Theorem ltstrd 28102

Description: Surreal less-than is transitive. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltstrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
ltstrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
ltstrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
ltstrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐵)
ltstrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 <s 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ltstrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐶)

Proof of Theorem ltstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltstrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐵)
2		ltstrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 <s 𝐶)
3		ltstrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
4		ltstrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
5		ltstrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
6		ltstr 28086	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝐶) → 𝐴 <s 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 <s 𝐵 ∧ 𝐵 <s 𝐶) → 𝐴 <s 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 712	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103   No csur 27979   <s clts 27980

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6358  df-on 6359  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-fv 6539  df-1o 8460  df-2o 8461  df-no 27982  df-lts 27983

This theorem is used by:  conway  28147  sltstr  28155  lesrec  28167  ltslpss  28276  cofcutr  28292  addsproplem2  28338  addsproplem6  28342  lt2addsd  28381  negsproplem6  28401  mulsproplem5  28488  mulsproplem6  28489  mulsproplem7  28490  mulsproplem8  28491  mulsproplem13  28496  mulsproplem14  28497  precsexlem8  28582  precsexlem9  28583  precsexlem11  28585  om2noseqlt  28667  zcuts  28775  twocut  28791  pw2cut2  28830  bdayfinbndlem1  28835  recut  28862  1reno  28865