Theorem ltm1 12166

Description: A number minus 1 is less than itself. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.)

Assertion

Ref	Expression
ltm1	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Proof of Theorem ltm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1 11845	. . 3 ⊢ 0 < 1
2		0re 11317	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 11315	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		ltsub2 11820	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 1 ↔ (𝐴 − 1) < (𝐴 − 0)))
5	2, 3, 4	mp3an12 1480	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 1 ↔ (𝐴 − 1) < (𝐴 − 0)))
6	1, 5	mpbii 236	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < (𝐴 − 0))
7		recn 11297	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	subid1d 11665	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
9	6, 8	breqtrd 5130	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7424  ℝcr 11206  0cc0 11207  1c1 11208   < clt 11350   − cmin 11548

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551

This theorem is used by:  lem1  12167  ltm1d  12256  nnunb  12609  qbtwnxr  13337  xrinfmsslem  13445  xrub  13449  reltre  13478  bcpasc  14472  icoopnst  25269  ballotlemfrceq  35211  poimirlem13  38688  poimirlem14  38689  poimirlem31  38706  poimirlem32  38707  stoweidlem34  47180  smfresal  47934  altgsumbcALT  49601