Theorem trlnidat 38187

Description: The trace of a lattice translation other than the identity is an atom. Remark above Lemma C in [Crawley] p. 112. (Contributed by NM, 23-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlnidat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
trlnidat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
trlnidat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlnidat.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlnidat.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
trlnidat	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem trlnidat

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlnidat.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		trlnidat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		trlnidat.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		trlnidat.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	ltrnnid 38150	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝐹‘𝑝) ≠ 𝑝))
7		simp11 1202	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝐹‘𝑝) ≠ 𝑝)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8		simp2 1136	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝐹‘𝑝) ≠ 𝑝)) → 𝑝 ∈ 𝐴)
9		simp3l 1200	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝐹‘𝑝) ≠ 𝑝)) → ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)
10		simp12 1203	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝐹‘𝑝) ≠ 𝑝)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
11		simp3r 1201	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝐹‘𝑝) ≠ 𝑝)) → (𝐹‘𝑝) ≠ 𝑝)
12		trlnidat.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
13	2, 3, 4, 5, 12	trlat 38183	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑝) ≠ 𝑝)) → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴)
14	7, 8, 9, 10, 11, 13	syl122anc 1378	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝐹‘𝑝) ≠ 𝑝)) → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴)
15	14	rexlimdv3a 3215	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝐹‘𝑝) ≠ 𝑝) → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴))
16	6, 15	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065   class class class wbr 5074   I cid 5488   ↾ cres 5591  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  lecple 16969  Atomscatm 37277  HLchlt 37364  LHypclh 37998  LTrncltrn 38115  trLctrl 38172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-map 8617  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-p1 18144  df-lat 18150  df-clat 18217  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365  df-lhyp 38002  df-laut 38003  df-ldil 38118  df-ltrn 38119  df-trl 38173

This theorem is referenced by:  ltrnnidn  38188  trlnidatb  38191  trlcone  38742  cdlemg46  38749  trljco  38754  cdlemh2  38830  cdlemh  38831  tendotr  38844  cdlemk3  38847  cdlemk12  38864  cdlemkole  38867  cdlemk14  38868  cdlemk15  38869  cdlemk1u  38873  cdlemk5u  38875  cdlemk12u  38886  cdlemk37  38928  cdlemk39  38930  cdlemkid1  38936  cdlemk47  38963  cdlemk51  38967  cdlemk52  38968  cdleml1N  38990