Theorem logdmnrp 26386

Description: A number in the continuous domain of log is not a strictly negative number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
logcn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Assertion

Ref	Expression
logdmnrp	⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → ¬ -𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem logdmnrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifn 4127	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → ¬ 𝐴 ∈ (-∞(,]0))
2		logcn.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
3	1, 2	eleq2s 2850	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → ¬ 𝐴 ∈ (-∞(,]0))
4		rpre 12987	. . . . 5 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ+ → -𝐴 ∈ ℝ)
5	2	ellogdm 26384	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+)))
6	5	simplbi 497	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → 𝐴 ∈ ℂ)
7		negreb 11530	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (-𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
9	4, 8	imbitrid 243	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (-𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ))
10	9	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
11	10	mnfltd 13109	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → -∞ < 𝐴)
12		rpgt0 12991	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < -𝐴)
13	12	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 0 < -𝐴)
14	10	lt0neg1d 11788	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
15	13, 14	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 < 0)
16		0re 11221	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
17		ltle 11307	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 < 0 → 𝐴 ≤ 0))
18	10, 16, 17	sylancl 585	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐴 < 0 → 𝐴 ≤ 0))
19	15, 18	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ 0)
20		mnfxr 11276	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
21		elioc2 13392	. . . 4 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 0)))
22	20, 16, 21	mp2an 689	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 0))
23	10, 11, 19, 22	syl3anbrc 1342	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ (-∞(,]0))
24	3, 23	mtand 813	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → ¬ -𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∖ cdif 3945   class class class wbr 5148  (class class class)co 7412  ℂcc 11111  ℝcr 11112  0cc0 11113  -∞cmnf 11251  ℝ^*cxr 11252   < clt 11253   ≤ cle 11254  -cneg 11450  ℝ⁺crp 12979  (,]cioc 13330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-rp 12980  df-ioc 13334

This theorem is referenced by:  dvloglem  26393  logf1o2  26395