Theorem logcnlem2 26559

Description: Lemma for logcn 26563. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
logcn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
logcnlem.s	⊢ 𝑆 = if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴)))
logcnlem.t	⊢ 𝑇 = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅)))
logcnlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
logcnlem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
logcnlem2	⊢ (𝜑 → if(𝑆 ≤ 𝑇, 𝑆, 𝑇) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem logcnlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logcnlem.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴)))
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ+)
3		logcnlem.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
4		logcn.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
5	4	ellogdm 26555	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+)))
6	5	simplbi 497	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → 𝐴 ∈ ℂ)
7	3, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	imcld 15168	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11209	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
11		reim0b 15092	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
12	7, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
13	5	simprbi 496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+))
14	3, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+))
15	12, 14	sylbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) = 0 → 𝐴 ∈ ℝ+))
16	15	necon3bd 2940	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 ∈ ℝ+ → (ℑ‘𝐴) ≠ 0))
17	16	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
18	10, 17	absrpcld 15424	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ+)
19	2, 18	ifclda 4527	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴))) ∈ ℝ+)
20	1, 19	eqeltrid 2833	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ+)
21		logcnlem.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅)))
22	4	logdmn0 26556	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → 𝐴 ≠ 0)
23	3, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
24	7, 23	absrpcld 15424	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
25		logcnlem.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
26		1rp 12962	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ+
27		rpaddcl 12982	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (1 + 𝑅) ∈ ℝ+)
28	26, 25, 27	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝑅) ∈ ℝ+)
29	25, 28	rpdivcld 13019	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / (1 + 𝑅)) ∈ ℝ+)
30	24, 29	rpmulcld 13018	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))) ∈ ℝ+)
31	21, 30	eqeltrid 2833	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
32	20, 31	ifcld 4538	1 ⊢ (𝜑 → if(𝑆 ≤ 𝑇, 𝑆, 𝑇) ∈ ℝ+)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ∖ cdif 3914  ifcif 4491   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080  -∞cmnf 11213   ≤ cle 11216   / cdiv 11842  ℝ⁺crp 12958  (,]cioc 13314  ℑcim 15071  abscabs 15207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-ioc 13318  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209

This theorem is referenced by:  logcnlem5  26562