Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmle 23896
 Description: If the distance from each member of a converging sequence to a given point is less than or equal to a given amount, so is the convergence value. (Contributed by NM, 23-Dec-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmle.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
lmle.3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lmle.4 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
lmle.6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
lmle.7 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
lmle.8 (𝜑𝑄𝑋)
lmle.9 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
lmle.10 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑄𝐷(𝐹𝑘)) ≤ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
lmle (𝜑 → (𝑄𝐷𝑃) ≤ 𝑅)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑘   𝑘,𝐽   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝑄,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem lmle
Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmle.1 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 lmle.4 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3 lmle.3 . . . . . 6 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
43mopntopon 23041 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
52, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6 lmle.6 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 lmrel 21830 . . . . 5 Rel (⇝𝑡𝐽)
8 lmle.7 . . . . 5 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
9 releldm 5807 . . . . 5 ((Rel (⇝𝑡𝐽) ∧ 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃) → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
107, 8, 9sylancr 589 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
111, 5, 6, 10lmff 21901 . . 3 (𝜑 → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶𝑋)
12 eqid 2819 . . . 4 (ℤ𝑗) = (ℤ𝑗)
135adantr 483 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
14 simprl 769 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶𝑋)) → 𝑗𝑍)
1514, 1eleqtrdi 2921 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶𝑋)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
16 eluzelz 12245 . . . . 5 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
1715, 16syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶𝑋)) → 𝑗 ∈ ℤ)
188adantr 483 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶𝑋)) → 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
19 oveq2 7156 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐹𝑘) → (𝑄𝐷𝑥) = (𝑄𝐷(𝐹𝑘)))
2019breq1d 5067 . . . . 5 (𝑥 = (𝐹𝑘) → ((𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅 ↔ (𝑄𝐷(𝐹𝑘)) ≤ 𝑅))
21 fvres 6682 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
2221adantl 484 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
23 simprr 771 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶𝑋)) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶𝑋)
2423ffvelrnda 6844 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗))‘𝑘) ∈ 𝑋)
2522, 24eqeltrrd 2912 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
261uztrn2 12254 . . . . . . 7 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
2714, 26sylan 582 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
28 lmle.10 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑄𝐷(𝐹𝑘)) ≤ 𝑅)
2928adantlr 713 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑄𝐷(𝐹𝑘)) ≤ 𝑅)
3027, 29syldan 593 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑄𝐷(𝐹𝑘)) ≤ 𝑅)
3120, 25, 30elrabd 3680 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ {𝑥𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅})
32 lmle.8 . . . . . 6 (𝜑𝑄𝑋)
33 lmle.9 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
34 eqid 2819 . . . . . . 7 {𝑥𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅} = {𝑥𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅}
353, 34blcld 23107 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑄𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → {𝑥𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅} ∈ (Clsd‘𝐽))
362, 32, 33, 35syl3anc 1366 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅} ∈ (Clsd‘𝐽))
3736adantr 483 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶𝑋)) → {𝑥𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅} ∈ (Clsd‘𝐽))
3812, 13, 17, 18, 31, 37lmcld 21903 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶𝑋)) → 𝑃 ∈ {𝑥𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅})
3911, 38rexlimddv 3289 . 2 (𝜑𝑃 ∈ {𝑥𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅})
40 oveq2 7156 . . . . 5 (𝑥 = 𝑃 → (𝑄𝐷𝑥) = (𝑄𝐷𝑃))
4140breq1d 5067 . . . 4 (𝑥 = 𝑃 → ((𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅 ↔ (𝑄𝐷𝑃) ≤ 𝑅))
4241elrab 3678 . . 3 (𝑃 ∈ {𝑥𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅} ↔ (𝑃𝑋 ∧ (𝑄𝐷𝑃) ≤ 𝑅))
4342simprbi 499 . 2 (𝑃 ∈ {𝑥𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅} → (𝑄𝐷𝑃) ≤ 𝑅)
4439, 43syl 17 1 (𝜑 → (𝑄𝐷𝑃) ≤ 𝑅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1531   ∈ wcel 2108  {crab 3140   class class class wbr 5057  dom cdm 5548   ↾ cres 5550  Rel wrel 5553  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  ℝ*cxr 10666   ≤ cle 10668  ℤcz 11973  ℤ≥cuz 12235  ∞Metcxmet 20522  MetOpencmopn 20527  TopOnctopon 21510  Clsdccld 21616  ⇝𝑡clm 21826 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-topgen 16709  df-psmet 20529  df-xmet 20530  df-bl 20532  df-mopn 20533  df-top 21494  df-topon 21511  df-bases 21546  df-cld 21619  df-ntr 21620  df-cls 21621  df-lm 21829 This theorem is referenced by:  nglmle  23897  minvecolem4  28649
 Copyright terms: Public domain W3C validator