Theorem dicssdvh 42073

Description: The partial isomorphism C maps to a set of vectors in full vector space H. (Contributed by NM, 19-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dicssdvh.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dicssdvh.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dicssdvh.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dicssdvh.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
dicssdvh.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dicssdvh.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dicssdvh	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑄) ⊆ 𝑉)

Proof of Theorem dicssdvh

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑓 = (𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → 𝑓 = (𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)))
2		simpll 779	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑓 = (𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
3		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑓 = (𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
4		dicssdvh.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
5		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
6		dicssdvh.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7		dicssdvh.h	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8	4, 5, 6, 7	lhpocnel 40905	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ≤ 𝑊))
9	8	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑓 = (𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ≤ 𝑊))
10		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑓 = (𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊))
11		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
12		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) = (℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)
13	4, 6, 7, 11, 12	ltrniotacl 41466	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
14	2, 9, 10, 13	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑓 = (𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
15		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
16	7, 11, 15	tendocl 41654	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ (℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
17	2, 3, 14, 16	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑓 = (𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
18	1, 17	eqeltrd 2860	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑓 = (𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
19	18, 3, 3	jca31 524	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑓 = (𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
20	19	ex 418	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → ((𝑓 = (𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))))
21	20	ssopab2dv 5530	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → {⟨𝑓, 𝑠⟩ ∣ (𝑓 = (𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))} ⊆ {⟨𝑓, 𝑠⟩ ∣ ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))})
22		opabssxp 5747	. . 3 ⊢ {⟨𝑓, 𝑠⟩ ∣ ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))} ⊆ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
23	21, 22	sstrdi 3943	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → {⟨𝑓, 𝑠⟩ ∣ (𝑓 = (𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))} ⊆ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
24		eqid 2760	. . 3 ⊢ ((oc‘𝐾)‘𝑊) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
25		dicssdvh.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
26	4, 6, 7, 24, 11, 15, 25	dicval 42063	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑄) = {⟨𝑓, 𝑠⟩ ∣ (𝑓 = (𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))})
27		dicssdvh.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
28		dicssdvh.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
29	7, 11, 15, 27, 28	dvhvbase 41974	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑉 = (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
30	29	adantr 486	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → 𝑉 = (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
31	23, 26, 30	3sstr4d 3986	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑄) ⊆ 𝑉)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  {copab 5167   × cxp 5653  ‘cfv 6534  ℩crio 7371  Basecbs 17323  lecple 17371  occoc 17372  Atomscatm 40150  HLchlt 40237  LHypclh 40871  LTrncltrn 40988  TEndoctendo 41639  DVecHcdvh 41965  DIsoCcdic 42059

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7738  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-riotaBAD 39840

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7372  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-undef 8273  df-frecs 8282  df-wrecs 8313  df-recs 8362  df-rdg 8401  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11489  df-neg 11490  df-nn 12280  df-2 12349  df-3 12350  df-4 12351  df-5 12352  df-6 12353  df-n0 12551  df-z 12638  df-uz 12910  df-fz 13584  df-struct 17261  df-slot 17296  df-ndx 17308  df-base 17324  df-plusg 17377  df-sca 17380  df-vsca 17381  df-proset 18404  df-poset 18423  df-plt 18438  df-lub 18454  df-glb 18455  df-join 18456  df-meet 18457  df-p0 18533  df-p1 18534  df-lat 18542  df-clat 18609  df-oposet 40063  df-ol 40065  df-oml 40066  df-covers 40153  df-ats 40154  df-atl 40185  df-cvlat 40209  df-hlat 40238  df-llines 40385  df-lplanes 40386  df-lvols 40387  df-lines 40388  df-psubsp 40390  df-pmap 40391  df-padd 40683  df-lhyp 40875  df-laut 40876  df-ldil 40991  df-ltrn 40992  df-trl 41046  df-tendo 41642  df-dvech 41966  df-dic 42060

This theorem is used by:  dicelval1stN  42075  dicelval2nd  42076  dicvaddcl  42077  dicvscacl  42078  diclss  42080