Theorem logcn 26606

Description: The logarithm function is continuous away from the branch cut at negative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
logcn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Assertion

Ref	Expression
logcn	⊢ (log ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℂ)

Proof of Theorem logcn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logf1o 26523	. . . . . . 7 ⊢ log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
2		f1of 6817	. . . . . . 7 ⊢ (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log
4		logcn.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
5	4	logdmss 26601	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})
6		fssres 6743	. . . . . 6 ⊢ ((log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log ∧ 𝐷 ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (log ↾ 𝐷):𝐷⟶ran log)
7	3, 5, 6	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (log ↾ 𝐷):𝐷⟶ran log
8		ffn 6705	. . . . 5 ⊢ ((log ↾ 𝐷):𝐷⟶ran log → (log ↾ 𝐷) Fn 𝐷)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (log ↾ 𝐷) Fn 𝐷
10		dffn5 6936	. . . 4 ⊢ ((log ↾ 𝐷) Fn 𝐷 ↔ (log ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑥)))
11	9, 10	mpbi 230	. . 3 ⊢ (log ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑥))
12		fvres 6894	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((log ↾ 𝐷)‘𝑥) = (log‘𝑥))
13	4	ellogdm 26598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+)))
14	13	simplbi 497	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ℂ)
15	4	logdmn0 26599	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ≠ 0)
16	14, 15	logcld 26529	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
17	16	replimd 15214	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (log‘𝑥) = ((ℜ‘(log‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))))
18		relog 26556	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (ℜ‘(log‘𝑥)) = (log‘(abs‘𝑥)))
19	14, 15, 18	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℜ‘(log‘𝑥)) = (log‘(abs‘𝑥)))
20	14, 15	absrpcld 15465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (abs‘𝑥) ∈ ℝ+)
21	20	fvresd 6895	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) = (log‘(abs‘𝑥)))
22	19, 21	eqtr4d 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℜ‘(log‘𝑥)) = ((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)))
23	22	oveq1d 7418	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((ℜ‘(log‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))) = (((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))))
24	12, 17, 23	3eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((log ↾ 𝐷)‘𝑥) = (((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))))
25	24	mpteq2ia 5216	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((log ↾ 𝐷)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))))
26	11, 25	eqtri 2758	. 2 ⊢ (log ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))))
27		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
28	27	addcn 24803	. . . . 5 ⊢ + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
29	28	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
30	27	cnfldtopon 24719	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
31	14	ssriv 3962	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ⊆ ℂ
32		resttopon 23097	. . . . . . . 8 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
33	30, 31, 32	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷)
34	33	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
35		absf 15354	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
36		fssres 6743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ)
37	35, 31, 36	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ)
39	38	feqmptd 6946	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (abs ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((abs ↾ 𝐷)‘𝑥)))
40		fvres 6894	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((abs ↾ 𝐷)‘𝑥) = (abs‘𝑥))
41	40	mpteq2ia 5216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((abs ↾ 𝐷)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (abs‘𝑥))
42	39, 41	eqtrdi 2786	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (abs ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (abs‘𝑥)))
43		ffn 6705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ → (abs ↾ 𝐷) Fn 𝐷)
44	37, 43	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs ↾ 𝐷) Fn 𝐷
45	40, 20	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((abs ↾ 𝐷)‘𝑥) ∈ ℝ+)
46	45	rgen 3053	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ((abs ↾ 𝐷)‘𝑥) ∈ ℝ+
47		ffnfv 7108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ+ ↔ ((abs ↾ 𝐷) Fn 𝐷 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ((abs ↾ 𝐷)‘𝑥) ∈ ℝ+))
48	44, 46, 47	mpbir2an 711	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ+
49		rpssre 13014	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
50		ax-resscn 11184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
51	49, 50	sstri 3968	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ+ ⊆ ℂ
52		abscncf 24843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
53		rescncf 24839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ⊆ ℂ → (abs ∈ (ℂ–cn→ℝ) → (abs ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ)))
54	31, 52, 53	mp2 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (abs ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ)
55		cncfcdm 24840	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℝ+ ⊆ ℂ ∧ (abs ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ)) → ((abs ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ+) ↔ (abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ+))
56	51, 54, 55	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ+) ↔ (abs ↾ 𝐷):𝐷⟶ℝ+)
57	48, 56	mpbir 231	. . . . . . . 8 ⊢ (abs ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ+)
58	42, 57	eqeltrrdi 2843	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (abs‘𝑥)) ∈ (𝐷–cn→ℝ+))
59		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷)
60		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ+) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ+)
61	27, 59, 60	cncfcn 24852	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ ℝ+ ⊆ ℂ) → (𝐷–cn→ℝ+) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ+)))
62	31, 51, 61	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷–cn→ℝ+) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ+))
63	58, 62	eleqtrdi 2844	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (abs‘𝑥)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ+)))
64		ssid 3981	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
65		cncfss 24841	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ+–cn→ℝ) ⊆ (ℝ+–cn→ℂ))
66	50, 64, 65	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ+–cn→ℝ) ⊆ (ℝ+–cn→ℂ)
67		relogcn 26597	. . . . . . . . 9 ⊢ (log ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+–cn→ℝ)
68	66, 67	sselii 3955	. . . . . . . 8 ⊢ (log ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+–cn→ℂ)
69	68	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (log ↾ ℝ+) ∈ (ℝ+–cn→ℂ))
70	30	toponrestid 22857	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
71	27, 60, 70	cncfcn 24852	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ+ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ+–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ+) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
72	51, 64, 71	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ+–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ+) Cn (TopOpen‘ℂfld))
73	69, 72	eleqtrdi 2844	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (log ↾ ℝ+) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ+) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
74	34, 63, 73	cnmpt11f 23600	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
75	27, 59, 70	cncfcn 24852	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐷–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
76	31, 64, 75	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (𝐷–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐷) Cn (TopOpen‘ℂfld))
77	74, 76	eleqtrrdi 2845	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥))) ∈ (𝐷–cn→ℂ))
78	16	imcld 15212	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ)
79	78	recnd 11261	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℂ)
80	79	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℂ)
81		eqidd 2736	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥))))
82		eqidd 2736	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦)))
83		oveq2 7411	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (ℑ‘(log‘𝑥)) → (i · 𝑦) = (i · (ℑ‘(log‘𝑥))))
84	80, 81, 82, 83	fmptco 7118	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦)) ∘ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))))
85		cncfss 24841	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐷–cn→ℝ) ⊆ (𝐷–cn→ℂ))
86	50, 64, 85	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷–cn→ℝ) ⊆ (𝐷–cn→ℂ)
87	4	logcnlem5 26605	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥))) ∈ (𝐷–cn→ℝ)
88	86, 87	sselii 3955	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥))) ∈ (𝐷–cn→ℂ)
89	88	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥))) ∈ (𝐷–cn→ℂ))
90		ax-icn 11186	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
91		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦))
92	91	mulc1cncf 24847	. . . . . . 7 ⊢ (i ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
93	90, 92	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
94	89, 93	cncfco 24849	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((𝑦 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑦)) ∘ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))) ∈ (𝐷–cn→ℂ))
95	84, 94	eqeltrrd 2835	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (i · (ℑ‘(log‘𝑥)))) ∈ (𝐷–cn→ℂ))
96	27, 29, 77, 95	cncfmpt2f 24857	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥))))) ∈ (𝐷–cn→ℂ))
97	96	mptru 1547	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (((log ↾ ℝ+)‘(abs‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(log‘𝑥))))) ∈ (𝐷–cn→ℂ)
98	26, 97	eqeltri 2830	1 ⊢ (log ↾ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∀wral 3051   ∖ cdif 3923   ⊆ wss 3926  {csn 4601   ↦ cmpt 5201  ran crn 5655   ↾ cres 5656   ∘ ccom 5658   Fn wfn 6525  ⟶wf 6526  –1-1-onto→wf1o 6529  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127  ici 11129   + caddc 11130   · cmul 11132  -∞cmnf 11265  ℝ⁺crp 13006  (,]cioc 13361  ℜcre 15114  ℑcim 15115  abscabs 15251   ↾_t crest 17432  TopOpenctopn 17433  ℂ_fldccnfld 21313  TopOnctopon 22846   Cn ccn 23160   ×_t ctx 23496  –cn→ccncf 24818  logclog 26513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-inf2 9653  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-isom 6539  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-of 7669  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8717  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9372  df-fi 9421  df-sup 9452  df-inf 9453  df-oi 9522  df-card 9951  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12851  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13126  df-xadd 13127  df-xmul 13128  df-ioo 13364  df-ioc 13365  df-ico 13366  df-icc 13367  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-fl 13807  df-mod 13885  df-seq 14018  df-exp 14078  df-fac 14290  df-bc 14319  df-hash 14347  df-shft 15084  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-limsup 15485  df-clim 15502  df-rlim 15503  df-sum 15701  df-ef 16081  df-sin 16083  df-cos 16084  df-tan 16085  df-pi 16086  df-struct 17164  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-rest 17434  df-topn 17435  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-topgen 17455  df-pt 17456  df-prds 17459  df-xrs 17514  df-qtop 17519  df-imas 17520  df-xps 17522  df-mre 17596  df-mrc 17597  df-acs 17599  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-submnd 18760  df-mulg 19049  df-cntz 19298  df-cmn 19761  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-fbas 21310  df-fg 21311  df-cnfld 21314  df-top 22830  df-topon 22847  df-topsp 22869  df-bases 22882  df-cld 22955  df-ntr 22956  df-cls 22957  df-nei 23034  df-lp 23072  df-perf 23073  df-cn 23163  df-cnp 23164  df-haus 23251  df-cmp 23323  df-tx 23498  df-hmeo 23691  df-fil 23782  df-fm 23874  df-flim 23875  df-flf 23876  df-xms 24257  df-ms 24258  df-tms 24259  df-cncf 24820  df-limc 25817  df-dv 25818  df-log 26515

This theorem is referenced by:  dvlog  26610  efopnlem2  26616  dvcncxp1  26702  cxpcn  26704  cxpcnOLD  26705  lgamgulmlem2  26990  lgamcvg2  27015  areacirclem4  37681