MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logcn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem logcn 26568
Description: The logarithm function is continuous away from the branch cut at negative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logcn.d 𝐷 = (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))
Assertion
Ref Expression
logcn (log β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚)
Proof of Theorem logcn
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 logf1o 26485 . . . . . . 7 log:(β„‚ βˆ– {0})–1-1-ontoβ†’ran log
2 f1of 6833 . . . . . . 7 (log:(β„‚ βˆ– {0})–1-1-ontoβ†’ran log β†’ log:(β„‚ βˆ– {0})⟢ran log)
31, 2ax-mp 5 . . . . . 6 log:(β„‚ βˆ– {0})⟢ran log
4 logcn.d . . . . . . 7 𝐷 = (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))
54logdmss 26563 . . . . . 6 𝐷 βŠ† (β„‚ βˆ– {0})
6 fssres 6757 . . . . . 6 ((log:(β„‚ βˆ– {0})⟢ran log ∧ 𝐷 βŠ† (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (log β†Ύ 𝐷):𝐷⟢ran log)
73, 5, 6mp2an 691 . . . . 5 (log β†Ύ 𝐷):𝐷⟢ran log
8 ffn 6716 . . . . 5 ((log β†Ύ 𝐷):𝐷⟢ran log β†’ (log β†Ύ 𝐷) Fn 𝐷)
97, 8ax-mp 5 . . . 4 (log β†Ύ 𝐷) Fn 𝐷
10 dffn5 6951 . . . 4 ((log β†Ύ 𝐷) Fn 𝐷 ↔ (log β†Ύ 𝐷) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ((log β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯)))
119, 10mpbi 229 . . 3 (log β†Ύ 𝐷) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ((log β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯))
12 fvres 6910 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ ((log β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯) = (logβ€˜π‘₯))
134ellogdm 26560 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)))
1413simplbi 497 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
154logdmn0 26561 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ π‘₯ β‰  0)
1614, 15logcld 26491 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
1716replimd 15168 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (logβ€˜π‘₯) = ((β„œβ€˜(logβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))))
18 relog 26518 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0) β†’ (β„œβ€˜(logβ€˜π‘₯)) = (logβ€˜(absβ€˜π‘₯)))
1914, 15, 18syl2anc 583 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (β„œβ€˜(logβ€˜π‘₯)) = (logβ€˜(absβ€˜π‘₯)))
2014, 15absrpcld 15419 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
2120fvresd 6911 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ ((log β†Ύ ℝ+)β€˜(absβ€˜π‘₯)) = (logβ€˜(absβ€˜π‘₯)))
2219, 21eqtr4d 2770 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (β„œβ€˜(logβ€˜π‘₯)) = ((log β†Ύ ℝ+)β€˜(absβ€˜π‘₯)))
2322oveq1d 7429 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ ((β„œβ€˜(logβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))) = (((log β†Ύ ℝ+)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))))
2412, 17, 233eqtrd 2771 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ ((log β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯) = (((log β†Ύ ℝ+)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))))
2524mpteq2ia 5245 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ((log β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (((log β†Ύ ℝ+)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))))
2611, 25eqtri 2755 . 2 (log β†Ύ 𝐷) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (((log β†Ύ ℝ+)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))))
27 eqid 2727 . . . 4 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
2827addcn 24768 . . . . 5 + ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
2928a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ + ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
3027cnfldtopon 24686 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
3114ssriv 3982 . . . . . . . 8 𝐷 βŠ† β„‚
32 resttopon 23052 . . . . . . . 8 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐷 βŠ† β„‚) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) ∈ (TopOnβ€˜π·))
3330, 31, 32mp2an 691 . . . . . . 7 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) ∈ (TopOnβ€˜π·)
3433a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) ∈ (TopOnβ€˜π·))
35 absf 15308 . . . . . . . . . . . 12 abs:β„‚βŸΆβ„
36 fssres 6757 . . . . . . . . . . . 12 ((abs:β„‚βŸΆβ„ ∧ 𝐷 βŠ† β„‚) β†’ (abs β†Ύ 𝐷):π·βŸΆβ„)
3735, 31, 36mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 (abs β†Ύ 𝐷):π·βŸΆβ„
3837a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊀ β†’ (abs β†Ύ 𝐷):π·βŸΆβ„)
3938feqmptd 6961 . . . . . . . . 9 (⊀ β†’ (abs β†Ύ 𝐷) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ((abs β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯)))
40 fvres 6910 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ ((abs β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯) = (absβ€˜π‘₯))
4140mpteq2ia 5245 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ((abs β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (absβ€˜π‘₯))
4239, 41eqtrdi 2783 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ (abs β†Ύ 𝐷) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (absβ€˜π‘₯)))
43 ffn 6716 . . . . . . . . . . 11 ((abs β†Ύ 𝐷):π·βŸΆβ„ β†’ (abs β†Ύ 𝐷) Fn 𝐷)
4437, 43ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (abs β†Ύ 𝐷) Fn 𝐷
4540, 20eqeltrd 2828 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ ((abs β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
4645rgen 3058 . . . . . . . . . 10 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 ((abs β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯) ∈ ℝ+
47 ffnfv 7123 . . . . . . . . . 10 ((abs β†Ύ 𝐷):π·βŸΆβ„+ ↔ ((abs β†Ύ 𝐷) Fn 𝐷 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 ((abs β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯) ∈ ℝ+))
4844, 46, 47mpbir2an 710 . . . . . . . . 9 (abs β†Ύ 𝐷):π·βŸΆβ„+
49 rpssre 13005 . . . . . . . . . . 11 ℝ+ βŠ† ℝ
50 ax-resscn 11187 . . . . . . . . . . 11 ℝ βŠ† β„‚
5149, 50sstri 3987 . . . . . . . . . 10 ℝ+ βŠ† β„‚
52 abscncf 24808 . . . . . . . . . . 11 abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
53 rescncf 24804 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 βŠ† β„‚ β†’ (abs ∈ (ℂ–cn→ℝ) β†’ (abs β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ)))
5431, 52, 53mp2 9 . . . . . . . . . 10 (abs β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ)
55 cncfcdm 24805 . . . . . . . . . 10 ((ℝ+ βŠ† β„‚ ∧ (abs β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ)) β†’ ((abs β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ+) ↔ (abs β†Ύ 𝐷):π·βŸΆβ„+))
5651, 54, 55mp2an 691 . . . . . . . . 9 ((abs β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ+) ↔ (abs β†Ύ 𝐷):π·βŸΆβ„+)
5748, 56mpbir 230 . . . . . . . 8 (abs β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ+)
5842, 57eqeltrrdi 2837 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (absβ€˜π‘₯)) ∈ (𝐷–cn→ℝ+))
59 eqid 2727 . . . . . . . . 9 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷)
60 eqid 2727 . . . . . . . . 9 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ+) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ+)
6127, 59, 60cncfcn 24817 . . . . . . . 8 ((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ ℝ+ βŠ† β„‚) β†’ (𝐷–cn→ℝ+) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ+)))
6231, 51, 61mp2an 691 . . . . . . 7 (𝐷–cn→ℝ+) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ+))
6358, 62eleqtrdi 2838 . . . . . 6 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (absβ€˜π‘₯)) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ+)))
64 ssid 4000 . . . . . . . . . 10 β„‚ βŠ† β„‚
65 cncfss 24806 . . . . . . . . . 10 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (ℝ+–cn→ℝ) βŠ† (ℝ+–cnβ†’β„‚))
6650, 64, 65mp2an 691 . . . . . . . . 9 (ℝ+–cn→ℝ) βŠ† (ℝ+–cnβ†’β„‚)
67 relogcn 26559 . . . . . . . . 9 (log β†Ύ ℝ+) ∈ (ℝ+–cn→ℝ)
6866, 67sselii 3975 . . . . . . . 8 (log β†Ύ ℝ+) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚)
6968a1i 11 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (log β†Ύ ℝ+) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚))
7030toponrestid 22810 . . . . . . . . 9 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚)
7127, 60, 70cncfcn 24817 . . . . . . . 8 ((ℝ+ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (ℝ+–cnβ†’β„‚) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ+) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
7251, 64, 71mp2an 691 . . . . . . 7 (ℝ+–cnβ†’β„‚) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ+) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
7369, 72eleqtrdi 2838 . . . . . 6 (⊀ β†’ (log β†Ύ ℝ+) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ+) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
7434, 63, 73cnmpt11f 23555 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ((log β†Ύ ℝ+)β€˜(absβ€˜π‘₯))) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
7527, 59, 70cncfcn 24817 . . . . . 6 ((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (𝐷–cnβ†’β„‚) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
7631, 64, 75mp2an 691 . . . . 5 (𝐷–cnβ†’β„‚) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
7774, 76eleqtrrdi 2839 . . . 4 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ((log β†Ύ ℝ+)β€˜(absβ€˜π‘₯))) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚))
7816imcld 15166 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
7978recnd 11264 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
8079adantl 481 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
81 eqidd 2728 . . . . . 6 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯))))
82 eqidd 2728 . . . . . 6 (⊀ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (i Β· 𝑦)) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (i Β· 𝑦)))
83 oveq2 7422 . . . . . 6 (𝑦 = (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)) β†’ (i Β· 𝑦) = (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯))))
8480, 81, 82, 83fmptco 7132 . . . . 5 (⊀ β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (i Β· 𝑦)) ∘ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))))
85 cncfss 24806 . . . . . . . . 9 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (𝐷–cn→ℝ) βŠ† (𝐷–cnβ†’β„‚))
8650, 64, 85mp2an 691 . . . . . . . 8 (𝐷–cn→ℝ) βŠ† (𝐷–cnβ†’β„‚)
874logcnlem5 26567 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯))) ∈ (𝐷–cn→ℝ)
8886, 87sselii 3975 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯))) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚)
8988a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯))) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚))
90 ax-icn 11189 . . . . . . 7 i ∈ β„‚
91 eqid 2727 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (i Β· 𝑦)) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (i Β· 𝑦))
9291mulc1cncf 24812 . . . . . . 7 (i ∈ β„‚ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (i Β· 𝑦)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
9390, 92mp1i 13 . . . . . 6 (⊀ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (i Β· 𝑦)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
9489, 93cncfco 24814 . . . . 5 (⊀ β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (i Β· 𝑦)) ∘ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚))
9584, 94eqeltrrd 2829 . . . 4 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚))
9627, 29, 77, 95cncfmpt2f 24822 . . 3 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (((log β†Ύ ℝ+)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯))))) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚))
9796mptru 1541 . 2 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (((log β†Ύ ℝ+)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯))))) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚)
9826, 97eqeltri 2824 1 (log β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1534  βŠ€wtru 1535   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056   βˆ– cdif 3941   βŠ† wss 3944  {csn 4624   ↦ cmpt 5225  ran crn 5673   β†Ύ cres 5674   ∘ ccom 5676   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11128  β„cr 11129  0cc0 11130  ici 11132   + caddc 11133   Β· cmul 11135  -∞cmnf 11268  β„+crp 12998  (,]cioc 13349  β„œcre 15068  β„‘cim 15069  abscabs 15205   β†Ύt crest 17393  TopOpenctopn 17394  β„‚fldccnfld 21266  TopOnctopon 22799   Cn ccn 23115   Γ—t ctx 23451  β€“cnβ†’ccncf 24783  logclog 26475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ioc 13353  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-fac 14257  df-bc 14286  df-hash 14314  df-shft 15038  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-limsup 15439  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657  df-ef 16035  df-sin 16037  df-cos 16038  df-tan 16039  df-pi 16040  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-mulg 19015  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-fbas 21263  df-fg 21264  df-cnfld 21267  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cld 22910  df-ntr 22911  df-cls 22912  df-nei 22989  df-lp 23027  df-perf 23028  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-haus 23206  df-cmp 23278  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-fil 23737  df-fm 23829  df-flim 23830  df-flf 23831  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215  df-cncf 24785  df-limc 25782  df-dv 25783  df-log 26477
This theorem is referenced by:  dvlog  26572  efopnlem2  26578  dvcncxp1  26664  cxpcn  26666  cxpcnOLD  26667  lgamgulmlem2  26949  lgamcvg2  26974  areacirclem4  37119
  Copyright terms: Public domain W3C validator