Theorem peano2rem 11452

Description: "Reverse" second Peano postulate analogue for reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
peano2rem	⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Proof of Theorem peano2rem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11135	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		resubcl 11449	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan2 697	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7356  ℝcr 11028  1c1 11030   − cmin 11368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370  df-neg 11371

This theorem is referenced by:  lem1  11989  addltmul  12404  div4p1lem1div2  12423  nnunb  12424  suprzcl  12600  zbtwnre  12887  rebtwnz  12888  qbtwnre  13142  qbtwnxr  13143  xnn0lem1lt  13187  xrinfmsslem  13251  xrub  13255  reltre  13284  elfznelfzo  13719  fldiv4p1lem1div2  13785  fldiv4lem1div2uz2  13786  ceile  13799  intfracq  13809  fldiv  13810  m1modnnsub1  13870  expubnd  14131  bernneq2  14183  expnbnd  14185  cshwidxm1  14760  isercolllem1  15618  chnccat  18583  tgioo  24779  icoopnst  24924  mbfi1fseqlem6  25705  dvfsumlem1  26011  dvfsumlem2  26012  dgreq0  26248  advlog  26636  atanlogsublem  26897  birthdaylem3  26935  wilthlem1  27049  ftalem5  27058  ppiub  27185  chtublem  27192  chtub  27193  logfaclbnd  27203  logfacbnd3  27204  perfectlem2  27211  lgsval2lem  27288  lgsqrlem2  27328  gausslemma2dlem0c  27339  gausslemma2dlem1a  27346  lgseisenlem2  27357  lgseisen  27360  lgsquadlem1  27361  lgsquadlem2  27362  2lgslem1c  27374  2lgsoddprmlem2  27390  rplogsumlem1  27465  selberg2lem  27531  pntrsumo1  27546  pntpbnd1a  27566  colinearalglem4  28996  axlowdimlem16  29044  axeuclidlem  29049  nbusgrvtxm1  29466  pthdlem1  29852  crctcshwlkn0lem1  29896  wwlksm1edg  29967  clwwlkel  30134  clwwlknonex2lem2  30196  numclwwlk7  30479  addltmulALT  32535  cvmliftlem2  35514  cvmliftlem6  35518  cvmliftlem8  35520  cvmliftlem9  35521  cvmliftlem10  35522  irrdiff  37686  iooelexlt  37724  ltflcei  37975  poimirlem12  37999  poimirlem13  38000  poimirlem14  38001  poimirlem31  38018  poimirlem32  38019  itg2addnclem2  38039  itg2addnclem3  38040  monoords  45745  supxrgere  45778  infleinflem2  45815  unb2ltle  45858  limsupre3lem  46175  xlimxrre  46274  xlimmnfv  46277  stoweidlem14  46457  stoweidlem34  46477  fourierdlem11  46561  fourierdlem12  46562  fourierdlem15  46565  fourierdlem42  46592  fourierdlem50  46599  fourierdlem64  46613  fourierdlem79  46628  smfresal  47231  chnsubseq  47325  zm1nn  47765  ceilbi  47800  m1mod0mod1  47823  m1modmmod  47827  2timesltsqm1  47842  nn0oALTV  48187  perfectALTVlem2  48213  flnn0div2ge  49024  logbpw2m1  49058  fllog2  49059