MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logcn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem logcn 26155
Description: The logarithm function is continuous away from the branch cut at negative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logcn.d 𝐷 = (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))
Assertion
Ref Expression
logcn (log β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚)
Proof of Theorem logcn
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 logf1o 26073 . . . . . . 7 log:(β„‚ βˆ– {0})–1-1-ontoβ†’ran log
2 f1of 6834 . . . . . . 7 (log:(β„‚ βˆ– {0})–1-1-ontoβ†’ran log β†’ log:(β„‚ βˆ– {0})⟢ran log)
31, 2ax-mp 5 . . . . . 6 log:(β„‚ βˆ– {0})⟢ran log
4 logcn.d . . . . . . 7 𝐷 = (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))
54logdmss 26150 . . . . . 6 𝐷 βŠ† (β„‚ βˆ– {0})
6 fssres 6758 . . . . . 6 ((log:(β„‚ βˆ– {0})⟢ran log ∧ 𝐷 βŠ† (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (log β†Ύ 𝐷):𝐷⟢ran log)
73, 5, 6mp2an 691 . . . . 5 (log β†Ύ 𝐷):𝐷⟢ran log
8 ffn 6718 . . . . 5 ((log β†Ύ 𝐷):𝐷⟢ran log β†’ (log β†Ύ 𝐷) Fn 𝐷)
97, 8ax-mp 5 . . . 4 (log β†Ύ 𝐷) Fn 𝐷
10 dffn5 6951 . . . 4 ((log β†Ύ 𝐷) Fn 𝐷 ↔ (log β†Ύ 𝐷) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ((log β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯)))
119, 10mpbi 229 . . 3 (log β†Ύ 𝐷) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ((log β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯))
12 fvres 6911 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ ((log β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯) = (logβ€˜π‘₯))
134ellogdm 26147 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)))
1413simplbi 499 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
154logdmn0 26148 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ π‘₯ β‰  0)
1614, 15logcld 26079 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
1716replimd 15144 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (logβ€˜π‘₯) = ((β„œβ€˜(logβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))))
18 relog 26105 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0) β†’ (β„œβ€˜(logβ€˜π‘₯)) = (logβ€˜(absβ€˜π‘₯)))
1914, 15, 18syl2anc 585 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (β„œβ€˜(logβ€˜π‘₯)) = (logβ€˜(absβ€˜π‘₯)))
2014, 15absrpcld 15395 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
2120fvresd 6912 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ ((log β†Ύ ℝ+)β€˜(absβ€˜π‘₯)) = (logβ€˜(absβ€˜π‘₯)))
2219, 21eqtr4d 2776 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (β„œβ€˜(logβ€˜π‘₯)) = ((log β†Ύ ℝ+)β€˜(absβ€˜π‘₯)))
2322oveq1d 7424 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ ((β„œβ€˜(logβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))) = (((log β†Ύ ℝ+)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))))
2412, 17, 233eqtrd 2777 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ ((log β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯) = (((log β†Ύ ℝ+)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))))
2524mpteq2ia 5252 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ((log β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (((log β†Ύ ℝ+)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))))
2611, 25eqtri 2761 . 2 (log β†Ύ 𝐷) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (((log β†Ύ ℝ+)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))))
27 eqid 2733 . . . 4 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
2827addcn 24381 . . . . 5 + ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
2928a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ + ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
3027cnfldtopon 24299 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
3114ssriv 3987 . . . . . . . 8 𝐷 βŠ† β„‚
32 resttopon 22665 . . . . . . . 8 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐷 βŠ† β„‚) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) ∈ (TopOnβ€˜π·))
3330, 31, 32mp2an 691 . . . . . . 7 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) ∈ (TopOnβ€˜π·)
3433a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) ∈ (TopOnβ€˜π·))
35 absf 15284 . . . . . . . . . . . 12 abs:β„‚βŸΆβ„
36 fssres 6758 . . . . . . . . . . . 12 ((abs:β„‚βŸΆβ„ ∧ 𝐷 βŠ† β„‚) β†’ (abs β†Ύ 𝐷):π·βŸΆβ„)
3735, 31, 36mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 (abs β†Ύ 𝐷):π·βŸΆβ„
3837a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊀ β†’ (abs β†Ύ 𝐷):π·βŸΆβ„)
3938feqmptd 6961 . . . . . . . . 9 (⊀ β†’ (abs β†Ύ 𝐷) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ((abs β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯)))
40 fvres 6911 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ ((abs β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯) = (absβ€˜π‘₯))
4140mpteq2ia 5252 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ((abs β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (absβ€˜π‘₯))
4239, 41eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ (abs β†Ύ 𝐷) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (absβ€˜π‘₯)))
43 ffn 6718 . . . . . . . . . . 11 ((abs β†Ύ 𝐷):π·βŸΆβ„ β†’ (abs β†Ύ 𝐷) Fn 𝐷)
4437, 43ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (abs β†Ύ 𝐷) Fn 𝐷
4540, 20eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ ((abs β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
4645rgen 3064 . . . . . . . . . 10 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 ((abs β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯) ∈ ℝ+
47 ffnfv 7118 . . . . . . . . . 10 ((abs β†Ύ 𝐷):π·βŸΆβ„+ ↔ ((abs β†Ύ 𝐷) Fn 𝐷 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 ((abs β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯) ∈ ℝ+))
4844, 46, 47mpbir2an 710 . . . . . . . . 9 (abs β†Ύ 𝐷):π·βŸΆβ„+
49 rpssre 12981 . . . . . . . . . . 11 ℝ+ βŠ† ℝ
50 ax-resscn 11167 . . . . . . . . . . 11 ℝ βŠ† β„‚
5149, 50sstri 3992 . . . . . . . . . 10 ℝ+ βŠ† β„‚
52 abscncf 24417 . . . . . . . . . . 11 abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
53 rescncf 24413 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 βŠ† β„‚ β†’ (abs ∈ (ℂ–cn→ℝ) β†’ (abs β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ)))
5431, 52, 53mp2 9 . . . . . . . . . 10 (abs β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ)
55 cncfcdm 24414 . . . . . . . . . 10 ((ℝ+ βŠ† β„‚ ∧ (abs β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ)) β†’ ((abs β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ+) ↔ (abs β†Ύ 𝐷):π·βŸΆβ„+))
5651, 54, 55mp2an 691 . . . . . . . . 9 ((abs β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ+) ↔ (abs β†Ύ 𝐷):π·βŸΆβ„+)
5748, 56mpbir 230 . . . . . . . 8 (abs β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ+)
5842, 57eqeltrrdi 2843 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (absβ€˜π‘₯)) ∈ (𝐷–cn→ℝ+))
59 eqid 2733 . . . . . . . . 9 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷)
60 eqid 2733 . . . . . . . . 9 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ+) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ+)
6127, 59, 60cncfcn 24426 . . . . . . . 8 ((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ ℝ+ βŠ† β„‚) β†’ (𝐷–cn→ℝ+) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ+)))
6231, 51, 61mp2an 691 . . . . . . 7 (𝐷–cn→ℝ+) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ+))
6358, 62eleqtrdi 2844 . . . . . 6 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (absβ€˜π‘₯)) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ+)))
64 ssid 4005 . . . . . . . . . 10 β„‚ βŠ† β„‚
65 cncfss 24415 . . . . . . . . . 10 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (ℝ+–cn→ℝ) βŠ† (ℝ+–cnβ†’β„‚))
6650, 64, 65mp2an 691 . . . . . . . . 9 (ℝ+–cn→ℝ) βŠ† (ℝ+–cnβ†’β„‚)
67 relogcn 26146 . . . . . . . . 9 (log β†Ύ ℝ+) ∈ (ℝ+–cn→ℝ)
6866, 67sselii 3980 . . . . . . . 8 (log β†Ύ ℝ+) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚)
6968a1i 11 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (log β†Ύ ℝ+) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚))
7030toponrestid 22423 . . . . . . . . 9 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚)
7127, 60, 70cncfcn 24426 . . . . . . . 8 ((ℝ+ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (ℝ+–cnβ†’β„‚) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ+) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
7251, 64, 71mp2an 691 . . . . . . 7 (ℝ+–cnβ†’β„‚) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ+) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
7369, 72eleqtrdi 2844 . . . . . 6 (⊀ β†’ (log β†Ύ ℝ+) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ+) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
7434, 63, 73cnmpt11f 23168 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ((log β†Ύ ℝ+)β€˜(absβ€˜π‘₯))) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
7527, 59, 70cncfcn 24426 . . . . . 6 ((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (𝐷–cnβ†’β„‚) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
7631, 64, 75mp2an 691 . . . . 5 (𝐷–cnβ†’β„‚) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
7774, 76eleqtrrdi 2845 . . . 4 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ((log β†Ύ ℝ+)β€˜(absβ€˜π‘₯))) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚))
7816imcld 15142 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
7978recnd 11242 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
8079adantl 483 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
81 eqidd 2734 . . . . . 6 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯))))
82 eqidd 2734 . . . . . 6 (⊀ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (i Β· 𝑦)) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (i Β· 𝑦)))
83 oveq2 7417 . . . . . 6 (𝑦 = (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)) β†’ (i Β· 𝑦) = (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯))))
8480, 81, 82, 83fmptco 7127 . . . . 5 (⊀ β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (i Β· 𝑦)) ∘ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))))
85 cncfss 24415 . . . . . . . . 9 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (𝐷–cn→ℝ) βŠ† (𝐷–cnβ†’β„‚))
8650, 64, 85mp2an 691 . . . . . . . 8 (𝐷–cn→ℝ) βŠ† (𝐷–cnβ†’β„‚)
874logcnlem5 26154 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯))) ∈ (𝐷–cn→ℝ)
8886, 87sselii 3980 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯))) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚)
8988a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯))) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚))
90 ax-icn 11169 . . . . . . 7 i ∈ β„‚
91 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (i Β· 𝑦)) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (i Β· 𝑦))
9291mulc1cncf 24421 . . . . . . 7 (i ∈ β„‚ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (i Β· 𝑦)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
9390, 92mp1i 13 . . . . . 6 (⊀ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (i Β· 𝑦)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
9489, 93cncfco 24423 . . . . 5 (⊀ β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (i Β· 𝑦)) ∘ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚))
9584, 94eqeltrrd 2835 . . . 4 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚))
9627, 29, 77, 95cncfmpt2f 24431 . . 3 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (((log β†Ύ ℝ+)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯))))) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚))
9796mptru 1549 . 2 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (((log β†Ύ ℝ+)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯))))) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚)
9826, 97eqeltri 2830 1 (log β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542  βŠ€wtru 1543   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  {csn 4629   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  ici 11112   + caddc 11113   Β· cmul 11115  -∞cmnf 11246  β„+crp 12974  (,]cioc 13325  β„œcre 15044  β„‘cim 15045  abscabs 15181   β†Ύt crest 17366  TopOpenctopn 17367  β„‚fldccnfld 20944  TopOnctopon 22412   Cn ccn 22728   Γ—t ctx 23064  β€“cnβ†’ccncf 24392  logclog 26063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-tan 16015  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065
This theorem is referenced by:  dvlog  26159  efopnlem2  26165  dvcncxp1  26251  cxpcn  26253  lgamgulmlem2  26534  lgamcvg2  26559  gg-cxpcn  35184  areacirclem4  36579
  Copyright terms: Public domain W3C validator