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Theorem cdlemg21 37304
Description: Version of cdlemg19 with (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) instead of (𝑅𝐺) (𝑃 𝑄) as a condition. (Contributed by NM, 23-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l = (le‘𝐾)
cdlemg12.j = (join‘𝐾)
cdlemg12.m = (meet‘𝐾)
cdlemg12.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg12.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg12.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg12b.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemg21 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) = ((𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄))) 𝑊))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐺,𝑟   ,𝑟   ,𝑟   𝑃,𝑟   𝑄,𝑟   𝑊,𝑟   𝐹,𝑟
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑟)   𝑇(𝑟)   𝐻(𝑟)   𝐾(𝑟)   (𝑟)

Proof of Theorem cdlemg21
StepHypRef Expression
1 simp1 1117 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)))
2 simp21r 1272 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝐺𝑇)
3 simp21l 1271 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝐹𝑇)
42, 3jca 504 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝐺𝑇𝐹𝑇))
5 simp22 1188 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝑃𝑄)
6 simp23 1189 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝐹𝑃) ≠ 𝑃)
7 simp31 1190 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄))
8 simp33 1192 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))
9 cdlemg12.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
10 cdlemg12.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
11 cdlemg12.m . . . . . . 7 = (meet‘𝐾)
12 cdlemg12.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
13 cdlemg12.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
14 cdlemg12.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
15 cdlemg12b.r . . . . . . 7 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
169, 10, 11, 12, 13, 14, 15cdlemg17j 37289 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐺𝑇𝐹𝑇𝑃𝑄) ∧ ((𝐹𝑃) ≠ 𝑃 ∧ (𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝐹‘(𝐺𝑃)) = (𝐺‘(𝐹𝑃)))
171, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 16syl133anc 1374 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝐹‘(𝐺𝑃)) = (𝐺‘(𝐹𝑃)))
18 simp11 1184 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
19 simp13 1186 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
20 simp12 1185 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
215necomd 3015 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝑄𝑃)
229, 12, 13, 14ltrnatneq 36800 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) → (𝐹𝑄) ≠ 𝑄)
2318, 3, 20, 19, 6, 22syl131anc 1364 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝐹𝑄) ≠ 𝑄)
24 simp11l 1265 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝐾 ∈ HL)
25 simp12l 1267 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝑃𝐴)
26 simp13l 1269 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → 𝑄𝐴)
2710, 12hlatjcom 35986 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) = (𝑄 𝑃))
2824, 25, 26, 27syl3anc 1352 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝑃 𝑄) = (𝑄 𝑃))
297, 28breqtrd 4951 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝑅𝐹) (𝑄 𝑃))
30 eqcom 2778 . . . . . . . . 9 ((𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟) ↔ (𝑄 𝑟) = (𝑃 𝑟))
3130anbi2i 614 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)) ↔ (¬ 𝑟 𝑊 ∧ (𝑄 𝑟) = (𝑃 𝑟)))
3231rexbii 3187 . . . . . . 7 (∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)) ↔ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑄 𝑟) = (𝑃 𝑟)))
338, 32sylnib 320 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑄 𝑟) = (𝑃 𝑟)))
349, 10, 11, 12, 13, 14, 15cdlemg17j 37289 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐺𝑇𝐹𝑇𝑄𝑃) ∧ ((𝐹𝑄) ≠ 𝑄 ∧ (𝑅𝐹) (𝑄 𝑃) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑄 𝑟) = (𝑃 𝑟)))) → (𝐹‘(𝐺𝑄)) = (𝐺‘(𝐹𝑄)))
3518, 19, 20, 2, 3, 21, 23, 29, 33, 34syl333anc 1383 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝐹‘(𝐺𝑄)) = (𝐺‘(𝐹𝑄)))
3617, 35oveq12d 6992 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) = ((𝐺‘(𝐹𝑃)) (𝐺‘(𝐹𝑄))))
37 simp32 1191 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄))
3836, 37eqnetrrd 3028 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ((𝐺‘(𝐹𝑃)) (𝐺‘(𝐹𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄))
399, 10, 11, 12, 13, 14, 15cdlemg19 37302 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐺𝑇𝐹𝑇) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ((𝐺‘(𝐹𝑃)) (𝐺‘(𝐹𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ((𝑃 (𝐺‘(𝐹𝑃))) 𝑊) = ((𝑄 (𝐺‘(𝐹𝑄))) 𝑊))
401, 4, 5, 6, 7, 38, 8, 39syl133anc 1374 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ((𝑃 (𝐺‘(𝐹𝑃))) 𝑊) = ((𝑄 (𝐺‘(𝐹𝑄))) 𝑊))
4117oveq2d 6990 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) = (𝑃 (𝐺‘(𝐹𝑃))))
4241oveq1d 6989 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) = ((𝑃 (𝐺‘(𝐹𝑃))) 𝑊))
4335oveq2d 6990 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → (𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄))) = (𝑄 (𝐺‘(𝐹𝑄))))
4443oveq1d 6989 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ((𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄))) 𝑊) = ((𝑄 (𝐺‘(𝐹𝑄))) 𝑊))
4540, 42, 443eqtr4d 2817 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃) ∧ ((𝑅𝐹) (𝑃 𝑄) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑄))) ≠ (𝑃 𝑄) ∧ ¬ ∃𝑟𝐴𝑟 𝑊 ∧ (𝑃 𝑟) = (𝑄 𝑟)))) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) = ((𝑄 (𝐹‘(𝐺𝑄))) 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 387  w3a 1069   = wceq 1508  wcel 2051  wne 2960  wrex 3082   class class class wbr 4925  cfv 6185  (class class class)co 6974  lecple 16426  joincjn 17424  meetcmee 17425  Atomscatm 35881  HLchlt 35968  LHypclh 36602  LTrncltrn 36719  trLctrl 36776
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-riotaBAD 35571
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-iin 4791  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-undef 7740  df-map 8206  df-proset 17408  df-poset 17426  df-plt 17438  df-lub 17454  df-glb 17455  df-join 17456  df-meet 17457  df-p0 17519  df-p1 17520  df-lat 17526  df-clat 17588  df-oposet 35794  df-ol 35796  df-oml 35797  df-covers 35884  df-ats 35885  df-atl 35916  df-cvlat 35940  df-hlat 35969  df-llines 36116  df-lplanes 36117  df-lvols 36118  df-lines 36119  df-psubsp 36121  df-pmap 36122  df-padd 36414  df-lhyp 36606  df-laut 36607  df-ldil 36722  df-ltrn 36723  df-trl 36777
This theorem is referenced by:  cdlemg22  37305
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