Theorem logcnlem2 26784

Description: Lemma for logcn 26788. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
logcn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
logcnlem.s	⊢ 𝑆 = if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴)))
logcnlem.t	⊢ 𝑇 = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅)))
logcnlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
logcnlem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
logcnlem2	⊢ (𝜑 → if(𝑆 ≤ 𝑇, 𝑆, 𝑇) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem logcnlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logcnlem.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴)))
2		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ+)
3		logcnlem.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
4		logcn.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
5	4	ellogdm 26780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+)))
6	5	simplbi 501	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → 𝐴 ∈ ℂ)
7	3, 6	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	imcld 15246	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
9	8	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11236	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
11		reim0b 15170	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
12	7, 11	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
13	5	simprbi 502	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+))
14	3, 13	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+))
15	12, 14	sylbird 263	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) = 0 → 𝐴 ∈ ℝ+))
16	15	necon3bd 2970	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 ∈ ℝ+ → (ℑ‘𝐴) ≠ 0))
17	16	imp 411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
18	10, 17	absrpcld 15502	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ+)
19	2, 18	ifclda 4522	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴))) ∈ ℝ+)
20	1, 19	eqeltrid 2865	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ+)
21		logcnlem.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅)))
22	4	logdmn0 26781	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → 𝐴 ≠ 0)
23	3, 22	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
24	7, 23	absrpcld 15502	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
25		logcnlem.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
26		1rp 13019	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ+
27		rpaddcl 13039	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (1 + 𝑅) ∈ ℝ+)
28	26, 25, 27	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝑅) ∈ ℝ+)
29	25, 28	rpdivcld 13076	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / (1 + 𝑅)) ∈ ℝ+)
30	24, 29	rpmulcld 13075	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))) ∈ ℝ+)
31	21, 30	eqeltrid 2865	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
32	20, 31	ifcld 4533	1 ⊢ (𝜑 → if(𝑆 ≤ 𝑇, 𝑆, 𝑇) ∈ ℝ+)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   ∖ cdif 3901  ifcif 4486   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11097  ℝcr 11098  0cc0 11099  1c1 11100   + caddc 11102   · cmul 11104  -∞cmnf 11240   ≤ cle 11243   / cdiv 11870  ℝ⁺crp 13015  (,]cioc 13372  ℑcim 15149  abscabs 15285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9401  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-ioc 13376  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287

This theorem is referenced by:  logcnlem5  26787