Theorem peano2rem 11536

Description: "Reverse" second Peano postulate analogue for reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
peano2rem	⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Proof of Theorem peano2rem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11219	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		resubcl 11533	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan2 704	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7416  ℝcr 11110  1c1 11112   − cmin 11452

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-ltxr 11259  df-sub 11454  df-neg 11455

This theorem is used by:  lem1  12069  addltmul  12491  div4p1lem1div2  12510  nnunb  12511  suprzcl  12687  zbtwnre  12981  rebtwnz  12982  qbtwnre  13236  qbtwnxr  13237  xnn0lem1lt  13281  xrinfmsslem  13345  xrub  13349  reltre  13378  elfznelfzo  13814  fldiv4p1lem1div2  13881  fldiv4lem1div2uz2  13882  ceile  13895  intfracq  13905  fldiv  13906  m1modnnsub1  13966  expubnd  14227  bernneq2  14279  expnbnd  14281  cshwidxm1  14863  isercolllem1  15735  chnccat  18699  tgioo  24982  icoopnst  25127  mbfi1fseqlem6  25908  dvfsumlem1  26214  dvfsumlem2  26215  dgreq0  26451  advlog  26848  atanlogsublem  27109  birthdaylem3  27147  wilthlem1  27261  ftalem5  27270  ppiub  27397  chtublem  27404  chtub  27405  logfaclbnd  27415  logfacbnd3  27416  perfectlem2  27423  lgsval2lem  27500  lgsqrlem2  27540  gausslemma2dlem0c  27551  gausslemma2dlem1a  27558  lgseisenlem2  27569  lgseisen  27572  lgsquadlem1  27573  lgsquadlem2  27574  2lgslem1c  27586  2lgsoddprmlem2  27602  rplogsumlem1  27677  selberg2lem  27743  pntrsumo1  27758  pntpbnd1a  27778  colinearalglem4  29288  axlowdimlem16  29336  axeuclidlem  29341  nbusgrvtxm1  29758  pthdlem1  30144  crctcshwlkn0lem1  30188  wwlksm1edg  30259  clwwlkel  30426  clwwlknonex2lem2  30488  numclwwlk7  30771  addltmulALT  32827  cvmliftlem2  35791  cvmliftlem6  35795  cvmliftlem8  35797  cvmliftlem9  35798  cvmliftlem10  35799  irrdiff  38003  iooelexlt  38041  ltflcei  38292  poimirlem12  38316  poimirlem13  38317  poimirlem14  38318  poimirlem31  38335  poimirlem32  38336  itg2addnclem2  38356  itg2addnclem3  38357  monoords  46049  supxrgere  46082  infleinflem2  46119  unb2ltle  46162  limsupre3lem  46479  xlimxrre  46578  xlimmnfv  46581  stoweidlem14  46761  stoweidlem34  46781  fourierdlem11  46865  fourierdlem12  46866  fourierdlem15  46869  fourierdlem42  46896  fourierdlem50  46903  fourierdlem64  46917  fourierdlem79  46932  smfresal  47535  chnsubseq  47629  zm1nn  48072  ceilbi  48107  m1mod0mod1  48130  m1modmmod  48134  2timesltsqm1  48149  nn0oALTV  48494  perfectALTVlem2  48520  flnn0div2ge  49346  logbpw2m1  49380  fllog2  49381