Theorem logdmss 26783

Description: The continuity domain of log is a subset of the regular domain of log. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
logcn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Assertion

Ref	Expression
logdmss	⊢ 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})

Proof of Theorem logdmss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logcn.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
2	1	ellogdm 26780	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+)))
3	2	simplbi 501	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ℂ)
4	1	logdmn0 26781	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ≠ 0)
5		eldifsn 4752	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
6	3, 4, 5	sylanbrc 594	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
7	6	ssriv 3940	1 ⊢ 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   ∖ cdif 3901   ⊆ wss 3904  {csn 4588  (class class class)co 7410  ℂcc 11097  ℝcr 11098  0cc0 11099  -∞cmnf 11240  ℝ⁺crp 13015  (,]cioc 13372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-addrcl 11160  ax-rnegex 11170  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-rp 13016  df-ioc 13376

This theorem is referenced by:  logcn  26788  dvloglem  26789  logf1o2  26791  dvlog  26792  dvlog2  26794  logtayl  26801  dvatan  27076  efrlim  27110  lgamcvg2  27195  readvrec  43091