Theorem peano2rem 11549

Description: "Reverse" second Peano postulate analogue for reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
peano2rem	⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Proof of Theorem peano2rem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11232	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		resubcl 11546	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan2 704	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7413  ℝcr 11123  1c1 11125   − cmin 11465

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-ltxr 11272  df-sub 11467  df-neg 11468

This theorem is used by:  lem1  12082  addltmul  12504  div4p1lem1div2  12523  nnunb  12524  suprzcl  12701  zbtwnre  12995  rebtwnz  12996  qbtwnre  13251  qbtwnxr  13252  xnn0lem1lt  13296  xrinfmsslem  13360  xrub  13364  reltre  13393  elfznelfzo  13829  fldiv4p1lem1div2  13896  fldiv4lem1div2uz2  13897  ceile  13910  intfracq  13920  fldiv  13921  m1modnnsub1  13981  expubnd  14242  bernneq2  14294  expnbnd  14296  cshwidxm1  14878  isercolllem1  15752  chnccat  18714  tgioo  25022  icoopnst  25167  mbfi1fseqlem6  25948  dvfsumlem1  26253  dvfsumlem2  26254  dgreq0  26491  advlog  26891  atanlogsublem  27152  birthdaylem3  27190  wilthlem1  27304  ftalem5  27313  ppiub  27440  chtublem  27447  chtub  27448  logfaclbnd  27458  logfacbnd3  27459  perfectlem2  27466  lgsval2lem  27543  lgsqrlem2  27583  gausslemma2dlem0c  27594  gausslemma2dlem1a  27601  lgseisenlem2  27612  lgseisen  27615  lgsquadlem1  27616  lgsquadlem2  27617  2lgslem1c  27629  2lgsoddprmlem2  27645  rplogsumlem1  27720  selberg2lem  27786  pntrsumo1  27801  pntpbnd1a  27821  colinearalglem4  29366  axlowdimlem16  29414  axeuclidlem  29419  nbusgrvtxm1  29839  pthdlem1  30231  crctcshwlkn0lem1  30278  wwlksm1edg  30349  clwwlkel  30516  clwwlknonex2lem2  30578  numclwwlk7  30871  addltmulALT  32927  cvmliftlem2  35865  cvmliftlem6  35869  cvmliftlem8  35871  cvmliftlem9  35872  cvmliftlem10  35873  irrdiff  38078  iooelexlt  38116  ltflcei  38362  poimirlem12  38381  poimirlem13  38382  poimirlem14  38383  poimirlem31  38400  poimirlem32  38401  itg2addnclem2  38421  itg2addnclem3  38422  monoords  46130  supxrgere  46163  infleinflem2  46200  unb2ltle  46243  limsupre3lem  46560  xlimxrre  46659  xlimmnfv  46662  stoweidlem14  46842  stoweidlem34  46862  fourierdlem11  46946  fourierdlem12  46947  fourierdlem15  46950  fourierdlem42  46977  fourierdlem50  46984  fourierdlem64  46998  fourierdlem79  47013  smfresal  47616  chnsubseq  47708  zm1nn  48190  ceilbi  48225  m1mod0mod1  48248  m1modmmod  48252  2timesltsqm1  48267  nn0oALTV  48612  perfectALTVlem2  48638  flnn0div2ge  49463  logbpw2m1  49497  fllog2  49498