Theorem lemulge11 12021

Description: Multiplication by a number greater than or equal to 1. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
lemulge11	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem lemulge11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1rid 11114	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
2	1	ad2antrr 726	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
3		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		simprl 770	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ 𝐴)
5	3, 4	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
6		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		1re 11150	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		0le1 11677	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 1
9	7, 8	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)
10	6, 9	jctil 519	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵)) → ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
11	5, 3, 10	jca31 514	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵)) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
12		leid 11246	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ 𝐴)
13	12	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐴)
14		simprr 772	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵)) → 1 ≤ 𝐵)
15	13, 14	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵)) → (𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵))
16		lemul12a 12016	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵) → (𝐴 · 1) ≤ (𝐴 · 𝐵)))
17	11, 15, 16	sylc 65	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵)) → (𝐴 · 1) ≤ (𝐴 · 𝐵))
18	2, 17	eqbrtrrd 5126	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   · cmul 11049   ≤ cle 11185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384

This theorem is referenced by:  lemulge12  12022  lemulge11d  12096  faclbnd  14231  divalglem1  16340