MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltm1 11467
Description: A number minus 1 is less than itself. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.)
Assertion
Ref Expression
ltm1 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Proof of Theorem ltm1
StepHypRef Expression
1 0lt1 11147 . . 3 0 < 1
2 0re 10628 . . . 4 0 ∈ ℝ
3 1re 10626 . . . 4 1 ∈ ℝ
4 ltsub2 11122 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 1 ↔ (𝐴 − 1) < (𝐴 − 0)))
52, 3, 4mp3an12 1448 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 1 ↔ (𝐴 − 1) < (𝐴 − 0)))
61, 5mpbii 236 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < (𝐴 − 0))
7 recn 10612 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
87subid1d 10971 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
96, 8breqtrd 5073 1 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wcel 2115   class class class wbr 5047  (class class class)co 7138  cr 10521  0cc0 10522  1c1 10523   < clt 10660  cmin 10855
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-op 4555  df-uni 4820  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-id 5441  df-po 5455  df-so 5456  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858
This theorem is referenced by:  lem1  11468  ltm1d  11557  nnunb  11879  qbtwnxr  12579  xrinfmsslem  12687  xrub  12691  reltre  12719  bcpasc  13675  arisum2  15205  icoopnst  23533  ballotlemfrceq  31804  poimirlem13  34970  poimirlem14  34971  poimirlem31  34988  poimirlem32  34989  stoweidlem34  42518  smfresal  43262  altgsumbcALT  44596
  Copyright terms: Public domain W3C validator