Theorem logdmnrp 26578

Description: A number in the continuous domain of log is not a strictly negative number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
logcn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Assertion

Ref	Expression
logdmnrp	⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → ¬ -𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem logdmnrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifn 4081	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → ¬ 𝐴 ∈ (-∞(,]0))
2		logcn.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
3	1, 2	eleq2s 2851	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → ¬ 𝐴 ∈ (-∞(,]0))
4		rpre 12901	. . . . 5 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ+ → -𝐴 ∈ ℝ)
5	2	ellogdm 26576	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+)))
6	5	simplbi 497	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → 𝐴 ∈ ℂ)
7		negreb 11433	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (-𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
9	4, 8	imbitrid 244	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (-𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ))
10	9	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
11	10	mnfltd 13025	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → -∞ < 𝐴)
12		rpgt0 12905	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < -𝐴)
13	12	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 0 < -𝐴)
14	10	lt0neg1d 11693	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
15	13, 14	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 < 0)
16		0re 11121	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
17		ltle 11208	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 < 0 → 𝐴 ≤ 0))
18	10, 16, 17	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐴 < 0 → 𝐴 ≤ 0))
19	15, 18	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ 0)
20		mnfxr 11176	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
21		elioc2 13311	. . . 4 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 0)))
22	20, 16, 21	mp2an 692	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 0))
23	10, 11, 19, 22	syl3anbrc 1344	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ (-∞(,]0))
24	3, 23	mtand 815	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → ¬ -𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∖ cdif 3895   class class class wbr 5093  (class class class)co 7352  ℂcc 11011  ℝcr 11012  0cc0 11013  -∞cmnf 11151  ℝ^*cxr 11152   < clt 11153   ≤ cle 11154  -cneg 11352  ℝ⁺crp 12892  (,]cioc 13248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-rp 12893  df-ioc 13252

This theorem is referenced by:  dvloglem  26585  logf1o2  26587