Theorem logdmss 26571

Description: The continuity domain of log is a subset of the regular domain of log. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
logcn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Assertion

Ref	Expression
logdmss	⊢ 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})

Proof of Theorem logdmss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logcn.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
2	1	ellogdm 26568	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+)))
3	2	simplbi 497	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ℂ)
4	1	logdmn0 26569	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ≠ 0)
5		eldifsn 4736	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
6	3, 4, 5	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
7	6	ssriv 3936	1 ⊢ 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926   ∖ cdif 3897   ⊆ wss 3900  {csn 4574  (class class class)co 7341  ℂcc 10996  ℝcr 10997  0cc0 10998  -∞cmnf 11136  ℝ⁺crp 12882  (,]cioc 13238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-addrcl 11059  ax-rnegex 11069  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-rp 12883  df-ioc 13242

This theorem is referenced by:  logcn  26576  dvloglem  26577  logf1o2  26579  dvlog  26580  dvlog2  26582  logtayl  26589  dvatan  26865  efrlim  26899  efrlimOLD  26900  lgamcvg2  26985  readvrec  42374