Theorem peano2rem 11664

Description: "Reverse" second Peano postulate analogue for reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
peano2rem	⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Proof of Theorem peano2rem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11347	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		resubcl 11661	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan2 704	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  1c1 11240   − cmin 11580

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-ltxr 11387  df-sub 11582  df-neg 11583

This theorem is used by:  lem1  12200  addltmul  12622  div4p1lem1div2  12641  nnunb  12642  suprzcl  12819  zbtwnre  13113  rebtwnz  13114  qbtwnre  13369  qbtwnxr  13370  xnn0lem1lt  13414  xrinfmsslem  13478  xrub  13482  reltre  13511  elfznelfzo  13948  fldiv4p1lem1div2  14015  fldiv4lem1div2uz2  14016  ceile  14029  intfracq  14039  fldiv  14040  m1modnnsub1  14100  expubnd  14361  bernneq2  14415  expnbnd  14417  cshwidxm1  15000  isercolllem1  15876  chnccat  18850  tgioo  25170  icoopnst  25315  mbfi1fseqlem6  26096  dvfsumlem1  26401  dvfsumlem2  26402  dgreq0  26639  advlog  27039  atanlogsublem  27300  birthdaylem3  27338  wilthlem1  27452  ftalem5  27461  ppiub  27588  chtublem  27595  chtub  27596  logfaclbnd  27606  logfacbnd3  27607  perfectlem2  27614  lgsval2lem  27691  lgsqrlem2  27731  gausslemma2dlem0c  27742  gausslemma2dlem1a  27749  lgseisenlem2  27760  lgseisen  27763  lgsquadlem1  27764  lgsquadlem2  27765  2lgslem1c  27777  2lgsoddprmlem2  27793  rplogsumlem1  27868  selberg2lem  27934  pntrsumo1  27949  pntpbnd1a  27969  colinearalglem4  29544  axlowdimlem16  29592  axeuclidlem  29597  nbusgrvtxm1  30017  pthdlem1  30409  crctcshwlkn0lem1  30456  wwlksm1edg  30527  clwwlkel  30694  clwwlknonex2lem2  30756  numclwwlk7  31049  addltmulALT  33147  cvmliftlem2  36259  cvmliftlem6  36263  cvmliftlem8  36265  cvmliftlem9  36266  cvmliftlem10  36267  irrdiff  38515  iooelexlt  38553  ltflcei  38799  poimirlem12  38818  poimirlem13  38819  poimirlem14  38820  poimirlem31  38837  poimirlem32  38838  itg2addnclem2  38858  itg2addnclem3  38859  monoords  46586  supxrgere  46618  infleinflem2  46655  unb2ltle  46698  limsupre3lem  47015  xlimxrre  47114  xlimmnfv  47117  stoweidlem14  47297  stoweidlem34  47317  fourierdlem11  47401  fourierdlem12  47402  fourierdlem15  47405  fourierdlem42  47432  fourierdlem50  47439  fourierdlem64  47453  fourierdlem79  47468  smfresal  48071  chnsubseq  48163  zm1nn  48645  ceilbi  48680  m1mod0mod1  48703  m1modmmod  48707  2timesltsqm1  48722  nn0oALTV  49067  perfectALTVlem2  49093  flnn0div2ge  49976  logbpw2m1  50010  fllog2  50011