MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logdmnrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logdmnrp 26684
Description: A number in the continuous domain of log is not a strictly negative number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logcn.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
Assertion
Ref Expression
logdmnrp (𝐴𝐷 → ¬ -𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem logdmnrp
StepHypRef Expression
1 eldifn 4131 . . 3 (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → ¬ 𝐴 ∈ (-∞(,]0))
2 logcn.d . . 3 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
31, 2eleq2s 2858 . 2 (𝐴𝐷 → ¬ 𝐴 ∈ (-∞(,]0))
4 rpre 13044 . . . . 5 (-𝐴 ∈ ℝ+ → -𝐴 ∈ ℝ)
52ellogdm 26682 . . . . . . 7 (𝐴𝐷 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+)))
65simplbi 497 . . . . . 6 (𝐴𝐷𝐴 ∈ ℂ)
7 negreb 11575 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
86, 7syl 17 . . . . 5 (𝐴𝐷 → (-𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
94, 8imbitrid 244 . . . 4 (𝐴𝐷 → (-𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ))
109imp 406 . . 3 ((𝐴𝐷 ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
1110mnfltd 13167 . . 3 ((𝐴𝐷 ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → -∞ < 𝐴)
12 rpgt0 13048 . . . . . 6 (-𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < -𝐴)
1312adantl 481 . . . . 5 ((𝐴𝐷 ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 0 < -𝐴)
1410lt0neg1d 11833 . . . . 5 ((𝐴𝐷 ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
1513, 14mpbird 257 . . . 4 ((𝐴𝐷 ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 < 0)
16 0re 11264 . . . . 5 0 ∈ ℝ
17 ltle 11350 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 < 0 → 𝐴 ≤ 0))
1810, 16, 17sylancl 586 . . . 4 ((𝐴𝐷 ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐴 < 0 → 𝐴 ≤ 0))
1915, 18mpd 15 . . 3 ((𝐴𝐷 ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ 0)
20 mnfxr 11319 . . . 4 -∞ ∈ ℝ*
21 elioc2 13451 . . . 4 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴𝐴 ≤ 0)))
2220, 16, 21mp2an 692 . . 3 (𝐴 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴𝐴 ≤ 0))
2310, 11, 19, 22syl3anbrc 1343 . 2 ((𝐴𝐷 ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ (-∞(,]0))
243, 23mtand 815 1 (𝐴𝐷 → ¬ -𝐴 ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  cdif 3947   class class class wbr 5142  (class class class)co 7432  cc 11154  cr 11155  0cc0 11156  -∞cmnf 11294  *cxr 11295   < clt 11296  cle 11297  -cneg 11494  +crp 13035  (,]cioc 13389
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-rp 13036  df-ioc 13393
This theorem is referenced by:  dvloglem  26691  logf1o2  26693
  Copyright terms: Public domain W3C validator