Theorem dicssdvh 41143

Description: The partial isomorphism C maps to a set of vectors in full vector space H. (Contributed by NM, 19-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dicssdvh.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dicssdvh.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dicssdvh.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dicssdvh.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
dicssdvh.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dicssdvh.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dicssdvh	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑄) ⊆ 𝑉)

Proof of Theorem dicssdvh

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑓 = (𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → 𝑓 = (𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)))
2		simpll 766	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑓 = (𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
3		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑓 = (𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
4		dicssdvh.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
5		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
6		dicssdvh.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7		dicssdvh.h	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8	4, 5, 6, 7	lhpocnel 39975	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ≤ 𝑊))
9	8	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑓 = (𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ≤ 𝑊))
10		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑓 = (𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊))
11		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
12		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) = (℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)
13	4, 6, 7, 11, 12	ltrniotacl 40536	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
14	2, 9, 10, 13	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑓 = (𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
15		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
16	7, 11, 15	tendocl 40724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ (℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
17	2, 3, 14, 16	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑓 = (𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
18	1, 17	eqeltrd 2844	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑓 = (𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → 𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
19	18, 3, 3	jca31 514	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑓 = (𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
20	19	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → ((𝑓 = (𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))))
21	20	ssopab2dv 5570	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → {⟨𝑓, 𝑠⟩ ∣ (𝑓 = (𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))} ⊆ {⟨𝑓, 𝑠⟩ ∣ ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))})
22		opabssxp 5792	. . 3 ⊢ {⟨𝑓, 𝑠⟩ ∣ ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))} ⊆ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
23	21, 22	sstrdi 4021	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → {⟨𝑓, 𝑠⟩ ∣ (𝑓 = (𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))} ⊆ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
24		eqid 2740	. . 3 ⊢ ((oc‘𝐾)‘𝑊) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
25		dicssdvh.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
26	4, 6, 7, 24, 11, 15, 25	dicval 41133	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑄) = {⟨𝑓, 𝑠⟩ ∣ (𝑓 = (𝑠‘(℩𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) ∧ 𝑠 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))})
27		dicssdvh.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
28		dicssdvh.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
29	7, 11, 15, 27, 28	dvhvbase 41044	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑉 = (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
30	29	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → 𝑉 = (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
31	23, 26, 30	3sstr4d 4056	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑄) ⊆ 𝑉)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166  {copab 5228   × cxp 5698  ‘cfv 6573  ℩crio 7403  Basecbs 17258  lecple 17318  occoc 17319  Atomscatm 39219  HLchlt 39306  LHypclh 39941  LTrncltrn 40058  TEndoctendo 40709  DVecHcdvh 41035  DIsoCcdic 41129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-riotaBAD 38909

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-undef 8314  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-proset 18365  df-poset 18383  df-plt 18400  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-p0 18495  df-p1 18496  df-lat 18502  df-clat 18569  df-oposet 39132  df-ol 39134  df-oml 39135  df-covers 39222  df-ats 39223  df-atl 39254  df-cvlat 39278  df-hlat 39307  df-llines 39455  df-lplanes 39456  df-lvols 39457  df-lines 39458  df-psubsp 39460  df-pmap 39461  df-padd 39753  df-lhyp 39945  df-laut 39946  df-ldil 40061  df-ltrn 40062  df-trl 40116  df-tendo 40712  df-dvech 41036  df-dic 41130

This theorem is referenced by:  dicelval1stN  41145  dicelval2nd  41146  dicvaddcl  41147  dicvscacl  41148  diclss  41150