Theorem peano2rem 11603

Description: "Reverse" second Peano postulate analogue for reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
peano2rem	⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Proof of Theorem peano2rem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11290	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		resubcl 11600	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan2 690	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  1c1 11185   − cmin 11520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11522  df-neg 11523

This theorem is referenced by:  lem1  12137  addltmul  12529  div4p1lem1div2  12548  nnunb  12549  suprzcl  12723  zbtwnre  13011  rebtwnz  13012  qbtwnre  13261  qbtwnxr  13262  xnn0lem1lt  13306  xrinfmsslem  13370  xrub  13374  reltre  13402  elfznelfzo  13822  fldiv4p1lem1div2  13886  fldiv4lem1div2uz2  13887  ceile  13900  intfracq  13910  fldiv  13911  m1modnnsub1  13968  expubnd  14227  bernneq2  14279  expnbnd  14281  cshwidxm1  14855  isercolllem1  15713  tgioo  24837  icoopnst  24988  mbfi1fseqlem6  25775  dvfsumlem1  26086  dvfsumlem2  26087  dvfsumlem2OLD  26088  dgreq0  26325  advlog  26714  atanlogsublem  26976  birthdaylem3  27014  wilthlem1  27129  ftalem5  27138  ppiub  27266  chtublem  27273  chtub  27274  logfaclbnd  27284  logfacbnd3  27285  perfectlem2  27292  lgsval2lem  27369  lgsqrlem2  27409  gausslemma2dlem0c  27420  gausslemma2dlem1a  27427  lgseisenlem2  27438  lgseisen  27441  lgsquadlem1  27442  lgsquadlem2  27443  2lgslem1c  27455  2lgsoddprmlem2  27471  rplogsumlem1  27546  selberg2lem  27612  pntrsumo1  27627  pntpbnd1a  27647  colinearalglem4  28942  axlowdimlem16  28990  axeuclidlem  28995  nbusgrvtxm1  29414  pthdlem1  29802  crctcshwlkn0lem1  29843  wwlksm1edg  29914  clwwlkel  30078  clwwlknonex2lem2  30140  numclwwlk7  30423  addltmulALT  32478  cvmliftlem2  35254  cvmliftlem6  35258  cvmliftlem8  35260  cvmliftlem9  35261  cvmliftlem10  35262  irrdiff  37292  iooelexlt  37328  ltflcei  37568  poimirlem12  37592  poimirlem13  37593  poimirlem14  37594  poimirlem31  37611  poimirlem32  37612  itg2addnclem2  37632  itg2addnclem3  37633  monoords  45212  supxrgere  45248  infleinflem2  45286  unb2ltle  45330  limsupre3lem  45653  xlimxrre  45752  xlimmnfv  45755  stoweidlem14  45935  stoweidlem34  45955  fourierdlem11  46039  fourierdlem12  46040  fourierdlem15  46043  fourierdlem42  46070  fourierdlem50  46077  fourierdlem64  46091  fourierdlem79  46106  smfresal  46709  zm1nn  47217  m1mod0mod1  47243  nn0oALTV  47570  perfectALTVlem2  47596  m1modmmod  48255  difmodm1lt  48256  flnn0div2ge  48267  logbpw2m1  48301  fllog2  48302