MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logdmss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logdmss 26699
Description: The continuity domain of log is a subset of the regular domain of log. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logcn.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
Assertion
Ref Expression
logdmss 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})

Proof of Theorem logdmss
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 logcn.d . . . . 5 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
21ellogdm 26696 . . . 4 (𝑥𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+)))
32simplbi 497 . . 3 (𝑥𝐷𝑥 ∈ ℂ)
41logdmn0 26697 . . 3 (𝑥𝐷𝑥 ≠ 0)
5 eldifsn 4791 . . 3 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
63, 4, 5sylanbrc 583 . 2 (𝑥𝐷𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
76ssriv 3999 1 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  cdif 3960  wss 3963  {csn 4631  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  -∞cmnf 11291  +crp 13032  (,]cioc 13385
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-addrcl 11214  ax-rnegex 11224  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-rp 13033  df-ioc 13389
This theorem is referenced by:  logcn  26704  dvloglem  26705  logf1o2  26707  dvlog  26708  dvlog2  26710  logtayl  26717  dvatan  26993  efrlim  27027  efrlimOLD  27028  lgamcvg2  27113
  Copyright terms: Public domain W3C validator