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Theorem gsummoncoe1 21225
Description: A coefficient of the polynomial represented as a sum of scaled monomials is the coefficient of the corresponding scaled monomial. (Contributed by AV, 13-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummonply1.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
gsummonply1.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
gsummonply1.x 𝑋 = (var1𝑅)
gsummonply1.e = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
gsummonply1.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
gsummonply1.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
gsummonply1.m = ( ·𝑠𝑃)
gsummonply1.0 0 = (0g𝑅)
gsummonply1.a (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴𝐾)
gsummonply1.f (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐴) finSupp 0 )
gsummonply1.l (𝜑𝐿 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
gsummoncoe1 (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋)))))‘𝐿) = 𝐿 / 𝑘𝐴)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐾   𝜑,𝑘   ,𝑘   𝑘,𝐿   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   0 ,𝑘   ,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem gsummoncoe1
Dummy variables 𝑛 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsummonply1.f . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐴) finSupp 0 )
2 gsummonply1.a . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴𝐾)
32r19.21bi 3130 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴𝐾)
43fmpttd 6932 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐴):ℕ0𝐾)
5 gsummonply1.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘𝑅)
65fvexi 6731 . . . . . . 7 𝐾 ∈ V
76a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ V)
8 nn0ex 12096 . . . . . 6 0 ∈ V
9 elmapg 8521 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴) ∈ (𝐾m0) ↔ (𝑘 ∈ ℕ0𝐴):ℕ0𝐾))
107, 8, 9sylancl 589 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴) ∈ (𝐾m0) ↔ (𝑘 ∈ ℕ0𝐴):ℕ0𝐾))
114, 10mpbird 260 . . . 4 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐴) ∈ (𝐾m0))
12 gsummonply1.0 . . . . 5 0 = (0g𝑅)
1312fvexi 6731 . . . 4 0 ∈ V
14 fsuppmapnn0ub 13568 . . . 4 (((𝑘 ∈ ℕ0𝐴) ∈ (𝐾m0) ∧ 0 ∈ V) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴) finSupp 0 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴)‘𝑥) = 0 )))
1511, 13, 14sylancl 589 . . 3 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴) finSupp 0 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴)‘𝑥) = 0 )))
161, 15mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴)‘𝑥) = 0 ))
17 simpr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
182ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴𝐾)
19 rspcsbela 4350 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴𝐾) → 𝑥 / 𝑘𝐴𝐾)
2017, 18, 19syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 / 𝑘𝐴𝐾)
21 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0𝐴) = (𝑘 ∈ ℕ0𝐴)
2221fvmpts 6821 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐴𝐾) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴)‘𝑥) = 𝑥 / 𝑘𝐴)
2317, 20, 22syl2anc 587 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴)‘𝑥) = 𝑥 / 𝑘𝐴)
2423eqeq1d 2739 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0𝐴)‘𝑥) = 0𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 ))
2524imbi2d 344 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑥 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴)‘𝑥) = 0 ) ↔ (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )))
2625biimpd 232 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑥 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴)‘𝑥) = 0 ) → (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )))
2726ralimdva 3100 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴)‘𝑥) = 0 ) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )))
28 gsummonply1.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑃)
29 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (0g𝑃) = (0g𝑃)
30 gsummonply1.r . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
31 gsummonply1.p . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (Poly1𝑅)
3231ply1ring 21169 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
33 ringcmn 19599 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
3430, 32, 333syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ CMnd)
3534ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) → 𝑃 ∈ CMnd)
36303ad2ant1 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → 𝑅 ∈ Ring)
37 simp3 1140 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → 𝐴𝐾)
38 simp2 1139 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → 𝑘 ∈ ℕ0)
39 gsummonply1.x . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑋 = (var1𝑅)
40 gsummonply1.m . . . . . . . . . . . . . . 15 = ( ·𝑠𝑃)
41 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
42 gsummonply1.e . . . . . . . . . . . . . . 15 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
435, 31, 39, 40, 41, 42, 28ply1tmcl 21193 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐾𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 (𝑘 𝑋)) ∈ 𝐵)
4436, 37, 38, 43syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0𝐴𝐾) → (𝐴 (𝑘 𝑋)) ∈ 𝐵)
45443expia 1123 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐾 → (𝐴 (𝑘 𝑋)) ∈ 𝐵))
4645ralimdva 3100 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐴𝐾 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴 (𝑘 𝑋)) ∈ 𝐵))
472, 46mpd 15 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴 (𝑘 𝑋)) ∈ 𝐵)
4847ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴 (𝑘 𝑋)) ∈ 𝐵)
49 simplr 769 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) → 𝑠 ∈ ℕ0)
50 nfv 1922 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘 𝑠 < 𝑥
51 nfcsb1v 3836 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘𝑥 / 𝑘𝐴
5251nfeq1 2919 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝑥 / 𝑘𝐴 = 0
5350, 52nfim 1904 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )
54 nfv 1922 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(𝑠 < 𝑘𝑘 / 𝑘𝐴 = 0 )
55 breq2 5057 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑘 → (𝑠 < 𝑥𝑠 < 𝑘))
56 csbeq1 3814 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑘𝑥 / 𝑘𝐴 = 𝑘 / 𝑘𝐴)
5756eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 / 𝑘𝐴 = 0𝑘 / 𝑘𝐴 = 0 ))
5855, 57imbi12d 348 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑘 → ((𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 ) ↔ (𝑠 < 𝑘𝑘 / 𝑘𝐴 = 0 )))
5953, 54, 58cbvralw 3349 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 ) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑘𝑘 / 𝑘𝐴 = 0 ))
60 csbid 3824 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘 / 𝑘𝐴 = 𝐴
6160eqeq1i 2742 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 / 𝑘𝐴 = 0𝐴 = 0 )
62 oveq1 7220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 = 0 → (𝐴 (𝑘 𝑋)) = ( 0 (𝑘 𝑋)))
6331ply1sca 21174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
6430, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑃))
6564fveq2d 6721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (0g𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑃)))
6612, 65syl5eq 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑0 = (0g‘(Scalar‘𝑃)))
6766ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑃)))
6867oveq1d 7228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ( 0 (𝑘 𝑋)) = ((0g‘(Scalar‘𝑃)) (𝑘 𝑋)))
6931ply1lmod 21173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
7030, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑃 ∈ LMod)
7170ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ LMod)
7241ringmgp 19568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
7330, 32, 723syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
7473ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
75 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
76 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
7739, 31, 76vr1cl 21138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
7830, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
7978ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
8041, 76mgpbas 19510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Base‘𝑃) = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
8180, 42mulgnn0cl 18508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑘 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
8274, 75, 79, 81syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
83 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
84 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0g‘(Scalar‘𝑃)) = (0g‘(Scalar‘𝑃))
8576, 83, 40, 84, 29lmod0vs 19932 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝑘 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)) → ((0g‘(Scalar‘𝑃)) (𝑘 𝑋)) = (0g𝑃))
8671, 82, 85syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((0g‘(Scalar‘𝑃)) (𝑘 𝑋)) = (0g𝑃))
8768, 86eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ( 0 (𝑘 𝑋)) = (0g𝑃))
8862, 87sylan9eqr 2800 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0 ) → (𝐴 (𝑘 𝑋)) = (0g𝑃))
8988ex 416 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 = 0 → (𝐴 (𝑘 𝑋)) = (0g𝑃)))
9061, 89syl5bi 245 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 / 𝑘𝐴 = 0 → (𝐴 (𝑘 𝑋)) = (0g𝑃)))
9190imim2d 57 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑘𝑘 / 𝑘𝐴 = 0 ) → (𝑠 < 𝑘 → (𝐴 (𝑘 𝑋)) = (0g𝑃))))
9291ralimdva 3100 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) → (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑘𝑘 / 𝑘𝐴 = 0 ) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑘 → (𝐴 (𝑘 𝑋)) = (0g𝑃))))
9359, 92syl5bi 245 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 ) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑘 → (𝐴 (𝑘 𝑋)) = (0g𝑃))))
9493imp 410 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑘 → (𝐴 (𝑘 𝑋)) = (0g𝑃)))
9528, 29, 35, 48, 49, 94gsummptnn0fz 19371 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋)))) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋)))))
9695fveq2d 6721 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) → (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋))))) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋))))))
9796fveq1d 6719 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋)))))‘𝐿) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋)))))‘𝐿))
9830ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) → 𝑅 ∈ Ring)
99 gsummonply1.l . . . . . . . 8 (𝜑𝐿 ∈ ℕ0)
10099ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) → 𝐿 ∈ ℕ0)
101 elfznn0 13205 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...𝑠) → 𝑘 ∈ ℕ0)
102 simpll 767 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝜑)
1033adantlr 715 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴𝐾)
104102, 75, 1033jca 1130 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝜑𝑘 ∈ ℕ0𝐴𝐾))
105101, 104sylan2 596 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → (𝜑𝑘 ∈ ℕ0𝐴𝐾))
106105, 44syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → (𝐴 (𝑘 𝑋)) ∈ 𝐵)
107106ralrimiva 3105 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ (0...𝑠)(𝐴 (𝑘 𝑋)) ∈ 𝐵)
108107adantr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) → ∀𝑘 ∈ (0...𝑠)(𝐴 (𝑘 𝑋)) ∈ 𝐵)
109 fzfid 13546 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) → (0...𝑠) ∈ Fin)
11031, 28, 98, 100, 108, 109coe1fzgsumd 21223 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋)))))‘𝐿) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ ((coe1‘(𝐴 (𝑘 𝑋)))‘𝐿))))
111 nfv 1922 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝜑𝑠 ∈ ℕ0)
112 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 𝑘0
113112, 53nfralw 3147 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )
114111, 113nfan 1907 . . . . . . . . 9 𝑘((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 ))
11530ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → 𝑅 ∈ Ring)
1163expcom 417 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝜑𝐴𝐾))
117116, 101syl11 33 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...𝑠) → 𝐴𝐾))
118117ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) → (𝑘 ∈ (0...𝑠) → 𝐴𝐾))
119118imp 410 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → 𝐴𝐾)
120101adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
12112, 5, 31, 39, 40, 41, 42coe1tm 21194 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐾𝑘 ∈ ℕ0) → (coe1‘(𝐴 (𝑘 𝑋))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑘, 𝐴, 0 )))
122115, 119, 120, 121syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → (coe1‘(𝐴 (𝑘 𝑋))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 𝑘, 𝐴, 0 )))
123 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝐿 → (𝑛 = 𝑘𝐿 = 𝑘))
124123ifbid 4462 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝐿 → if(𝑛 = 𝑘, 𝐴, 0 ) = if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 ))
125124adantl 485 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) ∧ 𝑛 = 𝐿) → if(𝑛 = 𝑘, 𝐴, 0 ) = if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 ))
12699ad3antrrr 730 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
1275, 12ring0cl 19587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐾)
12830, 127syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑0𝐾)
129128ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → 0𝐾)
130119, 129ifcld 4485 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 ) ∈ 𝐾)
131122, 125, 126, 130fvmptd 6825 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → ((coe1‘(𝐴 (𝑘 𝑋)))‘𝐿) = if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 ))
132114, 131mpteq2da 5149 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) → (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ ((coe1‘(𝐴 (𝑘 𝑋)))‘𝐿)) = (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 )))
133132oveq2d 7229 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ ((coe1‘(𝐴 (𝑘 𝑋)))‘𝐿))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 ))))
134 breq2 5057 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝐿 → (𝑠 < 𝑥𝑠 < 𝐿))
135 csbeq1 3814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝐿𝑥 / 𝑘𝐴 = 𝐿 / 𝑘𝐴)
136135eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝐿 → (𝑥 / 𝑘𝐴 = 0𝐿 / 𝑘𝐴 = 0 ))
137134, 136imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝐿 → ((𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 ) ↔ (𝑠 < 𝐿𝐿 / 𝑘𝐴 = 0 )))
138137rspcva 3535 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) → (𝑠 < 𝐿𝐿 / 𝑘𝐴 = 0 ))
139 nfv 1922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑘(𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐿))
140 nfcsb1v 3836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑘𝐿 / 𝑘𝐴
141140nfeq1 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑘𝐿 / 𝑘𝐴 = 0
142139, 141nfan 1907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑘((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐿)) ∧ 𝐿 / 𝑘𝐴 = 0 )
143 elfz2nn0 13203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↔ (𝑘 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0𝑘𝑠))
144 nn0re 12099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℝ)
145144ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝑘 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℝ)
146 nn0re 12099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℝ)
147146adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) → 𝑠 ∈ ℝ)
148147adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝑘 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝑠 ∈ ℝ)
149 nn0re 12099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℝ)
150149adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝑘 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℝ)
151 lelttr 10923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝑘𝑠𝑠 < 𝐿) → 𝑘 < 𝐿))
152145, 148, 150, 151syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑘 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((𝑘𝑠𝑠 < 𝐿) → 𝑘 < 𝐿))
153 animorr 979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((((𝑘 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝐿) → (𝐿 < 𝑘𝑘 < 𝐿))
154 df-ne 2941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝐿𝑘 ↔ ¬ 𝐿 = 𝑘)
155144adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℝ)
156 lttri2 10915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝐿𝑘 ↔ (𝐿 < 𝑘𝑘 < 𝐿)))
157149, 155, 156syl2anr 600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝑘 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝐿𝑘 ↔ (𝐿 < 𝑘𝑘 < 𝐿)))
158157adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((((𝑘 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝐿) → (𝐿𝑘 ↔ (𝐿 < 𝑘𝑘 < 𝐿)))
159154, 158bitr3id 288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((((𝑘 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝐿) → (¬ 𝐿 = 𝑘 ↔ (𝐿 < 𝑘𝑘 < 𝐿)))
160153, 159mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((((𝑘 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 < 𝐿) → ¬ 𝐿 = 𝑘)
161160ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑘 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑘 < 𝐿 → ¬ 𝐿 = 𝑘))
162152, 161syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑘 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((𝑘𝑠𝑠 < 𝐿) → ¬ 𝐿 = 𝑘))
163162exp4b 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝑘𝑠 → (𝑠 < 𝐿 → ¬ 𝐿 = 𝑘))))
164163expimpd 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑠 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑘𝑠 → (𝑠 < 𝐿 → ¬ 𝐿 = 𝑘))))
165164com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘𝑠 → ((𝑠 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑠 < 𝐿 → ¬ 𝐿 = 𝑘))))
166165imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑘𝑠) → ((𝑠 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑠 < 𝐿 → ¬ 𝐿 = 𝑘)))
1671663adant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0𝑘𝑠) → ((𝑠 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑠 < 𝐿 → ¬ 𝐿 = 𝑘)))
168143, 167sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑘 ∈ (0...𝑠) → ((𝑠 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑠 < 𝐿 → ¬ 𝐿 = 𝑘)))
169168expd 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑘 ∈ (0...𝑠) → (𝑠 ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝑠 < 𝐿 → ¬ 𝐿 = 𝑘))))
17099, 169syl7 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑘 ∈ (0...𝑠) → (𝑠 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (𝑠 < 𝐿 → ¬ 𝐿 = 𝑘))))
171170com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑠 ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ (0...𝑠) → (𝜑 → (𝑠 < 𝐿 → ¬ 𝐿 = 𝑘))))
172171com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑠 ∈ ℕ0 → (𝑠 < 𝐿 → (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...𝑠) → ¬ 𝐿 = 𝑘))))
173172imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐿) → (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...𝑠) → ¬ 𝐿 = 𝑘)))
174173impcom 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐿)) → (𝑘 ∈ (0...𝑠) → ¬ 𝐿 = 𝑘))
175174adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐿)) ∧ 𝐿 / 𝑘𝐴 = 0 ) → (𝑘 ∈ (0...𝑠) → ¬ 𝐿 = 𝑘))
176175imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐿)) ∧ 𝐿 / 𝑘𝐴 = 0 ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → ¬ 𝐿 = 𝑘)
177176iffalsed 4450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐿)) ∧ 𝐿 / 𝑘𝐴 = 0 ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 ) = 0 )
178142, 177mpteq2da 5149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐿)) ∧ 𝐿 / 𝑘𝐴 = 0 ) → (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 )) = (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ 0 ))
179178oveq2d 7229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐿)) ∧ 𝐿 / 𝑘𝐴 = 0 ) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 ))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ 0 )))
180 ringmnd 19572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
18130, 180syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
182181adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐿)) → 𝑅 ∈ Mnd)
183 ovex 7246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0...𝑠) ∈ V
18412gsumz 18262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (0...𝑠) ∈ V) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ 0 )) = 0 )
185182, 183, 184sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐿)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ 0 )) = 0 )
186185adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐿)) ∧ 𝐿 / 𝑘𝐴 = 0 ) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ 0 )) = 0 )
187 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐿 / 𝑘𝐴 = 0𝐿 / 𝑘𝐴 = 0 )
188187eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐿 / 𝑘𝐴 = 00 = 𝐿 / 𝑘𝐴)
189188adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐿)) ∧ 𝐿 / 𝑘𝐴 = 0 ) → 0 = 𝐿 / 𝑘𝐴)
190179, 186, 1893eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐿)) ∧ 𝐿 / 𝑘𝐴 = 0 ) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 ))) = 𝐿 / 𝑘𝐴)
191190ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑠 ∈ ℕ0𝑠 < 𝐿)) → (𝐿 / 𝑘𝐴 = 0 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 ))) = 𝐿 / 𝑘𝐴))
192191expr 460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) → (𝑠 < 𝐿 → (𝐿 / 𝑘𝐴 = 0 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 ))) = 𝐿 / 𝑘𝐴)))
193192a2d 29 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝐿𝐿 / 𝑘𝐴 = 0 ) → (𝑠 < 𝐿 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 ))) = 𝐿 / 𝑘𝐴)))
194193ex 416 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℕ0 → ((𝑠 < 𝐿𝐿 / 𝑘𝐴 = 0 ) → (𝑠 < 𝐿 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 ))) = 𝐿 / 𝑘𝐴))))
195194com13 88 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 < 𝐿𝐿 / 𝑘𝐴 = 0 ) → (𝑠 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (𝑠 < 𝐿 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 ))) = 𝐿 / 𝑘𝐴))))
196138, 195syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) → (𝑠 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (𝑠 < 𝐿 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 ))) = 𝐿 / 𝑘𝐴))))
197196ex 416 . . . . . . . . . . . 12 (𝐿 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 ) → (𝑠 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (𝑠 < 𝐿 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 ))) = 𝐿 / 𝑘𝐴)))))
198197com24 95 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (𝑠 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 ) → (𝑠 < 𝐿 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 ))) = 𝐿 / 𝑘𝐴)))))
19999, 198mpcom 38 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 ) → (𝑠 < 𝐿 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 ))) = 𝐿 / 𝑘𝐴))))
200199imp31 421 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) → (𝑠 < 𝐿 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 ))) = 𝐿 / 𝑘𝐴))
201200com12 32 . . . . . . . 8 (𝑠 < 𝐿 → (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 ))) = 𝐿 / 𝑘𝐴))
202 pm3.2 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑠 < 𝐿 → ((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑠 < 𝐿)))
203202adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) → (¬ 𝑠 < 𝐿 → ((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑠 < 𝐿)))
204181ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑠 < 𝐿) → 𝑅 ∈ Mnd)
205183a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑠 < 𝐿) → (0...𝑠) ∈ V)
20699nn0red 12151 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
207 lenlt 10911 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝐿𝑠 ↔ ¬ 𝑠 < 𝐿))
208206, 146, 207syl2an 599 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) → (𝐿𝑠 ↔ ¬ 𝑠 < 𝐿))
20999ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿𝑠) → 𝐿 ∈ ℕ0)
210 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿𝑠) → 𝑠 ∈ ℕ0)
211 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿𝑠) → 𝐿𝑠)
212 elfz2nn0 13203 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐿 ∈ (0...𝑠) ↔ (𝐿 ∈ ℕ0𝑠 ∈ ℕ0𝐿𝑠))
213209, 210, 211, 212syl3anbrc 1345 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿𝑠) → 𝐿 ∈ (0...𝑠))
214213ex 416 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) → (𝐿𝑠𝐿 ∈ (0...𝑠)))
215208, 214sylbird 263 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑠 < 𝐿𝐿 ∈ (0...𝑠)))
216215imp 410 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑠 < 𝐿) → 𝐿 ∈ (0...𝑠))
217 eqcom 2744 . . . . . . . . . . . 12 (𝐿 = 𝑘𝑘 = 𝐿)
218 ifbi 4461 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐿 = 𝑘𝑘 = 𝐿) → if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 ) = if(𝑘 = 𝐿, 𝐴, 0 ))
219217, 218ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 ) = if(𝑘 = 𝐿, 𝐴, 0 )
220219mpteq2i 5147 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 )) = (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝑘 = 𝐿, 𝐴, 0 ))
2213, 5eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
222221ex 416 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (Base‘𝑅)))
223222adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (Base‘𝑅)))
224223, 101impel 509 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑠)) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
225224ralrimiva 3105 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ (0...𝑠)𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
226225adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑠 < 𝐿) → ∀𝑘 ∈ (0...𝑠)𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
22712, 204, 205, 216, 220, 226gsummpt1n0 19350 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑠 < 𝐿) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 ))) = 𝐿 / 𝑘𝐴)
228203, 227syl6com 37 . . . . . . . 8 𝑠 < 𝐿 → (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 ))) = 𝐿 / 𝑘𝐴))
229201, 228pm2.61i 185 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ if(𝐿 = 𝑘, 𝐴, 0 ))) = 𝐿 / 𝑘𝐴)
230133, 229eqtrd 2777 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑠) ↦ ((coe1‘(𝐴 (𝑘 𝑋)))‘𝐿))) = 𝐿 / 𝑘𝐴)
23197, 110, 2303eqtrd 2781 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 )) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋)))))‘𝐿) = 𝐿 / 𝑘𝐴)
232231ex 416 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐴 = 0 ) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋)))))‘𝐿) = 𝐿 / 𝑘𝐴))
23327, 232syld 47 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴)‘𝑥) = 0 ) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋)))))‘𝐿) = 𝐿 / 𝑘𝐴))
234233rexlimdva 3203 . 2 (𝜑 → (∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐴)‘𝑥) = 0 ) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋)))))‘𝐿) = 𝐿 / 𝑘𝐴))
23516, 234mpd 15 1 (𝜑 → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴 (𝑘 𝑋)))))‘𝐿) = 𝐿 / 𝑘𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 847  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  wral 3061  wrex 3062  Vcvv 3408  csb 3811  ifcif 4439   class class class wbr 5053  cmpt 5135  wf 6376  cfv 6380  (class class class)co 7213  m cmap 8508   finSupp cfsupp 8985  cr 10728  0cc0 10729   < clt 10867  cle 10868  0cn0 12090  ...cfz 13095  Basecbs 16760  Scalarcsca 16805   ·𝑠 cvsca 16806  0gc0g 16944   Σg cgsu 16945  Mndcmnd 18173  .gcmg 18488  CMndccmn 19170  mulGrpcmgp 19504  Ringcrg 19562  LModclmod 19899  var1cv1 21097  Poly1cpl1 21098  coe1cco1 21099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-ofr 7470  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-hash 13897  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-tset 16821  df-ple 16822  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-mhm 18218  df-submnd 18219  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-sbg 18370  df-mulg 18489  df-subg 18540  df-ghm 18620  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-abl 19173  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-ring 19564  df-subrg 19798  df-lmod 19901  df-lss 19969  df-psr 20868  df-mvr 20869  df-mpl 20870  df-opsr 20872  df-psr1 21101  df-vr1 21102  df-ply1 21103  df-coe1 21104
This theorem is referenced by:  gsumply1eq  21226  pm2mpf1lem  21691  pm2mpcoe1  21697  pm2mpmhmlem2  21716  cayleyhamilton1  21789  ply1mulgsum  45404
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