MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2rem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem peano2rem 10640
Description: "Reverse" second Peano postulate analogue for reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
peano2rem (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Proof of Theorem peano2rem
StepHypRef Expression
1 1re 10328 . 2 1 ∈ ℝ
2 resubcl 10637 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
31, 2mpan2 683 1 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2157  (class class class)co 6878  cr 10223  1c1 10225  cmin 10556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-po 5233  df-so 5234  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-ltxr 10368  df-sub 10558  df-neg 10559
This theorem is referenced by:  lem1  11156  addltmul  11556  div4p1lem1div2  11575  nnunb  11576  suprzcl  11747  zbtwnre  12031  rebtwnz  12032  qbtwnre  12279  qbtwnxr  12280  xrinfmsslem  12387  xrub  12391  reltre  12419  elfznelfzo  12828  fldiv4p1lem1div2  12891  fldiv4lem1div2uz2  12892  ceile  12903  intfracq  12913  fldiv  12914  m1modnnsub1  12971  expubnd  13175  bernneq2  13245  expnbnd  13247  cshwidxm1  13892  isercolllem1  14736  tgioo  22927  icoopnst  23066  mbfi1fseqlem6  23828  dvfsumlem1  24130  dvfsumlem2  24131  dgreq0  24362  advlog  24741  atanlogsublem  24994  birthdaylem3  25032  wilthlem1  25146  ftalem5  25155  ppiub  25281  chtublem  25288  chtub  25289  logfaclbnd  25299  logfacbnd3  25300  perfectlem2  25307  lgsval2lem  25384  lgsqrlem2  25424  gausslemma2dlem0c  25435  gausslemma2dlem1a  25442  lgseisenlem2  25453  lgseisen  25456  lgsquadlem1  25457  lgsquadlem2  25458  2lgslem1c  25470  2lgsoddprmlem2  25486  rplogsumlem1  25525  selberg2lem  25591  pntrsumo1  25606  pntpbnd1a  25626  colinearalglem4  26146  axlowdimlem16  26194  axeuclidlem  26199  nbusgrvtxm1  26623  pthdlem1  27020  crctcshwlkn0lem1  27061  wwlksm1edg  27138  wwlksm1edgOLD  27139  clwwlkel  27355  clwwlknonex2lem2  27448  numclwwlk7  27776  addltmulALT  29830  cvmliftlem2  31785  cvmliftlem6  31789  cvmliftlem8  31791  cvmliftlem9  31792  cvmliftlem10  31793  iooelexlt  33708  ltflcei  33886  poimirlem12  33910  poimirlem13  33911  poimirlem14  33912  poimirlem31  33929  poimirlem32  33930  itg2addnclem2  33950  itg2addnclem3  33951  monoords  40256  supxrgere  40293  infleinflem2  40331  unb2ltle  40385  limsupre3lem  40708  xlimxrre  40801  xlimmnfv  40804  stoweidlem14  40974  stoweidlem34  40994  fourierdlem11  41078  fourierdlem12  41079  fourierdlem15  41082  fourierdlem42  41109  fourierdlem50  41116  fourierdlem64  41130  fourierdlem79  41145  smfresal  41741  zm1nn  42157  m1mod0mod1  42179  nn0oALTV  42389  perfectALTVlem2  42413  m1modmmod  43115  difmodm1lt  43116  flnn0div2ge  43126  logbpw2m1  43160  fllog2  43161
  Copyright terms: Public domain W3C validator