Theorem om2noseqlt 28260

Description: Surreal less-than relation for 𝐺. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2noseq.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
om2noseq.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))
om2noseq.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) “ ω))

Assertion

Ref	Expression
om2noseqlt	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem om2noseqlt

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnaordex2 8565	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑦 ∈ ω (𝐴 +o suc 𝑦) = 𝐵))
2	1	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑦 ∈ ω (𝐴 +o suc 𝑦) = 𝐵))
3		suceq 6383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = ∅ → suc 𝑦 = suc ∅)
4		df-1o 8395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o = suc ∅
5	3, 4	eqtr4di 2787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ∅ → suc 𝑦 = 1o)
6	5	oveq2d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝐴 +o suc 𝑦) = (𝐴 +o 1o))
7	6	fveq2d 6836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑦)) = (𝐺‘(𝐴 +o 1o)))
8	7	breq2d 5108	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑦)) ↔ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o 1o))))
9		suceq 6383	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → suc 𝑦 = suc 𝑧)
10	9	oveq2d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐴 +o suc 𝑦) = (𝐴 +o suc 𝑧))
11	10	fveq2d 6836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑦)) = (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))
12	11	breq2d 5108	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑦)) ↔ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧))))
13		suceq 6383	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = suc 𝑧 → suc 𝑦 = suc suc 𝑧)
14	13	oveq2d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = suc 𝑧 → (𝐴 +o suc 𝑦) = (𝐴 +o suc suc 𝑧))
15	14	fveq2d 6836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = suc 𝑧 → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑦)) = (𝐺‘(𝐴 +o suc suc 𝑧)))
16	15	breq2d 5108	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = suc 𝑧 → ((𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑦)) ↔ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc suc 𝑧))))
17		om2noseq.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
18		om2noseq.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))
19		om2noseq.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) “ ω))
20	17, 18, 19	om2noseqfo 28259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–onto→𝑍)
21		fof 6744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺:ω–onto→𝑍 → 𝐺:ω⟶𝑍)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω⟶𝑍)
23	19, 17	noseqssno 28255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ No )
24	22, 23	fssd 6677	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω⟶ No )
25	24	ffvelcdmda 7027	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐺‘𝐴) ∈ No )
26	25	sltp1d 27985	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐺‘𝐴) <s ((𝐺‘𝐴) +s 1s ))
27		nnon 7812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
28		oa1suc 8456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o 1o) = suc 𝐴)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o 1o) = suc 𝐴)
30	29	fveq2d 6836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘(𝐴 +o 1o)) = (𝐺‘suc 𝐴))
31	30	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐺‘(𝐴 +o 1o)) = (𝐺‘suc 𝐴))
32	17	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐶 ∈ No )
33	18	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))
34		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ∈ ω)
35	32, 33, 34	om2noseqsuc 28258	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝐴) = ((𝐺‘𝐴) +s 1s ))
36	31, 35	eqtrd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐺‘(𝐴 +o 1o)) = ((𝐺‘𝐴) +s 1s ))
37	26, 36	breqtrrd 5124	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o 1o)))
38	25	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐺‘𝐴) ∈ No )
39	24	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → 𝐺:ω⟶ No )
40		peano2 7830	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ω → suc 𝑧 ∈ ω)
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧))) → suc 𝑧 ∈ ω)
42		nnacl 8537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ suc 𝑧 ∈ ω) → (𝐴 +o suc 𝑧) ∈ ω)
43	34, 41, 42	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐴 +o suc 𝑧) ∈ ω)
44	39, 43	ffvelcdmd 7028	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) ∈ No )
45		peano2 7830	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (suc 𝑧 ∈ ω → suc suc 𝑧 ∈ ω)
46	40, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ω → suc suc 𝑧 ∈ ω)
47	46	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧))) → suc suc 𝑧 ∈ ω)
48		nnacl 8537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ suc suc 𝑧 ∈ ω) → (𝐴 +o suc suc 𝑧) ∈ ω)
49	34, 47, 48	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐴 +o suc suc 𝑧) ∈ ω)
50	39, 49	ffvelcdmd 7028	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐺‘(𝐴 +o suc suc 𝑧)) ∈ No )
51		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))
52	44	sltp1d 27985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) <s ((𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) +s 1s ))
53		nnasuc 8532	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ suc 𝑧 ∈ ω) → (𝐴 +o suc suc 𝑧) = suc (𝐴 +o suc 𝑧))
54	53	fveq2d 6836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ suc 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘(𝐴 +o suc suc 𝑧)) = (𝐺‘suc (𝐴 +o suc 𝑧)))
55	34, 41, 54	syl2an 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐺‘(𝐴 +o suc suc 𝑧)) = (𝐺‘suc (𝐴 +o suc 𝑧)))
56	17	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → 𝐶 ∈ No )
57	18	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +s 1s )), 𝐶) ↾ ω))
58	56, 57, 43	om2noseqsuc 28258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐺‘suc (𝐴 +o suc 𝑧)) = ((𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) +s 1s ))
59	55, 58	eqtrd 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐺‘(𝐴 +o suc suc 𝑧)) = ((𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) +s 1s ))
60	52, 59	breqtrrd 5124	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc suc 𝑧)))
61	38, 44, 50, 51, 60	slttrd 27725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)))) → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc suc 𝑧)))
62	61	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc suc 𝑧))))
63	62	expcom 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ω → ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑧)) → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc suc 𝑧)))))
64	8, 12, 16, 37, 63	finds2 7838	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑦))))
65	64	impcom 407	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑦)))
66		fveq2 6832	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 +o suc 𝑦) = 𝐵 → (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑦)) = (𝐺‘𝐵))
67	66	breq2d 5108	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +o suc 𝑦) = 𝐵 → ((𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘(𝐴 +o suc 𝑦)) ↔ (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))
68	65, 67	syl5ibcom 245	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴 +o suc 𝑦) = 𝐵 → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))
69	68	rexlimdva 3135	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∃𝑦 ∈ ω (𝐴 +o suc 𝑦) = 𝐵 → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))
70	69	adantrr 717	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (∃𝑦 ∈ ω (𝐴 +o suc 𝑦) = 𝐵 → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))
71	2, 70	sylbid 240	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝐴) <s (𝐺‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3058  Vcvv 3438  ∅c0 4283   class class class wbr 5096   ↦ cmpt 5177   ↾ cres 5624   “ cima 5625  Oncon0 6315  suc csuc 6317  ⟶wf 6486  –onto→wfo 6488  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ωcom 7806  reccrdg 8338  1_oc1o 8388   +_o coa 8392   No csur 27605   <s cslt 27606   1_s c1s 27794   +_s cadds 27929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-ot 4587  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-nadd 8592  df-no 27608  df-slt 27609  df-bday 27610  df-sle 27711  df-sslt 27748  df-scut 27750  df-0s 27795  df-1s 27796  df-made 27815  df-old 27816  df-left 27818  df-right 27819  df-norec2 27919  df-adds 27930

This theorem is referenced by:  om2noseqlt2  28261  om2noseqf1o  28262