Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpocnel2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpocnel2 37154
Description: The orthocomplement of a co-atom is an atom not under it. Provides a convenient construction when we need the existence of any object with this property. (Contributed by NM, 20-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpocnel2.l = (le‘𝐾)
lhpocnel2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpocnel2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lhpocnel2.p 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lhpocnel2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))

Proof of Theorem lhpocnel2
StepHypRef Expression
1 lhpocnel2.l . . 3 = (le‘𝐾)
2 eqid 2821 . . 3 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3 lhpocnel2.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 lhpocnel2.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
51, 2, 3, 4lhpocnel 37153 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) 𝑊))
6 lhpocnel2.p . . . 4 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
76eleq1i 2903 . . 3 (𝑃𝐴 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴)
86breq1i 5072 . . . 4 (𝑃 𝑊 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑊) 𝑊)
98notbii 322 . . 3 𝑃 𝑊 ↔ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) 𝑊)
107, 9anbi12i 628 . 2 ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) 𝑊))
115, 10sylibr 236 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110   class class class wbr 5065  cfv 6354  lecple 16571  occoc 16572  Atomscatm 36398  HLchlt 36485  LHypclh 37119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-proset 17537  df-poset 17555  df-plt 17567  df-lub 17583  df-glb 17584  df-meet 17586  df-p0 17648  df-p1 17649  df-lat 17655  df-oposet 36311  df-ol 36313  df-oml 36314  df-covers 36401  df-ats 36402  df-atl 36433  df-cvlat 36457  df-hlat 36486  df-lhyp 37123
This theorem is referenced by:  cdlemk56w  38108  diclspsn  38329  cdlemn3  38332  cdlemn4  38333  cdlemn4a  38334  cdlemn6  38337  cdlemn8  38339  cdlemn9  38340  cdlemn11a  38342  dihordlem7b  38350  dihopelvalcpre  38383  dihmeetlem1N  38425  dihglblem5apreN  38426  dihglbcpreN  38435  dihmeetlem4preN  38441  dihmeetlem13N  38454  dih1dimatlem0  38463  dih1dimatlem  38464  dihpN  38471  dihatexv  38473  dihjatcclem3  38555  dihjatcclem4  38556
  Copyright terms: Public domain W3C validator