Theorem peano2rem 11423

Description: "Reverse" second Peano postulate analogue for reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
peano2rem	⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Proof of Theorem peano2rem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11107	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		resubcl 11420	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan2 691	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7341  ℝcr 11000  1c1 11002   − cmin 11339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-po 5519  df-so 5520  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-ltxr 11146  df-sub 11341  df-neg 11342

This theorem is referenced by:  lem1  11959  addltmul  12352  div4p1lem1div2  12371  nnunb  12372  suprzcl  12548  zbtwnre  12839  rebtwnz  12840  qbtwnre  13093  qbtwnxr  13094  xnn0lem1lt  13138  xrinfmsslem  13202  xrub  13206  reltre  13235  elfznelfzo  13668  fldiv4p1lem1div2  13734  fldiv4lem1div2uz2  13735  ceile  13748  intfracq  13758  fldiv  13759  m1modnnsub1  13819  expubnd  14080  bernneq2  14132  expnbnd  14134  cshwidxm1  14709  isercolllem1  15567  chnccat  18527  tgioo  24706  icoopnst  24858  mbfi1fseqlem6  25643  dvfsumlem1  25954  dvfsumlem2  25955  dvfsumlem2OLD  25956  dgreq0  26193  advlog  26585  atanlogsublem  26847  birthdaylem3  26885  wilthlem1  27000  ftalem5  27009  ppiub  27137  chtublem  27144  chtub  27145  logfaclbnd  27155  logfacbnd3  27156  perfectlem2  27163  lgsval2lem  27240  lgsqrlem2  27280  gausslemma2dlem0c  27291  gausslemma2dlem1a  27298  lgseisenlem2  27309  lgseisen  27312  lgsquadlem1  27313  lgsquadlem2  27314  2lgslem1c  27326  2lgsoddprmlem2  27342  rplogsumlem1  27417  selberg2lem  27483  pntrsumo1  27498  pntpbnd1a  27518  colinearalglem4  28882  axlowdimlem16  28930  axeuclidlem  28935  nbusgrvtxm1  29352  pthdlem1  29739  crctcshwlkn0lem1  29783  wwlksm1edg  29854  clwwlkel  30018  clwwlknonex2lem2  30080  numclwwlk7  30363  addltmulALT  32418  cvmliftlem2  35322  cvmliftlem6  35326  cvmliftlem8  35328  cvmliftlem9  35329  cvmliftlem10  35330  irrdiff  37360  iooelexlt  37396  ltflcei  37648  poimirlem12  37672  poimirlem13  37673  poimirlem14  37674  poimirlem31  37691  poimirlem32  37692  itg2addnclem2  37712  itg2addnclem3  37713  monoords  45338  supxrgere  45372  infleinflem2  45409  unb2ltle  45453  limsupre3lem  45770  xlimxrre  45869  xlimmnfv  45872  stoweidlem14  46052  stoweidlem34  46072  fourierdlem11  46156  fourierdlem12  46157  fourierdlem15  46160  fourierdlem42  46187  fourierdlem50  46194  fourierdlem64  46208  fourierdlem79  46223  smfresal  46826  zm1nn  47333  ceilbi  47364  m1mod0mod1  47385  m1modmmod  47389  nn0oALTV  47727  perfectALTVlem2  47753  flnn0div2ge  48565  logbpw2m1  48599  fllog2  48600