Theorem om2noseqlt 28460

Description: Surreal less-than relation for 𝐺. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2noseq.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
om2noseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))
om2noseq.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) “ ω))

Assertion

Ref	Expression
om2noseqlt	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem om2noseqlt

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnaordex2 8627	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑦 ∈ ω (𝐴 +o suc 𝑦) = 𝐵))
2	1	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑦 ∈ ω (𝐴 +o suc 𝑦) = 𝐵))
3		suceq 6432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = ∅ → suc 𝑦 = suc ∅)
4		df-1o 8455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o = suc ∅
5	3, 4	eqtr4di 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ∅ → suc 𝑦 = 1o)
6	5	oveq2d 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝐴 +o suc 𝑦) = (𝐴 +o 1o))
7	6	fveq2d 6888	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑦)) = (𝐺‘(𝐴 +o 1o)))
8	7	breq2d 5125	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑦)) ↔ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o 1o))))
9		suceq 6432	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → suc 𝑦 = suc 𝑧)
10	9	oveq2d 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐴 +o suc 𝑦) = (𝐴 +o suc 𝑧))
11	10	fveq2d 6888	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑦)) = (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))
12	11	breq2d 5125	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑦)) ↔ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧))))
13		suceq 6432	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = suc 𝑧 → suc 𝑦 = suc suc 𝑧)
14	13	oveq2d 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = suc 𝑧 → (𝐴 +o suc 𝑦) = (𝐴 +o suc suc 𝑧))
15	14	fveq2d 6888	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = suc 𝑧 → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑦)) = (𝐺‘(𝐴 +o suc suc 𝑧)))
16	15	breq2d 5125	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = suc 𝑧 → ((𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑦)) ↔ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc suc 𝑧))))
17		om2noseq.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
18		om2noseq.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))
19		om2noseq.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) “ ω))
20	17, 18, 19	om2noseqfo 28459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–onto→𝑍)
21		fof 6795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺:ω–onto→𝑍 → 𝐺:ω⟶𝑍)
22	20, 21	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω⟶𝑍)
23	19, 17	noseqssno 28455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ No )
24	22, 23	fssd 6726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω⟶ No )
25	24	ffvelcdmda 7082	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐺‘𝐴) ∈ No )
26	25	ltsp1d 28176	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐺‘𝐴) <s ((𝐺‘𝐴) +s 1s ))
27		nnon 7870	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
28		oa1suc 8518	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o 1o) = suc 𝐴)
29	27, 28	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o 1o) = suc 𝐴)
30	29	fveq2d 6888	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 1o)) = (𝐺‘suc 𝐴))
31	30	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐺‘(𝐴 +o 1o)) = (𝐺‘suc 𝐴))
32	17	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐶 ∈ No )
33	18	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))
34		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω)
35	32, 33, 34	om2noseqsuc 28458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝐴) = ((𝐺‘𝐴) +s 1s ))
36	31, 35	eqtrd 2804	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐺‘(𝐴 +o 1o)) = ((𝐺‘𝐴) +s 1s ))
37	26, 36	breqtrrd 5143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o 1o)))
38	25	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐺‘𝐴) ∈ No )
39	24	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → 𝐺:ω⟶ No )
40		peano2 7888	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ω → suc 𝑧 ∈ ω)
41	40	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧))) → suc 𝑧 ∈ ω)
42		nnacl 8599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ suc 𝑧 ∈ ω) → (𝐴 +o suc 𝑧) ∈ ω)
43	34, 41, 42	syl2an 607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐴 +o suc 𝑧) ∈ ω)
44	39, 43	ffvelcdmd 7083	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) ∈ No )
45		peano2 7888	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (suc 𝑧 ∈ ω → suc suc 𝑧 ∈ ω)
46	40, 45	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ω → suc suc 𝑧 ∈ ω)
47	46	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧))) → suc suc 𝑧 ∈ ω)
48		nnacl 8599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ suc suc 𝑧 ∈ ω) → (𝐴 +o suc suc 𝑧) ∈ ω)
49	34, 47, 48	syl2an 607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐴 +o suc suc 𝑧) ∈ ω)
50	39, 49	ffvelcdmd 7083	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐺‘(𝐴 +o suc suc 𝑧)) ∈ No )
51		simprr 784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))
52	44	ltsp1d 28176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) <s ((𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) +s 1s ))
53		nnasuc 8594	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ suc 𝑧 ∈ ω) → (𝐴 +o suc suc 𝑧) = suc (𝐴 +o suc 𝑧))
54	53	fveq2d 6888	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ suc 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘(𝐴 +o suc suc 𝑧)) = (𝐺‘suc (𝐴 +o suc 𝑧)))
55	34, 41, 54	syl2an 607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐺‘(𝐴 +o suc suc 𝑧)) = (𝐺‘suc (𝐴 +o suc 𝑧)))
56	17	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → 𝐶 ∈ No )
57	18	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))
58	56, 57, 43	om2noseqsuc 28458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐺‘suc (𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) +s 1s ))
59	55, 58	eqtrd 2804	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐺‘(𝐴 +o suc suc 𝑧)) = ((𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) +s 1s ))
60	52, 59	breqtrrd 5143	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc suc 𝑧)))
61	38, 44, 50, 51, 60	ltstrd 27895	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc suc 𝑧)))
62	61	expr 461	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc suc 𝑧))))
63	62	expcom 418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ω → ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc suc 𝑧)))))
64	8, 12, 16, 37, 63	finds2 7897	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑦))))
65	64	impcom 412	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑦)))
66		fveq2 6884	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 +o suc 𝑦) = 𝐵 → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑦)) = (𝐺‘𝐵))
67	66	breq2d 5125	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +o suc 𝑦) = 𝐵 → ((𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑦)) ↔ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))
68	65, 67	syl5ibcom 248	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +o suc 𝑦) = 𝐵 → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))
69	68	rexlimdva 3172	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∃𝑦 ∈ ω (𝐴 +o suc 𝑦) = 𝐵 → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))
70	69	adantrr 729	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (∃𝑦 ∈ ω (𝐴 +o suc 𝑦) = 𝐵 → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))
71	2, 70	sylbid 243	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095  Vcvv 3463  ∅c0 4294   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196   ↾ cres 5666   “ cima 5667  Oncon0 6363  suc csuc 6365  ⟶wf 6535  –onto→wfo 6537  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413  ωcom 7864  reccrdg 8398  1_oc1o 8448   +_o coa 8452   No csur 27772   <s clts 27773   1_s c1s 27967   +_s cadds 28120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-ot 4603  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-nadd 8654  df-no 27775  df-lts 27776  df-bday 27777  df-les 27877  df-slts 27919  df-cuts 27921  df-0s 27968  df-1s 27969  df-made 27988  df-old 27989  df-left 27991  df-right 27992  df-norec2 28110  df-adds 28121

This theorem is referenced by:  om2noseqlt2  28461  om2noseqf1o  28462