Theorem peano2rem 11461

Description: "Reverse" second Peano postulate analogue for reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
peano2rem	⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Proof of Theorem peano2rem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11144	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		resubcl 11458	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan2 692	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  1c1 11039   − cmin 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184  df-sub 11379  df-neg 11380

This theorem is referenced by:  lem1  11998  addltmul  12413  div4p1lem1div2  12432  nnunb  12433  suprzcl  12609  zbtwnre  12896  rebtwnz  12897  qbtwnre  13151  qbtwnxr  13152  xnn0lem1lt  13196  xrinfmsslem  13260  xrub  13264  reltre  13293  elfznelfzo  13728  fldiv4p1lem1div2  13794  fldiv4lem1div2uz2  13795  ceile  13808  intfracq  13818  fldiv  13819  m1modnnsub1  13879  expubnd  14140  bernneq2  14192  expnbnd  14194  cshwidxm1  14769  isercolllem1  15627  chnccat  18592  tgioo  24761  icoopnst  24906  mbfi1fseqlem6  25687  dvfsumlem1  25993  dvfsumlem2  25994  dgreq0  26230  advlog  26618  atanlogsublem  26879  birthdaylem3  26917  wilthlem1  27031  ftalem5  27040  ppiub  27167  chtublem  27174  chtub  27175  logfaclbnd  27185  logfacbnd3  27186  perfectlem2  27193  lgsval2lem  27270  lgsqrlem2  27310  gausslemma2dlem0c  27321  gausslemma2dlem1a  27328  lgseisenlem2  27339  lgseisen  27342  lgsquadlem1  27343  lgsquadlem2  27344  2lgslem1c  27356  2lgsoddprmlem2  27372  rplogsumlem1  27447  selberg2lem  27513  pntrsumo1  27528  pntpbnd1a  27548  colinearalglem4  28978  axlowdimlem16  29026  axeuclidlem  29031  nbusgrvtxm1  29448  pthdlem1  29834  crctcshwlkn0lem1  29878  wwlksm1edg  29949  clwwlkel  30116  clwwlknonex2lem2  30178  numclwwlk7  30461  addltmulALT  32517  cvmliftlem2  35468  cvmliftlem6  35472  cvmliftlem8  35474  cvmliftlem9  35475  cvmliftlem10  35476  irrdiff  37640  iooelexlt  37678  ltflcei  37929  poimirlem12  37953  poimirlem13  37954  poimirlem14  37955  poimirlem31  37972  poimirlem32  37973  itg2addnclem2  37993  itg2addnclem3  37994  monoords  45730  supxrgere  45763  infleinflem2  45800  unb2ltle  45843  limsupre3lem  46160  xlimxrre  46259  xlimmnfv  46262  stoweidlem14  46442  stoweidlem34  46462  fourierdlem11  46546  fourierdlem12  46547  fourierdlem15  46550  fourierdlem42  46577  fourierdlem50  46584  fourierdlem64  46598  fourierdlem79  46613  smfresal  47216  chnsubseq  47310  zm1nn  47750  ceilbi  47785  m1mod0mod1  47808  m1modmmod  47812  2timesltsqm1  47827  nn0oALTV  48172  perfectALTVlem2  48198  flnn0div2ge  49009  logbpw2m1  49043  fllog2  49044