MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmle 24688
Description: If the distance from each member of a converging sequence to a given point is less than or equal to a given amount, so is the convergence value. (Contributed by NM, 23-Dec-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmle.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
lmle.3 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
lmle.4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
lmle.6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
lmle.7 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃)
lmle.8 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑋)
lmle.9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
lmle.10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝑄𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) ≀ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
lmle (πœ‘ β†’ (𝑄𝐷𝑃) ≀ 𝑅)
Distinct variable groups:   𝐷,π‘˜   π‘˜,𝐽   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑍   π‘˜,𝐹   𝑃,π‘˜   𝑄,π‘˜   𝑅,π‘˜   π‘˜,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑀(π‘˜)

Proof of Theorem lmle
Dummy variables 𝑗 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmle.1 . . . 4 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 lmle.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3 lmle.3 . . . . . 6 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
43mopntopon 23815 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
52, 4syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
6 lmle.6 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
7 lmrel 22604 . . . . 5 Rel (β‡π‘‘β€˜π½)
8 lmle.7 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃)
9 releldm 5903 . . . . 5 ((Rel (β‡π‘‘β€˜π½) ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ 𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))
107, 8, 9sylancr 588 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))
111, 5, 6, 10lmff 22675 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)
12 eqid 2733 . . . 4 (β„€β‰₯β€˜π‘—) = (β„€β‰₯β€˜π‘—)
135adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
14 simprl 770 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
1514, 1eleqtrdi 2844 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
16 eluzelz 12781 . . . . 5 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
1715, 16syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
188adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)) β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃)
19 oveq2 7369 . . . . . 6 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘˜) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) = (𝑄𝐷(πΉβ€˜π‘˜)))
2019breq1d 5119 . . . . 5 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘˜) β†’ ((𝑄𝐷π‘₯) ≀ 𝑅 ↔ (𝑄𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) ≀ 𝑅))
21 fvres 6865 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—))β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
2221adantl 483 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—))β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
23 simprr 772 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)) β†’ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)
2423ffvelcdmda 7039 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
2522, 24eqeltrrd 2835 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
261uztrn2 12790 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
2714, 26sylan 581 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
28 lmle.10 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝑄𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) ≀ 𝑅)
2928adantlr 714 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝑄𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) ≀ 𝑅)
3027, 29syldan 592 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (𝑄𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) ≀ 𝑅)
3120, 25, 30elrabd 3651 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷π‘₯) ≀ 𝑅})
32 lmle.8 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑋)
33 lmle.9 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
34 eqid 2733 . . . . . . 7 {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷π‘₯) ≀ 𝑅} = {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷π‘₯) ≀ 𝑅}
353, 34blcld 23884 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷π‘₯) ≀ 𝑅} ∈ (Clsdβ€˜π½))
362, 32, 33, 35syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷π‘₯) ≀ 𝑅} ∈ (Clsdβ€˜π½))
3736adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)) β†’ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷π‘₯) ≀ 𝑅} ∈ (Clsdβ€˜π½))
3812, 13, 17, 18, 31, 37lmcld 22677 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)) β†’ 𝑃 ∈ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷π‘₯) ≀ 𝑅})
3911, 38rexlimddv 3155 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷π‘₯) ≀ 𝑅})
40 oveq2 7369 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑃 β†’ (𝑄𝐷π‘₯) = (𝑄𝐷𝑃))
4140breq1d 5119 . . . 4 (π‘₯ = 𝑃 β†’ ((𝑄𝐷π‘₯) ≀ 𝑅 ↔ (𝑄𝐷𝑃) ≀ 𝑅))
4241elrab 3649 . . 3 (𝑃 ∈ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷π‘₯) ≀ 𝑅} ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑄𝐷𝑃) ≀ 𝑅))
4342simprbi 498 . 2 (𝑃 ∈ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷π‘₯) ≀ 𝑅} β†’ (𝑄𝐷𝑃) ≀ 𝑅)
4439, 43syl 17 1 (πœ‘ β†’ (𝑄𝐷𝑃) ≀ 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3406   class class class wbr 5109  dom cdm 5637   β†Ύ cres 5639  Rel wrel 5642  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„*cxr 11196   ≀ cle 11198  β„€cz 12507  β„€β‰₯cuz 12771  βˆžMetcxmet 20804  MetOpencmopn 20809  TopOnctopon 22282  Clsdccld 22390  β‡π‘‘clm 22600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-topgen 17333  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-lm 22603
This theorem is referenced by:  nglmle  24689  minvecolem4  29871
  Copyright terms: Public domain W3C validator