Theorem ltm1 12063

Description: A number minus 1 is less than itself. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.)

Assertion

Ref	Expression
ltm1	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Proof of Theorem ltm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1 11743	. . 3 ⊢ 0 < 1
2		0re 11223	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 11221	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		ltsub2 11718	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 1 ↔ (𝐴 − 1) < (𝐴 − 0)))
5	2, 3, 4	mp3an12 1450	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 1 ↔ (𝐴 − 1) < (𝐴 − 0)))
6	1, 5	mpbii 232	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < (𝐴 − 0))
7		recn 11206	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	subid1d 11567	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
9	6, 8	breqtrd 5174	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5148  (class class class)co 7412  ℝcr 11115  0cc0 11116  1c1 11117   < clt 11255   − cmin 11451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454

This theorem is referenced by:  lem1  12064  ltm1d  12153  nnunb  12475  qbtwnxr  13186  xrinfmsslem  13294  xrub  13298  reltre  13326  bcpasc  14288  arisum2  15814  icoopnst  24696  ballotlemfrceq  33840  poimirlem13  36817  poimirlem14  36818  poimirlem31  36835  poimirlem32  36836  stoweidlem34  45061  smfresal  45815  altgsumbcALT  47130