Theorem peano2rem 11576

Description: "Reverse" second Peano postulate analogue for reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
peano2rem	⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Proof of Theorem peano2rem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11261	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		resubcl 11573	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan2 691	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  1c1 11156   − cmin 11492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-sub 11494  df-neg 11495

This theorem is referenced by:  lem1  12110  addltmul  12502  div4p1lem1div2  12521  nnunb  12522  suprzcl  12698  zbtwnre  12988  rebtwnz  12989  qbtwnre  13241  qbtwnxr  13242  xnn0lem1lt  13286  xrinfmsslem  13350  xrub  13354  reltre  13382  elfznelfzo  13811  fldiv4p1lem1div2  13875  fldiv4lem1div2uz2  13876  ceile  13889  intfracq  13899  fldiv  13900  m1modnnsub1  13958  expubnd  14217  bernneq2  14269  expnbnd  14271  cshwidxm1  14845  isercolllem1  15701  tgioo  24817  icoopnst  24969  mbfi1fseqlem6  25755  dvfsumlem1  26066  dvfsumlem2  26067  dvfsumlem2OLD  26068  dgreq0  26305  advlog  26696  atanlogsublem  26958  birthdaylem3  26996  wilthlem1  27111  ftalem5  27120  ppiub  27248  chtublem  27255  chtub  27256  logfaclbnd  27266  logfacbnd3  27267  perfectlem2  27274  lgsval2lem  27351  lgsqrlem2  27391  gausslemma2dlem0c  27402  gausslemma2dlem1a  27409  lgseisenlem2  27420  lgseisen  27423  lgsquadlem1  27424  lgsquadlem2  27425  2lgslem1c  27437  2lgsoddprmlem2  27453  rplogsumlem1  27528  selberg2lem  27594  pntrsumo1  27609  pntpbnd1a  27629  colinearalglem4  28924  axlowdimlem16  28972  axeuclidlem  28977  nbusgrvtxm1  29396  pthdlem1  29786  crctcshwlkn0lem1  29830  wwlksm1edg  29901  clwwlkel  30065  clwwlknonex2lem2  30127  numclwwlk7  30410  addltmulALT  32465  cvmliftlem2  35291  cvmliftlem6  35295  cvmliftlem8  35297  cvmliftlem9  35298  cvmliftlem10  35299  irrdiff  37327  iooelexlt  37363  ltflcei  37615  poimirlem12  37639  poimirlem13  37640  poimirlem14  37641  poimirlem31  37658  poimirlem32  37659  itg2addnclem2  37679  itg2addnclem3  37680  monoords  45309  supxrgere  45344  infleinflem2  45382  unb2ltle  45426  limsupre3lem  45747  xlimxrre  45846  xlimmnfv  45849  stoweidlem14  46029  stoweidlem34  46049  fourierdlem11  46133  fourierdlem12  46134  fourierdlem15  46137  fourierdlem42  46164  fourierdlem50  46171  fourierdlem64  46185  fourierdlem79  46200  smfresal  46803  zm1nn  47314  m1mod0mod1  47356  nn0oALTV  47683  perfectALTVlem2  47709  m1modmmod  48442  difmodm1lt  48443  flnn0div2ge  48454  logbpw2m1  48488  fllog2  48489