Theorem lem1d 12231

Description: A number minus 1 is less than or equal to itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
lem1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem lem1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		lem1 12141	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) ≤ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7412  ℝcr 11180  1c1 11182   ≤ cle 11325   − cmin 11522

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525

This theorem is used by:  fzossrbm1  13803  seqcoll  14589  efgsp1  19931  efgredlemd  19938  efgredlem  19941  2lgslem1c  27702  rplogsumlem1  27793  logdivbnd  27865  wwlksm1edg  30452  clwlkclwwlklem2  30573  clwlkclwwlk  30575  clwwisshclwwslem  30587  clwwlkf  30620  wwlksubclwwlk  30631  fzspl  33363  pfxlsw2ccat  33495  wrdt2ind  33498  psgnfzto1stlem  33643  1arithidomlem1  34049  1arithidomlem2  34050  1arithidom  34051  submateqlem1  34421  elfzm12  36409  knoppndvlem14  37361  poimirlem6  38512  poimirlem7  38513  poimirlem13  38519  aks4d1p1p2  43088  sticksstones10  43173  sticksstones12a  43175  sticksstones12  43176  bcle2d  43197  aks6d1c7lem1  43198  unitscyglem4  43216  oddfl  46237  fmul01lt1lem2  46541  stoweidlem11  46965  wallispilem3  47021  etransclem23  47211  iccpartipre  48447  flnn0div2ge  49589