Theorem peano2rem 10953

Description: "Reverse" second Peano postulate analogue for reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
peano2rem	⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Proof of Theorem peano2rem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 10641	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		resubcl 10950	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan2 689	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7156  ℝcr 10536  1c1 10538   − cmin 10870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-ltxr 10680  df-sub 10872  df-neg 10873

This theorem is referenced by:  lem1  11483  addltmul  11874  div4p1lem1div2  11893  nnunb  11894  suprzcl  12063  zbtwnre  12347  rebtwnz  12348  qbtwnre  12593  qbtwnxr  12594  xnn0lem1lt  12638  xrinfmsslem  12702  xrub  12706  reltre  12734  elfznelfzo  13143  fldiv4p1lem1div2  13206  fldiv4lem1div2uz2  13207  ceile  13218  intfracq  13228  fldiv  13229  m1modnnsub1  13286  expubnd  13542  bernneq2  13592  expnbnd  13594  cshwidxm1  14169  isercolllem1  15021  tgioo  23404  icoopnst  23543  mbfi1fseqlem6  24321  dvfsumlem1  24623  dvfsumlem2  24624  dgreq0  24855  advlog  25237  atanlogsublem  25493  birthdaylem3  25531  wilthlem1  25645  ftalem5  25654  ppiub  25780  chtublem  25787  chtub  25788  logfaclbnd  25798  logfacbnd3  25799  perfectlem2  25806  lgsval2lem  25883  lgsqrlem2  25923  gausslemma2dlem0c  25934  gausslemma2dlem1a  25941  lgseisenlem2  25952  lgseisen  25955  lgsquadlem1  25956  lgsquadlem2  25957  2lgslem1c  25969  2lgsoddprmlem2  25985  rplogsumlem1  26060  selberg2lem  26126  pntrsumo1  26141  pntpbnd1a  26161  colinearalglem4  26695  axlowdimlem16  26743  axeuclidlem  26748  nbusgrvtxm1  27161  pthdlem1  27547  crctcshwlkn0lem1  27588  wwlksm1edg  27659  clwwlkel  27825  clwwlknonex2lem2  27887  numclwwlk7  28170  addltmulALT  30223  cvmliftlem2  32533  cvmliftlem6  32537  cvmliftlem8  32539  cvmliftlem9  32540  cvmliftlem10  32541  iooelexlt  34646  ltflcei  34895  poimirlem12  34919  poimirlem13  34920  poimirlem14  34921  poimirlem31  34938  poimirlem32  34939  itg2addnclem2  34959  itg2addnclem3  34960  monoords  41584  supxrgere  41621  infleinflem2  41659  unb2ltle  41709  limsupre3lem  42033  xlimxrre  42132  xlimmnfv  42135  stoweidlem14  42319  stoweidlem34  42339  fourierdlem11  42423  fourierdlem12  42424  fourierdlem15  42427  fourierdlem42  42454  fourierdlem50  42461  fourierdlem64  42475  fourierdlem79  42490  smfresal  43083  zm1nn  43522  m1mod0mod1  43549  nn0oALTV  43881  perfectALTVlem2  43907  m1modmmod  44601  difmodm1lt  44602  flnn0div2ge  44613  logbpw2m1  44647  fllog2  44648