Theorem logcn 26823

Description: The logarithm function is continuous away from the branch cut at negative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
logcn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Assertion

Ref	Expression
logcn	⊢ (log ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℂ)

Proof of Theorem logcn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logf1o 26740	. . . . . . 7 ⊢ log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
2		f1of 6820	. . . . . . 7 ⊢ (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log
4		logcn.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
5	4	logdmss 26818	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})
6		fssres 6744	. . . . . 6 ⊢ ((log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log ∧ 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (log ↾ 𝐷):𝐷⟶ran log)
7	3, 5, 6	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ (log ↾ 𝐷):𝐷⟶ran log
8		ffn 6705	. . . . 5 ⊢ ((log ↾ 𝐷):𝐷⟶ran log → (log ↾ 𝐷) Fn 𝐷)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (log ↾ 𝐷) Fn 𝐷
10		dffn5 6939	. . . 4 ⊢ ((log ↾ 𝐷) Fn 𝐷 ↔ (log ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑥)))
11	9, 10	mpbi 233	. . 3 ⊢ (log ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑥))
12		fvres 6900	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((log ↾ 𝐷)‘𝑥) = (log‘𝑥))
13	4	ellogdm 26815	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+)))
14	13	simplbi 501	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ℂ)
15	4	logdmn0 26816	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ≠ 0)
16	14, 15	logcld 26746	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
17	16	replimd 15255	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (log‘𝑥) = ((ℜ‘(log‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))))
18		relog 26773	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (ℜ‘(log‘𝑥)) = (log‘(abs‘𝑥)))
19	14, 15, 18	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℜ‘(log‘𝑥)) = (log‘(abs‘𝑥)))
20	14, 15	absrpcld 15509	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (abs‘𝑥) ∈ ℝ+)
21	20	fvresd 6901	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) = (log‘(abs‘𝑥)))
22	19, 21	eqtr4d 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℜ‘(log‘𝑥)) = ((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)))
23	22	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((ℜ‘(log‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))) = (((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))))
24	12, 17, 23	3eqtrd 2801	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((log ↾ 𝐷)‘𝑥) = (((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))))
25	24	mpteq2ia 5205	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))))
26	11, 25	eqtri 2785	. 2 ⊢ (log ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))))
27		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
28	27	addcn 25034	. . . . 5 ⊢ + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
29	28	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
30	27	cnfldtopon 24950	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
31	14	ssriv 3940	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ⊆ ℂ
32		resttopon 23329	. . . . . . . 8 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
33	30, 31, 32	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷)
34	33	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
35		absf 15396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
36		fssres 6744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ)
37	35, 31, 36	mp2an 704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ)
39	38	feqmptd 6949	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (abs ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((abs ↾ 𝐷)‘𝑥)))
40		fvres 6900	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((abs ↾ 𝐷)‘𝑥) = (abs‘𝑥))
41	40	mpteq2ia 5205	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((abs ↾ 𝐷)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (abs‘𝑥))
42	39, 41	eqtrdi 2813	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (abs ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (abs‘𝑥)))
43		ffn 6705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ → (abs ↾ 𝐷) Fn 𝐷)
44	37, 43	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs ↾ 𝐷) Fn 𝐷
45	40, 20	eqeltrd 2862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((abs ↾ 𝐷)‘𝑥) ∈ ℝ+)
46	45	rgen 3080	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ((abs ↾ 𝐷)‘𝑥) ∈ ℝ+
47		ffnfv 7114	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ+ ↔ ((abs ↾ 𝐷) Fn 𝐷 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ((abs ↾ 𝐷)‘𝑥) ∈ ℝ+))
48	44, 46, 47	mpbir2an 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ+
49		rpssre 13030	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
50		ax-resscn 11163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
51	49, 50	sstri 3945	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ+ ⊆ ℂ
52		abscncf 25071	. . . . . . . . . . 11 ⊢ abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
53		rescncf 25067	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ⊆ ℂ → (abs ∈ (ℂ–cn→ℝ) → (abs ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ)))
54	31, 52, 53	mp2 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ)
55		cncfcdm 25068	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℝ+ ⊆ ℂ ∧ (abs ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ)) → ((abs ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ+) ↔ (abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ+))
56	51, 54, 55	mp2an 704	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ+) ↔ (abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ+)
57	48, 56	mpbir 234	. . . . . . . 8 ⊢ (abs ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ+)
58	42, 57	eqeltrrdi 2871	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (abs‘𝑥)) ∈ (𝐷–cn→ℝ+))
59		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷)
60		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ+) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ+)
61	27, 59, 60	cncfcn 25080	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ ℝ+ ⊆ ℂ) → (𝐷–cn→ℝ+) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ+)))
62	31, 51, 61	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷–cn→ℝ+) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ+))
63	58, 62	eleqtrdi 2872	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (abs‘𝑥)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ+)))
64		ssid 3958	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
65		cncfss 25069	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ+–cn→ℝ) ⊆ (ℝ+–cn→ℂ))
66	50, 64, 65	mp2an 704	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ+–cn→ℝ) ⊆ (ℝ+–cn→ℂ)
67		relogcn 26814	. . . . . . . . 9 ⊢ (log ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+–cn→ℝ)
68	66, 67	sselii 3933	. . . . . . . 8 ⊢ (log ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+–cn→ℂ)
69	68	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (log ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+–cn→ℂ))
70	30	toponrestid 23089	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
71	27, 60, 70	cncfcn 25080	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ+ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ+–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ+) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
72	51, 64, 71	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ+–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ+) Cn (TopOpen‘ℂfld))
73	69, 72	eleqtrdi 2872	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (log ↾ ℝ+) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ+) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
74	34, 63, 73	cnmpt11f 23832	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
75	27, 59, 70	cncfcn 25080	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐷–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
76	31, 64, 75	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ (𝐷–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn (TopOpen‘ℂfld))
77	74, 76	eleqtrrdi 2873	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥))) ∈ (𝐷–cn→ℂ))
78	16	imcld 15253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ)
79	78	recnd 11243	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℂ)
80	79	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℂ)
81		eqidd 2763	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥))))
82		eqidd 2763	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦)))
83		oveq2 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (ℑ‘(log‘𝑥)) → (i · 𝑦) = (i · (ℑ‘(log‘𝑥))))
84	80, 81, 82, 83	fmptco 7125	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦)) ∘ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))))
85		cncfss 25069	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐷–cn→ℝ) ⊆ (𝐷–cn→ℂ))
86	50, 64, 85	mp2an 704	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷–cn→ℝ) ⊆ (𝐷–cn→ℂ)
87	4	logcnlem5 26822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥))) ∈ (𝐷–cn→ℝ)
88	86, 87	sselii 3933	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥))) ∈ (𝐷–cn→ℂ)
89	88	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥))) ∈ (𝐷–cn→ℂ))
90		ax-icn 11165	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
91		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦))
92	91	mulc1cncf 25075	. . . . . . 7 ⊢ (i ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
93	90, 92	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
94	89, 93	cncfco 25077	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦)) ∘ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))) ∈ (𝐷–cn→ℂ))
95	84, 94	eqeltrrd 2863	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))) ∈ (𝐷–cn→ℂ))
96	27, 29, 77, 95	cncfmpt2f 25085	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥))))) ∈ (𝐷–cn→ℂ))
97	96	mptru 1576	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥))))) ∈ (𝐷–cn→ℂ)
98	26, 97	eqeltri 2858	1 ⊢ (log ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569  ⊤wtru 1570   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3078   ∖ cdif 3901   ⊆ wss 3904  {csn 4588   ↦ cmpt 5191  ran crn 5661   ↾ cres 5662   ∘ ccom 5664   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106  ici 11108   + caddc 11109   · cmul 11111  -∞cmnf 11247  ℝ⁺crp 13022  (,]cioc 13379  ℜcre 15155  ℑcim 15156  abscabs 15292   ↾_t crest 17479  TopOpenctopn 17480  ℂ_fldccnfld 21533  TopOnctopon 23078   Cn ccn 23392   ×_t ctx 23728  –cn→ccncf 25046  logclog 26730

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13143  df-xadd 13144  df-xmul 13145  df-ioo 13382  df-ioc 13383  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14045  df-exp 14105  df-fac 14317  df-bc 14346  df-hash 14374  df-shft 15111  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-limsup 15529  df-clim 15546  df-rlim 15547  df-sum 15745  df-ef 16127  df-sin 16129  df-cos 16130  df-tan 16131  df-pi 16132  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-starv 17331  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-unif 17339  df-hom 17340  df-cco 17341  df-rest 17481  df-topn 17482  df-0g 17500  df-gsum 17501  df-topgen 17502  df-pt 17503  df-prds 17506  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-submnd 18848  df-mulg 19140  df-cntz 19393  df-cmn 19858  df-psmet 21525  df-xmet 21526  df-met 21527  df-bl 21528  df-mopn 21529  df-fbas 21530  df-fg 21531  df-cnfld 21534  df-top 23062  df-topon 23079  df-topsp 23101  df-bases 23114  df-cld 23187  df-ntr 23188  df-cls 23189  df-nei 23266  df-lp 23304  df-perf 23305  df-cn 23395  df-cnp 23396  df-haus 23483  df-cmp 23555  df-tx 23730  df-hmeo 23923  df-fil 24014  df-fm 24106  df-flim 24107  df-flf 24108  df-xms 24488  df-ms 24489  df-tms 24490  df-cncf 25048  df-limc 26036  df-dv 26037  df-log 26732

This theorem is used by:  dvlog  26827  efopnlem2  26833  dvcncxp1  26919  cxpcn  26921  lgamgulmlem2  27205  lgamcvg2  27230  areacirclem4  38390