Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpocnel2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpocnel2 38528
Description: The orthocomplement of a co-atom is an atom not under it. Provides a convenient construction when we need the existence of any object with this property. (Contributed by NM, 20-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpocnel2.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lhpocnel2.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
lhpocnel2.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
lhpocnel2.p 𝑃 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lhpocnel2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))

Proof of Theorem lhpocnel2
StepHypRef Expression
1 lhpocnel2.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
2 eqid 2733 . . 3 (ocβ€˜πΎ) = (ocβ€˜πΎ)
3 lhpocnel2.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
4 lhpocnel2.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
51, 2, 3, 4lhpocnel 38527 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ≀ π‘Š))
6 lhpocnel2.p . . . 4 𝑃 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
76eleq1i 2825 . . 3 (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ 𝐴)
86breq1i 5113 . . . 4 (𝑃 ≀ π‘Š ↔ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ≀ π‘Š)
98notbii 320 . . 3 (Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š ↔ Β¬ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ≀ π‘Š)
107, 9anbi12i 628 . 2 ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ↔ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ≀ π‘Š))
115, 10sylibr 233 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  lecple 17145  occoc 17146  Atomscatm 37771  HLchlt 37858  LHypclh 38493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-lub 18240  df-glb 18241  df-meet 18243  df-p0 18319  df-p1 18320  df-lat 18326  df-oposet 37684  df-ol 37686  df-oml 37687  df-covers 37774  df-ats 37775  df-atl 37806  df-cvlat 37830  df-hlat 37859  df-lhyp 38497
This theorem is referenced by:  cdlemk56w  39482  diclspsn  39703  cdlemn3  39706  cdlemn4  39707  cdlemn4a  39708  cdlemn6  39711  cdlemn8  39713  cdlemn9  39714  cdlemn11a  39716  dihordlem7b  39724  dihopelvalcpre  39757  dihmeetlem1N  39799  dihglblem5apreN  39800  dihglbcpreN  39809  dihmeetlem4preN  39815  dihmeetlem13N  39828  dih1dimatlem0  39837  dih1dimatlem  39838  dihpN  39845  dihatexv  39847  dihjatcclem3  39929  dihjatcclem4  39930
  Copyright terms: Public domain W3C validator