MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logcn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem logcn 26154
Description: The logarithm function is continuous away from the branch cut at negative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logcn.d 𝐷 = (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))
Assertion
Ref Expression
logcn (log β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚)
Proof of Theorem logcn
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 logf1o 26072 . . . . . . 7 log:(β„‚ βˆ– {0})–1-1-ontoβ†’ran log
2 f1of 6833 . . . . . . 7 (log:(β„‚ βˆ– {0})–1-1-ontoβ†’ran log β†’ log:(β„‚ βˆ– {0})⟢ran log)
31, 2ax-mp 5 . . . . . 6 log:(β„‚ βˆ– {0})⟢ran log
4 logcn.d . . . . . . 7 𝐷 = (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))
54logdmss 26149 . . . . . 6 𝐷 βŠ† (β„‚ βˆ– {0})
6 fssres 6757 . . . . . 6 ((log:(β„‚ βˆ– {0})⟢ran log ∧ 𝐷 βŠ† (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (log β†Ύ 𝐷):𝐷⟢ran log)
73, 5, 6mp2an 690 . . . . 5 (log β†Ύ 𝐷):𝐷⟢ran log
8 ffn 6717 . . . . 5 ((log β†Ύ 𝐷):𝐷⟢ran log β†’ (log β†Ύ 𝐷) Fn 𝐷)
97, 8ax-mp 5 . . . 4 (log β†Ύ 𝐷) Fn 𝐷
10 dffn5 6950 . . . 4 ((log β†Ύ 𝐷) Fn 𝐷 ↔ (log β†Ύ 𝐷) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ((log β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯)))
119, 10mpbi 229 . . 3 (log β†Ύ 𝐷) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ((log β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯))
12 fvres 6910 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ ((log β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯) = (logβ€˜π‘₯))
134ellogdm 26146 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)))
1413simplbi 498 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
154logdmn0 26147 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ π‘₯ β‰  0)
1614, 15logcld 26078 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
1716replimd 15143 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (logβ€˜π‘₯) = ((β„œβ€˜(logβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))))
18 relog 26104 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0) β†’ (β„œβ€˜(logβ€˜π‘₯)) = (logβ€˜(absβ€˜π‘₯)))
1914, 15, 18syl2anc 584 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (β„œβ€˜(logβ€˜π‘₯)) = (logβ€˜(absβ€˜π‘₯)))
2014, 15absrpcld 15394 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
2120fvresd 6911 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ ((log β†Ύ ℝ+)β€˜(absβ€˜π‘₯)) = (logβ€˜(absβ€˜π‘₯)))
2219, 21eqtr4d 2775 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (β„œβ€˜(logβ€˜π‘₯)) = ((log β†Ύ ℝ+)β€˜(absβ€˜π‘₯)))
2322oveq1d 7423 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ ((β„œβ€˜(logβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))) = (((log β†Ύ ℝ+)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))))
2412, 17, 233eqtrd 2776 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ ((log β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯) = (((log β†Ύ ℝ+)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))))
2524mpteq2ia 5251 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ((log β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (((log β†Ύ ℝ+)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))))
2611, 25eqtri 2760 . 2 (log β†Ύ 𝐷) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (((log β†Ύ ℝ+)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))))
27 eqid 2732 . . . 4 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
2827addcn 24380 . . . . 5 + ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
2928a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ + ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
3027cnfldtopon 24298 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
3114ssriv 3986 . . . . . . . 8 𝐷 βŠ† β„‚
32 resttopon 22664 . . . . . . . 8 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐷 βŠ† β„‚) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) ∈ (TopOnβ€˜π·))
3330, 31, 32mp2an 690 . . . . . . 7 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) ∈ (TopOnβ€˜π·)
3433a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) ∈ (TopOnβ€˜π·))
35 absf 15283 . . . . . . . . . . . 12 abs:β„‚βŸΆβ„
36 fssres 6757 . . . . . . . . . . . 12 ((abs:β„‚βŸΆβ„ ∧ 𝐷 βŠ† β„‚) β†’ (abs β†Ύ 𝐷):π·βŸΆβ„)
3735, 31, 36mp2an 690 . . . . . . . . . . 11 (abs β†Ύ 𝐷):π·βŸΆβ„
3837a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊀ β†’ (abs β†Ύ 𝐷):π·βŸΆβ„)
3938feqmptd 6960 . . . . . . . . 9 (⊀ β†’ (abs β†Ύ 𝐷) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ((abs β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯)))
40 fvres 6910 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ ((abs β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯) = (absβ€˜π‘₯))
4140mpteq2ia 5251 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ((abs β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (absβ€˜π‘₯))
4239, 41eqtrdi 2788 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ (abs β†Ύ 𝐷) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (absβ€˜π‘₯)))
43 ffn 6717 . . . . . . . . . . 11 ((abs β†Ύ 𝐷):π·βŸΆβ„ β†’ (abs β†Ύ 𝐷) Fn 𝐷)
4437, 43ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (abs β†Ύ 𝐷) Fn 𝐷
4540, 20eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ ((abs β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
4645rgen 3063 . . . . . . . . . 10 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 ((abs β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯) ∈ ℝ+
47 ffnfv 7117 . . . . . . . . . 10 ((abs β†Ύ 𝐷):π·βŸΆβ„+ ↔ ((abs β†Ύ 𝐷) Fn 𝐷 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 ((abs β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯) ∈ ℝ+))
4844, 46, 47mpbir2an 709 . . . . . . . . 9 (abs β†Ύ 𝐷):π·βŸΆβ„+
49 rpssre 12980 . . . . . . . . . . 11 ℝ+ βŠ† ℝ
50 ax-resscn 11166 . . . . . . . . . . 11 ℝ βŠ† β„‚
5149, 50sstri 3991 . . . . . . . . . 10 ℝ+ βŠ† β„‚
52 abscncf 24416 . . . . . . . . . . 11 abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
53 rescncf 24412 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 βŠ† β„‚ β†’ (abs ∈ (ℂ–cn→ℝ) β†’ (abs β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ)))
5431, 52, 53mp2 9 . . . . . . . . . 10 (abs β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ)
55 cncfcdm 24413 . . . . . . . . . 10 ((ℝ+ βŠ† β„‚ ∧ (abs β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ)) β†’ ((abs β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ+) ↔ (abs β†Ύ 𝐷):π·βŸΆβ„+))
5651, 54, 55mp2an 690 . . . . . . . . 9 ((abs β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ+) ↔ (abs β†Ύ 𝐷):π·βŸΆβ„+)
5748, 56mpbir 230 . . . . . . . 8 (abs β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ+)
5842, 57eqeltrrdi 2842 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (absβ€˜π‘₯)) ∈ (𝐷–cn→ℝ+))
59 eqid 2732 . . . . . . . . 9 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷)
60 eqid 2732 . . . . . . . . 9 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ+) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ+)
6127, 59, 60cncfcn 24425 . . . . . . . 8 ((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ ℝ+ βŠ† β„‚) β†’ (𝐷–cn→ℝ+) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ+)))
6231, 51, 61mp2an 690 . . . . . . 7 (𝐷–cn→ℝ+) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ+))
6358, 62eleqtrdi 2843 . . . . . 6 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (absβ€˜π‘₯)) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ+)))
64 ssid 4004 . . . . . . . . . 10 β„‚ βŠ† β„‚
65 cncfss 24414 . . . . . . . . . 10 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (ℝ+–cn→ℝ) βŠ† (ℝ+–cnβ†’β„‚))
6650, 64, 65mp2an 690 . . . . . . . . 9 (ℝ+–cn→ℝ) βŠ† (ℝ+–cnβ†’β„‚)
67 relogcn 26145 . . . . . . . . 9 (log β†Ύ ℝ+) ∈ (ℝ+–cn→ℝ)
6866, 67sselii 3979 . . . . . . . 8 (log β†Ύ ℝ+) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚)
6968a1i 11 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (log β†Ύ ℝ+) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚))
7030toponrestid 22422 . . . . . . . . 9 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚)
7127, 60, 70cncfcn 24425 . . . . . . . 8 ((ℝ+ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (ℝ+–cnβ†’β„‚) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ+) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
7251, 64, 71mp2an 690 . . . . . . 7 (ℝ+–cnβ†’β„‚) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ+) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
7369, 72eleqtrdi 2843 . . . . . 6 (⊀ β†’ (log β†Ύ ℝ+) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ+) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
7434, 63, 73cnmpt11f 23167 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ((log β†Ύ ℝ+)β€˜(absβ€˜π‘₯))) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
7527, 59, 70cncfcn 24425 . . . . . 6 ((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (𝐷–cnβ†’β„‚) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
7631, 64, 75mp2an 690 . . . . 5 (𝐷–cnβ†’β„‚) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
7774, 76eleqtrrdi 2844 . . . 4 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ((log β†Ύ ℝ+)β€˜(absβ€˜π‘₯))) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚))
7816imcld 15141 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
7978recnd 11241 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
8079adantl 482 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
81 eqidd 2733 . . . . . 6 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯))))
82 eqidd 2733 . . . . . 6 (⊀ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (i Β· 𝑦)) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (i Β· 𝑦)))
83 oveq2 7416 . . . . . 6 (𝑦 = (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)) β†’ (i Β· 𝑦) = (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯))))
8480, 81, 82, 83fmptco 7126 . . . . 5 (⊀ β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (i Β· 𝑦)) ∘ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))))
85 cncfss 24414 . . . . . . . . 9 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (𝐷–cn→ℝ) βŠ† (𝐷–cnβ†’β„‚))
8650, 64, 85mp2an 690 . . . . . . . 8 (𝐷–cn→ℝ) βŠ† (𝐷–cnβ†’β„‚)
874logcnlem5 26153 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯))) ∈ (𝐷–cn→ℝ)
8886, 87sselii 3979 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯))) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚)
8988a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯))) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚))
90 ax-icn 11168 . . . . . . 7 i ∈ β„‚
91 eqid 2732 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (i Β· 𝑦)) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (i Β· 𝑦))
9291mulc1cncf 24420 . . . . . . 7 (i ∈ β„‚ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (i Β· 𝑦)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
9390, 92mp1i 13 . . . . . 6 (⊀ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (i Β· 𝑦)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
9489, 93cncfco 24422 . . . . 5 (⊀ β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (i Β· 𝑦)) ∘ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚))
9584, 94eqeltrrd 2834 . . . 4 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚))
9627, 29, 77, 95cncfmpt2f 24430 . . 3 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (((log β†Ύ ℝ+)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯))))) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚))
9796mptru 1548 . 2 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (((log β†Ύ ℝ+)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯))))) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚)
9826, 97eqeltri 2829 1 (log β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541  βŠ€wtru 1542   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  {csn 4628   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109  ici 11111   + caddc 11112   Β· cmul 11114  -∞cmnf 11245  β„+crp 12973  (,]cioc 13324  β„œcre 15043  β„‘cim 15044  abscabs 15180   β†Ύt crest 17365  TopOpenctopn 17366  β„‚fldccnfld 20943  TopOnctopon 22411   Cn ccn 22727   Γ—t ctx 23063  β€“cnβ†’ccncf 24391  logclog 26062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ioc 13328  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-fac 14233  df-bc 14262  df-hash 14290  df-shft 15013  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-limsup 15414  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-ef 16010  df-sin 16012  df-cos 16013  df-tan 16014  df-pi 16015  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-lp 22639  df-perf 22640  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-cmp 22890  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cncf 24393  df-limc 25382  df-dv 25383  df-log 26064
This theorem is referenced by:  dvlog  26158  efopnlem2  26164  dvcncxp1  26248  cxpcn  26250  lgamgulmlem2  26531  lgamcvg2  26556  gg-cxpcn  35179  areacirclem4  36574
  Copyright terms: Public domain W3C validator