Theorem lhpocnel2 41120

Description: The orthocomplement of a co-atom is an atom not under it. Provides a convenient construction when we need the existence of any object with this property. (Contributed by NM, 20-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpocnel2.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhpocnel2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpocnel2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lhpocnel2.p	⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lhpocnel2	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))

Proof of Theorem lhpocnel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lhpocnel2.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3		lhpocnel2.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		lhpocnel2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	lhpocnel 41119	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ≤ 𝑊))
6		lhpocnel2.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
7	6	eleq1i 2851	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴)
8	6	breq1i 5109	. . . 4 ⊢ (𝑃 ≤ 𝑊 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ≤ 𝑊)
9	8	notbii 323	. . 3 ⊢ (¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ↔ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ≤ 𝑊)
10	7, 9	anbi12i 640	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ≤ 𝑊))
11	5, 10	sylibr 237	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  lecple 17436  occoc 17437  Atomscatm 40364  HLchlt 40451  LHypclh 41085

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-proset 18469  df-poset 18488  df-plt 18503  df-lub 18519  df-glb 18520  df-meet 18522  df-p0 18598  df-p1 18599  df-lat 18607  df-oposet 40277  df-ol 40279  df-oml 40280  df-covers 40367  df-ats 40368  df-atl 40399  df-cvlat 40423  df-hlat 40452  df-lhyp 41089

This theorem is used by:  cdlemk56w  42074  diclspsn  42295  cdlemn3  42298  cdlemn4  42299  cdlemn4a  42300  cdlemn6  42303  cdlemn8  42305  cdlemn9  42306  cdlemn11a  42308  dihordlem7b  42316  dihopelvalcpre  42349  dihmeetlem1N  42391  dihglblem5apreN  42392  dihglbcpreN  42401  dihmeetlem4preN  42407  dihmeetlem13N  42420  dih1dimatlem0  42429  dih1dimatlem  42430  dihpN  42437  dihatexv  42439  dihjatcclem3  42521  dihjatcclem4  42522