MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logf1o2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logf1o2 25933
Description: The logarithm maps its continuous domain bijectively onto the set of numbers with imaginary part -π < ℑ(𝑧) < π. The negative reals are mapped to the numbers with imaginary part equal to π. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logcn.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
Assertion
Ref Expression
logf1o2 (log ↾ 𝐷):𝐷1-1-onto→(ℑ “ (-π(,)π))

Proof of Theorem logf1o2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 logf1o 25848 . . . 4 log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
2 f1of1 6779 . . . 4 (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → log:(ℂ ∖ {0})–1-1→ran log)
31, 2ax-mp 5 . . 3 log:(ℂ ∖ {0})–1-1→ran log
4 logcn.d . . . 4 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
54logdmss 25925 . . 3 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})
6 f1ores 6794 . . 3 ((log:(ℂ ∖ {0})–1-1→ran log ∧ 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (log ↾ 𝐷):𝐷1-1-onto→(log “ 𝐷))
73, 5, 6mp2an 691 . 2 (log ↾ 𝐷):𝐷1-1-onto→(log “ 𝐷)
8 f1ofun 6782 . . . . . . 7 (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → Fun log)
91, 8ax-mp 5 . . . . . 6 Fun log
10 f1of 6780 . . . . . . . . 9 (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
111, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8 log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log
1211fdmi 6676 . . . . . . 7 dom log = (ℂ ∖ {0})
135, 12sseqtrri 3980 . . . . . 6 𝐷 ⊆ dom log
14 funimass4 6903 . . . . . 6 ((Fun log ∧ 𝐷 ⊆ dom log) → ((log “ 𝐷) ⊆ (ℑ “ (-π(,)π)) ↔ ∀𝑥𝐷 (log‘𝑥) ∈ (ℑ “ (-π(,)π))))
159, 13, 14mp2an 691 . . . . 5 ((log “ 𝐷) ⊆ (ℑ “ (-π(,)π)) ↔ ∀𝑥𝐷 (log‘𝑥) ∈ (ℑ “ (-π(,)π)))
164ellogdm 25922 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+)))
1716simplbi 499 . . . . . . 7 (𝑥𝐷𝑥 ∈ ℂ)
184logdmn0 25923 . . . . . . 7 (𝑥𝐷𝑥 ≠ 0)
1917, 18logcld 25854 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
2019imcld 15015 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ)
2117, 18logimcld 25855 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → (-π < (ℑ‘(log‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) ≤ π))
2221simpld 496 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → -π < (ℑ‘(log‘𝑥)))
23 pire 25743 . . . . . . . . 9 π ∈ ℝ
2423a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → π ∈ ℝ)
2521simprd 497 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ≤ π)
264logdmnrp 25924 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐷 → ¬ -𝑥 ∈ ℝ+)
27 lognegb 25873 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (-𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝑥)) = π))
2817, 18, 27syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐷 → (-𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝑥)) = π))
2928necon3bbid 2980 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐷 → (¬ -𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝑥)) ≠ π))
3026, 29mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ≠ π)
3130necomd 2998 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → π ≠ (ℑ‘(log‘𝑥)))
3220, 24, 25, 31leneltd 11243 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) < π)
3323renegcli 11396 . . . . . . . . 9 -π ∈ ℝ
3433rexri 11147 . . . . . . . 8 -π ∈ ℝ*
3523rexri 11147 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ*
36 elioo2 13235 . . . . . . . 8 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π) ↔ ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ -π < (ℑ‘(log‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) < π)))
3734, 35, 36mp2an 691 . . . . . . 7 ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π) ↔ ((ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ -π < (ℑ‘(log‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) < π))
3820, 22, 32, 37syl3anbrc 1344 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π))
39 imf 14933 . . . . . . 7 ℑ:ℂ⟶ℝ
40 ffn 6664 . . . . . . 7 (ℑ:ℂ⟶ℝ → ℑ Fn ℂ)
41 elpreima 7004 . . . . . . 7 (ℑ Fn ℂ → ((log‘𝑥) ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ↔ ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π))))
4239, 40, 41mp2b 10 . . . . . 6 ((log‘𝑥) ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ↔ ((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ (-π(,)π)))
4319, 38, 42sylanbrc 584 . . . . 5 (𝑥𝐷 → (log‘𝑥) ∈ (ℑ “ (-π(,)π)))
4415, 43mprgbir 3070 . . . 4 (log “ 𝐷) ⊆ (ℑ “ (-π(,)π))
45 elpreima 7004 . . . . . . 7 (ℑ Fn ℂ → (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π))))
4639, 40, 45mp2b 10 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)))
47 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ℂ)
48 eliooord 13253 . . . . . . . . . . 11 ((ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π) → (-π < (ℑ‘𝑥) ∧ (ℑ‘𝑥) < π))
4948adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) → (-π < (ℑ‘𝑥) ∧ (ℑ‘𝑥) < π))
5049simpld 496 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) → -π < (ℑ‘𝑥))
5149simprd 497 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) → (ℑ‘𝑥) < π)
52 imcl 14931 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ → (ℑ‘𝑥) ∈ ℝ)
5352adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) → (ℑ‘𝑥) ∈ ℝ)
54 ltle 11177 . . . . . . . . . . 11 (((ℑ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝑥) < π → (ℑ‘𝑥) ≤ π))
5553, 23, 54sylancl 587 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) → ((ℑ‘𝑥) < π → (ℑ‘𝑥) ≤ π))
5651, 55mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) → (ℑ‘𝑥) ≤ π)
57 ellogrn 25843 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ran log ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘𝑥) ∧ (ℑ‘𝑥) ≤ π))
5847, 50, 56, 57syl3anbrc 1344 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ran log)
59 logef 25865 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ran log → (log‘(exp‘𝑥)) = 𝑥)
6058, 59syl 17 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) → (log‘(exp‘𝑥)) = 𝑥)
61 efcl 15901 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
6261adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
6353adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (ℑ‘𝑥) ∈ ℝ)
6463recnd 11117 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (ℑ‘𝑥) ∈ ℂ)
65 picn 25744 . . . . . . . . . . . . . 14 π ∈ ℂ
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → π ∈ ℂ)
67 pipos 25745 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < π
6823, 67gt0ne0ii 11625 . . . . . . . . . . . . . 14 π ≠ 0
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → π ≠ 0)
7051adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (ℑ‘𝑥) < π)
7165mulid1i 11093 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π · 1) = π
7270, 71breqtrrdi 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (ℑ‘𝑥) < (π · 1))
73 1re 11089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℝ
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
7523a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → π ∈ ℝ)
7667a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → 0 < π)
77 ltdivmul 11964 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((ℑ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)) → (((ℑ‘𝑥) / π) < 1 ↔ (ℑ‘𝑥) < (π · 1)))
7863, 74, 75, 76, 77syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (((ℑ‘𝑥) / π) < 1 ↔ (ℑ‘𝑥) < (π · 1)))
7972, 78mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝑥) / π) < 1)
80 1e0p1 12594 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 = (0 + 1)
8179, 80breqtrdi 5145 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝑥) / π) < (0 + 1))
8263recoscld 15962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (cos‘(ℑ‘𝑥)) ∈ ℝ)
8363resincld 15961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (sin‘(ℑ‘𝑥)) ∈ ℝ)
8482, 83crimd 15052 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (ℑ‘((cos‘(ℑ‘𝑥)) + (i · (sin‘(ℑ‘𝑥))))) = (sin‘(ℑ‘𝑥)))
85 efeul 15980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) = ((exp‘(ℜ‘𝑥)) · ((cos‘(ℑ‘𝑥)) + (i · (sin‘(ℑ‘𝑥))))))
8685ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (exp‘𝑥) = ((exp‘(ℜ‘𝑥)) · ((cos‘(ℑ‘𝑥)) + (i · (sin‘(ℑ‘𝑥))))))
8786oveq1d 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → ((exp‘𝑥) / (exp‘(ℜ‘𝑥))) = (((exp‘(ℜ‘𝑥)) · ((cos‘(ℑ‘𝑥)) + (i · (sin‘(ℑ‘𝑥))))) / (exp‘(ℜ‘𝑥))))
8882recnd 11117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (cos‘(ℑ‘𝑥)) ∈ ℂ)
89 ax-icn 11044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 i ∈ ℂ
9083recnd 11117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (sin‘(ℑ‘𝑥)) ∈ ℂ)
91 mulcl 11069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘(ℑ‘𝑥)) ∈ ℂ) → (i · (sin‘(ℑ‘𝑥))) ∈ ℂ)
9289, 90, 91sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (i · (sin‘(ℑ‘𝑥))) ∈ ℂ)
9388, 92addcld 11108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → ((cos‘(ℑ‘𝑥)) + (i · (sin‘(ℑ‘𝑥)))) ∈ ℂ)
94 recl 14930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ ℂ → (ℜ‘𝑥) ∈ ℝ)
9594ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (ℜ‘𝑥) ∈ ℝ)
9695recnd 11117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (ℜ‘𝑥) ∈ ℂ)
97 efcl 15901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((ℜ‘𝑥) ∈ ℂ → (exp‘(ℜ‘𝑥)) ∈ ℂ)
9896, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (exp‘(ℜ‘𝑥)) ∈ ℂ)
99 efne0 15915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((ℜ‘𝑥) ∈ ℂ → (exp‘(ℜ‘𝑥)) ≠ 0)
10096, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (exp‘(ℜ‘𝑥)) ≠ 0)
10193, 98, 100divcan3d 11870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (((exp‘(ℜ‘𝑥)) · ((cos‘(ℑ‘𝑥)) + (i · (sin‘(ℑ‘𝑥))))) / (exp‘(ℜ‘𝑥))) = ((cos‘(ℑ‘𝑥)) + (i · (sin‘(ℑ‘𝑥)))))
10287, 101eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → ((exp‘𝑥) / (exp‘(ℜ‘𝑥))) = ((cos‘(ℑ‘𝑥)) + (i · (sin‘(ℑ‘𝑥)))))
103 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (exp‘𝑥) ∈ ℝ)
10495reefcld 15906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (exp‘(ℜ‘𝑥)) ∈ ℝ)
105103, 104, 100redivcld 11917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → ((exp‘𝑥) / (exp‘(ℜ‘𝑥))) ∈ ℝ)
106102, 105eqeltrrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → ((cos‘(ℑ‘𝑥)) + (i · (sin‘(ℑ‘𝑥)))) ∈ ℝ)
107106reim0d 15045 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (ℑ‘((cos‘(ℑ‘𝑥)) + (i · (sin‘(ℑ‘𝑥))))) = 0)
10884, 107eqtr3d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (sin‘(ℑ‘𝑥)) = 0)
109 sineq0 25808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((ℑ‘𝑥) ∈ ℂ → ((sin‘(ℑ‘𝑥)) = 0 ↔ ((ℑ‘𝑥) / π) ∈ ℤ))
11064, 109syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → ((sin‘(ℑ‘𝑥)) = 0 ↔ ((ℑ‘𝑥) / π) ∈ ℤ))
111108, 110mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝑥) / π) ∈ ℤ)
112 0z 12444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℤ
113 zleltp1 12488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((ℑ‘𝑥) / π) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (((ℑ‘𝑥) / π) ≤ 0 ↔ ((ℑ‘𝑥) / π) < (0 + 1)))
114111, 112, 113sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (((ℑ‘𝑥) / π) ≤ 0 ↔ ((ℑ‘𝑥) / π) < (0 + 1)))
11581, 114mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝑥) / π) ≤ 0)
116 df-neg 11322 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -1 = (0 − 1)
11765mulm1i 11534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-1 · π) = -π
11850adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → -π < (ℑ‘𝑥))
119117, 118eqbrtrid 5139 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (-1 · π) < (ℑ‘𝑥))
12073renegcli 11396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -1 ∈ ℝ
121120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → -1 ∈ ℝ)
122 ltmuldiv 11962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-1 ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)) → ((-1 · π) < (ℑ‘𝑥) ↔ -1 < ((ℑ‘𝑥) / π)))
123121, 63, 75, 76, 122syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → ((-1 · π) < (ℑ‘𝑥) ↔ -1 < ((ℑ‘𝑥) / π)))
124119, 123mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → -1 < ((ℑ‘𝑥) / π))
125116, 124eqbrtrrid 5140 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (0 − 1) < ((ℑ‘𝑥) / π))
126 zlem1lt 12489 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℤ ∧ ((ℑ‘𝑥) / π) ∈ ℤ) → (0 ≤ ((ℑ‘𝑥) / π) ↔ (0 − 1) < ((ℑ‘𝑥) / π)))
127112, 111, 126sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((ℑ‘𝑥) / π) ↔ (0 − 1) < ((ℑ‘𝑥) / π)))
128125, 127mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → 0 ≤ ((ℑ‘𝑥) / π))
12963, 75, 69redivcld 11917 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝑥) / π) ∈ ℝ)
130 0re 11091 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
131 letri3 11174 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((ℑ‘𝑥) / π) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((ℑ‘𝑥) / π) = 0 ↔ (((ℑ‘𝑥) / π) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((ℑ‘𝑥) / π))))
132129, 130, 131sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (((ℑ‘𝑥) / π) = 0 ↔ (((ℑ‘𝑥) / π) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((ℑ‘𝑥) / π))))
133115, 128, 132mpbir2and 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝑥) / π) = 0)
13464, 66, 69, 133diveq0d 11872 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (ℑ‘𝑥) = 0)
135 reim0b 14939 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝑥) = 0))
136135ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝑥) = 0))
137134, 136mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
138137rpefcld 15923 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) ∧ (exp‘𝑥) ∈ ℝ) → (exp‘𝑥) ∈ ℝ+)
139138ex 414 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) → ((exp‘𝑥) ∈ ℝ → (exp‘𝑥) ∈ ℝ+))
1404ellogdm 25922 . . . . . . . . 9 ((exp‘𝑥) ∈ 𝐷 ↔ ((exp‘𝑥) ∈ ℂ ∧ ((exp‘𝑥) ∈ ℝ → (exp‘𝑥) ∈ ℝ+)))
14162, 139, 140sylanbrc 584 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) → (exp‘𝑥) ∈ 𝐷)
142 funfvima2 7176 . . . . . . . . 9 ((Fun log ∧ 𝐷 ⊆ dom log) → ((exp‘𝑥) ∈ 𝐷 → (log‘(exp‘𝑥)) ∈ (log “ 𝐷)))
1439, 13, 142mp2an 691 . . . . . . . 8 ((exp‘𝑥) ∈ 𝐷 → (log‘(exp‘𝑥)) ∈ (log “ 𝐷))
144141, 143syl 17 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) → (log‘(exp‘𝑥)) ∈ (log “ 𝐷))
14560, 144eqeltrrd 2840 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ (log “ 𝐷))
14646, 145sylbi 216 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ (log “ 𝐷))
147146ssriv 3947 . . . 4 (ℑ “ (-π(,)π)) ⊆ (log “ 𝐷)
14844, 147eqssi 3959 . . 3 (log “ 𝐷) = (ℑ “ (-π(,)π))
149 f1oeq3 6770 . . 3 ((log “ 𝐷) = (ℑ “ (-π(,)π)) → ((log ↾ 𝐷):𝐷1-1-onto→(log “ 𝐷) ↔ (log ↾ 𝐷):𝐷1-1-onto→(ℑ “ (-π(,)π))))
150148, 149ax-mp 5 . 2 ((log ↾ 𝐷):𝐷1-1-onto→(log “ 𝐷) ↔ (log ↾ 𝐷):𝐷1-1-onto→(ℑ “ (-π(,)π)))
1517, 150mpbi 229 1 (log ↾ 𝐷):𝐷1-1-onto→(ℑ “ (-π(,)π))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2942  wral 3063  cdif 3906  wss 3909  {csn 4585   class class class wbr 5104  ccnv 5630  dom cdm 5631  ran crn 5632  cres 5633  cima 5634  Fun wfun 6486   Fn wfn 6487  wf 6488  1-1wf1 6489  1-1-ontowf1o 6491  cfv 6492  (class class class)co 7350  cc 10983  cr 10984  0cc0 10985  1c1 10986  ici 10987   + caddc 10988   · cmul 10990  -∞cmnf 11121  *cxr 11122   < clt 11123  cle 11124  cmin 11319  -cneg 11320   / cdiv 11746  cz 12433  +crp 12845  (,)cioo 13194  (,]cioc 13195  cre 14917  cim 14918  expce 15880  sincsin 15882  cosccos 15883  πcpi 15885  logclog 25838
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-inf2 9511  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063  ax-addf 11064  ax-mulf 11065
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-of 7608  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-supp 8061  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8582  df-map 8701  df-pm 8702  df-ixp 8770  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-fsupp 9240  df-fi 9281  df-sup 9312  df-inf 9313  df-oi 9380  df-card 9809  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-7 12155  df-8 12156  df-9 12157  df-n0 12348  df-z 12434  df-dec 12553  df-uz 12698  df-q 12804  df-rp 12846  df-xneg 12963  df-xadd 12964  df-xmul 12965  df-ioo 13198  df-ioc 13199  df-ico 13200  df-icc 13201  df-fz 13355  df-fzo 13498  df-fl 13627  df-mod 13705  df-seq 13837  df-exp 13898  df-fac 14103  df-bc 14132  df-hash 14160  df-shft 14887  df-cj 14919  df-re 14920  df-im 14921  df-sqrt 15055  df-abs 15056  df-limsup 15289  df-clim 15306  df-rlim 15307  df-sum 15507  df-ef 15886  df-sin 15888  df-cos 15889  df-pi 15891  df-struct 16955  df-sets 16972  df-slot 16990  df-ndx 17002  df-base 17020  df-ress 17049  df-plusg 17082  df-mulr 17083  df-starv 17084  df-sca 17085  df-vsca 17086  df-ip 17087  df-tset 17088  df-ple 17089  df-ds 17091  df-unif 17092  df-hom 17093  df-cco 17094  df-rest 17240  df-topn 17241  df-0g 17259  df-gsum 17260  df-topgen 17261  df-pt 17262  df-prds 17265  df-xrs 17320  df-qtop 17325  df-imas 17326  df-xps 17328  df-mre 17402  df-mrc 17403  df-acs 17405  df-mgm 18433  df-sgrp 18482  df-mnd 18493  df-submnd 18538  df-mulg 18808  df-cntz 19032  df-cmn 19499  df-psmet 20717  df-xmet 20718  df-met 20719  df-bl 20720  df-mopn 20721  df-fbas 20722  df-fg 20723  df-cnfld 20726  df-top 22171  df-topon 22188  df-topsp 22210  df-bases 22224  df-cld 22298  df-ntr 22299  df-cls 22300  df-nei 22377  df-lp 22415  df-perf 22416  df-cn 22506  df-cnp 22507  df-haus 22594  df-tx 22841  df-hmeo 23034  df-fil 23125  df-fm 23217  df-flim 23218  df-flf 23219  df-xms 23601  df-ms 23602  df-tms 23603  df-cncf 24169  df-limc 25158  df-dv 25159  df-log 25840
This theorem is referenced by:  efopnlem2  25940
  Copyright terms: Public domain W3C validator