Theorem peano2rem 11526

Description: "Reverse" second Peano postulate analogue for reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
peano2rem	⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Proof of Theorem peano2rem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11209	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		resubcl 11523	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan2 703	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7412  ℝcr 11100  1c1 11102   − cmin 11442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-sub 11444  df-neg 11445

This theorem is referenced by:  lem1  12059  addltmul  12481  div4p1lem1div2  12500  nnunb  12501  suprzcl  12677  zbtwnre  12971  rebtwnz  12972  qbtwnre  13226  qbtwnxr  13227  xnn0lem1lt  13271  xrinfmsslem  13335  xrub  13339  reltre  13368  elfznelfzo  13804  fldiv4p1lem1div2  13870  fldiv4lem1div2uz2  13871  ceile  13884  intfracq  13894  fldiv  13895  m1modnnsub1  13955  expubnd  14216  bernneq2  14268  expnbnd  14270  cshwidxm1  14846  isercolllem1  15718  chnccat  18683  tgioo  24934  icoopnst  25079  mbfi1fseqlem6  25860  dvfsumlem1  26166  dvfsumlem2  26167  dgreq0  26403  advlog  26800  atanlogsublem  27061  birthdaylem3  27099  wilthlem1  27213  ftalem5  27222  ppiub  27349  chtublem  27356  chtub  27357  logfaclbnd  27367  logfacbnd3  27368  perfectlem2  27375  lgsval2lem  27452  lgsqrlem2  27492  gausslemma2dlem0c  27503  gausslemma2dlem1a  27510  lgseisenlem2  27521  lgseisen  27524  lgsquadlem1  27525  lgsquadlem2  27526  2lgslem1c  27538  2lgsoddprmlem2  27554  rplogsumlem1  27629  selberg2lem  27695  pntrsumo1  27710  pntpbnd1a  27730  colinearalglem4  29240  axlowdimlem16  29288  axeuclidlem  29293  nbusgrvtxm1  29710  pthdlem1  30096  crctcshwlkn0lem1  30140  wwlksm1edg  30211  clwwlkel  30378  clwwlknonex2lem2  30440  numclwwlk7  30723  addltmulALT  32779  cvmliftlem2  35759  cvmliftlem6  35763  cvmliftlem8  35765  cvmliftlem9  35766  cvmliftlem10  35767  irrdiff  37951  iooelexlt  37989  ltflcei  38240  poimirlem12  38264  poimirlem13  38265  poimirlem14  38266  poimirlem31  38283  poimirlem32  38284  itg2addnclem2  38304  itg2addnclem3  38305  monoords  45999  supxrgere  46032  infleinflem2  46069  unb2ltle  46112  limsupre3lem  46429  xlimxrre  46528  xlimmnfv  46531  stoweidlem14  46711  stoweidlem34  46731  fourierdlem11  46815  fourierdlem12  46816  fourierdlem15  46819  fourierdlem42  46846  fourierdlem50  46853  fourierdlem64  46867  fourierdlem79  46882  smfresal  47485  chnsubseq  47579  zm1nn  48022  ceilbi  48057  m1mod0mod1  48080  m1modmmod  48084  2timesltsqm1  48099  nn0oALTV  48444  perfectALTVlem2  48470  flnn0div2ge  49296  logbpw2m1  49330  fllog2  49331