Theorem peano2rem 11448

Description: "Reverse" second Peano postulate analogue for reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
peano2rem	⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Proof of Theorem peano2rem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11132	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		resubcl 11445	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan2 691	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  1c1 11027   − cmin 11364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-sub 11366  df-neg 11367

This theorem is referenced by:  lem1  11984  addltmul  12377  div4p1lem1div2  12396  nnunb  12397  suprzcl  12572  zbtwnre  12859  rebtwnz  12860  qbtwnre  13114  qbtwnxr  13115  xnn0lem1lt  13159  xrinfmsslem  13223  xrub  13227  reltre  13256  elfznelfzo  13689  fldiv4p1lem1div2  13755  fldiv4lem1div2uz2  13756  ceile  13769  intfracq  13779  fldiv  13780  m1modnnsub1  13840  expubnd  14101  bernneq2  14153  expnbnd  14155  cshwidxm1  14730  isercolllem1  15588  chnccat  18549  tgioo  24740  icoopnst  24892  mbfi1fseqlem6  25677  dvfsumlem1  25988  dvfsumlem2  25989  dvfsumlem2OLD  25990  dgreq0  26227  advlog  26619  atanlogsublem  26881  birthdaylem3  26919  wilthlem1  27034  ftalem5  27043  ppiub  27171  chtublem  27178  chtub  27179  logfaclbnd  27189  logfacbnd3  27190  perfectlem2  27197  lgsval2lem  27274  lgsqrlem2  27314  gausslemma2dlem0c  27325  gausslemma2dlem1a  27332  lgseisenlem2  27343  lgseisen  27346  lgsquadlem1  27347  lgsquadlem2  27348  2lgslem1c  27360  2lgsoddprmlem2  27376  rplogsumlem1  27451  selberg2lem  27517  pntrsumo1  27532  pntpbnd1a  27552  colinearalglem4  28982  axlowdimlem16  29030  axeuclidlem  29035  nbusgrvtxm1  29452  pthdlem1  29839  crctcshwlkn0lem1  29883  wwlksm1edg  29954  clwwlkel  30121  clwwlknonex2lem2  30183  numclwwlk7  30466  addltmulALT  32521  cvmliftlem2  35480  cvmliftlem6  35484  cvmliftlem8  35486  cvmliftlem9  35487  cvmliftlem10  35488  irrdiff  37531  iooelexlt  37567  ltflcei  37809  poimirlem12  37833  poimirlem13  37834  poimirlem14  37835  poimirlem31  37852  poimirlem32  37853  itg2addnclem2  37873  itg2addnclem3  37874  monoords  45545  supxrgere  45578  infleinflem2  45615  unb2ltle  45659  limsupre3lem  45976  xlimxrre  46075  xlimmnfv  46078  stoweidlem14  46258  stoweidlem34  46278  fourierdlem11  46362  fourierdlem12  46363  fourierdlem15  46366  fourierdlem42  46393  fourierdlem50  46400  fourierdlem64  46414  fourierdlem79  46429  smfresal  47032  chnsubseq  47124  zm1nn  47548  ceilbi  47579  m1mod0mod1  47600  m1modmmod  47604  nn0oALTV  47942  perfectALTVlem2  47968  flnn0div2ge  48779  logbpw2m1  48813  fllog2  48814