Theorem lemulge11 11496

Description: Multiplication by a number greater than or equal to 1. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
lemulge11	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem lemulge11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1rid 10601	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
2	1	ad2antrr 724	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
3		simpll 765	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		simprl 769	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ 𝐴)
5	3, 4	jca 514	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
6		simplr 767	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		1re 10635	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		0le1 11157	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 1
9	7, 8	pm3.2i 473	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)
10	6, 9	jctil 522	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵)) → ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
11	5, 3, 10	jca31 517	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵)) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
12		leid 10730	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ 𝐴)
13	12	ad2antrr 724	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐴)
14		simprr 771	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵)) → 1 ≤ 𝐵)
15	13, 14	jca 514	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵)) → (𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵))
16		lemul12a 11492	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵) → (𝐴 · 1) ≤ (𝐴 · 𝐵)))
17	11, 15, 16	sylc 65	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵)) → (𝐴 · 1) ≤ (𝐴 · 𝐵))
18	2, 17	eqbrtrrd 5083	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5059  (class class class)co 7150  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   · cmul 10536   ≤ cle 10670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-po 5469  df-so 5470  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867

This theorem is referenced by:  lemulge12  11497  lemulge11d  11571  faclbnd  13644  divalglem1  15739