Theorem lmle 25261

Description: If the distance from each member of a converging sequence to a given point is less than or equal to a given amount, so is the convergence value. (Contributed by NM, 23-Dec-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmle.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
lmle.3	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lmle.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
lmle.6	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
lmle.7	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
lmle.8	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑋)
lmle.9	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
lmle.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑄𝐷(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lmle	⊢ (𝜑 → (𝑄𝐷𝑃) ≤ 𝑅)

Distinct variable groups:   𝐷,𝑘   𝑘,𝐽   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝑄,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋

Allowed substitution hint:   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem lmle

Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmle.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		lmle.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3		lmle.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
4	3	mopntopon 24387	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6		lmle.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		lmrel 23178	. . . . 5 ⊢ Rel (⇝𝑡‘𝐽)
8		lmle.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
9		releldm 5894	. . . . 5 ⊢ ((Rel (⇝𝑡‘𝐽) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))
10	7, 8, 9	sylancr 588	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))
11	1, 5, 6, 10	lmff 23249	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)
12		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑗)
13	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
14		simprl 771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
15	14, 1	eleqtrdi 2847	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
16		eluzelz 12765	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) → 𝑗 ∈ ℤ)
18	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
19		oveq2 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑘) → (𝑄𝐷𝑥) = (𝑄𝐷(𝐹‘𝑘)))
20	19	breq1d 5109	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑘) → ((𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅 ↔ (𝑄𝐷(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑅))
21		fvres 6854	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
22	21	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
23		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)
24	23	ffvelcdmda 7031	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗))‘𝑘) ∈ 𝑋)
25	22, 24	eqeltrrd 2838	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
26	1	uztrn2 12774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
27	14, 26	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
28		lmle.10	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑄𝐷(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑅)
29	28	adantlr 716	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑄𝐷(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑅)
30	27, 29	syldan 592	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑄𝐷(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑅)
31	20, 25, 30	elrabd 3649	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅})
32		lmle.8	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑋)
33		lmle.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
34		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅} = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅}
35	3, 34	blcld 24453	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅} ∈ (Clsd‘𝐽))
36	2, 32, 33, 35	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅} ∈ (Clsd‘𝐽))
37	36	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅} ∈ (Clsd‘𝐽))
38	12, 13, 17, 18, 31, 37	lmcld 23251	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) → 𝑃 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅})
39	11, 38	rexlimddv 3144	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅})
40		oveq2 7368	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → (𝑄𝐷𝑥) = (𝑄𝐷𝑃))
41	40	breq1d 5109	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → ((𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅 ↔ (𝑄𝐷𝑃) ≤ 𝑅))
42	41	elrab 3647	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅} ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑄𝐷𝑃) ≤ 𝑅))
43	42	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅} → (𝑄𝐷𝑃) ≤ 𝑅)
44	39, 43	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄𝐷𝑃) ≤ 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3400   class class class wbr 5099  dom cdm 5625   ↾ cres 5627  Rel wrel 5630  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℝ^*cxr 11169   ≤ cle 11171  ℤcz 12492  ℤ_≥cuz 12755  ∞Metcxmet 21298  MetOpencmopn 21303  TopOnctopon 22858  Clsdccld 22964  ⇝_𝑡clm 23174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-q 12866  df-rp 12910  df-xneg 13030  df-xadd 13031  df-xmul 13032  df-topgen 17367  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-top 22842  df-topon 22859  df-bases 22894  df-cld 22967  df-ntr 22968  df-cls 22969  df-lm 23177

This theorem is referenced by:  nglmle  25262  minvecolem4  30938