Theorem ltleaddd 11961

Description: Adding both sides of two orderings. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lt2addd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
ltleaddd.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
ltleaddd.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
ltleaddd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷))

Proof of Theorem ltleaddd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltleaddd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
2		ltleaddd.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)
3		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		lt2addd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
7		ltleadd 11823	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷)))
8	3, 4, 5, 6, 7	syl22anc 852	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 ≤ 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷)))
9	1, 2, 8	mp2and 712	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  (class class class)co 7440  ℝcr 11223   + caddc 11227   < clt 11367   ≤ cle 11368

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-ov 7443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373

This theorem is used by:  lt2addd  11963  abelthlem7  26792  atanlogsublem  27270  mblfinlem4  38769  sticksstones6  43392  unitscyglem4  43439  pell14qrgapw  44074  lptre2pt  46853  smfmullem1  48004