Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlnidat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlnidat 38639
Description: The trace of a lattice translation other than the identity is an atom. Remark above Lemma C in [Crawley] p. 112. (Contributed by NM, 23-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
trlnidat.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
trlnidat.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
trlnidat.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
trlnidat.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
trlnidat.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
trlnidat (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem trlnidat
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 trlnidat.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2737 . . 3 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
3 trlnidat.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
4 trlnidat.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
5 trlnidat.t . . 3 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
61, 2, 3, 4, 5ltrnnid 38602 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ (πΉβ€˜π‘) β‰  𝑝))
7 simp11 1204 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ (πΉβ€˜π‘) β‰  𝑝)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
8 simp2 1138 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ (πΉβ€˜π‘) β‰  𝑝)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
9 simp3l 1202 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ (πΉβ€˜π‘) β‰  𝑝)) β†’ Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š)
10 simp12 1205 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ (πΉβ€˜π‘) β‰  𝑝)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
11 simp3r 1203 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ (πΉβ€˜π‘) β‰  𝑝)) β†’ (πΉβ€˜π‘) β‰  𝑝)
12 trlnidat.r . . . . 5 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
132, 3, 4, 5, 12trlat 38635 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘) β‰  𝑝)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴)
147, 8, 9, 10, 11, 13syl122anc 1380 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ (πΉβ€˜π‘) β‰  𝑝)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴)
1514rexlimdv3a 3157 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ (πΉβ€˜π‘) β‰  𝑝) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴))
166, 15mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆƒwrex 3074   class class class wbr 5106   I cid 5531   β†Ύ cres 5636  β€˜cfv 6497  Basecbs 17084  lecple 17141  Atomscatm 37728  HLchlt 37815  LHypclh 38450  LTrncltrn 38567  trLctrl 38624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-map 8768  df-proset 18185  df-poset 18203  df-plt 18220  df-lub 18236  df-glb 18237  df-join 18238  df-meet 18239  df-p0 18315  df-p1 18316  df-lat 18322  df-clat 18389  df-oposet 37641  df-ol 37643  df-oml 37644  df-covers 37731  df-ats 37732  df-atl 37763  df-cvlat 37787  df-hlat 37816  df-lhyp 38454  df-laut 38455  df-ldil 38570  df-ltrn 38571  df-trl 38625
This theorem is referenced by:  ltrnnidn  38640  trlnidatb  38643  trlcone  39194  cdlemg46  39201  trljco  39206  cdlemh2  39282  cdlemh  39283  tendotr  39296  cdlemk3  39299  cdlemk12  39316  cdlemkole  39319  cdlemk14  39320  cdlemk15  39321  cdlemk1u  39325  cdlemk5u  39327  cdlemk12u  39338  cdlemk37  39380  cdlemk39  39382  cdlemkid1  39388  cdlemk47  39415  cdlemk51  39419  cdlemk52  39420  cdleml1N  39442
  Copyright terms: Public domain W3C validator