Theorem om2noseqlt 28291

Description: Surreal less-than relation for 𝐺. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2noseq.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
om2noseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))
om2noseq.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) “ ω))

Assertion

Ref	Expression
om2noseqlt	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem om2noseqlt

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnaordex2 8575	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑦 ∈ ω (𝐴 +o suc 𝑦) = 𝐵))
2	1	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑦 ∈ ω (𝐴 +o suc 𝑦) = 𝐵))
3		suceq 6391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = ∅ → suc 𝑦 = suc ∅)
4		df-1o 8405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o = suc ∅
5	3, 4	eqtr4di 2789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ∅ → suc 𝑦 = 1o)
6	5	oveq2d 7383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝐴 +o suc 𝑦) = (𝐴 +o 1o))
7	6	fveq2d 6844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑦)) = (𝐺‘(𝐴 +o 1o)))
8	7	breq2d 5097	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑦)) ↔ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o 1o))))
9		suceq 6391	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → suc 𝑦 = suc 𝑧)
10	9	oveq2d 7383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐴 +o suc 𝑦) = (𝐴 +o suc 𝑧))
11	10	fveq2d 6844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑦)) = (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))
12	11	breq2d 5097	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑦)) ↔ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧))))
13		suceq 6391	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = suc 𝑧 → suc 𝑦 = suc suc 𝑧)
14	13	oveq2d 7383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = suc 𝑧 → (𝐴 +o suc 𝑦) = (𝐴 +o suc suc 𝑧))
15	14	fveq2d 6844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = suc 𝑧 → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑦)) = (𝐺‘(𝐴 +o suc suc 𝑧)))
16	15	breq2d 5097	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = suc 𝑧 → ((𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑦)) ↔ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc suc 𝑧))))
17		om2noseq.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
18		om2noseq.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))
19		om2noseq.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) “ ω))
20	17, 18, 19	om2noseqfo 28290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–onto→𝑍)
21		fof 6752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺:ω–onto→𝑍 → 𝐺:ω⟶𝑍)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω⟶𝑍)
23	19, 17	noseqssno 28286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ No )
24	22, 23	fssd 6685	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω⟶ No )
25	24	ffvelcdmda 7036	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐺‘𝐴) ∈ No )
26	25	ltsp1d 28007	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐺‘𝐴) <s ((𝐺‘𝐴) +s 1s ))
27		nnon 7823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
28		oa1suc 8466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o 1o) = suc 𝐴)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o 1o) = suc 𝐴)
30	29	fveq2d 6844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 1o)) = (𝐺‘suc 𝐴))
31	30	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐺‘(𝐴 +o 1o)) = (𝐺‘suc 𝐴))
32	17	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐶 ∈ No )
33	18	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))
34		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω)
35	32, 33, 34	om2noseqsuc 28289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝐴) = ((𝐺‘𝐴) +s 1s ))
36	31, 35	eqtrd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐺‘(𝐴 +o 1o)) = ((𝐺‘𝐴) +s 1s ))
37	26, 36	breqtrrd 5113	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o 1o)))
38	25	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐺‘𝐴) ∈ No )
39	24	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → 𝐺:ω⟶ No )
40		peano2 7841	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ω → suc 𝑧 ∈ ω)
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧))) → suc 𝑧 ∈ ω)
42		nnacl 8547	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ suc 𝑧 ∈ ω) → (𝐴 +o suc 𝑧) ∈ ω)
43	34, 41, 42	syl2an 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐴 +o suc 𝑧) ∈ ω)
44	39, 43	ffvelcdmd 7037	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) ∈ No )
45		peano2 7841	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (suc 𝑧 ∈ ω → suc suc 𝑧 ∈ ω)
46	40, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ω → suc suc 𝑧 ∈ ω)
47	46	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧))) → suc suc 𝑧 ∈ ω)
48		nnacl 8547	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ suc suc 𝑧 ∈ ω) → (𝐴 +o suc suc 𝑧) ∈ ω)
49	34, 47, 48	syl2an 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐴 +o suc suc 𝑧) ∈ ω)
50	39, 49	ffvelcdmd 7037	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐺‘(𝐴 +o suc suc 𝑧)) ∈ No )
51		simprr 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))
52	44	ltsp1d 28007	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) <s ((𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) +s 1s ))
53		nnasuc 8542	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ suc 𝑧 ∈ ω) → (𝐴 +o suc suc 𝑧) = suc (𝐴 +o suc 𝑧))
54	53	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ suc 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘(𝐴 +o suc suc 𝑧)) = (𝐺‘suc (𝐴 +o suc 𝑧)))
55	34, 41, 54	syl2an 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐺‘(𝐴 +o suc suc 𝑧)) = (𝐺‘suc (𝐴 +o suc 𝑧)))
56	17	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → 𝐶 ∈ No )
57	18	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))
58	56, 57, 43	om2noseqsuc 28289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐺‘suc (𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) +s 1s ))
59	55, 58	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐺‘(𝐴 +o suc suc 𝑧)) = ((𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) +s 1s ))
60	52, 59	breqtrrd 5113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc suc 𝑧)))
61	38, 44, 50, 51, 60	ltstrd 27727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc suc 𝑧)))
62	61	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc suc 𝑧))))
63	62	expcom 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ω → ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc suc 𝑧)))))
64	8, 12, 16, 37, 63	finds2 7849	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑦))))
65	64	impcom 407	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑦)))
66		fveq2 6840	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 +o suc 𝑦) = 𝐵 → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑦)) = (𝐺‘𝐵))
67	66	breq2d 5097	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +o suc 𝑦) = 𝐵 → ((𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑦)) ↔ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))
68	65, 67	syl5ibcom 245	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +o suc 𝑦) = 𝐵 → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))
69	68	rexlimdva 3138	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∃𝑦 ∈ ω (𝐴 +o suc 𝑦) = 𝐵 → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))
70	69	adantrr 718	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (∃𝑦 ∈ ω (𝐴 +o suc 𝑦) = 𝐵 → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))
71	2, 70	sylbid 240	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061  Vcvv 3429  ∅c0 4273   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166   ↾ cres 5633   “ cima 5634  Oncon0 6323  suc csuc 6325  ⟶wf 6494  –onto→wfo 6496  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ωcom 7817  reccrdg 8348  1_oc1o 8398   +_o coa 8402   No csur 27603   <s clts 27604   1_s c1s 27798   +_s cadds 27951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-ot 4576  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-nadd 8602  df-no 27606  df-lts 27607  df-bday 27608  df-les 27709  df-slts 27750  df-cuts 27752  df-0s 27799  df-1s 27800  df-made 27819  df-old 27820  df-left 27822  df-right 27823  df-norec2 27941  df-adds 27952

This theorem is referenced by:  om2noseqlt2  28292  om2noseqf1o  28293