Theorem lem1 11828

Description: A number minus 1 is less than or equal to itself. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lem1	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltm1 11827	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)
2		peano2rem 11298	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
3		ltle 11073	. . 3 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) < 𝐴 → (𝐴 − 1) ≤ 𝐴))
4	2, 3	mpancom 685	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − 1) < 𝐴 → (𝐴 − 1) ≤ 𝐴))
5	1, 4	mpd 15	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5073  (class class class)co 7267  ℝcr 10880  1c1 10882   < clt 11019   ≤ cle 11020   − cmin 11215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-id 5484  df-po 5498  df-so 5499  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-er 8485  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218

This theorem is referenced by:  lem1d  11918