Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpl1 1192 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ π β πΈ β§ (πβπΉ) = (πβπΉ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ β β π)) β§ (β β ( I βΎ π΅) β§ π β π β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπ) β§ (π
βπ) β (π
ββ))) β§ (π β (AtomsβπΎ) β§ Β¬ π(leβπΎ)π)) β ((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ π β πΈ β§ (πβπΉ) = (πβπΉ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ β β π))) |
2 | | simpl2 1193 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ π β πΈ β§ (πβπΉ) = (πβπΉ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ β β π)) β§ (β β ( I βΎ π΅) β§ π β π β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπ) β§ (π
βπ) β (π
ββ))) β§ (π β (AtomsβπΎ) β§ Β¬ π(leβπΎ)π)) β (β β ( I βΎ π΅) β§ π β π β§ π β ( I βΎ π΅))) |
3 | | simpl3l 1229 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ π β πΈ β§ (πβπΉ) = (πβπΉ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ β β π)) β§ (β β ( I βΎ π΅) β§ π β π β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπ) β§ (π
βπ) β (π
ββ))) β§ (π β (AtomsβπΎ) β§ Β¬ π(leβπΎ)π)) β (π
βπΉ) β (π
βπ)) |
4 | | simpl3r 1230 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ π β πΈ β§ (πβπΉ) = (πβπΉ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ β β π)) β§ (β β ( I βΎ π΅) β§ π β π β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπ) β§ (π
βπ) β (π
ββ))) β§ (π β (AtomsβπΎ) β§ Β¬ π(leβπΎ)π)) β (π
βπ) β (π
ββ)) |
5 | | simpr 486 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ π β πΈ β§ (πβπΉ) = (πβπΉ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ β β π)) β§ (β β ( I βΎ π΅) β§ π β π β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπ) β§ (π
βπ) β (π
ββ))) β§ (π β (AtomsβπΎ) β§ Β¬ π(leβπΎ)π)) β (π β (AtomsβπΎ) β§ Β¬ π(leβπΎ)π)) |
6 | | cdlemj.b |
. . . . . 6
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
7 | | cdlemj.h |
. . . . . 6
β’ π» = (LHypβπΎ) |
8 | | cdlemj.t |
. . . . . 6
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
9 | | cdlemj.r |
. . . . . 6
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
10 | | cdlemj.e |
. . . . . 6
β’ πΈ = ((TEndoβπΎ)βπ) |
11 | | eqid 2737 |
. . . . . 6
β’
(leβπΎ) =
(leβπΎ) |
12 | | eqid 2737 |
. . . . . 6
β’
(AtomsβπΎ) =
(AtomsβπΎ) |
13 | 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 | cdlemj1 39287 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ π β πΈ β§ (πβπΉ) = (πβπΉ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ β β π)) β§ (β β ( I βΎ π΅) β§ π β π β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπ) β§ (π
βπ) β (π
ββ) β§ (π β (AtomsβπΎ) β§ Β¬ π(leβπΎ)π))) β ((πββ)βπ) = ((πββ)βπ)) |
14 | 1, 2, 3, 4, 5, 13 | syl113anc 1383 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ π β πΈ β§ (πβπΉ) = (πβπΉ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ β β π)) β§ (β β ( I βΎ π΅) β§ π β π β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπ) β§ (π
βπ) β (π
ββ))) β§ (π β (AtomsβπΎ) β§ Β¬ π(leβπΎ)π)) β ((πββ)βπ) = ((πββ)βπ)) |
15 | 14 | exp32 422 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ π β πΈ β§ (πβπΉ) = (πβπΉ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ β β π)) β§ (β β ( I βΎ π΅) β§ π β π β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπ) β§ (π
βπ) β (π
ββ))) β (π β (AtomsβπΎ) β (Β¬ π(leβπΎ)π β ((πββ)βπ) = ((πββ)βπ)))) |
16 | 15 | ralrimiv 3143 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ π β πΈ β§ (πβπΉ) = (πβπΉ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ β β π)) β§ (β β ( I βΎ π΅) β§ π β π β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπ) β§ (π
βπ) β (π
ββ))) β βπ β (AtomsβπΎ)(Β¬ π(leβπΎ)π β ((πββ)βπ) = ((πββ)βπ))) |
17 | | simp11 1204 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ π β πΈ β§ (πβπΉ) = (πβπΉ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ β β π)) β§ (β β ( I βΎ π΅) β§ π β π β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπ) β§ (π
βπ) β (π
ββ))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
18 | | simp121 1306 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ π β πΈ β§ (πβπΉ) = (πβπΉ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ β β π)) β§ (β β ( I βΎ π΅) β§ π β π β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπ) β§ (π
βπ) β (π
ββ))) β π β πΈ) |
19 | | simp133 1311 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ π β πΈ β§ (πβπΉ) = (πβπΉ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ β β π)) β§ (β β ( I βΎ π΅) β§ π β π β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπ) β§ (π
βπ) β (π
ββ))) β β β π) |
20 | 7, 8, 10 | tendocl 39233 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β πΈ β§ β β π) β (πββ) β π) |
21 | 17, 18, 19, 20 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ π β πΈ β§ (πβπΉ) = (πβπΉ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ β β π)) β§ (β β ( I βΎ π΅) β§ π β π β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπ) β§ (π
βπ) β (π
ββ))) β (πββ) β π) |
22 | | simp122 1307 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ π β πΈ β§ (πβπΉ) = (πβπΉ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ β β π)) β§ (β β ( I βΎ π΅) β§ π β π β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπ) β§ (π
βπ) β (π
ββ))) β π β πΈ) |
23 | 7, 8, 10 | tendocl 39233 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β πΈ β§ β β π) β (πββ) β π) |
24 | 17, 22, 19, 23 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ π β πΈ β§ (πβπΉ) = (πβπΉ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ β β π)) β§ (β β ( I βΎ π΅) β§ π β π β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπ) β§ (π
βπ) β (π
ββ))) β (πββ) β π) |
25 | 11, 12, 7, 8 | ltrneq 38615 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πββ) β π β§ (πββ) β π) β (βπ β (AtomsβπΎ)(Β¬ π(leβπΎ)π β ((πββ)βπ) = ((πββ)βπ)) β (πββ) = (πββ))) |
26 | 17, 21, 24, 25 | syl3anc 1372 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ π β πΈ β§ (πβπΉ) = (πβπΉ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ β β π)) β§ (β β ( I βΎ π΅) β§ π β π β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπ) β§ (π
βπ) β (π
ββ))) β (βπ β (AtomsβπΎ)(Β¬ π(leβπΎ)π β ((πββ)βπ) = ((πββ)βπ)) β (πββ) = (πββ))) |
27 | 16, 26 | mpbid 231 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ π β πΈ β§ (πβπΉ) = (πβπΉ)) β§ (πΉ β π β§ πΉ β ( I βΎ π΅) β§ β β π)) β§ (β β ( I βΎ π΅) β§ π β π β§ π β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπΉ) β (π
βπ) β§ (π
βπ) β (π
ββ))) β (πββ) = (πββ)) |