Theorem peano2rem 11489

Description: "Reverse" second Peano postulate analogue for reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
peano2rem	⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Proof of Theorem peano2rem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11174	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		resubcl 11486	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan2 691	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  1c1 11069   − cmin 11405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-sub 11407  df-neg 11408

This theorem is referenced by:  lem1  12025  addltmul  12418  div4p1lem1div2  12437  nnunb  12438  suprzcl  12614  zbtwnre  12905  rebtwnz  12906  qbtwnre  13159  qbtwnxr  13160  xnn0lem1lt  13204  xrinfmsslem  13268  xrub  13272  reltre  13301  elfznelfzo  13733  fldiv4p1lem1div2  13797  fldiv4lem1div2uz2  13798  ceile  13811  intfracq  13821  fldiv  13822  m1modnnsub1  13882  expubnd  14143  bernneq2  14195  expnbnd  14197  cshwidxm1  14772  isercolllem1  15631  tgioo  24684  icoopnst  24836  mbfi1fseqlem6  25621  dvfsumlem1  25932  dvfsumlem2  25933  dvfsumlem2OLD  25934  dgreq0  26171  advlog  26563  atanlogsublem  26825  birthdaylem3  26863  wilthlem1  26978  ftalem5  26987  ppiub  27115  chtublem  27122  chtub  27123  logfaclbnd  27133  logfacbnd3  27134  perfectlem2  27141  lgsval2lem  27218  lgsqrlem2  27258  gausslemma2dlem0c  27269  gausslemma2dlem1a  27276  lgseisenlem2  27287  lgseisen  27290  lgsquadlem1  27291  lgsquadlem2  27292  2lgslem1c  27304  2lgsoddprmlem2  27320  rplogsumlem1  27395  selberg2lem  27461  pntrsumo1  27476  pntpbnd1a  27496  colinearalglem4  28836  axlowdimlem16  28884  axeuclidlem  28889  nbusgrvtxm1  29306  pthdlem1  29696  crctcshwlkn0lem1  29740  wwlksm1edg  29811  clwwlkel  29975  clwwlknonex2lem2  30037  numclwwlk7  30320  addltmulALT  32375  cvmliftlem2  35273  cvmliftlem6  35277  cvmliftlem8  35279  cvmliftlem9  35280  cvmliftlem10  35281  irrdiff  37314  iooelexlt  37350  ltflcei  37602  poimirlem12  37626  poimirlem13  37627  poimirlem14  37628  poimirlem31  37645  poimirlem32  37646  itg2addnclem2  37666  itg2addnclem3  37667  monoords  45295  supxrgere  45329  infleinflem2  45367  unb2ltle  45411  limsupre3lem  45730  xlimxrre  45829  xlimmnfv  45832  stoweidlem14  46012  stoweidlem34  46032  fourierdlem11  46116  fourierdlem12  46117  fourierdlem15  46120  fourierdlem42  46147  fourierdlem50  46154  fourierdlem64  46168  fourierdlem79  46183  smfresal  46786  zm1nn  47303  ceilbi  47334  m1mod0mod1  47355  m1modmmod  47359  nn0oALTV  47697  perfectALTVlem2  47723  flnn0div2ge  48522  logbpw2m1  48556  fllog2  48557