Theorem lt2addsd 27993

Description: Adding both sides of two surreal less-than relations. (Contributed by Scott Fenton, 15-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt2addsd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
lt2addsd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
lt2addsd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
lt2addsd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )
lt2addsd.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐶)
lt2addsd.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 <s 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
lt2addsd	⊢ (𝜑 → (𝐴 +s 𝐵) <s (𝐶 +s 𝐷))

Proof of Theorem lt2addsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt2addsd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		lt2addsd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3	1, 2	addscld 27960	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s 𝐵) ∈ No )
4		lt2addsd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
5	4, 2	addscld 27960	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +s 𝐵) ∈ No )
6		lt2addsd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )
7	4, 6	addscld 27960	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +s 𝐷) ∈ No )
8		lt2addsd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐶)
9	1, 4, 2	ltadds1d 27978	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐶 ↔ (𝐴 +s 𝐵) <s (𝐶 +s 𝐵)))
10	8, 9	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s 𝐵) <s (𝐶 +s 𝐵))
11		lt2addsd.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 <s 𝐷)
12	2, 6, 4	ltadds2d 27977	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 <s 𝐷 ↔ (𝐶 +s 𝐵) <s (𝐶 +s 𝐷)))
13	11, 12	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +s 𝐵) <s (𝐶 +s 𝐷))
14	3, 5, 7, 10, 13	ltstrd 27715	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s 𝐵) <s (𝐶 +s 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5074  (class class class)co 7356   No csur 27591   <s clts 27592   +_s cadds 27939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-ot 4566  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-1o 8394  df-2o 8395  df-nadd 8591  df-no 27594  df-lts 27595  df-bday 27596  df-les 27697  df-slts 27738  df-cuts 27740  df-0s 27787  df-made 27807  df-old 27808  df-left 27810  df-right 27811  df-norec2 27929  df-adds 27940

This theorem is referenced by:  addsgt0d  27994  readdscl  28479