Theorem lem1d 12277

Description: A number minus 1 is less than or equal to itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
lem1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem lem1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		lem1 12187	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ≤ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  (class class class)co 7443  ℝcr 11226  1c1 11228   ≤ cle 11371   − cmin 11568

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571

This theorem is used by:  fzossrbm1  13850  seqcoll  14636  efgsp1  19981  efgredlemd  19988  efgredlem  19991  2lgslem1c  27750  rplogsumlem1  27841  logdivbnd  27913  wwlksm1edg  30500  clwlkclwwlklem2  30621  clwlkclwwlk  30623  clwwisshclwwslem  30635  clwwlkf  30668  wwlksubclwwlk  30679  fzspl  33451  pfxlsw2ccat  33583  wrdt2ind  33586  psgnfzto1stlem  33731  1arithidomlem1  34137  1arithidomlem2  34138  1arithidom  34139  submateqlem1  34509  elfzm12  36607  knoppndvlem14  37569  poimirlem6  38736  poimirlem7  38737  poimirlem13  38743  aks4d1p1p2  43312  sticksstones10  43397  sticksstones12a  43399  sticksstones12  43400  bcle2d  43421  aks6d1c7lem1  43422  unitscyglem4  43440  oddfl  46499  fmul01lt1lem2  46802  stoweidlem11  47226  wallispilem3  47282  etransclem23  47472  iccpartipre  48708  flnn0div2ge  49850