MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modaddmodup Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modaddmodup 13294
Description: The sum of an integer modulo a positive integer and another integer minus the positive integer equals the sum of the two integers modulo the positive integer if the other integer is in the upper part of the range between 0 and the positive integer. (Contributed by AV, 30-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
modaddmodup ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ ((𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))..^𝑀) → ((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) − 𝑀) = ((𝐵 + 𝐴) mod 𝑀)))

Proof of Theorem modaddmodup
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 13030 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ((𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))..^𝑀) → 𝐵 ∈ ℤ)
21zred 12079 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ((𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))..^𝑀) → 𝐵 ∈ ℝ)
32adantr 483 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ((𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))..^𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
4 zmodcl 13251 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℕ0)
54nn0red 11948 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℝ)
65adantl 484 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ((𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))..^𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ)) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℝ)
73, 6readdcld 10662 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ((𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))..^𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ)) → (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) ∈ ℝ)
87ancoms 461 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ((𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))..^𝑀)) → (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) ∈ ℝ)
9 nnrp 12392 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ+)
109ad2antlr 725 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ((𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))..^𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ+)
11 elfzo2 13033 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ((𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))..^𝑀) ↔ (𝐵 ∈ (ℤ‘(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 < 𝑀))
12 eluz2 12241 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (ℤ‘(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))) ↔ ((𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)) ≤ 𝐵))
13 nnre 11637 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
1413adantl 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
1514adantl 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ)) → 𝑀 ∈ ℝ)
165adantl 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ)) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℝ)
17 zre 11977 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
1817adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
1915, 16, 18lesubaddd 11229 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ)) → ((𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)) ≤ 𝐵𝑀 ≤ (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀))))
2019biimpd 231 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ)) → ((𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)) ≤ 𝐵𝑀 ≤ (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀))))
2120impancom 454 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)) ≤ 𝐵) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ≤ (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀))))
22213adant1 1125 . . . . . . . 8 (((𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)) ≤ 𝐵) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ≤ (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀))))
2312, 22sylbi 219 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ‘(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ≤ (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀))))
24233ad2ant1 1128 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (ℤ‘(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 < 𝑀) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ≤ (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀))))
2511, 24sylbi 219 . . . . 5 (𝐵 ∈ ((𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))..^𝑀) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ≤ (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀))))
2625impcom 410 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ((𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))..^𝑀)) → 𝑀 ≤ (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)))
27 eluzelz 12245 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (ℤ‘(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))) → 𝐵 ∈ ℤ)
2817, 5anim12i 614 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ)) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℝ))
2913, 13jca 514 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
3029adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
3130adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ)) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
3228, 31jca 514 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ)) → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ)))
3332adantr 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 < 𝑀) → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ)))
34 simpr 487 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 < 𝑀) → 𝐵 < 𝑀)
35 zre 11977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
36 modlt 13240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝑀) < 𝑀)
3735, 9, 36syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 𝑀) < 𝑀)
385, 14, 37ltled 10780 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 𝑀) ≤ 𝑀)
3938ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 < 𝑀) → (𝐴 mod 𝑀) ≤ 𝑀)
4034, 39jca 514 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 < 𝑀) → (𝐵 < 𝑀 ∧ (𝐴 mod 𝑀) ≤ 𝑀))
41 ltleadd 11115 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → ((𝐵 < 𝑀 ∧ (𝐴 mod 𝑀) ≤ 𝑀) → (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) < (𝑀 + 𝑀)))
4233, 40, 41sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 < 𝑀) → (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) < (𝑀 + 𝑀))
43 nncn 11638 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
44432timesd 11872 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) = (𝑀 + 𝑀))
4544adantl 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 · 𝑀) = (𝑀 + 𝑀))
4645ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 < 𝑀) → (2 · 𝑀) = (𝑀 + 𝑀))
4742, 46breqtrrd 5085 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 < 𝑀) → (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) < (2 · 𝑀))
4847exp31 422 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐵 < 𝑀 → (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) < (2 · 𝑀))))
4948com23 86 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 < 𝑀 → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) < (2 · 𝑀))))
5027, 49syl 17 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (ℤ‘(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))) → (𝐵 < 𝑀 → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) < (2 · 𝑀))))
5150imp 409 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (ℤ‘(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))) ∧ 𝐵 < 𝑀) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) < (2 · 𝑀)))
52513adant2 1126 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (ℤ‘(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 < 𝑀) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) < (2 · 𝑀)))
5311, 52sylbi 219 . . . . 5 (𝐵 ∈ ((𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))..^𝑀) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) < (2 · 𝑀)))
5453impcom 410 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ((𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))..^𝑀)) → (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) < (2 · 𝑀))
55 2submod 13292 . . . . 5 ((((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝑀 ≤ (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) ∧ (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) < (2 · 𝑀))) → ((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) mod 𝑀) = ((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) − 𝑀))
5655eqcomd 2825 . . . 4 ((((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝑀 ≤ (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) ∧ (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) < (2 · 𝑀))) → ((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) − 𝑀) = ((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) mod 𝑀))
578, 10, 26, 54, 56syl22anc 836 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ((𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))..^𝑀)) → ((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) − 𝑀) = ((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) mod 𝑀))
5835adantr 483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
5958adantr 483 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ((𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))..^𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ)
602adantl 484 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ((𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))..^𝑀)) → 𝐵 ∈ ℝ)
61 modadd2mod 13281 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) mod 𝑀) = ((𝐵 + 𝐴) mod 𝑀))
6259, 60, 10, 61syl3anc 1366 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ((𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))..^𝑀)) → ((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) mod 𝑀) = ((𝐵 + 𝐴) mod 𝑀))
6357, 62eqtrd 2854 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ((𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))..^𝑀)) → ((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) − 𝑀) = ((𝐵 + 𝐴) mod 𝑀))
6463ex 415 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ ((𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))..^𝑀) → ((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) − 𝑀) = ((𝐵 + 𝐴) mod 𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  w3a 1082   = wceq 1531  wcel 2108   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7148  cr 10528   + caddc 10532   · cmul 10534   < clt 10667  cle 10668  cmin 10862  cn 11630  2c2 11684  cz 11973  cuz 12235  +crp 12381  ..^cfzo 13025   mod cmo 13229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-fl 13154  df-mod 13230
This theorem is referenced by:  cshwidxmod  14157
  Copyright terms: Public domain W3C validator