Theorem ltm1 11156

Description: A number minus 1 is less than itself. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.)

Assertion

Ref	Expression
ltm1	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Proof of Theorem ltm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1 10843	. . 3 ⊢ 0 < 1
2		0re 10331	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 10329	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		ltsub2 10818	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 1 ↔ (𝐴 − 1) < (𝐴 − 0)))
5	2, 3, 4	mp3an12 1576	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 1 ↔ (𝐴 − 1) < (𝐴 − 0)))
6	1, 5	mpbii 225	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < (𝐴 − 0))
7		recn 10315	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	subid1d 10674	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
9	6, 8	breqtrd 4870	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∈ wcel 2157   class class class wbr 4844  (class class class)co 6879  ℝcr 10224  0cc0 10225  1c1 10226   < clt 10364   − cmin 10557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-op 4376  df-uni 4630  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-id 5221  df-po 5234  df-so 5235  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-er 7983  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560

This theorem is referenced by:  lem1  11157  ltm1d  11249  nnunb  11575  qbtwnxr  12279  xrinfmsslem  12386  xrub  12390  reltre  12418  bcpasc  13360  arisum2  14930  vdwap0  16012  icoopnst  23065  abelthlem6  24530  ballotlemfrceq  31106  poimirlem13  33910  poimirlem14  33911  poimirlem31  33928  poimirlem32  33929  stoweidlem34  40989  smfresal  41736  altgsumbcALT  42925