Theorem lmle 25268

Description: If the distance from each member of a converging sequence to a given point is less than or equal to a given amount, so is the convergence value. (Contributed by NM, 23-Dec-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmle.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
lmle.3	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lmle.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
lmle.6	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
lmle.7	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
lmle.8	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑋)
lmle.9	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
lmle.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑄𝐷(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lmle	⊢ (𝜑 → (𝑄𝐷𝑃) ≤ 𝑅)

Distinct variable groups:   𝐷,𝑘   𝑘,𝐽   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝑄,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋

Allowed substitution hint:   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem lmle

Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmle.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		lmle.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3		lmle.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
4	3	mopntopon 24404	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6		lmle.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		lmrel 23195	. . . . 5 ⊢ Rel (⇝𝑡‘𝐽)
8		lmle.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
9		releldm 5900	. . . . 5 ⊢ ((Rel (⇝𝑡‘𝐽) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))
10	7, 8, 9	sylancr 588	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))
11	1, 5, 6, 10	lmff 23266	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)
12		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑗)
13	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
14		simprl 771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
15	14, 1	eleqtrdi 2847	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
16		eluzelz 12798	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) → 𝑗 ∈ ℤ)
18	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
19		oveq2 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑘) → (𝑄𝐷𝑥) = (𝑄𝐷(𝐹‘𝑘)))
20	19	breq1d 5096	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑘) → ((𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅 ↔ (𝑄𝐷(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑅))
21		fvres 6860	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
22	21	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
23		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)
24	23	ffvelcdmda 7037	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗))‘𝑘) ∈ 𝑋)
25	22, 24	eqeltrrd 2838	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
26	1	uztrn2 12807	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
27	14, 26	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
28		lmle.10	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑄𝐷(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑅)
29	28	adantlr 716	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑄𝐷(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑅)
30	27, 29	syldan 592	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑄𝐷(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑅)
31	20, 25, 30	elrabd 3637	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅})
32		lmle.8	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑋)
33		lmle.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
34		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅} = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅}
35	3, 34	blcld 24470	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅} ∈ (Clsd‘𝐽))
36	2, 32, 33, 35	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅} ∈ (Clsd‘𝐽))
37	36	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅} ∈ (Clsd‘𝐽))
38	12, 13, 17, 18, 31, 37	lmcld 23268	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) → 𝑃 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅})
39	11, 38	rexlimddv 3145	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅})
40		oveq2 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → (𝑄𝐷𝑥) = (𝑄𝐷𝑃))
41	40	breq1d 5096	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → ((𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅 ↔ (𝑄𝐷𝑃) ≤ 𝑅))
42	41	elrab 3635	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅} ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑄𝐷𝑃) ≤ 𝑅))
43	42	simprbi 497	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅} → (𝑄𝐷𝑃) ≤ 𝑅)
44	39, 43	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄𝐷𝑃) ≤ 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390   class class class wbr 5086  dom cdm 5631   ↾ cres 5633  Rel wrel 5636  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  ℝ^*cxr 11178   ≤ cle 11180  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  ∞Metcxmet 21337  MetOpencmopn 21342  TopOnctopon 22875  Clsdccld 22981  ⇝_𝑡clm 23191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-topgen 17406  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-top 22859  df-topon 22876  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-lm 23194

This theorem is referenced by:  nglmle  25269  minvecolem4  30951