MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logcnlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logcnlem2 26700
Description: Lemma for logcn 26704. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
logcn.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
logcnlem.s 𝑆 = if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴)))
logcnlem.t 𝑇 = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅)))
logcnlem.a (𝜑𝐴𝐷)
logcnlem.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
logcnlem2 (𝜑 → if(𝑆𝑇, 𝑆, 𝑇) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem logcnlem2
StepHypRef Expression
1 logcnlem.s . . 3 𝑆 = if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴)))
2 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ+)
3 logcnlem.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝐷)
4 logcn.d . . . . . . . . . . 11 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
54ellogdm 26696 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐷 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+)))
65simplbi 497 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐷𝐴 ∈ ℂ)
73, 6syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
87imcld 15231 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
98adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
109recnd 11287 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
11 reim0b 15155 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
127, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
135simprbi 496 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐷 → (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+))
143, 13syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+))
1512, 14sylbird 260 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) = 0 → 𝐴 ∈ ℝ+))
1615necon3bd 2952 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ 𝐴 ∈ ℝ+ → (ℑ‘𝐴) ≠ 0))
1716imp 406 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
1810, 17absrpcld 15484 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ+)
192, 18ifclda 4566 . . 3 (𝜑 → if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴))) ∈ ℝ+)
201, 19eqeltrid 2843 . 2 (𝜑𝑆 ∈ ℝ+)
21 logcnlem.t . . 3 𝑇 = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅)))
224logdmn0 26697 . . . . . 6 (𝐴𝐷𝐴 ≠ 0)
233, 22syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐴 ≠ 0)
247, 23absrpcld 15484 . . . 4 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
25 logcnlem.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
26 1rp 13036 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
27 rpaddcl 13055 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ+) → (1 + 𝑅) ∈ ℝ+)
2826, 25, 27sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → (1 + 𝑅) ∈ ℝ+)
2925, 28rpdivcld 13092 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 / (1 + 𝑅)) ∈ ℝ+)
3024, 29rpmulcld 13091 . . 3 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))) ∈ ℝ+)
3121, 30eqeltrid 2843 . 2 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
3220, 31ifcld 4577 1 (𝜑 → if(𝑆𝑇, 𝑆, 𝑇) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  cdif 3960  ifcif 4531   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  -∞cmnf 11291  cle 11294   / cdiv 11918  +crp 13032  (,]cioc 13385  cim 15134  abscabs 15270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ioc 13389  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272
This theorem is referenced by:  logcnlem5  26703
  Copyright terms: Public domain W3C validator