Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalawlem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dalawlem1 38742
Description: Lemma for dalaw 38757. Special case of dath2 38608, where 𝐢 is replaced by ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)). The remaining lemmas will eliminate the conditions on the atoms imposed by dath2 38608. (Contributed by NM, 6-Oct-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalawlem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dalawlem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dalawlem.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dalawlem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dalawlem.o 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
dalawlem1 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≀ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆))))
Proof of Theorem dalawlem1
StepHypRef Expression
1 simp11 1204 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 38234 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 simp121 1306 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
4 simp131 1309 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ))) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
5 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
6 dalawlem.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
7 dalawlem.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
85, 6, 7hlatjcl 38237 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
91, 3, 4, 8syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
10 simp122 1307 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
11 simp132 1310 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ))) β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
125, 6, 7hlatjcl 38237 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
131, 10, 11, 12syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ))) β†’ (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
14 dalawlem.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
155, 14latmcl 18393 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
162, 9, 13, 15syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
171, 16jca 513 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ (Baseβ€˜πΎ)))
18 simp12 1205 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴))
19 simp13 1206 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ))) β†’ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴))
20 simp2l 1200 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂)
21 simp2r 1201 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ))) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂)
22 simp31 1210 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ))) β†’ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)))
23 simp32 1211 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ))) β†’ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)))
24 dalawlem.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
255, 24, 14latmle1 18417 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑆))
262, 9, 13, 25syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑆))
275, 24, 14latmle2 18418 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑇))
282, 9, 13, 27syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑇))
29 simp33 1212 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ))
3026, 28, 293jca 1129 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ))) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))
31 dalawlem.o . . 3 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
32 eqid 2733 . . 3 ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇))
33 eqid 2733 . . 3 ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ))
34 eqid 2733 . . 3 ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) = ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆))
355, 24, 6, 7, 14, 31, 32, 33, 34dath2 38608 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≀ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆))))
3617, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 30, 35syl323anc 1401 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑂 ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ))) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≀ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ∨ ((𝑅 ∨ 𝑃) ∧ (π‘ˆ ∨ 𝑆))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  lecple 17204  joincjn 18264  meetcmee 18265  Latclat 18384  Atomscatm 38133  HLchlt 38220  LPlanesclpl 38363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-llines 38369  df-lplanes 38370  df-lvols 38371
This theorem is referenced by:  dalaw  38757
  Copyright terms: Public domain W3C validator