Theorem cshwshashlem3 17025

Description: If cyclically shifting a word of length being a prime number and not of identical symbols by different numbers of positions, the resulting words are different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-May-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 8-Jun-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
cshwshash.0	⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ))

Assertion

Ref	Expression
cshwshashlem3	⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐿   𝑖,𝑉   𝑖,𝑊   𝜑,𝑖   𝑖,𝐾

Proof of Theorem cshwshashlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 13575	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐾 ∈ ℤ)
2	1	zred 12596	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐾 ∈ ℝ)
3		elfzoelz 13575	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℤ)
4	3	zred 12596	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℝ)
5		lttri2 11215	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝐾 ≠ 𝐿 ↔ (𝐾 < 𝐿 ∨ 𝐿 < 𝐾)))
6	2, 4, 5	syl2anr 597	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐾 ≠ 𝐿 ↔ (𝐾 < 𝐿 ∨ 𝐿 < 𝐾)))
7		cshwshash.0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ))
8	7	cshwshashlem2 17024	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾)))
9	8	com12 32	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾)))
10	9	3expia 1121	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐾 < 𝐿 → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾))))
11	7	cshwshashlem2 17024	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 < 𝐾) → (𝑊 cyclShift 𝐾) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐿)))
12	11	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 < 𝐾)) → (𝑊 cyclShift 𝐾) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐿))
13	12	necomd 2987	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 < 𝐾)) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾))
14	13	expcom 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 < 𝐾) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾)))
15	14	3expia 1121	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐿 < 𝐾 → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾))))
16	15	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐿 < 𝐾 → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾))))
17	10, 16	jaod 859	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐾 < 𝐿 ∨ 𝐿 < 𝐾) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾))))
18	6, 17	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐾 ≠ 𝐿 → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾))))
19	18	3impia 1117	. 2 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾)))
20	19	com12 32	1 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026   < clt 11166  ..^cfzo 13570  ♯chash 14253  Word cword 14436   cyclShift ccsh 14711  ℙcprime 16598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-dju 9813  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-word 14437  df-concat 14494  df-substr 14565  df-pfx 14595  df-reps 14692  df-csh 14712  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-dvds 16180  df-gcd 16422  df-prm 16599  df-phi 16693

This theorem is referenced by:  cshwsdisj  17026