Theorem lemulge11 11553

Description: Multiplication by a number greater than or equal to 1. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
lemulge11	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem lemulge11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1rid 10658	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
2	1	ad2antrr 725	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
3		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		simprl 770	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ 𝐴)
5	3, 4	jca 515	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
6		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		1re 10692	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		0le1 11214	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 1
9	7, 8	pm3.2i 474	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)
10	6, 9	jctil 523	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵)) → ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
11	5, 3, 10	jca31 518	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵)) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
12		leid 10787	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ 𝐴)
13	12	ad2antrr 725	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐴)
14		simprr 772	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵)) → 1 ≤ 𝐵)
15	13, 14	jca 515	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵)) → (𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵))
16		lemul12a 11549	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵) → (𝐴 · 1) ≤ (𝐴 · 𝐵)))
17	11, 15, 16	sylc 65	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵)) → (𝐴 · 1) ≤ (𝐴 · 𝐵))
18	2, 17	eqbrtrrd 5060	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 1 ≤ 𝐵)) → 𝐴 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5036  (class class class)co 7156  ℝcr 10587  0cc0 10588  1c1 10589   · cmul 10593   ≤ cle 10727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-id 5434  df-po 5447  df-so 5448  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924

This theorem is referenced by:  lemulge12  11554  lemulge11d  11628  faclbnd  13713  divalglem1  15808