MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmle 25222
Description: If the distance from each member of a converging sequence to a given point is less than or equal to a given amount, so is the convergence value. (Contributed by NM, 23-Dec-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmle.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
lmle.3 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
lmle.4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
lmle.6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
lmle.7 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃)
lmle.8 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑋)
lmle.9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
lmle.10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝑄𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) ≀ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
lmle (πœ‘ β†’ (𝑄𝐷𝑃) ≀ 𝑅)
Distinct variable groups:   𝐷,π‘˜   π‘˜,𝐽   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑍   π‘˜,𝐹   𝑃,π‘˜   𝑄,π‘˜   𝑅,π‘˜   π‘˜,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑀(π‘˜)

Proof of Theorem lmle
Dummy variables 𝑗 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmle.1 . . . 4 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 lmle.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3 lmle.3 . . . . . 6 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
43mopntopon 24338 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
52, 4syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
6 lmle.6 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
7 lmrel 23127 . . . . 5 Rel (β‡π‘‘β€˜π½)
8 lmle.7 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃)
9 releldm 5940 . . . . 5 ((Rel (β‡π‘‘β€˜π½) ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃) β†’ 𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))
107, 8, 9sylancr 586 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))
111, 5, 6, 10lmff 23198 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)
12 eqid 2727 . . . 4 (β„€β‰₯β€˜π‘—) = (β„€β‰₯β€˜π‘—)
135adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
14 simprl 770 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
1514, 1eleqtrdi 2838 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
16 eluzelz 12856 . . . . 5 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
1715, 16syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
188adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)) β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃)
19 oveq2 7422 . . . . . 6 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘˜) β†’ (𝑄𝐷π‘₯) = (𝑄𝐷(πΉβ€˜π‘˜)))
2019breq1d 5152 . . . . 5 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘˜) β†’ ((𝑄𝐷π‘₯) ≀ 𝑅 ↔ (𝑄𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) ≀ 𝑅))
21 fvres 6910 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—))β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
2221adantl 481 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—))β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
23 simprr 772 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)) β†’ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)
2423ffvelcdmda 7088 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
2522, 24eqeltrrd 2829 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
261uztrn2 12865 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
2714, 26sylan 579 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
28 lmle.10 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝑄𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) ≀ 𝑅)
2928adantlr 714 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (𝑄𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) ≀ 𝑅)
3027, 29syldan 590 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (𝑄𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) ≀ 𝑅)
3120, 25, 30elrabd 3682 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷π‘₯) ≀ 𝑅})
32 lmle.8 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑋)
33 lmle.9 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
34 eqid 2727 . . . . . . 7 {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷π‘₯) ≀ 𝑅} = {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷π‘₯) ≀ 𝑅}
353, 34blcld 24407 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷π‘₯) ≀ 𝑅} ∈ (Clsdβ€˜π½))
362, 32, 33, 35syl3anc 1369 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷π‘₯) ≀ 𝑅} ∈ (Clsdβ€˜π½))
3736adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)) β†’ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷π‘₯) ≀ 𝑅} ∈ (Clsdβ€˜π½))
3812, 13, 17, 18, 31, 37lmcld 23200 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)βŸΆπ‘‹)) β†’ 𝑃 ∈ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷π‘₯) ≀ 𝑅})
3911, 38rexlimddv 3156 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷π‘₯) ≀ 𝑅})
40 oveq2 7422 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑃 β†’ (𝑄𝐷π‘₯) = (𝑄𝐷𝑃))
4140breq1d 5152 . . . 4 (π‘₯ = 𝑃 β†’ ((𝑄𝐷π‘₯) ≀ 𝑅 ↔ (𝑄𝐷𝑃) ≀ 𝑅))
4241elrab 3680 . . 3 (𝑃 ∈ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷π‘₯) ≀ 𝑅} ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑄𝐷𝑃) ≀ 𝑅))
4342simprbi 496 . 2 (𝑃 ∈ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷π‘₯) ≀ 𝑅} β†’ (𝑄𝐷𝑃) ≀ 𝑅)
4439, 43syl 17 1 (πœ‘ β†’ (𝑄𝐷𝑃) ≀ 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3427   class class class wbr 5142  dom cdm 5672   β†Ύ cres 5674  Rel wrel 5677  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„*cxr 11271   ≀ cle 11273  β„€cz 12582  β„€β‰₯cuz 12846  βˆžMetcxmet 21257  MetOpencmopn 21262  TopOnctopon 22805  Clsdccld 22913  β‡π‘‘clm 23123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-q 12957  df-rp 13001  df-xneg 13118  df-xadd 13119  df-xmul 13120  df-topgen 17418  df-psmet 21264  df-xmet 21265  df-bl 21267  df-mopn 21268  df-top 22789  df-topon 22806  df-bases 22842  df-cld 22916  df-ntr 22917  df-cls 22918  df-lm 23126
This theorem is referenced by:  nglmle  25223  minvecolem4  30683
  Copyright terms: Public domain W3C validator