Theorem logdmss 26588

Description: The continuity domain of log is a subset of the regular domain of log. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
logcn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Assertion

Ref	Expression
logdmss	⊢ 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})

Proof of Theorem logdmss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logcn.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
2	1	ellogdm 26585	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+)))
3	2	simplbi 497	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ℂ)
4	1	logdmn0 26586	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ≠ 0)
5		eldifsn 4739	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
6	3, 4, 5	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
7	6	ssriv 3935	1 ⊢ 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  {csn 4577  (class class class)co 7355  ℂcc 11014  ℝcr 11015  0cc0 11016  -∞cmnf 11154  ℝ⁺crp 12900  (,]cioc 13256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-addrcl 11077  ax-rnegex 11087  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-rp 12901  df-ioc 13260

This theorem is referenced by:  logcn  26593  dvloglem  26594  logf1o2  26596  dvlog  26597  dvlog2  26599  logtayl  26606  dvatan  26882  efrlim  26916  efrlimOLD  26917  lgamcvg2  27002  readvrec  42470