Theorem peano2rem 11521

Description: "Reverse" second Peano postulate analogue for reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
peano2rem	⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Proof of Theorem peano2rem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11204	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		resubcl 11518	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan2 703	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7408  ℝcr 11095  1c1 11097   − cmin 11437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-ltxr 11244  df-sub 11439  df-neg 11440

This theorem is referenced by:  lem1  12054  addltmul  12476  div4p1lem1div2  12495  nnunb  12496  suprzcl  12672  zbtwnre  12966  rebtwnz  12967  qbtwnre  13221  qbtwnxr  13222  xnn0lem1lt  13266  xrinfmsslem  13330  xrub  13334  reltre  13363  elfznelfzo  13798  fldiv4p1lem1div2  13864  fldiv4lem1div2uz2  13865  ceile  13878  intfracq  13888  fldiv  13889  m1modnnsub1  13949  expubnd  14210  bernneq2  14262  expnbnd  14264  cshwidxm1  14840  isercolllem1  15712  chnccat  18678  tgioo  24918  icoopnst  25063  mbfi1fseqlem6  25844  dvfsumlem1  26150  dvfsumlem2  26151  dgreq0  26387  advlog  26781  atanlogsublem  27042  birthdaylem3  27080  wilthlem1  27194  ftalem5  27203  ppiub  27330  chtublem  27337  chtub  27338  logfaclbnd  27348  logfacbnd3  27349  perfectlem2  27356  lgsval2lem  27433  lgsqrlem2  27473  gausslemma2dlem0c  27484  gausslemma2dlem1a  27491  lgseisenlem2  27502  lgseisen  27505  lgsquadlem1  27506  lgsquadlem2  27507  2lgslem1c  27519  2lgsoddprmlem2  27535  rplogsumlem1  27610  selberg2lem  27676  pntrsumo1  27691  pntpbnd1a  27711  colinearalglem4  29196  axlowdimlem16  29244  axeuclidlem  29249  nbusgrvtxm1  29666  pthdlem1  30052  crctcshwlkn0lem1  30096  wwlksm1edg  30167  clwwlkel  30334  clwwlknonex2lem2  30396  numclwwlk7  30679  addltmulALT  32735  cvmliftlem2  35673  cvmliftlem6  35677  cvmliftlem8  35679  cvmliftlem9  35680  cvmliftlem10  35681  irrdiff  37853  iooelexlt  37891  ltflcei  38142  poimirlem12  38166  poimirlem13  38167  poimirlem14  38168  poimirlem31  38185  poimirlem32  38186  itg2addnclem2  38206  itg2addnclem3  38207  monoords  45901  supxrgere  45934  infleinflem2  45971  unb2ltle  46014  limsupre3lem  46331  xlimxrre  46430  xlimmnfv  46433  stoweidlem14  46613  stoweidlem34  46633  fourierdlem11  46717  fourierdlem12  46718  fourierdlem15  46721  fourierdlem42  46748  fourierdlem50  46755  fourierdlem64  46769  fourierdlem79  46784  smfresal  47387  chnsubseq  47481  zm1nn  47921  ceilbi  47956  m1mod0mod1  47979  m1modmmod  47983  2timesltsqm1  47998  nn0oALTV  48343  perfectALTVlem2  48369  flnn0div2ge  49191  logbpw2m1  49225  fllog2  49226