MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logcn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem logcn 26611
Description: The logarithm function is continuous away from the branch cut at negative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logcn.d 𝐷 = (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))
Assertion
Ref Expression
logcn (log β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚)
Proof of Theorem logcn
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 logf1o 26528 . . . . . . 7 log:(β„‚ βˆ– {0})–1-1-ontoβ†’ran log
2 f1of 6836 . . . . . . 7 (log:(β„‚ βˆ– {0})–1-1-ontoβ†’ran log β†’ log:(β„‚ βˆ– {0})⟢ran log)
31, 2ax-mp 5 . . . . . 6 log:(β„‚ βˆ– {0})⟢ran log
4 logcn.d . . . . . . 7 𝐷 = (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))
54logdmss 26606 . . . . . 6 𝐷 βŠ† (β„‚ βˆ– {0})
6 fssres 6761 . . . . . 6 ((log:(β„‚ βˆ– {0})⟢ran log ∧ 𝐷 βŠ† (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (log β†Ύ 𝐷):𝐷⟢ran log)
73, 5, 6mp2an 690 . . . . 5 (log β†Ύ 𝐷):𝐷⟢ran log
8 ffn 6721 . . . . 5 ((log β†Ύ 𝐷):𝐷⟢ran log β†’ (log β†Ύ 𝐷) Fn 𝐷)
97, 8ax-mp 5 . . . 4 (log β†Ύ 𝐷) Fn 𝐷
10 dffn5 6954 . . . 4 ((log β†Ύ 𝐷) Fn 𝐷 ↔ (log β†Ύ 𝐷) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ((log β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯)))
119, 10mpbi 229 . . 3 (log β†Ύ 𝐷) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ((log β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯))
12 fvres 6913 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ ((log β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯) = (logβ€˜π‘₯))
134ellogdm 26603 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)))
1413simplbi 496 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
154logdmn0 26604 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ π‘₯ β‰  0)
1614, 15logcld 26534 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
1716replimd 15176 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (logβ€˜π‘₯) = ((β„œβ€˜(logβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))))
18 relog 26561 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0) β†’ (β„œβ€˜(logβ€˜π‘₯)) = (logβ€˜(absβ€˜π‘₯)))
1914, 15, 18syl2anc 582 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (β„œβ€˜(logβ€˜π‘₯)) = (logβ€˜(absβ€˜π‘₯)))
2014, 15absrpcld 15427 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
2120fvresd 6914 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ ((log β†Ύ ℝ+)β€˜(absβ€˜π‘₯)) = (logβ€˜(absβ€˜π‘₯)))
2219, 21eqtr4d 2768 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (β„œβ€˜(logβ€˜π‘₯)) = ((log β†Ύ ℝ+)β€˜(absβ€˜π‘₯)))
2322oveq1d 7432 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ ((β„œβ€˜(logβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))) = (((log β†Ύ ℝ+)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))))
2412, 17, 233eqtrd 2769 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ ((log β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯) = (((log β†Ύ ℝ+)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))))
2524mpteq2ia 5251 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ((log β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (((log β†Ύ ℝ+)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))))
2611, 25eqtri 2753 . 2 (log β†Ύ 𝐷) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (((log β†Ύ ℝ+)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))))
27 eqid 2725 . . . 4 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
2827addcn 24811 . . . . 5 + ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
2928a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ + ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
3027cnfldtopon 24729 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
3114ssriv 3981 . . . . . . . 8 𝐷 βŠ† β„‚
32 resttopon 23095 . . . . . . . 8 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐷 βŠ† β„‚) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) ∈ (TopOnβ€˜π·))
3330, 31, 32mp2an 690 . . . . . . 7 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) ∈ (TopOnβ€˜π·)
3433a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) ∈ (TopOnβ€˜π·))
35 absf 15316 . . . . . . . . . . . 12 abs:β„‚βŸΆβ„
36 fssres 6761 . . . . . . . . . . . 12 ((abs:β„‚βŸΆβ„ ∧ 𝐷 βŠ† β„‚) β†’ (abs β†Ύ 𝐷):π·βŸΆβ„)
3735, 31, 36mp2an 690 . . . . . . . . . . 11 (abs β†Ύ 𝐷):π·βŸΆβ„
3837a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊀ β†’ (abs β†Ύ 𝐷):π·βŸΆβ„)
3938feqmptd 6964 . . . . . . . . 9 (⊀ β†’ (abs β†Ύ 𝐷) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ((abs β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯)))
40 fvres 6913 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ ((abs β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯) = (absβ€˜π‘₯))
4140mpteq2ia 5251 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ((abs β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (absβ€˜π‘₯))
4239, 41eqtrdi 2781 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ (abs β†Ύ 𝐷) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (absβ€˜π‘₯)))
43 ffn 6721 . . . . . . . . . . 11 ((abs β†Ύ 𝐷):π·βŸΆβ„ β†’ (abs β†Ύ 𝐷) Fn 𝐷)
4437, 43ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (abs β†Ύ 𝐷) Fn 𝐷
4540, 20eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ ((abs β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
4645rgen 3053 . . . . . . . . . 10 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 ((abs β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯) ∈ ℝ+
47 ffnfv 7126 . . . . . . . . . 10 ((abs β†Ύ 𝐷):π·βŸΆβ„+ ↔ ((abs β†Ύ 𝐷) Fn 𝐷 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐷 ((abs β†Ύ 𝐷)β€˜π‘₯) ∈ ℝ+))
4844, 46, 47mpbir2an 709 . . . . . . . . 9 (abs β†Ύ 𝐷):π·βŸΆβ„+
49 rpssre 13013 . . . . . . . . . . 11 ℝ+ βŠ† ℝ
50 ax-resscn 11195 . . . . . . . . . . 11 ℝ βŠ† β„‚
5149, 50sstri 3987 . . . . . . . . . 10 ℝ+ βŠ† β„‚
52 abscncf 24851 . . . . . . . . . . 11 abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
53 rescncf 24847 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 βŠ† β„‚ β†’ (abs ∈ (ℂ–cn→ℝ) β†’ (abs β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ)))
5431, 52, 53mp2 9 . . . . . . . . . 10 (abs β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ)
55 cncfcdm 24848 . . . . . . . . . 10 ((ℝ+ βŠ† β„‚ ∧ (abs β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ)) β†’ ((abs β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ+) ↔ (abs β†Ύ 𝐷):π·βŸΆβ„+))
5651, 54, 55mp2an 690 . . . . . . . . 9 ((abs β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ+) ↔ (abs β†Ύ 𝐷):π·βŸΆβ„+)
5748, 56mpbir 230 . . . . . . . 8 (abs β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐷–cn→ℝ+)
5842, 57eqeltrrdi 2834 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (absβ€˜π‘₯)) ∈ (𝐷–cn→ℝ+))
59 eqid 2725 . . . . . . . . 9 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷)
60 eqid 2725 . . . . . . . . 9 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ+) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ+)
6127, 59, 60cncfcn 24860 . . . . . . . 8 ((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ ℝ+ βŠ† β„‚) β†’ (𝐷–cn→ℝ+) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ+)))
6231, 51, 61mp2an 690 . . . . . . 7 (𝐷–cn→ℝ+) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ+))
6358, 62eleqtrdi 2835 . . . . . 6 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (absβ€˜π‘₯)) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ+)))
64 ssid 4000 . . . . . . . . . 10 β„‚ βŠ† β„‚
65 cncfss 24849 . . . . . . . . . 10 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (ℝ+–cn→ℝ) βŠ† (ℝ+–cnβ†’β„‚))
6650, 64, 65mp2an 690 . . . . . . . . 9 (ℝ+–cn→ℝ) βŠ† (ℝ+–cnβ†’β„‚)
67 relogcn 26602 . . . . . . . . 9 (log β†Ύ ℝ+) ∈ (ℝ+–cn→ℝ)
6866, 67sselii 3974 . . . . . . . 8 (log β†Ύ ℝ+) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚)
6968a1i 11 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (log β†Ύ ℝ+) ∈ (ℝ+–cnβ†’β„‚))
7030toponrestid 22853 . . . . . . . . 9 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚)
7127, 60, 70cncfcn 24860 . . . . . . . 8 ((ℝ+ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (ℝ+–cnβ†’β„‚) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ+) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
7251, 64, 71mp2an 690 . . . . . . 7 (ℝ+–cnβ†’β„‚) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ+) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
7369, 72eleqtrdi 2835 . . . . . 6 (⊀ β†’ (log β†Ύ ℝ+) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ+) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
7434, 63, 73cnmpt11f 23598 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ((log β†Ύ ℝ+)β€˜(absβ€˜π‘₯))) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
7527, 59, 70cncfcn 24860 . . . . . 6 ((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (𝐷–cnβ†’β„‚) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
7631, 64, 75mp2an 690 . . . . 5 (𝐷–cnβ†’β„‚) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐷) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
7774, 76eleqtrrdi 2836 . . . 4 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ((log β†Ύ ℝ+)β€˜(absβ€˜π‘₯))) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚))
7816imcld 15174 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
7978recnd 11272 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
8079adantl 480 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
81 eqidd 2726 . . . . . 6 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯))))
82 eqidd 2726 . . . . . 6 (⊀ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (i Β· 𝑦)) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (i Β· 𝑦)))
83 oveq2 7425 . . . . . 6 (𝑦 = (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)) β†’ (i Β· 𝑦) = (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯))))
8480, 81, 82, 83fmptco 7136 . . . . 5 (⊀ β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (i Β· 𝑦)) ∘ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))))
85 cncfss 24849 . . . . . . . . 9 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (𝐷–cn→ℝ) βŠ† (𝐷–cnβ†’β„‚))
8650, 64, 85mp2an 690 . . . . . . . 8 (𝐷–cn→ℝ) βŠ† (𝐷–cnβ†’β„‚)
874logcnlem5 26610 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯))) ∈ (𝐷–cn→ℝ)
8886, 87sselii 3974 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯))) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚)
8988a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯))) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚))
90 ax-icn 11197 . . . . . . 7 i ∈ β„‚
91 eqid 2725 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (i Β· 𝑦)) = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (i Β· 𝑦))
9291mulc1cncf 24855 . . . . . . 7 (i ∈ β„‚ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (i Β· 𝑦)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
9390, 92mp1i 13 . . . . . 6 (⊀ β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (i Β· 𝑦)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
9489, 93cncfco 24857 . . . . 5 (⊀ β†’ ((𝑦 ∈ β„‚ ↦ (i Β· 𝑦)) ∘ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚))
9584, 94eqeltrrd 2826 . . . 4 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚))
9627, 29, 77, 95cncfmpt2f 24865 . . 3 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (((log β†Ύ ℝ+)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯))))) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚))
9796mptru 1540 . 2 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (((log β†Ύ ℝ+)β€˜(absβ€˜π‘₯)) + (i Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯))))) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚)
9826, 97eqeltri 2821 1 (log β†Ύ 𝐷) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533  βŠ€wtru 1534   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051   βˆ– cdif 3942   βŠ† wss 3945  {csn 4629   ↦ cmpt 5231  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681   Fn wfn 6542  βŸΆwf 6543  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6546  β€˜cfv 6547  (class class class)co 7417  β„‚cc 11136  β„cr 11137  0cc0 11138  ici 11140   + caddc 11141   Β· cmul 11143  -∞cmnf 11276  β„+crp 13006  (,]cioc 13357  β„œcre 15076  β„‘cim 15077  abscabs 15213   β†Ύt crest 17401  TopOpenctopn 17402  β„‚fldccnfld 21283  TopOnctopon 22842   Cn ccn 23158   Γ—t ctx 23494  β€“cnβ†’ccncf 24826  logclog 26518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7683  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-bc 14294  df-hash 14322  df-shft 15046  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-ef 16043  df-sin 16045  df-cos 16046  df-tan 16047  df-pi 16048  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19028  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-fbas 21280  df-fg 21281  df-cnfld 21284  df-top 22826  df-topon 22843  df-topsp 22865  df-bases 22879  df-cld 22953  df-ntr 22954  df-cls 22955  df-nei 23032  df-lp 23070  df-perf 23071  df-cn 23161  df-cnp 23162  df-haus 23249  df-cmp 23321  df-tx 23496  df-hmeo 23689  df-fil 23780  df-fm 23872  df-flim 23873  df-flf 23874  df-xms 24256  df-ms 24257  df-tms 24258  df-cncf 24828  df-limc 25825  df-dv 25826  df-log 26520
This theorem is referenced by:  dvlog  26615  efopnlem2  26621  dvcncxp1  26707  cxpcn  26709  cxpcnOLD  26710  lgamgulmlem2  26992  lgamcvg2  27017  areacirclem4  37254
  Copyright terms: Public domain W3C validator