Theorem ltstrd 27752

Description: Surreal less-than is transitive. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltstrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
ltstrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
ltstrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
ltstrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐵)
ltstrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 <s 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ltstrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐶)

Proof of Theorem ltstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltstrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐵)
2		ltstrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 <s 𝐶)
3		ltstrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
4		ltstrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
5		ltstrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
6		ltstr 27736	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝐶) → 𝐴 <s 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1379	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝐶) → 𝐴 <s 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 705	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079   No csur 27628   <s clts 27629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pr 5369

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-1o 8402  df-2o 8403  df-no 27631  df-lts 27632

This theorem is referenced by:  conway  27796  sltstr  27804  lesrec  27816  ltslpss  27925  cofcutr  27941  addsproplem2  27987  addsproplem6  27991  lt2addsd  28030  negsproplem6  28050  mulsproplem5  28137  mulsproplem6  28138  mulsproplem7  28139  mulsproplem8  28140  mulsproplem13  28145  mulsproplem14  28146  precsexlem8  28231  precsexlem9  28232  precsexlem11  28234  om2noseqlt  28316  zcuts  28424  twocut  28440  pw2cut2  28479  bdayfinbndlem1  28484  recut  28511  1reno  28514