Theorem logdmss 26631

Description: The continuity domain of log is a subset of the regular domain of log. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
logcn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Assertion

Ref	Expression
logdmss	⊢ 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})

Proof of Theorem logdmss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logcn.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
2	1	ellogdm 26628	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+)))
3	2	simplbi 497	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ℂ)
4	1	logdmn0 26629	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ≠ 0)
5		eldifsn 4726	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
6	3, 4, 5	sylanbrc 589	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
7	6	ssriv 3926	1 ⊢ 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  {csn 4562  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  ℝcr 11035  0cc0 11036  -∞cmnf 11175  ℝ⁺crp 12940  (,]cioc 13297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-addrcl 11097  ax-rnegex 11107  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-rp 12941  df-ioc 13301

This theorem is referenced by:  logcn  26636  dvloglem  26637  logf1o2  26639  dvlog  26640  dvlog2  26642  logtayl  26649  dvatan  26924  efrlim  26958  lgamcvg2  27043  readvrec  42840