Theorem cshwshashlem3 17031

Description: If cyclically shifting a word of length being a prime number and not of identical symbols by different numbers of positions, the resulting words are different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-May-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 8-Jun-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
cshwshash.0	⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ))

Assertion

Ref	Expression
cshwshashlem3	⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐿   𝑖,𝑉   𝑖,𝑊   𝜑,𝑖   𝑖,𝐾

Proof of Theorem cshwshashlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 13632	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐾 ∈ ℤ)
2	1	zred 12666	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐾 ∈ ℝ)
3		elfzoelz 13632	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℤ)
4	3	zred 12666	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℝ)
5		lttri2 11296	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝐾 ≠ 𝐿 ↔ (𝐾 < 𝐿 ∨ 𝐿 < 𝐾)))
6	2, 4, 5	syl2anr 598	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐾 ≠ 𝐿 ↔ (𝐾 < 𝐿 ∨ 𝐿 < 𝐾)))
7		cshwshash.0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ))
8	7	cshwshashlem2 17030	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾)))
9	8	com12 32	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾)))
10	9	3expia 1122	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐾 < 𝐿 → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾))))
11	7	cshwshashlem2 17030	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 < 𝐾) → (𝑊 cyclShift 𝐾) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐿)))
12	11	imp 408	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 < 𝐾)) → (𝑊 cyclShift 𝐾) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐿))
13	12	necomd 2997	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 < 𝐾)) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾))
14	13	expcom 415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 < 𝐾) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾)))
15	14	3expia 1122	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐿 < 𝐾 → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾))))
16	15	ancoms 460	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐿 < 𝐾 → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾))))
17	10, 16	jaod 858	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐾 < 𝐿 ∨ 𝐿 < 𝐾) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾))))
18	6, 17	sylbid 239	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐾 ≠ 𝐿 → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾))))
19	18	3impia 1118	. 2 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾)))
20	19	com12 32	1 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∃wrex 3071   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℝcr 11109  0cc0 11110   < clt 11248  ..^cfzo 13627  ♯chash 14290  Word cword 14464   cyclShift ccsh 14738  ℙcprime 16608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-word 14465  df-concat 14521  df-substr 14591  df-pfx 14621  df-reps 14719  df-csh 14739  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-phi 16699

This theorem is referenced by:  cshwsdisj  17032