Theorem cdlemj2 40860

Description: Part of proof of Lemma J of [Crawley] p. 118. Eliminate 𝑝. (Contributed by NM, 20-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemj.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemj.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemj.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemj.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemj.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdlemj2	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ (ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝑔) ∧ (𝑅‘𝑔) ≠ (𝑅‘ℎ))) → (𝑈‘ℎ) = (𝑉‘ℎ))

Proof of Theorem cdlemj2

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ (ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝑔) ∧ (𝑅‘𝑔) ≠ (𝑅‘ℎ))) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)))
2		simpl2 1193	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ (ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝑔) ∧ (𝑅‘𝑔) ≠ (𝑅‘ℎ))) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
3		simpl3l 1229	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ (ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝑔) ∧ (𝑅‘𝑔) ≠ (𝑅‘ℎ))) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝑔))
4		simpl3r 1230	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ (ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝑔) ∧ (𝑅‘𝑔) ≠ (𝑅‘ℎ))) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑅‘𝑔) ≠ (𝑅‘ℎ))
5		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ (ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝑔) ∧ (𝑅‘𝑔) ≠ (𝑅‘ℎ))) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊))
6		cdlemj.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7		cdlemj.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8		cdlemj.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
9		cdlemj.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
10		cdlemj.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
11		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
12		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
13	6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	cdlemj1 40859	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ (ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝑔) ∧ (𝑅‘𝑔) ≠ (𝑅‘ℎ) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊))) → ((𝑈‘ℎ)‘𝑝) = ((𝑉‘ℎ)‘𝑝))
14	1, 2, 3, 4, 5, 13	syl113anc 1384	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ (ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝑔) ∧ (𝑅‘𝑔) ≠ (𝑅‘ℎ))) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝑈‘ℎ)‘𝑝) = ((𝑉‘ℎ)‘𝑝))
15	14	exp32 420	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ (ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝑔) ∧ (𝑅‘𝑔) ≠ (𝑅‘ℎ))) → (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) → (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊 → ((𝑈‘ℎ)‘𝑝) = ((𝑉‘ℎ)‘𝑝))))
16	15	ralrimiv 3123	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ (ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝑔) ∧ (𝑅‘𝑔) ≠ (𝑅‘ℎ))) → ∀𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)(¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊 → ((𝑈‘ℎ)‘𝑝) = ((𝑉‘ℎ)‘𝑝)))
17		simp11 1204	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ (ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝑔) ∧ (𝑅‘𝑔) ≠ (𝑅‘ℎ))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
18		simp121 1306	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ (ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝑔) ∧ (𝑅‘𝑔) ≠ (𝑅‘ℎ))) → 𝑈 ∈ 𝐸)
19		simp133 1311	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ (ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝑔) ∧ (𝑅‘𝑔) ≠ (𝑅‘ℎ))) → ℎ ∈ 𝑇)
20	7, 8, 10	tendocl 40805	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → (𝑈‘ℎ) ∈ 𝑇)
21	17, 18, 19, 20	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ (ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝑔) ∧ (𝑅‘𝑔) ≠ (𝑅‘ℎ))) → (𝑈‘ℎ) ∈ 𝑇)
22		simp122 1307	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ (ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝑔) ∧ (𝑅‘𝑔) ≠ (𝑅‘ℎ))) → 𝑉 ∈ 𝐸)
23	7, 8, 10	tendocl 40805	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → (𝑉‘ℎ) ∈ 𝑇)
24	17, 22, 19, 23	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ (ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝑔) ∧ (𝑅‘𝑔) ≠ (𝑅‘ℎ))) → (𝑉‘ℎ) ∈ 𝑇)
25	11, 12, 7, 8	ltrneq 40187	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈‘ℎ) ∈ 𝑇 ∧ (𝑉‘ℎ) ∈ 𝑇) → (∀𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)(¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊 → ((𝑈‘ℎ)‘𝑝) = ((𝑉‘ℎ)‘𝑝)) ↔ (𝑈‘ℎ) = (𝑉‘ℎ)))
26	17, 21, 24, 25	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ (ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝑔) ∧ (𝑅‘𝑔) ≠ (𝑅‘ℎ))) → (∀𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)(¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊 → ((𝑈‘ℎ)‘𝑝) = ((𝑉‘ℎ)‘𝑝)) ↔ (𝑈‘ℎ) = (𝑉‘ℎ)))
27	16, 26	mpbid 232	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ (𝑈‘𝐹) = (𝑉‘𝐹)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ∈ 𝑇)) ∧ (ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝑔) ∧ (𝑅‘𝑔) ≠ (𝑅‘ℎ))) → (𝑈‘ℎ) = (𝑉‘ℎ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047   class class class wbr 5091   I cid 5510   ↾ cres 5618  ‘cfv 6481  Basecbs 17117  lecple 17165  Atomscatm 39301  HLchlt 39388  LHypclh 40022  LTrncltrn 40139  trLctrl 40196  TEndoctendo 40790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-riotaBAD 38991

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-undef 8203  df-map 8752  df-proset 18197  df-poset 18216  df-plt 18231  df-lub 18247  df-glb 18248  df-join 18249  df-meet 18250  df-p0 18326  df-p1 18327  df-lat 18335  df-clat 18402  df-oposet 39214  df-ol 39216  df-oml 39217  df-covers 39304  df-ats 39305  df-atl 39336  df-cvlat 39360  df-hlat 39389  df-llines 39536  df-lplanes 39537  df-lvols 39538  df-lines 39539  df-psubsp 39541  df-pmap 39542  df-padd 39834  df-lhyp 40026  df-laut 40027  df-ldil 40142  df-ltrn 40143  df-trl 40197  df-tendo 40793

This theorem is referenced by:  cdlemj3  40861