riota 7317 df-ov 7364 df-oprab 7365 df-mpo 7366 df-er 8654 df-en 8890 df-dom 8891 df-sdom 8892 df-pnf 11199 df-mnf 11200 df-xr 11201 df-ltxr 11202 df-le 11203 df-sub 11395 df-neg 11396 |
This theorem is referenced by: lemulge12 12026 lemulge11d 12100 faclbnd 14199 divalglem1 16284 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |