Theorem peano2rem 11496

Description: "Reverse" second Peano postulate analogue for reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
peano2rem	⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Proof of Theorem peano2rem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11181	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		resubcl 11493	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan2 691	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  1c1 11076   − cmin 11412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220  df-sub 11414  df-neg 11415

This theorem is referenced by:  lem1  12032  addltmul  12425  div4p1lem1div2  12444  nnunb  12445  suprzcl  12621  zbtwnre  12912  rebtwnz  12913  qbtwnre  13166  qbtwnxr  13167  xnn0lem1lt  13211  xrinfmsslem  13275  xrub  13279  reltre  13308  elfznelfzo  13740  fldiv4p1lem1div2  13804  fldiv4lem1div2uz2  13805  ceile  13818  intfracq  13828  fldiv  13829  m1modnnsub1  13889  expubnd  14150  bernneq2  14202  expnbnd  14204  cshwidxm1  14779  isercolllem1  15638  tgioo  24691  icoopnst  24843  mbfi1fseqlem6  25628  dvfsumlem1  25939  dvfsumlem2  25940  dvfsumlem2OLD  25941  dgreq0  26178  advlog  26570  atanlogsublem  26832  birthdaylem3  26870  wilthlem1  26985  ftalem5  26994  ppiub  27122  chtublem  27129  chtub  27130  logfaclbnd  27140  logfacbnd3  27141  perfectlem2  27148  lgsval2lem  27225  lgsqrlem2  27265  gausslemma2dlem0c  27276  gausslemma2dlem1a  27283  lgseisenlem2  27294  lgseisen  27297  lgsquadlem1  27298  lgsquadlem2  27299  2lgslem1c  27311  2lgsoddprmlem2  27327  rplogsumlem1  27402  selberg2lem  27468  pntrsumo1  27483  pntpbnd1a  27503  colinearalglem4  28843  axlowdimlem16  28891  axeuclidlem  28896  nbusgrvtxm1  29313  pthdlem1  29703  crctcshwlkn0lem1  29747  wwlksm1edg  29818  clwwlkel  29982  clwwlknonex2lem2  30044  numclwwlk7  30327  addltmulALT  32382  cvmliftlem2  35280  cvmliftlem6  35284  cvmliftlem8  35286  cvmliftlem9  35287  cvmliftlem10  35288  irrdiff  37321  iooelexlt  37357  ltflcei  37609  poimirlem12  37633  poimirlem13  37634  poimirlem14  37635  poimirlem31  37652  poimirlem32  37653  itg2addnclem2  37673  itg2addnclem3  37674  monoords  45302  supxrgere  45336  infleinflem2  45374  unb2ltle  45418  limsupre3lem  45737  xlimxrre  45836  xlimmnfv  45839  stoweidlem14  46019  stoweidlem34  46039  fourierdlem11  46123  fourierdlem12  46124  fourierdlem15  46127  fourierdlem42  46154  fourierdlem50  46161  fourierdlem64  46175  fourierdlem79  46190  smfresal  46793  zm1nn  47307  ceilbi  47338  m1mod0mod1  47359  m1modmmod  47363  nn0oALTV  47701  perfectALTVlem2  47727  flnn0div2ge  48526  logbpw2m1  48560  fllog2  48561