MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lem1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lem1d 12096
Description: A number minus 1 is less than or equal to itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
ltp1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
lem1d (𝜑 → (𝐴 − 1) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem lem1d
StepHypRef Expression
1 ltp1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 lem1 12006 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ≤ 𝐴)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (𝐴 − 1) ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107   class class class wbr 5109  (class class class)co 7361  cr 11058  1c1 11060  cle 11198  cmin 11393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396
This theorem is referenced by:  fzossrbm1  13610  seqcoll  14372  efgsp1  19527  efgredlemd  19534  efgredlem  19537  2lgslem1c  26764  rplogsumlem1  26855  logdivbnd  26927  wwlksm1edg  28875  clwlkclwwlklem2  28993  clwlkclwwlk  28995  clwwisshclwwslem  29007  clwwlkf  29040  wwlksubclwwlk  29051  fzspl  31747  pfxlsw2ccat  31862  wrdt2ind  31863  psgnfzto1stlem  32005  submateqlem1  32452  elfzm12  34327  knoppndvlem14  35041  poimirlem6  36134  poimirlem7  36135  poimirlem13  36141  aks4d1p1p2  40577  sticksstones10  40613  sticksstones12a  40615  sticksstones12  40616  oddfl  43602  fmul01lt1lem2  43916  stoweidlem11  44342  wallispilem3  44398  etransclem23  44588  upwordnul  45209  iccpartipre  45703  flnn0div2ge  46709
  Copyright terms: Public domain W3C validator