Theorem om2noseqlt 28229

Description: Surreal less-than relation for 𝐺. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2noseq.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
om2noseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))
om2noseq.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) “ ω))

Assertion

Ref	Expression
om2noseqlt	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem om2noseqlt

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnaordex2 8554	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑦 ∈ ω (𝐴 +o suc 𝑦) = 𝐵))
2	1	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑦 ∈ ω (𝐴 +o suc 𝑦) = 𝐵))
3		suceq 6374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = ∅ → suc 𝑦 = suc ∅)
4		df-1o 8385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o = suc ∅
5	3, 4	eqtr4di 2784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ∅ → suc 𝑦 = 1o)
6	5	oveq2d 7362	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝐴 +o suc 𝑦) = (𝐴 +o 1o))
7	6	fveq2d 6826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑦)) = (𝐺‘(𝐴 +o 1o)))
8	7	breq2d 5101	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑦)) ↔ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o 1o))))
9		suceq 6374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → suc 𝑦 = suc 𝑧)
10	9	oveq2d 7362	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐴 +o suc 𝑦) = (𝐴 +o suc 𝑧))
11	10	fveq2d 6826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑦)) = (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))
12	11	breq2d 5101	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑦)) ↔ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧))))
13		suceq 6374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = suc 𝑧 → suc 𝑦 = suc suc 𝑧)
14	13	oveq2d 7362	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = suc 𝑧 → (𝐴 +o suc 𝑦) = (𝐴 +o suc suc 𝑧))
15	14	fveq2d 6826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = suc 𝑧 → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑦)) = (𝐺‘(𝐴 +o suc suc 𝑧)))
16	15	breq2d 5101	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = suc 𝑧 → ((𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑦)) ↔ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc suc 𝑧))))
17		om2noseq.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
18		om2noseq.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))
19		om2noseq.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) “ ω))
20	17, 18, 19	om2noseqfo 28228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–onto→𝑍)
21		fof 6735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺:ω–onto→𝑍 → 𝐺:ω⟶𝑍)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω⟶𝑍)
23	19, 17	noseqssno 28224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ No )
24	22, 23	fssd 6668	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω⟶ No )
25	24	ffvelcdmda 7017	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐺‘𝐴) ∈ No )
26	25	sltp1d 27958	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐺‘𝐴) <s ((𝐺‘𝐴) +s 1s ))
27		nnon 7802	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
28		oa1suc 8446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o 1o) = suc 𝐴)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o 1o) = suc 𝐴)
30	29	fveq2d 6826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 1o)) = (𝐺‘suc 𝐴))
31	30	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐺‘(𝐴 +o 1o)) = (𝐺‘suc 𝐴))
32	17	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐶 ∈ No )
33	18	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))
34		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω)
35	32, 33, 34	om2noseqsuc 28227	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝐴) = ((𝐺‘𝐴) +s 1s ))
36	31, 35	eqtrd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐺‘(𝐴 +o 1o)) = ((𝐺‘𝐴) +s 1s ))
37	26, 36	breqtrrd 5117	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o 1o)))
38	25	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐺‘𝐴) ∈ No )
39	24	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → 𝐺:ω⟶ No )
40		peano2 7820	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ω → suc 𝑧 ∈ ω)
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧))) → suc 𝑧 ∈ ω)
42		nnacl 8526	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ suc 𝑧 ∈ ω) → (𝐴 +o suc 𝑧) ∈ ω)
43	34, 41, 42	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐴 +o suc 𝑧) ∈ ω)
44	39, 43	ffvelcdmd 7018	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) ∈ No )
45		peano2 7820	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (suc 𝑧 ∈ ω → suc suc 𝑧 ∈ ω)
46	40, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ω → suc suc 𝑧 ∈ ω)
47	46	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧))) → suc suc 𝑧 ∈ ω)
48		nnacl 8526	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ suc suc 𝑧 ∈ ω) → (𝐴 +o suc suc 𝑧) ∈ ω)
49	34, 47, 48	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐴 +o suc suc 𝑧) ∈ ω)
50	39, 49	ffvelcdmd 7018	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐺‘(𝐴 +o suc suc 𝑧)) ∈ No )
51		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))
52	44	sltp1d 27958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) <s ((𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) +s 1s ))
53		nnasuc 8521	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ suc 𝑧 ∈ ω) → (𝐴 +o suc suc 𝑧) = suc (𝐴 +o suc 𝑧))
54	53	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ suc 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘(𝐴 +o suc suc 𝑧)) = (𝐺‘suc (𝐴 +o suc 𝑧)))
55	34, 41, 54	syl2an 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐺‘(𝐴 +o suc suc 𝑧)) = (𝐺‘suc (𝐴 +o suc 𝑧)))
56	17	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → 𝐶 ∈ No )
57	18	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))
58	56, 57, 43	om2noseqsuc 28227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐺‘suc (𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) +s 1s ))
59	55, 58	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐺‘(𝐴 +o suc suc 𝑧)) = ((𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) +s 1s ))
60	52, 59	breqtrrd 5117	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc suc 𝑧)))
61	38, 44, 50, 51, 60	slttrd 27698	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc suc 𝑧)))
62	61	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc suc 𝑧))))
63	62	expcom 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ω → ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc suc 𝑧)))))
64	8, 12, 16, 37, 63	finds2 7828	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑦))))
65	64	impcom 407	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑦)))
66		fveq2 6822	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 +o suc 𝑦) = 𝐵 → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑦)) = (𝐺‘𝐵))
67	66	breq2d 5101	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +o suc 𝑦) = 𝐵 → ((𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑦)) ↔ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))
68	65, 67	syl5ibcom 245	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +o suc 𝑦) = 𝐵 → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))
69	68	rexlimdva 3133	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∃𝑦 ∈ ω (𝐴 +o suc 𝑦) = 𝐵 → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))
70	69	adantrr 717	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (∃𝑦 ∈ ω (𝐴 +o suc 𝑦) = 𝐵 → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))
71	2, 70	sylbid 240	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056  Vcvv 3436  ∅c0 4280   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170   ↾ cres 5616   “ cima 5617  Oncon0 6306  suc csuc 6308  ⟶wf 6477  –onto→wfo 6479  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ωcom 7796  reccrdg 8328  1_oc1o 8378   +_o coa 8382   No csur 27578   <s cslt 27579   1_s c1s 27767   +_s cadds 27902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-ot 4582  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-nadd 8581  df-no 27581  df-slt 27582  df-bday 27583  df-sle 27684  df-sslt 27721  df-scut 27723  df-0s 27768  df-1s 27769  df-made 27788  df-old 27789  df-left 27791  df-right 27792  df-norec2 27892  df-adds 27903

This theorem is referenced by:  om2noseqlt2  28230  om2noseqf1o  28231