Theorem lhpocnel2 40021

Description: The orthocomplement of a co-atom is an atom not under it. Provides a convenient construction when we need the existence of any object with this property. (Contributed by NM, 20-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpocnel2.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhpocnel2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpocnel2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lhpocnel2.p	⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lhpocnel2	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))

Proof of Theorem lhpocnel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lhpocnel2.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3		lhpocnel2.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		lhpocnel2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	lhpocnel 40020	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ≤ 𝑊))
6		lhpocnel2.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
7	6	eleq1i 2832	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴)
8	6	breq1i 5150	. . . 4 ⊢ (𝑃 ≤ 𝑊 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ≤ 𝑊)
9	8	notbii 320	. . 3 ⊢ (¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ↔ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ≤ 𝑊)
10	7, 9	anbi12i 628	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ≤ 𝑊))
11	5, 10	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  lecple 17304  occoc 17305  Atomscatm 39264  HLchlt 39351  LHypclh 39986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-lhyp 39990

This theorem is referenced by:  cdlemk56w  40975  diclspsn  41196  cdlemn3  41199  cdlemn4  41200  cdlemn4a  41201  cdlemn6  41204  cdlemn8  41206  cdlemn9  41207  cdlemn11a  41209  dihordlem7b  41217  dihopelvalcpre  41250  dihmeetlem1N  41292  dihglblem5apreN  41293  dihglbcpreN  41302  dihmeetlem4preN  41308  dihmeetlem13N  41321  dih1dimatlem0  41330  dih1dimatlem  41331  dihpN  41338  dihatexv  41340  dihjatcclem3  41422  dihjatcclem4  41423