Theorem lhpocnel2 37315

Description: The orthocomplement of a co-atom is an atom not under it. Provides a convenient construction when we need the existence of any object with this property. (Contributed by NM, 20-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpocnel2.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhpocnel2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpocnel2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lhpocnel2.p	⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lhpocnel2	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))

Proof of Theorem lhpocnel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lhpocnel2.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		eqid 2798	. . 3 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3		lhpocnel2.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		lhpocnel2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	lhpocnel 37314	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ≤ 𝑊))
6		lhpocnel2.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
7	6	eleq1i 2880	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴)
8	6	breq1i 5037	. . . 4 ⊢ (𝑃 ≤ 𝑊 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ≤ 𝑊)
9	8	notbii 323	. . 3 ⊢ (¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ↔ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ≤ 𝑊)
10	7, 9	anbi12i 629	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ≤ 𝑊))
11	5, 10	sylibr 237	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  lecple 16564  occoc 16565  Atomscatm 36559  HLchlt 36646  LHypclh 37280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-meet 17579  df-p0 17641  df-p1 17642  df-lat 17648  df-oposet 36472  df-ol 36474  df-oml 36475  df-covers 36562  df-ats 36563  df-atl 36594  df-cvlat 36618  df-hlat 36647  df-lhyp 37284

This theorem is referenced by:  cdlemk56w  38269  diclspsn  38490  cdlemn3  38493  cdlemn4  38494  cdlemn4a  38495  cdlemn6  38498  cdlemn8  38500  cdlemn9  38501  cdlemn11a  38503  dihordlem7b  38511  dihopelvalcpre  38544  dihmeetlem1N  38586  dihglblem5apreN  38587  dihglbcpreN  38596  dihmeetlem4preN  38602  dihmeetlem13N  38615  dih1dimatlem0  38624  dih1dimatlem  38625  dihpN  38632  dihatexv  38634  dihjatcclem3  38716  dihjatcclem4  38717