Theorem peano2rem 11529

Description: "Reverse" second Peano postulate analogue for reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
peano2rem	⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Proof of Theorem peano2rem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11216	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		resubcl 11526	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan2 689	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7411  ℝcr 11111  1c1 11113   − cmin 11446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-ltxr 11255  df-sub 11448  df-neg 11449

This theorem is referenced by:  lem1  12059  addltmul  12450  div4p1lem1div2  12469  nnunb  12470  suprzcl  12644  zbtwnre  12932  rebtwnz  12933  qbtwnre  13180  qbtwnxr  13181  xnn0lem1lt  13225  xrinfmsslem  13289  xrub  13293  reltre  13321  elfznelfzo  13739  fldiv4p1lem1div2  13802  fldiv4lem1div2uz2  13803  ceile  13816  intfracq  13826  fldiv  13827  m1modnnsub1  13884  expubnd  14144  bernneq2  14195  expnbnd  14197  cshwidxm1  14759  isercolllem1  15613  tgioo  24319  icoopnst  24462  mbfi1fseqlem6  25245  dvfsumlem1  25550  dvfsumlem2  25551  dgreq0  25786  advlog  26169  atanlogsublem  26427  birthdaylem3  26465  wilthlem1  26579  ftalem5  26588  ppiub  26714  chtublem  26721  chtub  26722  logfaclbnd  26732  logfacbnd3  26733  perfectlem2  26740  lgsval2lem  26817  lgsqrlem2  26857  gausslemma2dlem0c  26868  gausslemma2dlem1a  26875  lgseisenlem2  26886  lgseisen  26889  lgsquadlem1  26890  lgsquadlem2  26891  2lgslem1c  26903  2lgsoddprmlem2  26919  rplogsumlem1  26994  selberg2lem  27060  pntrsumo1  27075  pntpbnd1a  27095  colinearalglem4  28205  axlowdimlem16  28253  axeuclidlem  28258  nbusgrvtxm1  28674  pthdlem1  29061  crctcshwlkn0lem1  29102  wwlksm1edg  29173  clwwlkel  29337  clwwlknonex2lem2  29399  numclwwlk7  29682  addltmulALT  31737  cvmliftlem2  34346  cvmliftlem6  34350  cvmliftlem8  34352  cvmliftlem9  34353  cvmliftlem10  34354  gg-dvfsumlem2  35252  irrdiff  36293  iooelexlt  36329  ltflcei  36562  poimirlem12  36586  poimirlem13  36587  poimirlem14  36588  poimirlem31  36605  poimirlem32  36606  itg2addnclem2  36626  itg2addnclem3  36627  monoords  44086  supxrgere  44122  infleinflem2  44160  unb2ltle  44204  limsupre3lem  44527  xlimxrre  44626  xlimmnfv  44629  stoweidlem14  44809  stoweidlem34  44829  fourierdlem11  44913  fourierdlem12  44914  fourierdlem15  44917  fourierdlem42  44944  fourierdlem50  44951  fourierdlem64  44965  fourierdlem79  44980  smfresal  45583  zm1nn  46089  m1mod0mod1  46116  nn0oALTV  46443  perfectALTVlem2  46469  m1modmmod  47285  difmodm1lt  47286  flnn0div2ge  47297  logbpw2m1  47331  fllog2  47332