Theorem peano2rem 11492

Description: "Reverse" second Peano postulate analogue for reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
peano2rem	⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Proof of Theorem peano2rem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11175	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		resubcl 11489	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan2 701	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7391  ℝcr 11066  1c1 11068   − cmin 11408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-ltxr 11215  df-sub 11410  df-neg 11411

This theorem is referenced by:  lem1  12028  addltmul  12451  div4p1lem1div2  12470  nnunb  12471  suprzcl  12647  zbtwnre  12941  rebtwnz  12942  qbtwnre  13196  qbtwnxr  13197  xnn0lem1lt  13241  xrinfmsslem  13305  xrub  13309  reltre  13338  elfznelfzo  13773  fldiv4p1lem1div2  13839  fldiv4lem1div2uz2  13840  ceile  13853  intfracq  13863  fldiv  13864  m1modnnsub1  13924  expubnd  14185  bernneq2  14237  expnbnd  14239  cshwidxm1  14814  isercolllem1  15683  chnccat  18649  tgioo  24844  icoopnst  24989  mbfi1fseqlem6  25770  dvfsumlem1  26076  dvfsumlem2  26077  dgreq0  26313  advlog  26707  atanlogsublem  26968  birthdaylem3  27006  wilthlem1  27120  ftalem5  27129  ppiub  27256  chtublem  27263  chtub  27264  logfaclbnd  27274  logfacbnd3  27275  perfectlem2  27282  lgsval2lem  27359  lgsqrlem2  27399  gausslemma2dlem0c  27410  gausslemma2dlem1a  27417  lgseisenlem2  27428  lgseisen  27431  lgsquadlem1  27432  lgsquadlem2  27433  2lgslem1c  27445  2lgsoddprmlem2  27461  rplogsumlem1  27536  selberg2lem  27602  pntrsumo1  27617  pntpbnd1a  27637  colinearalglem4  29067  axlowdimlem16  29115  axeuclidlem  29120  nbusgrvtxm1  29537  pthdlem1  29923  crctcshwlkn0lem1  29967  wwlksm1edg  30038  clwwlkel  30205  clwwlknonex2lem2  30267  numclwwlk7  30550  addltmulALT  32606  cvmliftlem2  35597  cvmliftlem6  35601  cvmliftlem8  35603  cvmliftlem9  35604  cvmliftlem10  35605  irrdiff  37779  iooelexlt  37817  ltflcei  38068  poimirlem12  38092  poimirlem13  38093  poimirlem14  38094  poimirlem31  38111  poimirlem32  38112  itg2addnclem2  38132  itg2addnclem3  38133  monoords  45837  supxrgere  45870  infleinflem2  45907  unb2ltle  45950  limsupre3lem  46267  xlimxrre  46366  xlimmnfv  46369  stoweidlem14  46549  stoweidlem34  46569  fourierdlem11  46653  fourierdlem12  46654  fourierdlem15  46657  fourierdlem42  46684  fourierdlem50  46691  fourierdlem64  46705  fourierdlem79  46720  smfresal  47323  chnsubseq  47417  zm1nn  47857  ceilbi  47892  m1mod0mod1  47915  m1modmmod  47919  2timesltsqm1  47934  nn0oALTV  48279  perfectALTVlem2  48305  flnn0div2ge  49116  logbpw2m1  49150  fllog2  49151