Theorem lhpocnel2 39998

Description: The orthocomplement of a co-atom is an atom not under it. Provides a convenient construction when we need the existence of any object with this property. (Contributed by NM, 20-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhpocnel2.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhpocnel2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpocnel2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lhpocnel2.p	⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lhpocnel2	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))

Proof of Theorem lhpocnel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lhpocnel2.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3		lhpocnel2.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		lhpocnel2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	lhpocnel 39997	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ≤ 𝑊))
6		lhpocnel2.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
7	6	eleq1i 2819	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴)
8	6	breq1i 5099	. . . 4 ⊢ (𝑃 ≤ 𝑊 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ≤ 𝑊)
9	8	notbii 320	. . 3 ⊢ (¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ↔ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ≤ 𝑊)
10	7, 9	anbi12i 628	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ≤ 𝑊))
11	5, 10	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  lecple 17168  occoc 17169  Atomscatm 39242  HLchlt 39329  LHypclh 39963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-proset 18200  df-poset 18219  df-plt 18234  df-lub 18250  df-glb 18251  df-meet 18253  df-p0 18329  df-p1 18330  df-lat 18338  df-oposet 39155  df-ol 39157  df-oml 39158  df-covers 39245  df-ats 39246  df-atl 39277  df-cvlat 39301  df-hlat 39330  df-lhyp 39967

This theorem is referenced by:  cdlemk56w  40952  diclspsn  41173  cdlemn3  41176  cdlemn4  41177  cdlemn4a  41178  cdlemn6  41181  cdlemn8  41183  cdlemn9  41184  cdlemn11a  41186  dihordlem7b  41194  dihopelvalcpre  41227  dihmeetlem1N  41269  dihglblem5apreN  41270  dihglbcpreN  41279  dihmeetlem4preN  41285  dihmeetlem13N  41298  dih1dimatlem0  41307  dih1dimatlem  41308  dihpN  41315  dihatexv  41317  dihjatcclem3  41399  dihjatcclem4  41400