Theorem peano2rem 11629

Description: "Reverse" second Peano postulate analogue for reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
peano2rem	⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Proof of Theorem peano2rem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11312	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		resubcl 11626	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan2 704	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7421  ℝcr 11203  1c1 11205   − cmin 11545

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-ltxr 11352  df-sub 11547  df-neg 11548

This theorem is used by:  lem1  12164  addltmul  12586  div4p1lem1div2  12605  nnunb  12606  suprzcl  12783  zbtwnre  13077  rebtwnz  13078  qbtwnre  13333  qbtwnxr  13334  xnn0lem1lt  13378  xrinfmsslem  13442  xrub  13446  reltre  13475  elfznelfzo  13912  fldiv4p1lem1div2  13979  fldiv4lem1div2uz2  13980  ceile  13993  intfracq  14003  fldiv  14004  m1modnnsub1  14064  expubnd  14325  bernneq2  14378  expnbnd  14380  cshwidxm1  14963  isercolllem1  15838  chnccat  18806  tgioo  25121  icoopnst  25266  mbfi1fseqlem6  26047  dvfsumlem1  26352  dvfsumlem2  26353  dgreq0  26590  advlog  26988  atanlogsublem  27249  birthdaylem3  27287  wilthlem1  27401  ftalem5  27410  ppiub  27537  chtublem  27544  chtub  27545  logfaclbnd  27555  logfacbnd3  27556  perfectlem2  27563  lgsval2lem  27640  lgsqrlem2  27680  gausslemma2dlem0c  27691  gausslemma2dlem1a  27698  lgseisenlem2  27709  lgseisen  27712  lgsquadlem1  27713  lgsquadlem2  27714  2lgslem1c  27726  2lgsoddprmlem2  27742  rplogsumlem1  27817  selberg2lem  27883  pntrsumo1  27898  pntpbnd1a  27918  colinearalglem4  29493  axlowdimlem16  29541  axeuclidlem  29546  nbusgrvtxm1  29966  pthdlem1  30358  crctcshwlkn0lem1  30405  wwlksm1edg  30476  clwwlkel  30643  clwwlknonex2lem2  30705  numclwwlk7  30998  addltmulALT  33096  cvmliftlem2  36138  cvmliftlem6  36142  cvmliftlem8  36144  cvmliftlem9  36145  cvmliftlem10  36146  irrdiff  38341  iooelexlt  38379  ltflcei  38625  poimirlem12  38644  poimirlem13  38645  poimirlem14  38646  poimirlem31  38663  poimirlem32  38664  itg2addnclem2  38684  itg2addnclem3  38685  monoords  46407  supxrgere  46439  infleinflem2  46476  unb2ltle  46519  limsupre3lem  46836  xlimxrre  46935  xlimmnfv  46938  stoweidlem14  47118  stoweidlem34  47138  fourierdlem11  47222  fourierdlem12  47223  fourierdlem15  47226  fourierdlem42  47253  fourierdlem50  47260  fourierdlem64  47274  fourierdlem79  47289  smfresal  47892  chnsubseq  47984  zm1nn  48466  ceilbi  48501  m1mod0mod1  48524  m1modmmod  48528  2timesltsqm1  48543  nn0oALTV  48888  perfectALTVlem2  48914  flnn0div2ge  49739  logbpw2m1  49773  fllog2  49774