Theorem logcn 26707

Description: The logarithm function is continuous away from the branch cut at negative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
logcn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Assertion

Ref	Expression
logcn	⊢ (log ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℂ)

Proof of Theorem logcn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logf1o 26624	. . . . . . 7 ⊢ log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
2		f1of 6862	. . . . . . 7 ⊢ (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log
4		logcn.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
5	4	logdmss 26702	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})
6		fssres 6787	. . . . . 6 ⊢ ((log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log ∧ 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (log ↾ 𝐷):𝐷⟶ran log)
7	3, 5, 6	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ (log ↾ 𝐷):𝐷⟶ran log
8		ffn 6747	. . . . 5 ⊢ ((log ↾ 𝐷):𝐷⟶ran log → (log ↾ 𝐷) Fn 𝐷)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (log ↾ 𝐷) Fn 𝐷
10		dffn5 6980	. . . 4 ⊢ ((log ↾ 𝐷) Fn 𝐷 ↔ (log ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑥)))
11	9, 10	mpbi 230	. . 3 ⊢ (log ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑥))
12		fvres 6939	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((log ↾ 𝐷)‘𝑥) = (log‘𝑥))
13	4	ellogdm 26699	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+)))
14	13	simplbi 497	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ℂ)
15	4	logdmn0 26700	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ≠ 0)
16	14, 15	logcld 26630	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
17	16	replimd 15246	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (log‘𝑥) = ((ℜ‘(log‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))))
18		relog 26657	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (ℜ‘(log‘𝑥)) = (log‘(abs‘𝑥)))
19	14, 15, 18	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℜ‘(log‘𝑥)) = (log‘(abs‘𝑥)))
20	14, 15	absrpcld 15497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (abs‘𝑥) ∈ ℝ+)
21	20	fvresd 6940	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) = (log‘(abs‘𝑥)))
22	19, 21	eqtr4d 2783	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℜ‘(log‘𝑥)) = ((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)))
23	22	oveq1d 7463	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((ℜ‘(log‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))) = (((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))))
24	12, 17, 23	3eqtrd 2784	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((log ↾ 𝐷)‘𝑥) = (((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))))
25	24	mpteq2ia 5269	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))))
26	11, 25	eqtri 2768	. 2 ⊢ (log ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))))
27		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
28	27	addcn 24906	. . . . 5 ⊢ + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
29	28	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
30	27	cnfldtopon 24824	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
31	14	ssriv 4012	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ⊆ ℂ
32		resttopon 23190	. . . . . . . 8 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
33	30, 31, 32	mp2an 691	. . . . . . 7 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷)
34	33	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
35		absf 15386	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
36		fssres 6787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ)
37	35, 31, 36	mp2an 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ)
39	38	feqmptd 6990	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (abs ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((abs ↾ 𝐷)‘𝑥)))
40		fvres 6939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((abs ↾ 𝐷)‘𝑥) = (abs‘𝑥))
41	40	mpteq2ia 5269	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((abs ↾ 𝐷)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (abs‘𝑥))
42	39, 41	eqtrdi 2796	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (abs ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (abs‘𝑥)))
43		ffn 6747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ → (abs ↾ 𝐷) Fn 𝐷)
44	37, 43	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs ↾ 𝐷) Fn 𝐷
45	40, 20	eqeltrd 2844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((abs ↾ 𝐷)‘𝑥) ∈ ℝ+)
46	45	rgen 3069	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ((abs ↾ 𝐷)‘𝑥) ∈ ℝ+
47		ffnfv 7153	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ+ ↔ ((abs ↾ 𝐷) Fn 𝐷 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ((abs ↾ 𝐷)‘𝑥) ∈ ℝ+))
48	44, 46, 47	mpbir2an 710	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ+
49		rpssre 13064	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
50		ax-resscn 11241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
51	49, 50	sstri 4018	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ+ ⊆ ℂ
52		abscncf 24946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
53		rescncf 24942	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ⊆ ℂ → (abs ∈ (ℂ–cn→ℝ) → (abs ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ)))
54	31, 52, 53	mp2 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ)
55		cncfcdm 24943	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℝ+ ⊆ ℂ ∧ (abs ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ)) → ((abs ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ+) ↔ (abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ+))
56	51, 54, 55	mp2an 691	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ+) ↔ (abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ+)
57	48, 56	mpbir 231	. . . . . . . 8 ⊢ (abs ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ+)
58	42, 57	eqeltrrdi 2853	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (abs‘𝑥)) ∈ (𝐷–cn→ℝ+))
59		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷)
60		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ+) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ+)
61	27, 59, 60	cncfcn 24955	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ ℝ+ ⊆ ℂ) → (𝐷–cn→ℝ+) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ+)))
62	31, 51, 61	mp2an 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷–cn→ℝ+) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ+))
63	58, 62	eleqtrdi 2854	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (abs‘𝑥)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ+)))
64		ssid 4031	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
65		cncfss 24944	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ+–cn→ℝ) ⊆ (ℝ+–cn→ℂ))
66	50, 64, 65	mp2an 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ+–cn→ℝ) ⊆ (ℝ+–cn→ℂ)
67		relogcn 26698	. . . . . . . . 9 ⊢ (log ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+–cn→ℝ)
68	66, 67	sselii 4005	. . . . . . . 8 ⊢ (log ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+–cn→ℂ)
69	68	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (log ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+–cn→ℂ))
70	30	toponrestid 22948	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
71	27, 60, 70	cncfcn 24955	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ+ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ+–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ+) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
72	51, 64, 71	mp2an 691	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ+–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ+) Cn (TopOpen‘ℂfld))
73	69, 72	eleqtrdi 2854	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (log ↾ ℝ+) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ+) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
74	34, 63, 73	cnmpt11f 23693	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
75	27, 59, 70	cncfcn 24955	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐷–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
76	31, 64, 75	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ (𝐷–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn (TopOpen‘ℂfld))
77	74, 76	eleqtrrdi 2855	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥))) ∈ (𝐷–cn→ℂ))
78	16	imcld 15244	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ)
79	78	recnd 11318	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℂ)
80	79	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℂ)
81		eqidd 2741	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥))))
82		eqidd 2741	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦)))
83		oveq2 7456	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (ℑ‘(log‘𝑥)) → (i · 𝑦) = (i · (ℑ‘(log‘𝑥))))
84	80, 81, 82, 83	fmptco 7163	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦)) ∘ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))))
85		cncfss 24944	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐷–cn→ℝ) ⊆ (𝐷–cn→ℂ))
86	50, 64, 85	mp2an 691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷–cn→ℝ) ⊆ (𝐷–cn→ℂ)
87	4	logcnlem5 26706	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥))) ∈ (𝐷–cn→ℝ)
88	86, 87	sselii 4005	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥))) ∈ (𝐷–cn→ℂ)
89	88	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥))) ∈ (𝐷–cn→ℂ))
90		ax-icn 11243	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
91		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦))
92	91	mulc1cncf 24950	. . . . . . 7 ⊢ (i ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
93	90, 92	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
94	89, 93	cncfco 24952	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦)) ∘ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))) ∈ (𝐷–cn→ℂ))
95	84, 94	eqeltrrd 2845	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))) ∈ (𝐷–cn→ℂ))
96	27, 29, 77, 95	cncfmpt2f 24960	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥))))) ∈ (𝐷–cn→ℂ))
97	96	mptru 1544	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥))))) ∈ (𝐷–cn→ℂ)
98	26, 97	eqeltri 2840	1 ⊢ (log ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537  ⊤wtru 1538   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067   ∖ cdif 3973   ⊆ wss 3976  {csn 4648   ↦ cmpt 5249  ran crn 5701   ↾ cres 5702   ∘ ccom 5704   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  –1-1-onto→wf1o 6572  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  ici 11186   + caddc 11187   · cmul 11189  -∞cmnf 11322  ℝ⁺crp 13057  (,]cioc 13408  ℜcre 15146  ℑcim 15147  abscabs 15283   ↾_t crest 17480  TopOpenctopn 17481  ℂ_fldccnfld 21387  TopOnctopon 22937   Cn ccn 23253   ×_t ctx 23589  –cn→ccncf 24921  logclog 26614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-shft 15116  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-ef 16115  df-sin 16117  df-cos 16118  df-tan 16119  df-pi 16120  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-lp 23165  df-perf 23166  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-cmp 23416  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-cncf 24923  df-limc 25921  df-dv 25922  df-log 26616

This theorem is referenced by:  dvlog  26711  efopnlem2  26717  dvcncxp1  26803  cxpcn  26805  cxpcnOLD  26806  lgamgulmlem2  27091  lgamcvg2  27116  areacirclem4  37671