Theorem lem1d 12176

Description: A number minus 1 is less than or equal to itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
lem1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem lem1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		lem1 12086	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ≤ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  (class class class)co 7417  ℝcr 11127  1c1 11129   ≤ cle 11272   − cmin 11469

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472

This theorem is used by:  fzossrbm1  13748  seqcoll  14533  efgsp1  19870  efgredlemd  19877  efgredlem  19880  2lgslem1c  27637  rplogsumlem1  27728  logdivbnd  27800  wwlksm1edg  30357  clwlkclwwlklem2  30478  clwlkclwwlk  30480  clwwisshclwwslem  30492  clwwlkf  30525  wwlksubclwwlk  30536  fzspl  33268  pfxlsw2ccat  33400  wrdt2ind  33403  psgnfzto1stlem  33548  1arithidomlem1  33953  1arithidomlem2  33954  1arithidom  33955  submateqlem1  34325  elfzm12  36262  knoppndvlem14  37230  poimirlem6  38383  poimirlem7  38384  poimirlem13  38390  aks4d1p1p2  42944  sticksstones10  43029  sticksstones12a  43031  sticksstones12  43032  bcle2d  43053  aks6d1c7lem1  43054  unitscyglem4  43072  oddfl  46119  fmul01lt1lem2  46423  stoweidlem11  46847  wallispilem3  46903  etransclem23  47093  iccpartipre  48329  flnn0div2ge  49471