Theorem logcnlem2 26620

Description: Lemma for logcn 26624. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
logcn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
logcnlem.s	⊢ 𝑆 = if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴)))
logcnlem.t	⊢ 𝑇 = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅)))
logcnlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
logcnlem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
logcnlem2	⊢ (𝜑 → if(𝑆 ≤ 𝑇, 𝑆, 𝑇) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem logcnlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logcnlem.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴)))
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ+)
3		logcnlem.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
4		logcn.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
5	4	ellogdm 26616	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+)))
6	5	simplbi 496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → 𝐴 ∈ ℂ)
7	3, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	imcld 15130	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11172	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
11		reim0b 15054	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
12	7, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
13	5	simprbi 497	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+))
14	3, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+))
15	12, 14	sylbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) = 0 → 𝐴 ∈ ℝ+))
16	15	necon3bd 2947	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 ∈ ℝ+ → (ℑ‘𝐴) ≠ 0))
17	16	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
18	10, 17	absrpcld 15386	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ+)
19	2, 18	ifclda 4517	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴))) ∈ ℝ+)
20	1, 19	eqeltrid 2841	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ+)
21		logcnlem.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅)))
22	4	logdmn0 26617	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → 𝐴 ≠ 0)
23	3, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
24	7, 23	absrpcld 15386	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
25		logcnlem.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
26		1rp 12921	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ+
27		rpaddcl 12941	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (1 + 𝑅) ∈ ℝ+)
28	26, 25, 27	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝑅) ∈ ℝ+)
29	25, 28	rpdivcld 12978	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / (1 + 𝑅)) ∈ ℝ+)
30	24, 29	rpmulcld 12977	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))) ∈ ℝ+)
31	21, 30	eqeltrid 2841	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
32	20, 31	ifcld 4528	1 ⊢ (𝜑 → if(𝑆 ≤ 𝑇, 𝑆, 𝑇) ∈ ℝ+)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3900  ifcif 4481   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043  -∞cmnf 11176   ≤ cle 11179   / cdiv 11806  ℝ⁺crp 12917  (,]cioc 13274  ℑcim 15033  abscabs 15169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-ioc 13278  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171

This theorem is referenced by:  logcnlem5  26623