Theorem logdmss 26702

Description: The continuity domain of log is a subset of the regular domain of log. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
logcn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Assertion

Ref	Expression
logdmss	⊢ 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})

Proof of Theorem logdmss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logcn.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
2	1	ellogdm 26699	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+)))
3	2	simplbi 497	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ℂ)
4	1	logdmn0 26700	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ≠ 0)
5		eldifsn 4811	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
6	3, 4, 5	sylanbrc 582	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
7	6	ssriv 4012	1 ⊢ 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   ∖ cdif 3973   ⊆ wss 3976  {csn 4648  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  -∞cmnf 11322  ℝ⁺crp 13057  (,]cioc 13408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-addrcl 11245  ax-rnegex 11255  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-rp 13058  df-ioc 13412

This theorem is referenced by:  logcn  26707  dvloglem  26708  logf1o2  26710  dvlog  26711  dvlog2  26713  logtayl  26720  dvatan  26996  efrlim  27030  efrlimOLD  27031  lgamcvg2  27116