Theorem cshwshashlem3 17319

Description: If cyclically shifting a word of length being a prime number and not of identical symbols by different numbers of positions, the resulting words are different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-May-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 8-Jun-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
cshwshash.0	⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ))

Assertion

Ref	Expression
cshwshashlem3	⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐿   𝑖,𝑉   𝑖,𝑊   𝜑,𝑖   𝑖,𝐾

Proof of Theorem cshwshashlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 13833	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐾 ∈ ℤ)
2	1	zred 12843	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐾 ∈ ℝ)
3		elfzoelz 13833	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℤ)
4	3	zred 12843	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℝ)
5		lttri2 11431	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝐾 ≠ 𝐿 ↔ (𝐾 < 𝐿 ∨ 𝐿 < 𝐾)))
6	2, 4, 5	syl2anr 609	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐾 ≠ 𝐿 ↔ (𝐾 < 𝐿 ∨ 𝐿 < 𝐾)))
7		cshwshash.0	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ))
8	7	cshwshashlem2 17318	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾)))
9	8	com12 33	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾)))
10	9	3expia 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐾 < 𝐿 → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾))))
11	7	cshwshashlem2 17318	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 < 𝐾) → (𝑊 cyclShift 𝐾) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐿)))
12	11	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 < 𝐾)) → (𝑊 cyclShift 𝐾) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐿))
13	12	necomd 3014	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 < 𝐾)) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾))
14	13	expcom 419	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 < 𝐾) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾)))
15	14	3expia 1139	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐿 < 𝐾 → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾))))
16	15	ancoms 464	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐿 < 𝐾 → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾))))
17	10, 16	jaod 873	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐾 < 𝐿 ∨ 𝐿 < 𝐾) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾))))
18	6, 17	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐾 ≠ 𝐿 → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾))))
19	18	3impia 1135	. 2 ⊢ ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾)))
20	19	com12 33	1 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ≠ 𝐿) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  0cc0 11239   < clt 11382  ..^cfzo 13828  ♯chash 14515  Word cword 14699   cyclShift ccsh 14981  ℙcprime 16890

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-oadd 8518  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-dju 10019  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-xnn0 12720  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-mod 14050  df-seq 14185  df-exp 14245  df-hash 14516  df-word 14700  df-concat 14757  df-substr 14831  df-pfx 14863  df-reps 14962  df-csh 14982  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-dvds 16467  df-gcd 16709  df-prm 16891  df-phi 16987

This theorem is used by:  cshwsdisj  17320