Theorem trlnidat 36861

Description: The trace of a lattice translation other than the identity is an atom. Remark above Lemma C in [Crawley] p. 112. (Contributed by NM, 23-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlnidat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
trlnidat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
trlnidat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlnidat.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlnidat.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
trlnidat	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem trlnidat

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlnidat.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2797	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		trlnidat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		trlnidat.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		trlnidat.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	ltrnnid 36824	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝐹‘𝑝) ≠ 𝑝))
7		simp11 1196	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝐹‘𝑝) ≠ 𝑝)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8		simp2 1130	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝐹‘𝑝) ≠ 𝑝)) → 𝑝 ∈ 𝐴)
9		simp3l 1194	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝐹‘𝑝) ≠ 𝑝)) → ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)
10		simp12 1197	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝐹‘𝑝) ≠ 𝑝)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
11		simp3r 1195	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝐹‘𝑝) ≠ 𝑝)) → (𝐹‘𝑝) ≠ 𝑝)
12		trlnidat.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
13	2, 3, 4, 5, 12	trlat 36857	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑝) ≠ 𝑝)) → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴)
14	7, 8, 9, 10, 11, 13	syl122anc 1372	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝐹‘𝑝) ≠ 𝑝)) → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴)
15	14	rexlimdv3a 3251	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝐹‘𝑝) ≠ 𝑝) → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴))
16	6, 15	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1525   ∈ wcel 2083   ≠ wne 2986  ∃wrex 3108   class class class wbr 4968   I cid 5354   ↾ cres 5452  ‘cfv 6232  Basecbs 16316  lecple 16405  Atomscatm 35951  HLchlt 36038  LHypclh 36672  LTrncltrn 36789  trLctrl 36846

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-id 5355  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-map 8265  df-proset 17371  df-poset 17389  df-plt 17401  df-lub 17417  df-glb 17418  df-join 17419  df-meet 17420  df-p0 17482  df-p1 17483  df-lat 17489  df-clat 17551  df-oposet 35864  df-ol 35866  df-oml 35867  df-covers 35954  df-ats 35955  df-atl 35986  df-cvlat 36010  df-hlat 36039  df-lhyp 36676  df-laut 36677  df-ldil 36792  df-ltrn 36793  df-trl 36847

This theorem is referenced by:  ltrnnidn  36862  trlnidatb  36865  trlcone  37416  cdlemg46  37423  trljco  37428  cdlemh2  37504  cdlemh  37505  tendotr  37518  cdlemk3  37521  cdlemk12  37538  cdlemkole  37541  cdlemk14  37542  cdlemk15  37543  cdlemk1u  37547  cdlemk5u  37549  cdlemk12u  37560  cdlemk37  37602  cdlemk39  37604  cdlemkid1  37610  cdlemk47  37637  cdlemk51  37641  cdlemk52  37642  cdleml1N  37664