Theorem peano2rem 11218

Description: "Reverse" second Peano postulate analogue for reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
peano2rem	⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Proof of Theorem peano2rem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 10906	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		resubcl 11215	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan2 687	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  1c1 10803   − cmin 11135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-sub 11137  df-neg 11138

This theorem is referenced by:  lem1  11748  addltmul  12139  div4p1lem1div2  12158  nnunb  12159  suprzcl  12330  zbtwnre  12615  rebtwnz  12616  qbtwnre  12862  qbtwnxr  12863  xnn0lem1lt  12907  xrinfmsslem  12971  xrub  12975  reltre  13003  elfznelfzo  13420  fldiv4p1lem1div2  13483  fldiv4lem1div2uz2  13484  ceile  13497  intfracq  13507  fldiv  13508  m1modnnsub1  13565  expubnd  13823  bernneq2  13873  expnbnd  13875  cshwidxm1  14448  isercolllem1  15304  tgioo  23865  icoopnst  24008  mbfi1fseqlem6  24790  dvfsumlem1  25095  dvfsumlem2  25096  dgreq0  25331  advlog  25714  atanlogsublem  25970  birthdaylem3  26008  wilthlem1  26122  ftalem5  26131  ppiub  26257  chtublem  26264  chtub  26265  logfaclbnd  26275  logfacbnd3  26276  perfectlem2  26283  lgsval2lem  26360  lgsqrlem2  26400  gausslemma2dlem0c  26411  gausslemma2dlem1a  26418  lgseisenlem2  26429  lgseisen  26432  lgsquadlem1  26433  lgsquadlem2  26434  2lgslem1c  26446  2lgsoddprmlem2  26462  rplogsumlem1  26537  selberg2lem  26603  pntrsumo1  26618  pntpbnd1a  26638  colinearalglem4  27180  axlowdimlem16  27228  axeuclidlem  27233  nbusgrvtxm1  27649  pthdlem1  28035  crctcshwlkn0lem1  28076  wwlksm1edg  28147  clwwlkel  28311  clwwlknonex2lem2  28373  numclwwlk7  28656  addltmulALT  30709  cvmliftlem2  33148  cvmliftlem6  33152  cvmliftlem8  33154  cvmliftlem9  33155  cvmliftlem10  33156  irrdiff  35424  iooelexlt  35460  ltflcei  35692  poimirlem12  35716  poimirlem13  35717  poimirlem14  35718  poimirlem31  35735  poimirlem32  35736  itg2addnclem2  35756  itg2addnclem3  35757  monoords  42726  supxrgere  42762  infleinflem2  42800  unb2ltle  42845  limsupre3lem  43163  xlimxrre  43262  xlimmnfv  43265  stoweidlem14  43445  stoweidlem34  43465  fourierdlem11  43549  fourierdlem12  43550  fourierdlem15  43553  fourierdlem42  43580  fourierdlem50  43587  fourierdlem64  43601  fourierdlem79  43616  smfresal  44209  zm1nn  44682  m1mod0mod1  44709  nn0oALTV  45036  perfectALTVlem2  45062  m1modmmod  45755  difmodm1lt  45756  flnn0div2ge  45767  logbpw2m1  45801  fllog2  45802