Theorem modaddmodup 13035

Description: The sum of an integer modulo a positive integer and another integer minus the positive integer equals the sum of the two integers modulo the positive integer if the other integer is in the upper part of the range between 0 and the positive integer. (Contributed by AV, 30-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
modaddmodup	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ ((𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))..^𝑀) → ((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) − 𝑀) = ((𝐵 + 𝐴) mod 𝑀)))

Proof of Theorem modaddmodup

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 12772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ((𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))..^𝑀) → 𝐵 ∈ ℤ)
2	1	zred 11817	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ((𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))..^𝑀) → 𝐵 ∈ ℝ)
3	2	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ((𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))..^𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
4		zmodcl 12992	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℕ0)
5	4	nn0red 11686	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℝ)
6	5	adantl 475	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ((𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))..^𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ)) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℝ)
7	3, 6	readdcld 10393	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ((𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))..^𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ)) → (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) ∈ ℝ)
8	7	ancoms 452	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ((𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))..^𝑀)) → (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) ∈ ℝ)
9		nnrp 12132	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ+)
10	9	ad2antlr 718	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ((𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))..^𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ+)
11		elfzo2 12775	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ((𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))..^𝑀) ↔ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 < 𝑀))
12		eluz2 11981	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))) ↔ ((𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)) ≤ 𝐵))
13		nnre 11365	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
14	13	adantl 475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
15	14	adantl 475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ)) → 𝑀 ∈ ℝ)
16	5	adantl 475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ)) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℝ)
17		zre 11715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
18	17	adantr 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
19	15, 16, 18	lesubaddd 10956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ)) → ((𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)) ≤ 𝐵 ↔ 𝑀 ≤ (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀))))
20	19	biimpd 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ)) → ((𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)) ≤ 𝐵 → 𝑀 ≤ (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀))))
21	20	impancom 445	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)) ≤ 𝐵) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ≤ (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀))))
22	21	3adant1 1164	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − (𝐴 mod 𝑀)) ≤ 𝐵) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ≤ (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀))))
23	12, 22	sylbi 209	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ≤ (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀))))
24	23	3ad2ant1 1167	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 < 𝑀) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ≤ (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀))))
25	11, 24	sylbi 209	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ((𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))..^𝑀) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ≤ (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀))))
26	25	impcom 398	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ((𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))..^𝑀)) → 𝑀 ≤ (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)))
27		eluzelz 11985	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))) → 𝐵 ∈ ℤ)
28	17, 5	anim12i 606	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ)) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℝ))
29	13, 13	jca 507	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
30	29	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
31	30	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ)) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
32	28, 31	jca 507	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ)) → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ)))
33	32	adantr 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 < 𝑀) → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ)))
34		simpr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 < 𝑀) → 𝐵 < 𝑀)
35		zre 11715	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
36		modlt 12981	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝑀) < 𝑀)
37	35, 9, 36	syl2an 589	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 𝑀) < 𝑀)
38	5, 14, 37	ltled 10511	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 𝑀) ≤ 𝑀)
39	38	ad2antlr 718	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 < 𝑀) → (𝐴 mod 𝑀) ≤ 𝑀)
40	34, 39	jca 507	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 < 𝑀) → (𝐵 < 𝑀 ∧ (𝐴 mod 𝑀) ≤ 𝑀))
41		ltleadd 10842	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → ((𝐵 < 𝑀 ∧ (𝐴 mod 𝑀) ≤ 𝑀) → (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) < (𝑀 + 𝑀)))
42	33, 40, 41	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 < 𝑀) → (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) < (𝑀 + 𝑀))
43		nncn 11366	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
44	43	2timesd 11608	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) = (𝑀 + 𝑀))
45	44	adantl 475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 · 𝑀) = (𝑀 + 𝑀))
46	45	ad2antlr 718	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 < 𝑀) → (2 · 𝑀) = (𝑀 + 𝑀))
47	42, 46	breqtrrd 4903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ)) ∧ 𝐵 < 𝑀) → (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) < (2 · 𝑀))
48	47	exp31 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐵 < 𝑀 → (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) < (2 · 𝑀))))
49	48	com23 86	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 < 𝑀 → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) < (2 · 𝑀))))
50	27, 49	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))) → (𝐵 < 𝑀 → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) < (2 · 𝑀))))
51	50	imp 397	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))) ∧ 𝐵 < 𝑀) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) < (2 · 𝑀)))
52	51	3adant2 1165	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐵 < 𝑀) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) < (2 · 𝑀)))
53	11, 52	sylbi 209	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ((𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))..^𝑀) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) < (2 · 𝑀)))
54	53	impcom 398	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ((𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))..^𝑀)) → (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) < (2 · 𝑀))
55		2submod 13033	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝑀 ≤ (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) ∧ (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) < (2 · 𝑀))) → ((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) mod 𝑀) = ((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) − 𝑀))
56	55	eqcomd 2831	. . . 4 ⊢ ((((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝑀 ≤ (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) ∧ (𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) < (2 · 𝑀))) → ((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) − 𝑀) = ((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) mod 𝑀))
57	8, 10, 26, 54, 56	syl22anc 872	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ((𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))..^𝑀)) → ((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) − 𝑀) = ((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) mod 𝑀))
58	35	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
59	58	adantr 474	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ((𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))..^𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ)
60	2	adantl 475	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ((𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))..^𝑀)) → 𝐵 ∈ ℝ)
61		modadd2mod 13022	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) mod 𝑀) = ((𝐵 + 𝐴) mod 𝑀))
62	59, 60, 10, 61	syl3anc 1494	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ((𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))..^𝑀)) → ((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) mod 𝑀) = ((𝐵 + 𝐴) mod 𝑀))
63	57, 62	eqtrd 2861	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝐵 ∈ ((𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))..^𝑀)) → ((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) − 𝑀) = ((𝐵 + 𝐴) mod 𝑀))
64	63	ex 403	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ ((𝑀 − (𝐴 mod 𝑀))..^𝑀) → ((𝐵 + (𝐴 mod 𝑀)) − 𝑀) = ((𝐵 + 𝐴) mod 𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4875  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  ℝcr 10258   + caddc 10262   · cmul 10264   < clt 10398   ≤ cle 10399   − cmin 10592  ℕcn 11357  2c2 11413  ℤcz 11711  ℤ_≥cuz 11975  ℝ⁺crp 12119  ..^cfzo 12767   mod cmo 12970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-sup 8623  df-inf 8624  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-rp 12120  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-fl 12895  df-mod 12971

This theorem is referenced by:  cshwidxmod  13931