Theorem logcn 26689

Description: The logarithm function is continuous away from the branch cut at negative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
logcn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Assertion

Ref	Expression
logcn	⊢ (log ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℂ)

Proof of Theorem logcn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logf1o 26606	. . . . . . 7 ⊢ log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
2		f1of 6848	. . . . . . 7 ⊢ (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log
4		logcn.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
5	4	logdmss 26684	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})
6		fssres 6774	. . . . . 6 ⊢ ((log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log ∧ 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (log ↾ 𝐷):𝐷⟶ran log)
7	3, 5, 6	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (log ↾ 𝐷):𝐷⟶ran log
8		ffn 6736	. . . . 5 ⊢ ((log ↾ 𝐷):𝐷⟶ran log → (log ↾ 𝐷) Fn 𝐷)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (log ↾ 𝐷) Fn 𝐷
10		dffn5 6967	. . . 4 ⊢ ((log ↾ 𝐷) Fn 𝐷 ↔ (log ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑥)))
11	9, 10	mpbi 230	. . 3 ⊢ (log ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑥))
12		fvres 6925	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((log ↾ 𝐷)‘𝑥) = (log‘𝑥))
13	4	ellogdm 26681	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+)))
14	13	simplbi 497	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ℂ)
15	4	logdmn0 26682	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ≠ 0)
16	14, 15	logcld 26612	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
17	16	replimd 15236	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (log‘𝑥) = ((ℜ‘(log‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))))
18		relog 26639	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (ℜ‘(log‘𝑥)) = (log‘(abs‘𝑥)))
19	14, 15, 18	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℜ‘(log‘𝑥)) = (log‘(abs‘𝑥)))
20	14, 15	absrpcld 15487	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (abs‘𝑥) ∈ ℝ+)
21	20	fvresd 6926	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) = (log‘(abs‘𝑥)))
22	19, 21	eqtr4d 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℜ‘(log‘𝑥)) = ((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)))
23	22	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((ℜ‘(log‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))) = (((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))))
24	12, 17, 23	3eqtrd 2781	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((log ↾ 𝐷)‘𝑥) = (((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))))
25	24	mpteq2ia 5245	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))))
26	11, 25	eqtri 2765	. 2 ⊢ (log ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))))
27		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
28	27	addcn 24887	. . . . 5 ⊢ + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
29	28	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
30	27	cnfldtopon 24803	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
31	14	ssriv 3987	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ⊆ ℂ
32		resttopon 23169	. . . . . . . 8 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
33	30, 31, 32	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷)
34	33	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
35		absf 15376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
36		fssres 6774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ)
37	35, 31, 36	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ)
39	38	feqmptd 6977	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (abs ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((abs ↾ 𝐷)‘𝑥)))
40		fvres 6925	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((abs ↾ 𝐷)‘𝑥) = (abs‘𝑥))
41	40	mpteq2ia 5245	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((abs ↾ 𝐷)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (abs‘𝑥))
42	39, 41	eqtrdi 2793	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (abs ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (abs‘𝑥)))
43		ffn 6736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ → (abs ↾ 𝐷) Fn 𝐷)
44	37, 43	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs ↾ 𝐷) Fn 𝐷
45	40, 20	eqeltrd 2841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((abs ↾ 𝐷)‘𝑥) ∈ ℝ+)
46	45	rgen 3063	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ((abs ↾ 𝐷)‘𝑥) ∈ ℝ+
47		ffnfv 7139	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ+ ↔ ((abs ↾ 𝐷) Fn 𝐷 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ((abs ↾ 𝐷)‘𝑥) ∈ ℝ+))
48	44, 46, 47	mpbir2an 711	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ+
49		rpssre 13042	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
50		ax-resscn 11212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
51	49, 50	sstri 3993	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ+ ⊆ ℂ
52		abscncf 24927	. . . . . . . . . . 11 ⊢ abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
53		rescncf 24923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ⊆ ℂ → (abs ∈ (ℂ–cn→ℝ) → (abs ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ)))
54	31, 52, 53	mp2 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ)
55		cncfcdm 24924	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℝ+ ⊆ ℂ ∧ (abs ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ)) → ((abs ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ+) ↔ (abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ+))
56	51, 54, 55	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ+) ↔ (abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ+)
57	48, 56	mpbir 231	. . . . . . . 8 ⊢ (abs ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ+)
58	42, 57	eqeltrrdi 2850	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (abs‘𝑥)) ∈ (𝐷–cn→ℝ+))
59		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷)
60		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ+) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ+)
61	27, 59, 60	cncfcn 24936	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ ℝ+ ⊆ ℂ) → (𝐷–cn→ℝ+) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ+)))
62	31, 51, 61	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷–cn→ℝ+) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ+))
63	58, 62	eleqtrdi 2851	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (abs‘𝑥)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ+)))
64		ssid 4006	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
65		cncfss 24925	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ+–cn→ℝ) ⊆ (ℝ+–cn→ℂ))
66	50, 64, 65	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ+–cn→ℝ) ⊆ (ℝ+–cn→ℂ)
67		relogcn 26680	. . . . . . . . 9 ⊢ (log ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+–cn→ℝ)
68	66, 67	sselii 3980	. . . . . . . 8 ⊢ (log ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+–cn→ℂ)
69	68	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (log ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+–cn→ℂ))
70	30	toponrestid 22927	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
71	27, 60, 70	cncfcn 24936	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ+ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ+–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ+) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
72	51, 64, 71	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ+–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ+) Cn (TopOpen‘ℂfld))
73	69, 72	eleqtrdi 2851	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (log ↾ ℝ+) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ+) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
74	34, 63, 73	cnmpt11f 23672	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
75	27, 59, 70	cncfcn 24936	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐷–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
76	31, 64, 75	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (𝐷–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn (TopOpen‘ℂfld))
77	74, 76	eleqtrrdi 2852	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥))) ∈ (𝐷–cn→ℂ))
78	16	imcld 15234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ)
79	78	recnd 11289	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℂ)
80	79	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℂ)
81		eqidd 2738	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥))))
82		eqidd 2738	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦)))
83		oveq2 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (ℑ‘(log‘𝑥)) → (i · 𝑦) = (i · (ℑ‘(log‘𝑥))))
84	80, 81, 82, 83	fmptco 7149	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦)) ∘ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))))
85		cncfss 24925	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐷–cn→ℝ) ⊆ (𝐷–cn→ℂ))
86	50, 64, 85	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷–cn→ℝ) ⊆ (𝐷–cn→ℂ)
87	4	logcnlem5 26688	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥))) ∈ (𝐷–cn→ℝ)
88	86, 87	sselii 3980	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥))) ∈ (𝐷–cn→ℂ)
89	88	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥))) ∈ (𝐷–cn→ℂ))
90		ax-icn 11214	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
91		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦))
92	91	mulc1cncf 24931	. . . . . . 7 ⊢ (i ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
93	90, 92	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
94	89, 93	cncfco 24933	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦)) ∘ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))) ∈ (𝐷–cn→ℂ))
95	84, 94	eqeltrrd 2842	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))) ∈ (𝐷–cn→ℂ))
96	27, 29, 77, 95	cncfmpt2f 24941	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥))))) ∈ (𝐷–cn→ℂ))
97	96	mptru 1547	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥))))) ∈ (𝐷–cn→ℂ)
98	26, 97	eqeltri 2837	1 ⊢ (log ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061   ∖ cdif 3948   ⊆ wss 3951  {csn 4626   ↦ cmpt 5225  ran crn 5686   ↾ cres 5687   ∘ ccom 5689   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  –1-1-onto→wf1o 6560  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  ici 11157   + caddc 11158   · cmul 11160  -∞cmnf 11293  ℝ⁺crp 13034  (,]cioc 13388  ℜcre 15136  ℑcim 15137  abscabs 15273   ↾_t crest 17465  TopOpenctopn 17466  ℂ_fldccnfld 21364  TopOnctopon 22916   Cn ccn 23232   ×_t ctx 23568  –cn→ccncf 24902  logclog 26596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-tan 16107  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598

This theorem is referenced by:  dvlog  26693  efopnlem2  26699  dvcncxp1  26785  cxpcn  26787  cxpcnOLD  26788  lgamgulmlem2  27073  lgamcvg2  27098  areacirclem4  37718