Theorem logdmnrp 25701

Description: A number in the continuous domain of log is not a strictly negative number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
logcn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Assertion

Ref	Expression
logdmnrp	⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → ¬ -𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem logdmnrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifn 4058	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → ¬ 𝐴 ∈ (-∞(,]0))
2		logcn.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
3	1, 2	eleq2s 2857	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → ¬ 𝐴 ∈ (-∞(,]0))
4		rpre 12667	. . . . 5 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ+ → -𝐴 ∈ ℝ)
5	2	ellogdm 25699	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+)))
6	5	simplbi 497	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → 𝐴 ∈ ℂ)
7		negreb 11216	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (-𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
9	4, 8	syl5ib 243	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (-𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ))
10	9	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
11	10	mnfltd 12789	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → -∞ < 𝐴)
12		rpgt0 12671	. . . . . 6 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < -𝐴)
13	12	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 0 < -𝐴)
14	10	lt0neg1d 11474	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
15	13, 14	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 < 0)
16		0re 10908	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
17		ltle 10994	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 < 0 → 𝐴 ≤ 0))
18	10, 16, 17	sylancl 585	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐴 < 0 → 𝐴 ≤ 0))
19	15, 18	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ 0)
20		mnfxr 10963	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
21		elioc2 13071	. . . 4 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 0)))
22	20, 16, 21	mp2an 688	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 0))
23	10, 11, 19, 22	syl3anbrc 1341	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ -𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ (-∞(,]0))
24	3, 23	mtand 812	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → ¬ -𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3880   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  -∞cmnf 10938  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   ≤ cle 10941  -cneg 11136  ℝ⁺crp 12659  (,]cioc 13009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-rp 12660  df-ioc 13013

This theorem is referenced by:  dvloglem  25708  logf1o2  25710