MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmle 24817
Description: If the distance from each member of a converging sequence to a given point is less than or equal to a given amount, so is the convergence value. (Contributed by NM, 23-Dec-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmle.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
lmle.3 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
lmle.4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
lmle.6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
lmle.7 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃)
lmle.8 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑋)
lmle.9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
lmle.10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝑄𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) ≀ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
lmle (πœ‘ β†’ (𝑄𝐷𝑃) ≀ 𝑅)
Distinct variable groups:   𝐷,π‘˜   π‘˜,𝐽   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑍   π‘˜,𝐹   𝑃,π‘˜   𝑄,π‘˜   𝑅,π‘˜   π‘˜,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑀(π‘˜)

Proof of Theorem lmle
Dummy variables 𝑗 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmle.1 . . . 4 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 lmle.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3 lmle.3 . . . . . 6 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
43mopntopon 23944 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
52, 4syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
6 lmle.6 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
7 lmrel 22733 . . . . 5 Rel (β‡π‘‘β€˜π½)
8 lmle.7 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃)
9 releldm 5943 . . . . 5 ((Rel (β‡π‘‘β€˜π½) ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ 𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))
107, 8, 9sylancr 587 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))
111, 5, 6, 10lmff 22804 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)
12 eqid 2732 . . . 4 (β„€β‰₯β€˜π‘—) = (β„€β‰₯β€˜π‘—)
135adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
14 simprl 769 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
1514, 1eleqtrdi 2843 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
16 eluzelz 12831 . . . . 5 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
1715, 16syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
188adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)) β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃)
19 oveq2 7416 . . . . . 6 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘˜) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) = (𝑄𝐷(πΉβ€˜π‘˜)))
2019breq1d 5158 . . . . 5 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘˜) β†’ ((𝑄𝐷π‘₯) ≀ 𝑅 ↔ (𝑄𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) ≀ 𝑅))
21 fvres 6910 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—))β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
2221adantl 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—))β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
23 simprr 771 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)) β†’ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)
2423ffvelcdmda 7086 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
2522, 24eqeltrrd 2834 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
261uztrn2 12840 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
2714, 26sylan 580 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
28 lmle.10 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝑄𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) ≀ 𝑅)
2928adantlr 713 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝑄𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) ≀ 𝑅)
3027, 29syldan 591 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (𝑄𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) ≀ 𝑅)
3120, 25, 30elrabd 3685 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷π‘₯) ≀ 𝑅})
32 lmle.8 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑋)
33 lmle.9 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
34 eqid 2732 . . . . . . 7 {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷π‘₯) ≀ 𝑅} = {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷π‘₯) ≀ 𝑅}
353, 34blcld 24013 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷π‘₯) ≀ 𝑅} ∈ (Clsdβ€˜π½))
362, 32, 33, 35syl3anc 1371 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷π‘₯) ≀ 𝑅} ∈ (Clsdβ€˜π½))
3736adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)) β†’ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷π‘₯) ≀ 𝑅} ∈ (Clsdβ€˜π½))
3812, 13, 17, 18, 31, 37lmcld 22806 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)) β†’ 𝑃 ∈ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷π‘₯) ≀ 𝑅})
3911, 38rexlimddv 3161 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷π‘₯) ≀ 𝑅})
40 oveq2 7416 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑃 β†’ (𝑄𝐷π‘₯) = (𝑄𝐷𝑃))
4140breq1d 5158 . . . 4 (π‘₯ = 𝑃 β†’ ((𝑄𝐷π‘₯) ≀ 𝑅 ↔ (𝑄𝐷𝑃) ≀ 𝑅))
4241elrab 3683 . . 3 (𝑃 ∈ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷π‘₯) ≀ 𝑅} ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑄𝐷𝑃) ≀ 𝑅))
4342simprbi 497 . 2 (𝑃 ∈ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷π‘₯) ≀ 𝑅} β†’ (𝑄𝐷𝑃) ≀ 𝑅)
4439, 43syl 17 1 (πœ‘ β†’ (𝑄𝐷𝑃) ≀ 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432   class class class wbr 5148  dom cdm 5676   β†Ύ cres 5678  Rel wrel 5681  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„*cxr 11246   ≀ cle 11248  β„€cz 12557  β„€β‰₯cuz 12821  βˆžMetcxmet 20928  MetOpencmopn 20933  TopOnctopon 22411  Clsdccld 22519  β‡π‘‘clm 22729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-topgen 17388  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-top 22395  df-topon 22412  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-lm 22732
This theorem is referenced by:  nglmle  24818  minvecolem4  30128
  Copyright terms: Public domain W3C validator