Theorem peano2rem 11523

Description: "Reverse" second Peano postulate analogue for reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
peano2rem	⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Proof of Theorem peano2rem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11210	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		resubcl 11520	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan2 689	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7405  ℝcr 11105  1c1 11107   − cmin 11440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-sub 11442  df-neg 11443

This theorem is referenced by:  lem1  12053  addltmul  12444  div4p1lem1div2  12463  nnunb  12464  suprzcl  12638  zbtwnre  12926  rebtwnz  12927  qbtwnre  13174  qbtwnxr  13175  xnn0lem1lt  13219  xrinfmsslem  13283  xrub  13287  reltre  13315  elfznelfzo  13733  fldiv4p1lem1div2  13796  fldiv4lem1div2uz2  13797  ceile  13810  intfracq  13820  fldiv  13821  m1modnnsub1  13878  expubnd  14138  bernneq2  14189  expnbnd  14191  cshwidxm1  14753  isercolllem1  15607  tgioo  24303  icoopnst  24446  mbfi1fseqlem6  25229  dvfsumlem1  25534  dvfsumlem2  25535  dgreq0  25770  advlog  26153  atanlogsublem  26409  birthdaylem3  26447  wilthlem1  26561  ftalem5  26570  ppiub  26696  chtublem  26703  chtub  26704  logfaclbnd  26714  logfacbnd3  26715  perfectlem2  26722  lgsval2lem  26799  lgsqrlem2  26839  gausslemma2dlem0c  26850  gausslemma2dlem1a  26857  lgseisenlem2  26868  lgseisen  26871  lgsquadlem1  26872  lgsquadlem2  26873  2lgslem1c  26885  2lgsoddprmlem2  26901  rplogsumlem1  26976  selberg2lem  27042  pntrsumo1  27057  pntpbnd1a  27077  colinearalglem4  28156  axlowdimlem16  28204  axeuclidlem  28209  nbusgrvtxm1  28625  pthdlem1  29012  crctcshwlkn0lem1  29053  wwlksm1edg  29124  clwwlkel  29288  clwwlknonex2lem2  29350  numclwwlk7  29633  addltmulALT  31686  cvmliftlem2  34265  cvmliftlem6  34269  cvmliftlem8  34271  cvmliftlem9  34272  cvmliftlem10  34273  gg-dvfsumlem2  35171  irrdiff  36195  iooelexlt  36231  ltflcei  36464  poimirlem12  36488  poimirlem13  36489  poimirlem14  36490  poimirlem31  36507  poimirlem32  36508  itg2addnclem2  36528  itg2addnclem3  36529  monoords  43993  supxrgere  44029  infleinflem2  44067  unb2ltle  44111  limsupre3lem  44434  xlimxrre  44533  xlimmnfv  44536  stoweidlem14  44716  stoweidlem34  44736  fourierdlem11  44820  fourierdlem12  44821  fourierdlem15  44824  fourierdlem42  44851  fourierdlem50  44858  fourierdlem64  44872  fourierdlem79  44887  smfresal  45490  zm1nn  45996  m1mod0mod1  46023  nn0oALTV  46350  perfectALTVlem2  46376  m1modmmod  47160  difmodm1lt  47161  flnn0div2ge  47172  logbpw2m1  47206  fllog2  47207