MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logcnlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logcnlem2 26664
Description: Lemma for logcn 26668. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
logcn.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
logcnlem.s 𝑆 = if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴)))
logcnlem.t 𝑇 = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅)))
logcnlem.a (𝜑𝐴𝐷)
logcnlem.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
logcnlem2 (𝜑 → if(𝑆𝑇, 𝑆, 𝑇) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem logcnlem2
StepHypRef Expression
1 logcnlem.s . . 3 𝑆 = if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴)))
2 simpr 483 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ+)
3 logcnlem.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝐷)
4 logcn.d . . . . . . . . . . 11 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
54ellogdm 26660 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐷 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+)))
65simplbi 496 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐷𝐴 ∈ ℂ)
73, 6syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
87imcld 15192 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
98adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
109recnd 11280 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
11 reim0b 15116 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
127, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
135simprbi 495 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐷 → (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+))
143, 13syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+))
1512, 14sylbird 259 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) = 0 → 𝐴 ∈ ℝ+))
1615necon3bd 2944 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ 𝐴 ∈ ℝ+ → (ℑ‘𝐴) ≠ 0))
1716imp 405 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
1810, 17absrpcld 15445 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ+)
192, 18ifclda 4558 . . 3 (𝜑 → if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴))) ∈ ℝ+)
201, 19eqeltrid 2830 . 2 (𝜑𝑆 ∈ ℝ+)
21 logcnlem.t . . 3 𝑇 = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅)))
224logdmn0 26661 . . . . . 6 (𝐴𝐷𝐴 ≠ 0)
233, 22syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐴 ≠ 0)
247, 23absrpcld 15445 . . . 4 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
25 logcnlem.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
26 1rp 13023 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
27 rpaddcl 13041 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ+) → (1 + 𝑅) ∈ ℝ+)
2826, 25, 27sylancr 585 . . . . 5 (𝜑 → (1 + 𝑅) ∈ ℝ+)
2925, 28rpdivcld 13078 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 / (1 + 𝑅)) ∈ ℝ+)
3024, 29rpmulcld 13077 . . 3 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))) ∈ ℝ+)
3121, 30eqeltrid 2830 . 2 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
3220, 31ifcld 4569 1 (𝜑 → if(𝑆𝑇, 𝑆, 𝑇) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  cdif 3943  ifcif 4523   class class class wbr 5143  cfv 6543  (class class class)co 7413  cc 11144  cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   · cmul 11151  -∞cmnf 11284  cle 11287   / cdiv 11909  +crp 13019  (,]cioc 13370  cim 15095  abscabs 15231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7735  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6302  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-sup 9475  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12256  df-2 12318  df-3 12319  df-n0 12516  df-z 12602  df-uz 12866  df-rp 13020  df-ioc 13374  df-seq 14013  df-exp 14073  df-cj 15096  df-re 15097  df-im 15098  df-sqrt 15232  df-abs 15233
This theorem is referenced by:  logcnlem5  26667
  Copyright terms: Public domain W3C validator