Theorem peano2rem 11460

Description: "Reverse" second Peano postulate analogue for reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
peano2rem	⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Proof of Theorem peano2rem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11144	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		resubcl 11457	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan2 692	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  1c1 11039   − cmin 11376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-sub 11378  df-neg 11379

This theorem is referenced by:  lem1  11996  addltmul  12389  div4p1lem1div2  12408  nnunb  12409  suprzcl  12584  zbtwnre  12871  rebtwnz  12872  qbtwnre  13126  qbtwnxr  13127  xnn0lem1lt  13171  xrinfmsslem  13235  xrub  13239  reltre  13268  elfznelfzo  13701  fldiv4p1lem1div2  13767  fldiv4lem1div2uz2  13768  ceile  13781  intfracq  13791  fldiv  13792  m1modnnsub1  13852  expubnd  14113  bernneq2  14165  expnbnd  14167  cshwidxm1  14742  isercolllem1  15600  chnccat  18561  tgioo  24752  icoopnst  24904  mbfi1fseqlem6  25689  dvfsumlem1  26000  dvfsumlem2  26001  dvfsumlem2OLD  26002  dgreq0  26239  advlog  26631  atanlogsublem  26893  birthdaylem3  26931  wilthlem1  27046  ftalem5  27055  ppiub  27183  chtublem  27190  chtub  27191  logfaclbnd  27201  logfacbnd3  27202  perfectlem2  27209  lgsval2lem  27286  lgsqrlem2  27326  gausslemma2dlem0c  27337  gausslemma2dlem1a  27344  lgseisenlem2  27355  lgseisen  27358  lgsquadlem1  27359  lgsquadlem2  27360  2lgslem1c  27372  2lgsoddprmlem2  27388  rplogsumlem1  27463  selberg2lem  27529  pntrsumo1  27544  pntpbnd1a  27564  colinearalglem4  28994  axlowdimlem16  29042  axeuclidlem  29047  nbusgrvtxm1  29464  pthdlem1  29851  crctcshwlkn0lem1  29895  wwlksm1edg  29966  clwwlkel  30133  clwwlknonex2lem2  30195  numclwwlk7  30478  addltmulALT  32533  cvmliftlem2  35499  cvmliftlem6  35503  cvmliftlem8  35505  cvmliftlem9  35506  cvmliftlem10  35507  irrdiff  37578  iooelexlt  37614  ltflcei  37856  poimirlem12  37880  poimirlem13  37881  poimirlem14  37882  poimirlem31  37899  poimirlem32  37900  itg2addnclem2  37920  itg2addnclem3  37921  monoords  45656  supxrgere  45689  infleinflem2  45726  unb2ltle  45770  limsupre3lem  46087  xlimxrre  46186  xlimmnfv  46189  stoweidlem14  46369  stoweidlem34  46389  fourierdlem11  46473  fourierdlem12  46474  fourierdlem15  46477  fourierdlem42  46504  fourierdlem50  46511  fourierdlem64  46525  fourierdlem79  46540  smfresal  47143  chnsubseq  47235  zm1nn  47659  ceilbi  47690  m1mod0mod1  47711  m1modmmod  47715  nn0oALTV  48053  perfectALTVlem2  48079  flnn0div2ge  48890  logbpw2m1  48924  fllog2  48925