Theorem lmle 25652

Description: If the distance from each member of a converging sequence to a given point is less than or equal to a given amount, so is the convergence value. (Contributed by NM, 23-Dec-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmle.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
lmle.3	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lmle.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
lmle.6	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
lmle.7	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
lmle.8	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑋)
lmle.9	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
lmle.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑄𝐷(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lmle	⊢ (𝜑 → (𝑄𝐷𝑃) ≤ 𝑅)

Distinct variable groups:   𝐷,𝑘   𝑘,𝐽   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝑄,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋

Allowed substitution hint:   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem lmle

Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmle.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		lmle.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3		lmle.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
4	3	mopntopon 24788	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5	2, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6		lmle.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		lmrel 23578	. . . . 5 ⊢ Rel (⇝𝑡‘𝐽)
8		lmle.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
9		releldm 5933	. . . . 5 ⊢ ((Rel (⇝𝑡‘𝐽) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃) → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))
10	7, 8, 9	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))
11	1, 5, 6, 10	lmff 23649	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)
12		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑗)
13	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
14		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
15	14, 1	eleqtrdi 2874	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
16		eluzelz 13002	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
17	15, 16	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) → 𝑗 ∈ ℤ)
18	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
19		oveq2 7451	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑘) → (𝑄𝐷𝑥) = (𝑄𝐷(𝐹‘𝑘)))
20	19	breq1d 5116	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑘) → ((𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅 ↔ (𝑄𝐷(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑅))
21		fvres 6927	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
22	21	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
23		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) → (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)
24	23	ffvelcdmda 7108	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗))‘𝑘) ∈ 𝑋)
25	22, 24	eqeltrrd 2865	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
26	1	uztrn2 13011	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
27	14, 26	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
28		lmle.10	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑄𝐷(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑅)
29	28	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑄𝐷(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑅)
30	27, 29	syldan 603	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑄𝐷(𝐹‘𝑘)) ≤ 𝑅)
31	20, 25, 30	elrabd 3650	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅})
32		lmle.8	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑋)
33		lmle.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
34		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅} = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅}
35	3, 34	blcld 24854	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑄 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅} ∈ (Clsd‘𝐽))
36	2, 32, 33, 35	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅} ∈ (Clsd‘𝐽))
37	36	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅} ∈ (Clsd‘𝐽))
38	12, 13, 17, 18, 31, 37	lmcld 23651	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶𝑋)) → 𝑃 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅})
39	11, 38	rexlimddv 3173	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅})
40		oveq2 7451	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → (𝑄𝐷𝑥) = (𝑄𝐷𝑃))
41	40	breq1d 5116	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → ((𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅 ↔ (𝑄𝐷𝑃) ≤ 𝑅))
42	41	elrab 3648	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅} ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝑄𝐷𝑃) ≤ 𝑅))
43	42	simprbi 503	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅} → (𝑄𝐷𝑃) ≤ 𝑅)
44	39, 43	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄𝐷𝑃) ≤ 𝑅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416   class class class wbr 5106  dom cdm 5655   ↾ cres 5657  Rel wrel 5660  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℝ^*cxr 11369   ≤ cle 11371  ℤcz 12720  ℤ_≥cuz 12992  ∞Metcxmet 21693  MetOpencmopn 21698  TopOnctopon 23258  Clsdccld 23364  ⇝_𝑡clm 23574

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-sup 9461  df-inf 9462  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-xneg 13268  df-xadd 13269  df-xmul 13270  df-topgen 17643  df-psmet 21700  df-xmet 21701  df-bl 21703  df-mopn 21704  df-top 23242  df-topon 23259  df-bases 23294  df-cld 23367  df-ntr 23368  df-cls 23369  df-lm 23577

This theorem is used by:  nglmle  25653  minvecolem4  31512