Theorem om2noseqlt 28310

Description: Surreal less-than relation for 𝐺. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2noseq.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
om2noseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))
om2noseq.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) “ ω))

Assertion

Ref	Expression
om2noseqlt	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem om2noseqlt

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnaordex2 8566	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑦 ∈ ω (𝐴 +o suc 𝑦) = 𝐵))
2	1	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑦 ∈ ω (𝐴 +o suc 𝑦) = 𝐵))
3		suceq 6379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = ∅ → suc 𝑦 = suc ∅)
4		df-1o 8396	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o = suc ∅
5	3, 4	eqtr4di 2792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ∅ → suc 𝑦 = 1o)
6	5	oveq2d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝐴 +o suc 𝑦) = (𝐴 +o 1o))
7	6	fveq2d 6832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑦)) = (𝐺‘(𝐴 +o 1o)))
8	7	breq2d 5085	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑦)) ↔ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o 1o))))
9		suceq 6379	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → suc 𝑦 = suc 𝑧)
10	9	oveq2d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐴 +o suc 𝑦) = (𝐴 +o suc 𝑧))
11	10	fveq2d 6832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑦)) = (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))
12	11	breq2d 5085	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑦)) ↔ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧))))
13		suceq 6379	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = suc 𝑧 → suc 𝑦 = suc suc 𝑧)
14	13	oveq2d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = suc 𝑧 → (𝐴 +o suc 𝑦) = (𝐴 +o suc suc 𝑧))
15	14	fveq2d 6832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = suc 𝑧 → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑦)) = (𝐺‘(𝐴 +o suc suc 𝑧)))
16	15	breq2d 5085	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = suc 𝑧 → ((𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑦)) ↔ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc suc 𝑧))))
17		om2noseq.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
18		om2noseq.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))
19		om2noseq.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) “ ω))
20	17, 18, 19	om2noseqfo 28309	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–onto→𝑍)
21		fof 6740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺:ω–onto→𝑍 → 𝐺:ω⟶𝑍)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω⟶𝑍)
23	19, 17	noseqssno 28305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ No )
24	22, 23	fssd 6673	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω⟶ No )
25	24	ffvelcdmda 7026	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐺‘𝐴) ∈ No )
26	25	ltsp1d 28026	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐺‘𝐴) <s ((𝐺‘𝐴) +s 1s ))
27		nnon 7813	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
28		oa1suc 8457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o 1o) = suc 𝐴)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o 1o) = suc 𝐴)
30	29	fveq2d 6832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 1o)) = (𝐺‘suc 𝐴))
31	30	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐺‘(𝐴 +o 1o)) = (𝐺‘suc 𝐴))
32	17	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐶 ∈ No )
33	18	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))
34		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω)
35	32, 33, 34	om2noseqsuc 28308	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝐴) = ((𝐺‘𝐴) +s 1s ))
36	31, 35	eqtrd 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐺‘(𝐴 +o 1o)) = ((𝐺‘𝐴) +s 1s ))
37	26, 36	breqtrrd 5101	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o 1o)))
38	25	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐺‘𝐴) ∈ No )
39	24	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → 𝐺:ω⟶ No )
40		peano2 7831	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ω → suc 𝑧 ∈ ω)
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧))) → suc 𝑧 ∈ ω)
42		nnacl 8538	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ suc 𝑧 ∈ ω) → (𝐴 +o suc 𝑧) ∈ ω)
43	34, 41, 42	syl2an 602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐴 +o suc 𝑧) ∈ ω)
44	39, 43	ffvelcdmd 7027	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) ∈ No )
45		peano2 7831	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (suc 𝑧 ∈ ω → suc suc 𝑧 ∈ ω)
46	40, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ω → suc suc 𝑧 ∈ ω)
47	46	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧))) → suc suc 𝑧 ∈ ω)
48		nnacl 8538	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ suc suc 𝑧 ∈ ω) → (𝐴 +o suc suc 𝑧) ∈ ω)
49	34, 47, 48	syl2an 602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐴 +o suc suc 𝑧) ∈ ω)
50	39, 49	ffvelcdmd 7027	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐺‘(𝐴 +o suc suc 𝑧)) ∈ No )
51		simprr 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))
52	44	ltsp1d 28026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) <s ((𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) +s 1s ))
53		nnasuc 8533	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ suc 𝑧 ∈ ω) → (𝐴 +o suc suc 𝑧) = suc (𝐴 +o suc 𝑧))
54	53	fveq2d 6832	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ suc 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘(𝐴 +o suc suc 𝑧)) = (𝐺‘suc (𝐴 +o suc 𝑧)))
55	34, 41, 54	syl2an 602	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐺‘(𝐴 +o suc suc 𝑧)) = (𝐺‘suc (𝐴 +o suc 𝑧)))
56	17	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → 𝐶 ∈ No )
57	18	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))
58	56, 57, 43	om2noseqsuc 28308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐺‘suc (𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) +s 1s ))
59	55, 58	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐺‘(𝐴 +o suc suc 𝑧)) = ((𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) +s 1s ))
60	52, 59	breqtrrd 5101	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc suc 𝑧)))
61	38, 44, 50, 51, 60	ltstrd 27746	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc suc 𝑧)))
62	61	expr 457	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc suc 𝑧))))
63	62	expcom 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ω → ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc suc 𝑧)))))
64	8, 12, 16, 37, 63	finds2 7839	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑦))))
65	64	impcom 408	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑦)))
66		fveq2 6828	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 +o suc 𝑦) = 𝐵 → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑦)) = (𝐺‘𝐵))
67	66	breq2d 5085	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +o suc 𝑦) = 𝐵 → ((𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑦)) ↔ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))
68	65, 67	syl5ibcom 246	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +o suc 𝑦) = 𝐵 → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))
69	68	rexlimdva 3140	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∃𝑦 ∈ ω (𝐴 +o suc 𝑦) = 𝐵 → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))
70	69	adantrr 723	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (∃𝑦 ∈ ω (𝐴 +o suc 𝑦) = 𝐵 → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))
71	2, 70	sylbid 241	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3063  Vcvv 3431  ∅c0 4262   class class class wbr 5073   ↦ cmpt 5154   ↾ cres 5621   “ cima 5622  Oncon0 6311  suc csuc 6313  ⟶wf 6482  –onto→wfo 6484  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  ωcom 7807  reccrdg 8339  1_oc1o 8389   +_o coa 8393   No csur 27622   <s clts 27623   1_s c1s 27817   +_s cadds 27970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-ot 4565  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-oadd 8400  df-nadd 8593  df-no 27625  df-lts 27626  df-bday 27627  df-les 27728  df-slts 27769  df-cuts 27771  df-0s 27818  df-1s 27819  df-made 27838  df-old 27839  df-left 27841  df-right 27842  df-norec2 27960  df-adds 27971

This theorem is referenced by:  om2noseqlt2  28311  om2noseqf1o  28312