Theorem logcnlem2 25798

Description: Lemma for logcn 25802. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
logcn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
logcnlem.s	⊢ 𝑆 = if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴)))
logcnlem.t	⊢ 𝑇 = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅)))
logcnlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
logcnlem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
logcnlem2	⊢ (𝜑 → if(𝑆 ≤ 𝑇, 𝑆, 𝑇) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem logcnlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logcnlem.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴)))
2		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ+)
3		logcnlem.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
4		logcn.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
5	4	ellogdm 25794	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+)))
6	5	simplbi 498	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → 𝐴 ∈ ℂ)
7	3, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	imcld 14906	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
9	8	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11003	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
11		reim0b 14830	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
12	7, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
13	5	simprbi 497	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+))
14	3, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+))
15	12, 14	sylbird 259	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) = 0 → 𝐴 ∈ ℝ+))
16	15	necon3bd 2957	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 ∈ ℝ+ → (ℑ‘𝐴) ≠ 0))
17	16	imp 407	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
18	10, 17	absrpcld 15160	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ+)
19	2, 18	ifclda 4494	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴))) ∈ ℝ+)
20	1, 19	eqeltrid 2843	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ+)
21		logcnlem.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅)))
22	4	logdmn0 25795	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → 𝐴 ≠ 0)
23	3, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
24	7, 23	absrpcld 15160	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
25		logcnlem.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
26		1rp 12734	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ+
27		rpaddcl 12752	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (1 + 𝑅) ∈ ℝ+)
28	26, 25, 27	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝑅) ∈ ℝ+)
29	25, 28	rpdivcld 12789	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / (1 + 𝑅)) ∈ ℝ+)
30	24, 29	rpmulcld 12788	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))) ∈ ℝ+)
31	21, 30	eqeltrid 2843	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
32	20, 31	ifcld 4505	1 ⊢ (𝜑 → if(𝑆 ≤ 𝑇, 𝑆, 𝑇) ∈ ℝ+)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ∖ cdif 3884  ifcif 4459   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  -∞cmnf 11007   ≤ cle 11010   / cdiv 11632  ℝ⁺crp 12730  (,]cioc 13080  ℑcim 14809  abscabs 14945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-ioc 13084  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947

This theorem is referenced by:  logcnlem5  25801