Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logcnlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logcnlem2 24789
 Description: Lemma for logcn 24793. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
logcn.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
logcnlem.s 𝑆 = if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴)))
logcnlem.t 𝑇 = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅)))
logcnlem.a (𝜑𝐴𝐷)
logcnlem.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
logcnlem2 (𝜑 → if(𝑆𝑇, 𝑆, 𝑇) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem logcnlem2
StepHypRef Expression
1 logcnlem.s . . 3 𝑆 = if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴)))
2 simpr 479 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ+)
3 logcnlem.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝐷)
4 logcn.d . . . . . . . . . . 11 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
54ellogdm 24785 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐷 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+)))
65simplbi 493 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐷𝐴 ∈ ℂ)
73, 6syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
87imcld 14313 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
98adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
109recnd 10386 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
11 reim0b 14237 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
127, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
135simprbi 492 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐷 → (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+))
143, 13syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+))
1512, 14sylbird 252 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) = 0 → 𝐴 ∈ ℝ+))
1615necon3bd 3014 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ 𝐴 ∈ ℝ+ → (ℑ‘𝐴) ≠ 0))
1716imp 397 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
1810, 17absrpcld 14565 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ+)
192, 18ifclda 4341 . . 3 (𝜑 → if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴))) ∈ ℝ+)
201, 19syl5eqel 2911 . 2 (𝜑𝑆 ∈ ℝ+)
21 logcnlem.t . . 3 𝑇 = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅)))
224logdmn0 24786 . . . . . 6 (𝐴𝐷𝐴 ≠ 0)
233, 22syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐴 ≠ 0)
247, 23absrpcld 14565 . . . 4 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
25 logcnlem.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
26 1rp 12117 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
27 rpaddcl 12137 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ+) → (1 + 𝑅) ∈ ℝ+)
2826, 25, 27sylancr 583 . . . . 5 (𝜑 → (1 + 𝑅) ∈ ℝ+)
2925, 28rpdivcld 12174 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 / (1 + 𝑅)) ∈ ℝ+)
3024, 29rpmulcld 12173 . . 3 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))) ∈ ℝ+)
3121, 30syl5eqel 2911 . 2 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
3220, 31ifcld 4352 1 (𝜑 → if(𝑆𝑇, 𝑆, 𝑇) ∈ ℝ+)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 3000   ∖ cdif 3796  ifcif 4307   class class class wbr 4874  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906  ℂcc 10251  ℝcr 10252  0cc0 10253  1c1 10254   + caddc 10256   · cmul 10258  -∞cmnf 10390   ≤ cle 10393   / cdiv 11010  ℝ+crp 12113  (,]cioc 12465  ℑcim 14216  abscabs 14352 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-sup 8618  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-rp 12114  df-ioc 12469  df-seq 13097  df-exp 13156  df-cj 14217  df-re 14218  df-im 14219  df-sqrt 14353  df-abs 14354 This theorem is referenced by:  logcnlem5  24792
 Copyright terms: Public domain W3C validator