MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logdmss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logdmss 24726
Description: The continuity domain of log is a subset of the regular domain of log. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logcn.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
Assertion
Ref Expression
logdmss 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})

Proof of Theorem logdmss
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 logcn.d . . . . 5 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
21ellogdm 24723 . . . 4 (𝑥𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+)))
32simplbi 492 . . 3 (𝑥𝐷𝑥 ∈ ℂ)
41logdmn0 24724 . . 3 (𝑥𝐷𝑥 ≠ 0)
5 eldifsn 4504 . . 3 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
63, 4, 5sylanbrc 579 . 2 (𝑥𝐷𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
76ssriv 3800 1 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2969  cdif 3764  wss 3767  {csn 4366  (class class class)co 6876  cc 10220  cr 10221  0cc0 10222  -∞cmnf 10359  +crp 12070  (,]cioc 12421
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-addrcl 10283  ax-rnegex 10293  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-op 4373  df-uni 4627  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-id 5218  df-po 5231  df-so 5232  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-rp 12071  df-ioc 12425
This theorem is referenced by:  logcn  24731  dvloglem  24732  logf1o2  24734  dvlog  24735  dvlog2  24737  logtayl  24744  dvatan  25011  efrlim  25045  lgamcvg2  25130
  Copyright terms: Public domain W3C validator