MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logf1o2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logf1o2 26028
Description: The logarithm maps its continuous domain bijectively onto the set of numbers with imaginary part -Ο€ < β„‘(𝑧) < Ο€. The negative reals are mapped to the numbers with imaginary part equal to Ο€. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logcn.d 𝐷 = (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))
Assertion
Ref Expression
logf1o2 (log β†Ύ 𝐷):𝐷–1-1-ontoβ†’(β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,)Ο€))

Proof of Theorem logf1o2
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 logf1o 25943 . . . 4 log:(β„‚ βˆ– {0})–1-1-ontoβ†’ran log
2 f1of1 6787 . . . 4 (log:(β„‚ βˆ– {0})–1-1-ontoβ†’ran log β†’ log:(β„‚ βˆ– {0})–1-1β†’ran log)
31, 2ax-mp 5 . . 3 log:(β„‚ βˆ– {0})–1-1β†’ran log
4 logcn.d . . . 4 𝐷 = (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))
54logdmss 26020 . . 3 𝐷 βŠ† (β„‚ βˆ– {0})
6 f1ores 6802 . . 3 ((log:(β„‚ βˆ– {0})–1-1β†’ran log ∧ 𝐷 βŠ† (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (log β†Ύ 𝐷):𝐷–1-1-ontoβ†’(log β€œ 𝐷))
73, 5, 6mp2an 691 . 2 (log β†Ύ 𝐷):𝐷–1-1-ontoβ†’(log β€œ 𝐷)
8 f1ofun 6790 . . . . . . 7 (log:(β„‚ βˆ– {0})–1-1-ontoβ†’ran log β†’ Fun log)
91, 8ax-mp 5 . . . . . 6 Fun log
10 f1of 6788 . . . . . . . . 9 (log:(β„‚ βˆ– {0})–1-1-ontoβ†’ran log β†’ log:(β„‚ βˆ– {0})⟢ran log)
111, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8 log:(β„‚ βˆ– {0})⟢ran log
1211fdmi 6684 . . . . . . 7 dom log = (β„‚ βˆ– {0})
135, 12sseqtrri 3985 . . . . . 6 𝐷 βŠ† dom log
14 funimass4 6911 . . . . . 6 ((Fun log ∧ 𝐷 βŠ† dom log) β†’ ((log β€œ 𝐷) βŠ† (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,)Ο€)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 (logβ€˜π‘₯) ∈ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,)Ο€))))
159, 13, 14mp2an 691 . . . . 5 ((log β€œ 𝐷) βŠ† (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,)Ο€)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 (logβ€˜π‘₯) ∈ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,)Ο€)))
164ellogdm 26017 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)))
1716simplbi 499 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
184logdmn0 26018 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ π‘₯ β‰  0)
1917, 18logcld 25949 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2019imcld 15089 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
2117, 18logimcld 25950 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (-Ο€ < (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)) ∧ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)) ≀ Ο€))
2221simpld 496 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ -Ο€ < (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))
23 pire 25838 . . . . . . . . 9 Ο€ ∈ ℝ
2423a1i 11 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ Ο€ ∈ ℝ)
2521simprd 497 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)) ≀ Ο€)
264logdmnrp 26019 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ Β¬ -π‘₯ ∈ ℝ+)
27 lognegb 25968 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0) β†’ (-π‘₯ ∈ ℝ+ ↔ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)) = Ο€))
2817, 18, 27syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (-π‘₯ ∈ ℝ+ ↔ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)) = Ο€))
2928necon3bbid 2978 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (Β¬ -π‘₯ ∈ ℝ+ ↔ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)) β‰  Ο€))
3026, 29mpbid 231 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)) β‰  Ο€)
3130necomd 2996 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ Ο€ β‰  (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))
3220, 24, 25, 31leneltd 11317 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)) < Ο€)
3323renegcli 11470 . . . . . . . . 9 -Ο€ ∈ ℝ
3433rexri 11221 . . . . . . . 8 -Ο€ ∈ ℝ*
3523rexri 11221 . . . . . . . 8 Ο€ ∈ ℝ*
36 elioo2 13314 . . . . . . . 8 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ*) β†’ ((β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)) ∈ (-Ο€(,)Ο€) ↔ ((β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ -Ο€ < (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)) ∧ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)) < Ο€)))
3734, 35, 36mp2an 691 . . . . . . 7 ((β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)) ∈ (-Ο€(,)Ο€) ↔ ((β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ -Ο€ < (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)) ∧ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)) < Ο€))
3820, 22, 32, 37syl3anbrc 1344 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)) ∈ (-Ο€(,)Ο€))
39 imf 15007 . . . . . . 7 β„‘:β„‚βŸΆβ„
40 ffn 6672 . . . . . . 7 (β„‘:β„‚βŸΆβ„ β†’ β„‘ Fn β„‚)
41 elpreima 7012 . . . . . . 7 (β„‘ Fn β„‚ β†’ ((logβ€˜π‘₯) ∈ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,)Ο€)) ↔ ((logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)) ∈ (-Ο€(,)Ο€))))
4239, 40, 41mp2b 10 . . . . . 6 ((logβ€˜π‘₯) ∈ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,)Ο€)) ↔ ((logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)) ∈ (-Ο€(,)Ο€)))
4319, 38, 42sylanbrc 584 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,)Ο€)))
4415, 43mprgbir 3068 . . . 4 (log β€œ 𝐷) βŠ† (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,)Ο€))
45 elpreima 7012 . . . . . . 7 (β„‘ Fn β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,)Ο€)) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€))))
4639, 40, 45mp2b 10 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,)Ο€)) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)))
47 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
48 eliooord 13332 . . . . . . . . . . 11 ((β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€) β†’ (-Ο€ < (β„‘β€˜π‘₯) ∧ (β„‘β€˜π‘₯) < Ο€))
4948adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ (-Ο€ < (β„‘β€˜π‘₯) ∧ (β„‘β€˜π‘₯) < Ο€))
5049simpld 496 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ -Ο€ < (β„‘β€˜π‘₯))
5149simprd 497 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ (β„‘β€˜π‘₯) < Ο€)
52 imcl 15005 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
5352adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
54 ltle 11251 . . . . . . . . . . 11 (((β„‘β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ) β†’ ((β„‘β€˜π‘₯) < Ο€ β†’ (β„‘β€˜π‘₯) ≀ Ο€))
5553, 23, 54sylancl 587 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ ((β„‘β€˜π‘₯) < Ο€ β†’ (β„‘β€˜π‘₯) ≀ Ο€))
5651, 55mpd 15 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ (β„‘β€˜π‘₯) ≀ Ο€)
57 ellogrn 25938 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ran log ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ -Ο€ < (β„‘β€˜π‘₯) ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ≀ Ο€))
5847, 50, 56, 57syl3anbrc 1344 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ π‘₯ ∈ ran log)
59 logef 25960 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ran log β†’ (logβ€˜(expβ€˜π‘₯)) = π‘₯)
6058, 59syl 17 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ (logβ€˜(expβ€˜π‘₯)) = π‘₯)
61 efcl 15973 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
6261adantr 482 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ (expβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
6353adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
6463recnd 11191 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
65 picn 25839 . . . . . . . . . . . . . 14 Ο€ ∈ β„‚
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ Ο€ ∈ β„‚)
67 pipos 25840 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < Ο€
6823, 67gt0ne0ii 11699 . . . . . . . . . . . . . 14 Ο€ β‰  0
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ Ο€ β‰  0)
7051adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (β„‘β€˜π‘₯) < Ο€)
7165mulid1i 11167 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Ο€ Β· 1) = Ο€
7270, 71breqtrrdi 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (β„‘β€˜π‘₯) < (Ο€ Β· 1))
73 1re 11163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℝ
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ 1 ∈ ℝ)
7523a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
7667a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ 0 < Ο€)
77 ltdivmul 12038 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((β„‘β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (Ο€ ∈ ℝ ∧ 0 < Ο€)) β†’ (((β„‘β€˜π‘₯) / Ο€) < 1 ↔ (β„‘β€˜π‘₯) < (Ο€ Β· 1)))
7863, 74, 75, 76, 77syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (((β„‘β€˜π‘₯) / Ο€) < 1 ↔ (β„‘β€˜π‘₯) < (Ο€ Β· 1)))
7972, 78mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ ((β„‘β€˜π‘₯) / Ο€) < 1)
80 1e0p1 12668 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 = (0 + 1)
8179, 80breqtrdi 5150 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ ((β„‘β€˜π‘₯) / Ο€) < (0 + 1))
8263recoscld 16034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (cosβ€˜(β„‘β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
8363resincld 16033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (sinβ€˜(β„‘β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
8482, 83crimd 15126 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (β„‘β€˜((cosβ€˜(β„‘β€˜π‘₯)) + (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜π‘₯))))) = (sinβ€˜(β„‘β€˜π‘₯)))
85 efeul 16052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜π‘₯) = ((expβ€˜(β„œβ€˜π‘₯)) Β· ((cosβ€˜(β„‘β€˜π‘₯)) + (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜π‘₯))))))
8685ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (expβ€˜π‘₯) = ((expβ€˜(β„œβ€˜π‘₯)) Β· ((cosβ€˜(β„‘β€˜π‘₯)) + (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜π‘₯))))))
8786oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ ((expβ€˜π‘₯) / (expβ€˜(β„œβ€˜π‘₯))) = (((expβ€˜(β„œβ€˜π‘₯)) Β· ((cosβ€˜(β„‘β€˜π‘₯)) + (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜π‘₯))))) / (expβ€˜(β„œβ€˜π‘₯))))
8882recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (cosβ€˜(β„‘β€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
89 ax-icn 11118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 i ∈ β„‚
9083recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (sinβ€˜(β„‘β€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
91 mulcl 11143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((i ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜(β„‘β€˜π‘₯)) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
9289, 90, 91sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜π‘₯))) ∈ β„‚)
9388, 92addcld 11182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ ((cosβ€˜(β„‘β€˜π‘₯)) + (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜π‘₯)))) ∈ β„‚)
94 recl 15004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (β„œβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
9594ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (β„œβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
9695recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (β„œβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
97 efcl 15973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((β„œβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(β„œβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
9896, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (expβ€˜(β„œβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
99 efne0 15987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((β„œβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(β„œβ€˜π‘₯)) β‰  0)
10096, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (expβ€˜(β„œβ€˜π‘₯)) β‰  0)
10193, 98, 100divcan3d 11944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (((expβ€˜(β„œβ€˜π‘₯)) Β· ((cosβ€˜(β„‘β€˜π‘₯)) + (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜π‘₯))))) / (expβ€˜(β„œβ€˜π‘₯))) = ((cosβ€˜(β„‘β€˜π‘₯)) + (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜π‘₯)))))
10287, 101eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ ((expβ€˜π‘₯) / (expβ€˜(β„œβ€˜π‘₯))) = ((cosβ€˜(β„‘β€˜π‘₯)) + (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜π‘₯)))))
103 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
10495reefcld 15978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (expβ€˜(β„œβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
105103, 104, 100redivcld 11991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ ((expβ€˜π‘₯) / (expβ€˜(β„œβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
106102, 105eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ ((cosβ€˜(β„‘β€˜π‘₯)) + (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜π‘₯)))) ∈ ℝ)
107106reim0d 15119 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (β„‘β€˜((cosβ€˜(β„‘β€˜π‘₯)) + (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜π‘₯))))) = 0)
10884, 107eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (sinβ€˜(β„‘β€˜π‘₯)) = 0)
109 sineq0 25903 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((β„‘β€˜π‘₯) ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜(β„‘β€˜π‘₯)) = 0 ↔ ((β„‘β€˜π‘₯) / Ο€) ∈ β„€))
11064, 109syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ ((sinβ€˜(β„‘β€˜π‘₯)) = 0 ↔ ((β„‘β€˜π‘₯) / Ο€) ∈ β„€))
111108, 110mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ ((β„‘β€˜π‘₯) / Ο€) ∈ β„€)
112 0z 12518 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ β„€
113 zleltp1 12562 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((β„‘β€˜π‘₯) / Ο€) ∈ β„€ ∧ 0 ∈ β„€) β†’ (((β„‘β€˜π‘₯) / Ο€) ≀ 0 ↔ ((β„‘β€˜π‘₯) / Ο€) < (0 + 1)))
114111, 112, 113sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (((β„‘β€˜π‘₯) / Ο€) ≀ 0 ↔ ((β„‘β€˜π‘₯) / Ο€) < (0 + 1)))
11581, 114mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ ((β„‘β€˜π‘₯) / Ο€) ≀ 0)
116 df-neg 11396 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -1 = (0 βˆ’ 1)
11765mulm1i 11608 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-1 Β· Ο€) = -Ο€
11850adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ -Ο€ < (β„‘β€˜π‘₯))
119117, 118eqbrtrid 5144 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (-1 Β· Ο€) < (β„‘β€˜π‘₯))
12073renegcli 11470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -1 ∈ ℝ
121120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ -1 ∈ ℝ)
122 ltmuldiv 12036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-1 ∈ ℝ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (Ο€ ∈ ℝ ∧ 0 < Ο€)) β†’ ((-1 Β· Ο€) < (β„‘β€˜π‘₯) ↔ -1 < ((β„‘β€˜π‘₯) / Ο€)))
123121, 63, 75, 76, 122syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ ((-1 Β· Ο€) < (β„‘β€˜π‘₯) ↔ -1 < ((β„‘β€˜π‘₯) / Ο€)))
124119, 123mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ -1 < ((β„‘β€˜π‘₯) / Ο€))
125116, 124eqbrtrrid 5145 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (0 βˆ’ 1) < ((β„‘β€˜π‘₯) / Ο€))
126 zlem1lt 12563 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ β„€ ∧ ((β„‘β€˜π‘₯) / Ο€) ∈ β„€) β†’ (0 ≀ ((β„‘β€˜π‘₯) / Ο€) ↔ (0 βˆ’ 1) < ((β„‘β€˜π‘₯) / Ο€)))
127112, 111, 126sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ ((β„‘β€˜π‘₯) / Ο€) ↔ (0 βˆ’ 1) < ((β„‘β€˜π‘₯) / Ο€)))
128125, 127mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ ((β„‘β€˜π‘₯) / Ο€))
12963, 75, 69redivcld 11991 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ ((β„‘β€˜π‘₯) / Ο€) ∈ ℝ)
130 0re 11165 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
131 letri3 11248 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((β„‘β€˜π‘₯) / Ο€) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (((β„‘β€˜π‘₯) / Ο€) = 0 ↔ (((β„‘β€˜π‘₯) / Ο€) ≀ 0 ∧ 0 ≀ ((β„‘β€˜π‘₯) / Ο€))))
132129, 130, 131sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (((β„‘β€˜π‘₯) / Ο€) = 0 ↔ (((β„‘β€˜π‘₯) / Ο€) ≀ 0 ∧ 0 ≀ ((β„‘β€˜π‘₯) / Ο€))))
133115, 128, 132mpbir2and 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ ((β„‘β€˜π‘₯) / Ο€) = 0)
13464, 66, 69, 133diveq0d 11946 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (β„‘β€˜π‘₯) = 0)
135 reim0b 15013 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↔ (β„‘β€˜π‘₯) = 0))
136135ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↔ (β„‘β€˜π‘₯) = 0))
137134, 136mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
138137rpefcld 15995 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
139138ex 414 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ ((expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ β†’ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+))
1404ellogdm 26017 . . . . . . . . 9 ((expβ€˜π‘₯) ∈ 𝐷 ↔ ((expβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ ((expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ β†’ (expβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)))
14162, 139, 140sylanbrc 584 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ (expβ€˜π‘₯) ∈ 𝐷)
142 funfvima2 7185 . . . . . . . . 9 ((Fun log ∧ 𝐷 βŠ† dom log) β†’ ((expβ€˜π‘₯) ∈ 𝐷 β†’ (logβ€˜(expβ€˜π‘₯)) ∈ (log β€œ 𝐷)))
1439, 13, 142mp2an 691 . . . . . . . 8 ((expβ€˜π‘₯) ∈ 𝐷 β†’ (logβ€˜(expβ€˜π‘₯)) ∈ (log β€œ 𝐷))
144141, 143syl 17 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ (logβ€˜(expβ€˜π‘₯)) ∈ (log β€œ 𝐷))
14560, 144eqeltrrd 2835 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ π‘₯ ∈ (log β€œ 𝐷))
14646, 145sylbi 216 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ π‘₯ ∈ (log β€œ 𝐷))
147146ssriv 3952 . . . 4 (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,)Ο€)) βŠ† (log β€œ 𝐷)
14844, 147eqssi 3964 . . 3 (log β€œ 𝐷) = (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,)Ο€))
149 f1oeq3 6778 . . 3 ((log β€œ 𝐷) = (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ ((log β†Ύ 𝐷):𝐷–1-1-ontoβ†’(log β€œ 𝐷) ↔ (log β†Ύ 𝐷):𝐷–1-1-ontoβ†’(β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,)Ο€))))
150148, 149ax-mp 5 . 2 ((log β†Ύ 𝐷):𝐷–1-1-ontoβ†’(log β€œ 𝐷) ↔ (log β†Ύ 𝐷):𝐷–1-1-ontoβ†’(β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,)Ο€)))
1517, 150mpbi 229 1 (log β†Ύ 𝐷):𝐷–1-1-ontoβ†’(β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,)Ο€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   βˆ– cdif 3911   βŠ† wss 3914  {csn 4590   class class class wbr 5109  β—‘ccnv 5636  dom cdm 5637  ran crn 5638   β†Ύ cres 5639   β€œ cima 5640  Fun wfun 6494   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€“1-1β†’wf1 6497  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6499  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060  ici 11061   + caddc 11062   Β· cmul 11064  -∞cmnf 11195  β„*cxr 11196   < clt 11197   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393  -cneg 11394   / cdiv 11820  β„€cz 12507  β„+crp 12923  (,)cioo 13273  (,]cioc 13274  β„œcre 14991  β„‘cim 14992  expce 15952  sincsin 15954  cosccos 15955  Ο€cpi 15957  logclog 25933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-fac 14183  df-bc 14212  df-hash 14240  df-shft 14961  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-limsup 15362  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-ef 15958  df-sin 15960  df-cos 15961  df-pi 15963  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-topgen 17333  df-pt 17334  df-prds 17337  df-xrs 17392  df-qtop 17397  df-imas 17398  df-xps 17400  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-mulg 18881  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-fbas 20816  df-fg 20817  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-nei 22472  df-lp 22510  df-perf 22511  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-haus 22689  df-tx 22936  df-hmeo 23129  df-fil 23220  df-fm 23312  df-flim 23313  df-flf 23314  df-xms 23696  df-ms 23697  df-tms 23698  df-cncf 24264  df-limc 25253  df-dv 25254  df-log 25935
This theorem is referenced by:  efopnlem2  26035
  Copyright terms: Public domain W3C validator