Theorem lmle 25151

Description: If the distance from each member of a converging sequence to a given point is less than or equal to a given amount, so is the convergence value. (Contributed by NM, 23-Dec-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmle.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
lmle.3	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lmle.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
lmle.6	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
lmle.7	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
lmle.8	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑋)
lmle.9	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
lmle.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑄𝐷(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lmle	⊢ (𝜑 → (𝑄𝐷𝑃) ≤ 𝑅)

Distinct variable groups:   𝐷,𝑘   𝑘,𝐽   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝑄,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋

Allowed substitution hint:   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem lmle

Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmle.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		lmle.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3		lmle.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
4	3	mopntopon 24267	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6		lmle.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		lmrel 23056	. . . . 5 ⊢ Rel (⇝𝑡‘𝐽)
8		lmle.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
9		releldm 5933	. . . . 5 ⊢ ((Rel (⇝𝑡‘𝐽) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))
10	7, 8, 9	sylancr 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))
11	1, 5, 6, 10	lmff 23127	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)
12		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑗)
13	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
14		simprl 768	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
15	14, 1	eleqtrdi 2835	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
16		eluzelz 12829	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) → 𝑗 ∈ ℤ)
18	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
19		oveq2 7409	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑘) → (𝑄𝐷𝑥) = (𝑄𝐷(𝐹‘𝑘)))
20	19	breq1d 5148	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑘) → ((𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅 ↔ (𝑄𝐷(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑅))
21		fvres 6900	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
22	21	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
23		simprr 770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)
24	23	ffvelcdmda 7076	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗))‘𝑘) ∈ 𝑋)
25	22, 24	eqeltrrd 2826	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
26	1	uztrn2 12838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
27	14, 26	sylan 579	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
28		lmle.10	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑄𝐷(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑅)
29	28	adantlr 712	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑄𝐷(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑅)
30	27, 29	syldan 590	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑄𝐷(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑅)
31	20, 25, 30	elrabd 3677	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅})
32		lmle.8	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑋)
33		lmle.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
34		eqid 2724	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅} = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅}
35	3, 34	blcld 24336	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅} ∈ (Clsd‘𝐽))
36	2, 32, 33, 35	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅} ∈ (Clsd‘𝐽))
37	36	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅} ∈ (Clsd‘𝐽))
38	12, 13, 17, 18, 31, 37	lmcld 23129	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) → 𝑃 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅})
39	11, 38	rexlimddv 3153	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅})
40		oveq2 7409	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → (𝑄𝐷𝑥) = (𝑄𝐷𝑃))
41	40	breq1d 5148	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → ((𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅 ↔ (𝑄𝐷𝑃) ≤ 𝑅))
42	41	elrab 3675	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅} ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑄𝐷𝑃) ≤ 𝑅))
43	42	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅} → (𝑄𝐷𝑃) ≤ 𝑅)
44	39, 43	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄𝐷𝑃) ≤ 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3424   class class class wbr 5138  dom cdm 5666   ↾ cres 5668  Rel wrel 5671  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  ℝ^*cxr 11244   ≤ cle 11246  ℤcz 12555  ℤ_≥cuz 12819  ∞Metcxmet 21213  MetOpencmopn 21218  TopOnctopon 22734  Clsdccld 22842  ⇝_𝑡clm 23052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-topgen 17388  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-bl 21223  df-mopn 21224  df-top 22718  df-topon 22735  df-bases 22771  df-cld 22845  df-ntr 22846  df-cls 22847  df-lm 23055

This theorem is referenced by:  nglmle  25152  minvecolem4  30602