Theorem ltstrd 27741

Description: Surreal less-than is transitive. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltstrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
ltstrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
ltstrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
ltstrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐵)
ltstrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 <s 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ltstrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐶)

Proof of Theorem ltstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltstrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐵)
2		ltstrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 <s 𝐶)
3		ltstrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
4		ltstrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
5		ltstrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
6		ltstr 27725	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝐶) → 𝐴 <s 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝐶) → 𝐴 <s 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 700	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086   No csur 27617   <s clts 27618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-1o 8398  df-2o 8399  df-no 27620  df-lts 27621

This theorem is referenced by:  conway  27785  sltstr  27793  lesrec  27805  ltslpss  27914  cofcutr  27930  addsproplem2  27976  addsproplem6  27980  lt2addsd  28019  negsproplem6  28039  mulsproplem5  28126  mulsproplem6  28127  mulsproplem7  28128  mulsproplem8  28129  mulsproplem13  28134  mulsproplem14  28135  precsexlem8  28220  precsexlem9  28221  precsexlem11  28223  om2noseqlt  28305  zcuts  28413  twocut  28429  pw2cut2  28468  bdayfinbndlem1  28473  recut  28500  1reno  28503