Theorem peano2rem 11625

Description: "Reverse" second Peano postulate analogue for reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
peano2rem	⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Proof of Theorem peano2rem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11308	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		resubcl 11622	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan2 704	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  1c1 11201   − cmin 11541

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-ltxr 11348  df-sub 11543  df-neg 11544

This theorem is used by:  lem1  12160  addltmul  12582  div4p1lem1div2  12601  nnunb  12602  suprzcl  12779  zbtwnre  13073  rebtwnz  13074  qbtwnre  13329  qbtwnxr  13330  xnn0lem1lt  13374  xrinfmsslem  13438  xrub  13442  reltre  13471  elfznelfzo  13908  fldiv4p1lem1div2  13975  fldiv4lem1div2uz2  13976  ceile  13989  intfracq  13999  fldiv  14000  m1modnnsub1  14060  expubnd  14321  bernneq2  14374  expnbnd  14376  cshwidxm1  14958  isercolllem1  15832  chnccat  18800  tgioo  25115  icoopnst  25260  mbfi1fseqlem6  26041  dvfsumlem1  26346  dvfsumlem2  26347  dgreq0  26584  advlog  26982  atanlogsublem  27243  birthdaylem3  27281  wilthlem1  27395  ftalem5  27404  ppiub  27531  chtublem  27538  chtub  27539  logfaclbnd  27549  logfacbnd3  27550  perfectlem2  27557  lgsval2lem  27634  lgsqrlem2  27674  gausslemma2dlem0c  27685  gausslemma2dlem1a  27692  lgseisenlem2  27703  lgseisen  27706  lgsquadlem1  27707  lgsquadlem2  27708  2lgslem1c  27720  2lgsoddprmlem2  27736  rplogsumlem1  27811  selberg2lem  27877  pntrsumo1  27892  pntpbnd1a  27912  colinearalglem4  29487  axlowdimlem16  29535  axeuclidlem  29540  nbusgrvtxm1  29960  pthdlem1  30352  crctcshwlkn0lem1  30399  wwlksm1edg  30470  clwwlkel  30637  clwwlknonex2lem2  30699  numclwwlk7  30992  addltmulALT  33048  cvmliftlem2  36051  cvmliftlem6  36055  cvmliftlem8  36057  cvmliftlem9  36058  cvmliftlem10  36059  irrdiff  38247  iooelexlt  38285  ltflcei  38531  poimirlem12  38550  poimirlem13  38551  poimirlem14  38552  poimirlem31  38569  poimirlem32  38570  itg2addnclem2  38590  itg2addnclem3  38591  monoords  46312  supxrgere  46344  infleinflem2  46381  unb2ltle  46424  limsupre3lem  46741  xlimxrre  46840  xlimmnfv  46843  stoweidlem14  47023  stoweidlem34  47043  fourierdlem11  47127  fourierdlem12  47128  fourierdlem15  47131  fourierdlem42  47158  fourierdlem50  47165  fourierdlem64  47179  fourierdlem79  47194  smfresal  47797  chnsubseq  47889  zm1nn  48371  ceilbi  48406  m1mod0mod1  48429  m1modmmod  48433  2timesltsqm1  48448  nn0oALTV  48793  perfectALTVlem2  48819  flnn0div2ge  49644  logbpw2m1  49678  fllog2  49679