Theorem peano2rem 11450

Description: "Reverse" second Peano postulate analogue for reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
peano2rem	⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Proof of Theorem peano2rem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11134	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		resubcl 11447	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan2 691	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  1c1 11029   − cmin 11366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-sub 11368  df-neg 11369

This theorem is referenced by:  lem1  11986  addltmul  12379  div4p1lem1div2  12398  nnunb  12399  suprzcl  12575  zbtwnre  12866  rebtwnz  12867  qbtwnre  13120  qbtwnxr  13121  xnn0lem1lt  13165  xrinfmsslem  13229  xrub  13233  reltre  13262  elfznelfzo  13694  fldiv4p1lem1div2  13758  fldiv4lem1div2uz2  13759  ceile  13772  intfracq  13782  fldiv  13783  m1modnnsub1  13843  expubnd  14104  bernneq2  14156  expnbnd  14158  cshwidxm1  14732  isercolllem1  15591  tgioo  24701  icoopnst  24853  mbfi1fseqlem6  25638  dvfsumlem1  25949  dvfsumlem2  25950  dvfsumlem2OLD  25951  dgreq0  26188  advlog  26580  atanlogsublem  26842  birthdaylem3  26880  wilthlem1  26995  ftalem5  27004  ppiub  27132  chtublem  27139  chtub  27140  logfaclbnd  27150  logfacbnd3  27151  perfectlem2  27158  lgsval2lem  27235  lgsqrlem2  27275  gausslemma2dlem0c  27286  gausslemma2dlem1a  27293  lgseisenlem2  27304  lgseisen  27307  lgsquadlem1  27308  lgsquadlem2  27309  2lgslem1c  27321  2lgsoddprmlem2  27337  rplogsumlem1  27412  selberg2lem  27478  pntrsumo1  27493  pntpbnd1a  27513  colinearalglem4  28873  axlowdimlem16  28921  axeuclidlem  28926  nbusgrvtxm1  29343  pthdlem1  29730  crctcshwlkn0lem1  29774  wwlksm1edg  29845  clwwlkel  30009  clwwlknonex2lem2  30071  numclwwlk7  30354  addltmulALT  32409  cvmliftlem2  35278  cvmliftlem6  35282  cvmliftlem8  35284  cvmliftlem9  35285  cvmliftlem10  35286  irrdiff  37319  iooelexlt  37355  ltflcei  37607  poimirlem12  37631  poimirlem13  37632  poimirlem14  37633  poimirlem31  37650  poimirlem32  37651  itg2addnclem2  37671  itg2addnclem3  37672  monoords  45299  supxrgere  45333  infleinflem2  45370  unb2ltle  45414  limsupre3lem  45733  xlimxrre  45832  xlimmnfv  45835  stoweidlem14  46015  stoweidlem34  46035  fourierdlem11  46119  fourierdlem12  46120  fourierdlem15  46123  fourierdlem42  46150  fourierdlem50  46157  fourierdlem64  46171  fourierdlem79  46186  smfresal  46789  zm1nn  47306  ceilbi  47337  m1mod0mod1  47358  m1modmmod  47362  nn0oALTV  47700  perfectALTVlem2  47726  flnn0div2ge  48538  logbpw2m1  48572  fllog2  48573