Theorem peano2rem 11465

Description: "Reverse" second Peano postulate analogue for reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
peano2rem	⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Proof of Theorem peano2rem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11150	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		resubcl 11462	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan2 691	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  1c1 11045   − cmin 11381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-ltxr 11189  df-sub 11383  df-neg 11384

This theorem is referenced by:  lem1  12001  addltmul  12394  div4p1lem1div2  12413  nnunb  12414  suprzcl  12590  zbtwnre  12881  rebtwnz  12882  qbtwnre  13135  qbtwnxr  13136  xnn0lem1lt  13180  xrinfmsslem  13244  xrub  13248  reltre  13277  elfznelfzo  13709  fldiv4p1lem1div2  13773  fldiv4lem1div2uz2  13774  ceile  13787  intfracq  13797  fldiv  13798  m1modnnsub1  13858  expubnd  14119  bernneq2  14171  expnbnd  14173  cshwidxm1  14748  isercolllem1  15607  tgioo  24660  icoopnst  24812  mbfi1fseqlem6  25597  dvfsumlem1  25908  dvfsumlem2  25909  dvfsumlem2OLD  25910  dgreq0  26147  advlog  26539  atanlogsublem  26801  birthdaylem3  26839  wilthlem1  26954  ftalem5  26963  ppiub  27091  chtublem  27098  chtub  27099  logfaclbnd  27109  logfacbnd3  27110  perfectlem2  27117  lgsval2lem  27194  lgsqrlem2  27234  gausslemma2dlem0c  27245  gausslemma2dlem1a  27252  lgseisenlem2  27263  lgseisen  27266  lgsquadlem1  27267  lgsquadlem2  27268  2lgslem1c  27280  2lgsoddprmlem2  27296  rplogsumlem1  27371  selberg2lem  27437  pntrsumo1  27452  pntpbnd1a  27472  colinearalglem4  28812  axlowdimlem16  28860  axeuclidlem  28865  nbusgrvtxm1  29282  pthdlem1  29669  crctcshwlkn0lem1  29713  wwlksm1edg  29784  clwwlkel  29948  clwwlknonex2lem2  30010  numclwwlk7  30293  addltmulALT  32348  cvmliftlem2  35246  cvmliftlem6  35250  cvmliftlem8  35252  cvmliftlem9  35253  cvmliftlem10  35254  irrdiff  37287  iooelexlt  37323  ltflcei  37575  poimirlem12  37599  poimirlem13  37600  poimirlem14  37601  poimirlem31  37618  poimirlem32  37619  itg2addnclem2  37639  itg2addnclem3  37640  monoords  45268  supxrgere  45302  infleinflem2  45340  unb2ltle  45384  limsupre3lem  45703  xlimxrre  45802  xlimmnfv  45805  stoweidlem14  45985  stoweidlem34  46005  fourierdlem11  46089  fourierdlem12  46090  fourierdlem15  46093  fourierdlem42  46120  fourierdlem50  46127  fourierdlem64  46141  fourierdlem79  46156  smfresal  46759  zm1nn  47276  ceilbi  47307  m1mod0mod1  47328  m1modmmod  47332  nn0oALTV  47670  perfectALTVlem2  47696  flnn0div2ge  48495  logbpw2m1  48529  fllog2  48530