Theorem ltstrd 27804

Description: Surreal less-than is transitive. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltstrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
ltstrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
ltstrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
ltstrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐵)
ltstrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 <s 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ltstrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐶)

Proof of Theorem ltstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltstrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐵)
2		ltstrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 <s 𝐶)
3		ltstrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
4		ltstrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
5		ltstrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
6		ltstr 27788	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝐶) → 𝐴 <s 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1389	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝐶) → 𝐴 <s 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 709	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5099   No csur 27681   <s clts 27682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-ord 6345  df-on 6346  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-fv 6525  df-1o 8432  df-2o 8433  df-no 27684  df-lts 27685

This theorem is referenced by:  conway  27849  sltstr  27857  lesrec  27869  ltslpss  27978  cofcutr  27994  addsproplem2  28040  addsproplem6  28044  lt2addsd  28083  negsproplem6  28103  mulsproplem5  28190  mulsproplem6  28191  mulsproplem7  28192  mulsproplem8  28193  mulsproplem13  28198  mulsproplem14  28199  precsexlem8  28284  precsexlem9  28285  precsexlem11  28287  om2noseqlt  28369  zcuts  28477  twocut  28493  pw2cut2  28532  bdayfinbndlem1  28537  recut  28564  1reno  28567