Theorem peano2rem 11452

Description: "Reverse" second Peano postulate analogue for reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
peano2rem	⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Proof of Theorem peano2rem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11135	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		resubcl 11449	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan2 692	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  1c1 11030   − cmin 11368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370  df-neg 11371

This theorem is referenced by:  lem1  11989  addltmul  12404  div4p1lem1div2  12423  nnunb  12424  suprzcl  12600  zbtwnre  12887  rebtwnz  12888  qbtwnre  13142  qbtwnxr  13143  xnn0lem1lt  13187  xrinfmsslem  13251  xrub  13255  reltre  13284  elfznelfzo  13719  fldiv4p1lem1div2  13785  fldiv4lem1div2uz2  13786  ceile  13799  intfracq  13809  fldiv  13810  m1modnnsub1  13870  expubnd  14131  bernneq2  14183  expnbnd  14185  cshwidxm1  14760  isercolllem1  15618  chnccat  18583  tgioo  24771  icoopnst  24916  mbfi1fseqlem6  25697  dvfsumlem1  26003  dvfsumlem2  26004  dgreq0  26240  advlog  26631  atanlogsublem  26892  birthdaylem3  26930  wilthlem1  27045  ftalem5  27054  ppiub  27181  chtublem  27188  chtub  27189  logfaclbnd  27199  logfacbnd3  27200  perfectlem2  27207  lgsval2lem  27284  lgsqrlem2  27324  gausslemma2dlem0c  27335  gausslemma2dlem1a  27342  lgseisenlem2  27353  lgseisen  27356  lgsquadlem1  27357  lgsquadlem2  27358  2lgslem1c  27370  2lgsoddprmlem2  27386  rplogsumlem1  27461  selberg2lem  27527  pntrsumo1  27542  pntpbnd1a  27562  colinearalglem4  28992  axlowdimlem16  29040  axeuclidlem  29045  nbusgrvtxm1  29462  pthdlem1  29849  crctcshwlkn0lem1  29893  wwlksm1edg  29964  clwwlkel  30131  clwwlknonex2lem2  30193  numclwwlk7  30476  addltmulALT  32532  cvmliftlem2  35484  cvmliftlem6  35488  cvmliftlem8  35490  cvmliftlem9  35491  cvmliftlem10  35492  irrdiff  37656  iooelexlt  37692  ltflcei  37943  poimirlem12  37967  poimirlem13  37968  poimirlem14  37969  poimirlem31  37986  poimirlem32  37987  itg2addnclem2  38007  itg2addnclem3  38008  monoords  45748  supxrgere  45781  infleinflem2  45818  unb2ltle  45861  limsupre3lem  46178  xlimxrre  46277  xlimmnfv  46280  stoweidlem14  46460  stoweidlem34  46480  fourierdlem11  46564  fourierdlem12  46565  fourierdlem15  46568  fourierdlem42  46595  fourierdlem50  46602  fourierdlem64  46616  fourierdlem79  46631  smfresal  47234  chnsubseq  47326  zm1nn  47762  ceilbi  47797  m1mod0mod1  47820  m1modmmod  47824  2timesltsqm1  47839  nn0oALTV  48184  perfectALTVlem2  48210  flnn0div2ge  49021  logbpw2m1  49055  fllog2  49056