Theorem peano2rem 11439

Description: "Reverse" second Peano postulate analogue for reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
peano2rem	⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Proof of Theorem peano2rem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11123	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		resubcl 11436	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan2 691	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7355  ℝcr 11016  1c1 11018   − cmin 11355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-ltxr 11162  df-sub 11357  df-neg 11358

This theorem is referenced by:  lem1  11975  addltmul  12368  div4p1lem1div2  12387  nnunb  12388  suprzcl  12563  zbtwnre  12850  rebtwnz  12851  qbtwnre  13105  qbtwnxr  13106  xnn0lem1lt  13150  xrinfmsslem  13214  xrub  13218  reltre  13247  elfznelfzo  13680  fldiv4p1lem1div2  13746  fldiv4lem1div2uz2  13747  ceile  13760  intfracq  13770  fldiv  13771  m1modnnsub1  13831  expubnd  14092  bernneq2  14144  expnbnd  14146  cshwidxm1  14721  isercolllem1  15579  chnccat  18540  tgioo  24731  icoopnst  24883  mbfi1fseqlem6  25668  dvfsumlem1  25979  dvfsumlem2  25980  dvfsumlem2OLD  25981  dgreq0  26218  advlog  26610  atanlogsublem  26872  birthdaylem3  26910  wilthlem1  27025  ftalem5  27034  ppiub  27162  chtublem  27169  chtub  27170  logfaclbnd  27180  logfacbnd3  27181  perfectlem2  27188  lgsval2lem  27265  lgsqrlem2  27305  gausslemma2dlem0c  27316  gausslemma2dlem1a  27323  lgseisenlem2  27334  lgseisen  27337  lgsquadlem1  27338  lgsquadlem2  27339  2lgslem1c  27351  2lgsoddprmlem2  27367  rplogsumlem1  27442  selberg2lem  27508  pntrsumo1  27523  pntpbnd1a  27543  colinearalglem4  28908  axlowdimlem16  28956  axeuclidlem  28961  nbusgrvtxm1  29378  pthdlem1  29765  crctcshwlkn0lem1  29809  wwlksm1edg  29880  clwwlkel  30047  clwwlknonex2lem2  30109  numclwwlk7  30392  addltmulALT  32447  cvmliftlem2  35402  cvmliftlem6  35406  cvmliftlem8  35408  cvmliftlem9  35409  cvmliftlem10  35410  irrdiff  37443  iooelexlt  37479  ltflcei  37721  poimirlem12  37745  poimirlem13  37746  poimirlem14  37747  poimirlem31  37764  poimirlem32  37765  itg2addnclem2  37785  itg2addnclem3  37786  monoords  45461  supxrgere  45494  infleinflem2  45531  unb2ltle  45575  limsupre3lem  45892  xlimxrre  45991  xlimmnfv  45994  stoweidlem14  46174  stoweidlem34  46194  fourierdlem11  46278  fourierdlem12  46279  fourierdlem15  46282  fourierdlem42  46309  fourierdlem50  46316  fourierdlem64  46330  fourierdlem79  46345  smfresal  46948  chnsubseq  47040  zm1nn  47464  ceilbi  47495  m1mod0mod1  47516  m1modmmod  47520  nn0oALTV  47858  perfectALTVlem2  47884  flnn0div2ge  48695  logbpw2m1  48729  fllog2  48730