Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg13 38708
Description: TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 6-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemg12.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemg12.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemg12.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemg12.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemg12.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemg12b.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdlemg13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) = ((𝑄 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) ∧ π‘Š))

Proof of Theorem cdlemg13
StepHypRef Expression
1 simp11 1203 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simp2l 1199 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
3 simp2r 1200 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
4 simp12 1204 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
5 cdlemg12.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
6 cdlemg12.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
7 cdlemg12.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
8 cdlemg12.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
95, 6, 7, 8ltrnel 38195 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
101, 3, 4, 9syl3anc 1371 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
11 cdlemg12.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
12 cdlemg12.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
13 cdlemg12b.r . . . . 5 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
145, 11, 12, 6, 7, 8, 13trlval2 38219 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š))
151, 2, 10, 14syl3anc 1371 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š))
16 simp13 1205 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
175, 6, 7, 8ltrnel 38195 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΊβ€˜π‘„) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘„) ≀ π‘Š))
181, 3, 16, 17syl3anc 1371 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((πΊβ€˜π‘„) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘„) ≀ π‘Š))
195, 11, 12, 6, 7, 8, 13trlval2 38219 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((πΊβ€˜π‘„) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘„) ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (((πΊβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) ∧ π‘Š))
201, 2, 18, 19syl3anc 1371 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (((πΊβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) ∧ π‘Š))
2115, 20eqtr3d 2778 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) = (((πΊβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) ∧ π‘Š))
225, 11, 12, 6, 7, 8, 13cdlemg13a 38707 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))))
2322oveq1d 7322 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) = (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š))
24 simp2 1137 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇))
25 simp31 1209 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃)
265, 6, 7, 8ltrnatneq 38238 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃) β†’ (πΉβ€˜π‘„) β‰  𝑄)
271, 2, 4, 16, 25, 26syl131anc 1383 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (πΉβ€˜π‘„) β‰  𝑄)
28 simp32 1210 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ))
29 simp33 1211 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))
30 simp11l 1284 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
31 simp12l 1286 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
325, 6, 7, 8ltrncoat 38200 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐴)
331, 24, 31, 32syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐴)
34 simp13l 1288 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
355, 6, 7, 8ltrncoat 38200 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) ∈ 𝐴)
361, 24, 34, 35syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) ∈ 𝐴)
3711, 6hlatjcom 37424 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) = ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))))
3830, 33, 36, 37syl3anc 1371 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) = ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))))
3911, 6hlatjcom 37424 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑃))
4030, 31, 34, 39syl3anc 1371 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑃))
4129, 38, 403netr3d 3018 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) β‰  (𝑄 ∨ 𝑃))
425, 11, 12, 6, 7, 8, 13cdlemg13a 38707 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘„) β‰  𝑄 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) β‰  (𝑄 ∨ 𝑃))) β†’ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) = ((πΊβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))))
431, 16, 4, 24, 27, 28, 41, 42syl313anc 1394 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑄 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) = ((πΊβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))))
4443oveq1d 7322 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((𝑄 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) ∧ π‘Š) = (((πΊβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) ∧ π‘Š))
4521, 23, 443eqtr4d 2786 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) = ((𝑄 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘„))) ∧ π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2941   class class class wbr 5081  β€˜cfv 6458  (class class class)co 7307  lecple 17014  joincjn 18074  meetcmee 18075  Atomscatm 37319  HLchlt 37406  LHypclh 38040  LTrncltrn 38157  trLctrl 38214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-riotaBAD 37009
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-iin 4934  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-undef 8120  df-map 8648  df-proset 18058  df-poset 18076  df-plt 18093  df-lub 18109  df-glb 18110  df-join 18111  df-meet 18112  df-p0 18188  df-p1 18189  df-lat 18195  df-clat 18262  df-oposet 37232  df-ol 37234  df-oml 37235  df-covers 37322  df-ats 37323  df-atl 37354  df-cvlat 37378  df-hlat 37407  df-llines 37554  df-lplanes 37555  df-lvols 37556  df-lines 37557  df-psubsp 37559  df-pmap 37560  df-padd 37852  df-lhyp 38044  df-laut 38045  df-ldil 38160  df-ltrn 38161  df-trl 38215
This theorem is referenced by:  cdlemg15a  38711
  Copyright terms: Public domain W3C validator