Theorem peano2rem 11573

Description: "Reverse" second Peano postulate analogue for reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
peano2rem	⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Proof of Theorem peano2rem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11258	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		resubcl 11570	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan2 691	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7430  ℝcr 11151  1c1 11153   − cmin 11489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-ltxr 11297  df-sub 11491  df-neg 11492

This theorem is referenced by:  lem1  12107  addltmul  12499  div4p1lem1div2  12518  nnunb  12519  suprzcl  12695  zbtwnre  12985  rebtwnz  12986  qbtwnre  13237  qbtwnxr  13238  xnn0lem1lt  13282  xrinfmsslem  13346  xrub  13350  reltre  13378  elfznelfzo  13807  fldiv4p1lem1div2  13871  fldiv4lem1div2uz2  13872  ceile  13885  intfracq  13895  fldiv  13896  m1modnnsub1  13954  expubnd  14213  bernneq2  14265  expnbnd  14267  cshwidxm1  14841  isercolllem1  15697  tgioo  24831  icoopnst  24982  mbfi1fseqlem6  25769  dvfsumlem1  26080  dvfsumlem2  26081  dvfsumlem2OLD  26082  dgreq0  26319  advlog  26710  atanlogsublem  26972  birthdaylem3  27010  wilthlem1  27125  ftalem5  27134  ppiub  27262  chtublem  27269  chtub  27270  logfaclbnd  27280  logfacbnd3  27281  perfectlem2  27288  lgsval2lem  27365  lgsqrlem2  27405  gausslemma2dlem0c  27416  gausslemma2dlem1a  27423  lgseisenlem2  27434  lgseisen  27437  lgsquadlem1  27438  lgsquadlem2  27439  2lgslem1c  27451  2lgsoddprmlem2  27467  rplogsumlem1  27542  selberg2lem  27608  pntrsumo1  27623  pntpbnd1a  27643  colinearalglem4  28938  axlowdimlem16  28986  axeuclidlem  28991  nbusgrvtxm1  29410  pthdlem1  29798  crctcshwlkn0lem1  29839  wwlksm1edg  29910  clwwlkel  30074  clwwlknonex2lem2  30136  numclwwlk7  30419  addltmulALT  32474  cvmliftlem2  35270  cvmliftlem6  35274  cvmliftlem8  35276  cvmliftlem9  35277  cvmliftlem10  35278  irrdiff  37308  iooelexlt  37344  ltflcei  37594  poimirlem12  37618  poimirlem13  37619  poimirlem14  37620  poimirlem31  37637  poimirlem32  37638  itg2addnclem2  37658  itg2addnclem3  37659  monoords  45247  supxrgere  45282  infleinflem2  45320  unb2ltle  45364  limsupre3lem  45687  xlimxrre  45786  xlimmnfv  45789  stoweidlem14  45969  stoweidlem34  45989  fourierdlem11  46073  fourierdlem12  46074  fourierdlem15  46077  fourierdlem42  46104  fourierdlem50  46111  fourierdlem64  46125  fourierdlem79  46140  smfresal  46743  zm1nn  47251  m1mod0mod1  47293  nn0oALTV  47620  perfectALTVlem2  47646  m1modmmod  48370  difmodm1lt  48371  flnn0div2ge  48382  logbpw2m1  48416  fllog2  48417