MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshwshashlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshwshashlem3 17030
Description: If cyclically shifting a word of length being a prime number and not of identical symbols by different numbers of positions, the resulting words are different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-May-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 8-Jun-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
cshwshash.0 (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ))
Assertion
Ref Expression
cshwshashlem3 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾𝐿) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐿   𝑖,𝑉   𝑖,𝑊   𝜑,𝑖   𝑖,𝐾

Proof of Theorem cshwshashlem3
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 13629 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐾 ∈ ℤ)
21zred 12663 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐾 ∈ ℝ)
3 elfzoelz 13629 . . . . . 6 (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℤ)
43zred 12663 . . . . 5 (𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℝ)
5 lttri2 11293 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝐾𝐿 ↔ (𝐾 < 𝐿𝐿 < 𝐾)))
62, 4, 5syl2anr 596 . . . 4 ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐾𝐿 ↔ (𝐾 < 𝐿𝐿 < 𝐾)))
7 cshwshash.0 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℙ))
87cshwshashlem2 17029 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾)))
98com12 32 . . . . . 6 ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾)))
1093expia 1118 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐾 < 𝐿 → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾))))
117cshwshashlem2 17029 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 < 𝐾) → (𝑊 cyclShift 𝐾) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐿)))
1211imp 406 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 < 𝐾)) → (𝑊 cyclShift 𝐾) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐿))
1312necomd 2988 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 < 𝐾)) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾))
1413expcom 413 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 < 𝐾) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾)))
15143expia 1118 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐿 < 𝐾 → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾))))
1615ancoms 458 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐿 < 𝐾 → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾))))
1710, 16jaod 856 . . . 4 ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐾 < 𝐿𝐿 < 𝐾) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾))))
186, 17sylbid 239 . . 3 ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐾𝐿 → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾))))
19183impia 1114 . 2 ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾𝐿) → ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾)))
2019com12 32 1 ((𝜑 ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ∧ 𝐾𝐿) → (𝑊 cyclShift 𝐿) ≠ (𝑊 cyclShift 𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wo 844  w3a 1084  wcel 2098  wne 2932  wrex 3062   class class class wbr 5138  cfv 6533  (class class class)co 7401  cr 11105  0cc0 11106   < clt 11245  ..^cfzo 13624  chash 14287  Word cword 14461   cyclShift ccsh 14735  cprime 16605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-word 14462  df-concat 14518  df-substr 14588  df-pfx 14618  df-reps 14716  df-csh 14736  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-dvds 16195  df-gcd 16433  df-prm 16606  df-phi 16698
This theorem is referenced by:  cshwsdisj  17031
  Copyright terms: Public domain W3C validator