Theorem peano2rem 11288

Description: "Reverse" second Peano postulate analogue for reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
peano2rem	⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Proof of Theorem peano2rem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 10975	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		resubcl 11285	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan2 688	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  1c1 10872   − cmin 11205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-sub 11207  df-neg 11208

This theorem is referenced by:  lem1  11818  addltmul  12209  div4p1lem1div2  12228  nnunb  12229  suprzcl  12400  zbtwnre  12686  rebtwnz  12687  qbtwnre  12933  qbtwnxr  12934  xnn0lem1lt  12978  xrinfmsslem  13042  xrub  13046  reltre  13074  elfznelfzo  13492  fldiv4p1lem1div2  13555  fldiv4lem1div2uz2  13556  ceile  13569  intfracq  13579  fldiv  13580  m1modnnsub1  13637  expubnd  13895  bernneq2  13945  expnbnd  13947  cshwidxm1  14520  isercolllem1  15376  tgioo  23959  icoopnst  24102  mbfi1fseqlem6  24885  dvfsumlem1  25190  dvfsumlem2  25191  dgreq0  25426  advlog  25809  atanlogsublem  26065  birthdaylem3  26103  wilthlem1  26217  ftalem5  26226  ppiub  26352  chtublem  26359  chtub  26360  logfaclbnd  26370  logfacbnd3  26371  perfectlem2  26378  lgsval2lem  26455  lgsqrlem2  26495  gausslemma2dlem0c  26506  gausslemma2dlem1a  26513  lgseisenlem2  26524  lgseisen  26527  lgsquadlem1  26528  lgsquadlem2  26529  2lgslem1c  26541  2lgsoddprmlem2  26557  rplogsumlem1  26632  selberg2lem  26698  pntrsumo1  26713  pntpbnd1a  26733  colinearalglem4  27277  axlowdimlem16  27325  axeuclidlem  27330  nbusgrvtxm1  27746  pthdlem1  28134  crctcshwlkn0lem1  28175  wwlksm1edg  28246  clwwlkel  28410  clwwlknonex2lem2  28472  numclwwlk7  28755  addltmulALT  30808  cvmliftlem2  33248  cvmliftlem6  33252  cvmliftlem8  33254  cvmliftlem9  33255  cvmliftlem10  33256  irrdiff  35497  iooelexlt  35533  ltflcei  35765  poimirlem12  35789  poimirlem13  35790  poimirlem14  35791  poimirlem31  35808  poimirlem32  35809  itg2addnclem2  35829  itg2addnclem3  35830  monoords  42836  supxrgere  42872  infleinflem2  42910  unb2ltle  42955  limsupre3lem  43273  xlimxrre  43372  xlimmnfv  43375  stoweidlem14  43555  stoweidlem34  43575  fourierdlem11  43659  fourierdlem12  43660  fourierdlem15  43663  fourierdlem42  43690  fourierdlem50  43697  fourierdlem64  43711  fourierdlem79  43726  smfresal  44322  zm1nn  44794  m1mod0mod1  44821  nn0oALTV  45148  perfectALTVlem2  45174  m1modmmod  45867  difmodm1lt  45868  flnn0div2ge  45879  logbpw2m1  45913  fllog2  45914