Theorem lt2addsd 28276

Description: Adding both sides of two surreal less-than relations. (Contributed by Scott Fenton, 15-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt2addsd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
lt2addsd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
lt2addsd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
lt2addsd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )
lt2addsd.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐶)
lt2addsd.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 <s 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
lt2addsd	⊢ (𝜑 → (𝐴 +s 𝐵) <s (𝐶 +s 𝐷))

Proof of Theorem lt2addsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt2addsd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		lt2addsd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3	1, 2	addscld 28243	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s 𝐵) ∈ No )
4		lt2addsd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
5	4, 2	addscld 28243	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +s 𝐵) ∈ No )
6		lt2addsd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ No )
7	4, 6	addscld 28243	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +s 𝐷) ∈ No )
8		lt2addsd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐶)
9	1, 4, 2	ltadds1d 28261	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐶 ↔ (𝐴 +s 𝐵) <s (𝐶 +s 𝐵)))
10	8, 9	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s 𝐵) <s (𝐶 +s 𝐵))
11		lt2addsd.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 <s 𝐷)
12	2, 6, 4	ltadds2d 28260	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 <s 𝐷 ↔ (𝐶 +s 𝐵) <s (𝐶 +s 𝐷)))
13	11, 12	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 +s 𝐵) <s (𝐶 +s 𝐷))
14	3, 5, 7, 10, 13	ltstrd 27997	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s 𝐵) <s (𝐶 +s 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  (class class class)co 7416   No csur 27874   <s clts 27875   +_s cadds 28222

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-1o 8458  df-2o 8459  df-nadd 8657  df-no 27877  df-lts 27878  df-bday 27879  df-les 27979  df-slts 28021  df-cuts 28023  df-0s 28070  df-made 28090  df-old 28091  df-left 28093  df-right 28094  df-norec2 28212  df-adds 28223

This theorem is used by:  addsgt0d  28277  readdscl  28762