| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | breq2 5147 | . . . 4
⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)) | 
| 2 | 1 | a1d 25 | . . 3
⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))) | 
| 3 | 2 | ralrimivv 3200 | . 2
⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)) | 
| 4 |  | elnn0 12528 | . . 3
⊢ (𝐴 ∈ ℕ0
↔ (𝐴 ∈ ℕ
∨ 𝐴 =
0)) | 
| 5 |  | elnn0 12528 | . . . . . . 7
⊢ (𝐵 ∈ ℕ0
↔ (𝐵 ∈ ℕ
∨ 𝐵 =
0)) | 
| 6 |  | nnre 12273 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈
ℝ) | 
| 7 |  | nnre 12273 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈
ℝ) | 
| 8 |  | lttri2 11343 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))) | 
| 9 | 6, 7, 8 | syl2an 596 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))) | 
| 10 | 9 | ancoms 458 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴))) | 
| 11 |  | nn0prpwlem 36323 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐵 ∈ ℕ →
∀𝑘 ∈ ℕ
(𝑘 < 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))) | 
| 12 |  | breq1 5146 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑘 = 𝐴 → (𝑘 < 𝐵 ↔ 𝐴 < 𝐵)) | 
| 13 |  | breq2 5147 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑘 = 𝐴 → ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴)) | 
| 14 | 13 | bibi1d 343 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑘 = 𝐴 → (((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))) | 
| 15 | 14 | notbid 318 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑘 = 𝐴 → (¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))) | 
| 16 | 15 | 2rexbidv 3222 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑘 = 𝐴 → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))) | 
| 17 | 12, 16 | imbi12d 344 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑘 = 𝐴 → ((𝑘 < 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)) ↔ (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))) | 
| 18 | 17 | rspcv 3618 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐴 ∈ ℕ →
(∀𝑘 ∈ ℕ
(𝑘 < 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))) | 
| 19 | 11, 18 | mpan9 506 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))) | 
| 20 |  | breq1 5146 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑘 = 𝐵 → (𝑘 < 𝐴 ↔ 𝐵 < 𝐴)) | 
| 21 |  | breq2 5147 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑘 = 𝐵 → ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)) | 
| 22 | 21 | bibi1d 343 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑘 = 𝐵 → (((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴) ↔ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴))) | 
| 23 |  | bicom 222 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴) ↔ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)) | 
| 24 | 22, 23 | bitrdi 287 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑘 = 𝐵 → (((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴) ↔ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))) | 
| 25 | 24 | notbid 318 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑘 = 𝐵 → (¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴) ↔ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))) | 
| 26 | 25 | 2rexbidv 3222 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑘 = 𝐵 → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))) | 
| 27 | 20, 26 | imbi12d 344 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑘 = 𝐵 → ((𝑘 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴)) ↔ (𝐵 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))) | 
| 28 | 27 | rspcv 3618 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐵 ∈ ℕ →
(∀𝑘 ∈ ℕ
(𝑘 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴)) → (𝐵 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))) | 
| 29 |  | nn0prpwlem 36323 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐴 ∈ ℕ →
∀𝑘 ∈ ℕ
(𝑘 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴))) | 
| 30 | 28, 29 | impel 505 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐵 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))) | 
| 31 | 19, 30 | jaod 860 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))) | 
| 32 | 10, 31 | sylbid 240 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))) | 
| 33 |  | df-ne 2941 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 = 𝐵) | 
| 34 |  | rexnal2 3135 | . . . . . . . . . . 11
⊢
(∃𝑝 ∈
ℙ ∃𝑛 ∈
ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)) | 
| 35 | 32, 33, 34 | 3imtr3g 295 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (¬
𝐴 = 𝐵 → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))) | 
| 36 | 35 | con4d 115 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) →
(∀𝑝 ∈ ℙ
∀𝑛 ∈ ℕ
((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)) | 
| 37 | 36 | ex 412 | . . . . . . . 8
⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℕ →
(∀𝑝 ∈ ℙ
∀𝑛 ∈ ℕ
((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))) | 
| 38 |  | prmunb 16952 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴 ∈ ℕ →
∃𝑝 ∈ ℙ
𝐴 < 𝑝) | 
| 39 |  | 1nn 12277 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 1 ∈
ℕ | 
| 40 |  | prmz 16712 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈
ℤ) | 
| 41 |  | 1nn0 12542 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ 1 ∈
ℕ0 | 
| 42 |  | zexpcl 14117 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 1 ∈
ℕ0) → (𝑝↑1) ∈ ℤ) | 
| 43 | 40, 41, 42 | sylancl 586 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝↑1) ∈
ℤ) | 
| 44 |  | dvds0 16309 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑝↑1) ∈ ℤ →
(𝑝↑1) ∥
0) | 
| 45 | 43, 44 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝↑1) ∥
0) | 
| 46 | 45 | 3ad2ant2 1135 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 < 𝑝) → (𝑝↑1) ∥ 0) | 
| 47 |  | dvdsle 16347 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝑝↑1) ∈ ℤ ∧
𝐴 ∈ ℕ) →
((𝑝↑1) ∥ 𝐴 → (𝑝↑1) ≤ 𝐴)) | 
| 48 | 43, 47 | sylan 580 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 → (𝑝↑1) ≤ 𝐴)) | 
| 49 |  | prmnn 16711 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈
ℕ) | 
| 50 |  | nnre 12273 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑝 ∈ ℕ → 𝑝 ∈
ℝ) | 
| 51 | 49, 50 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈
ℝ) | 
| 52 |  | reexpcl 14119 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 1 ∈
ℕ0) → (𝑝↑1) ∈ ℝ) | 
| 53 | 51, 41, 52 | sylancl 586 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝↑1) ∈
ℝ) | 
| 54 |  | lenlt 11339 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝑝↑1) ∈ ℝ ∧
𝐴 ∈ ℝ) →
((𝑝↑1) ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < (𝑝↑1))) | 
| 55 | 53, 6, 54 | syl2an 596 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < (𝑝↑1))) | 
| 56 | 49 | nncnd 12282 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈
ℂ) | 
| 57 | 56 | exp1d 14181 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝↑1) = 𝑝) | 
| 58 | 57 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑝↑1) = 𝑝) | 
| 59 | 58 | breq2d 5155 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 < (𝑝↑1) ↔ 𝐴 < 𝑝)) | 
| 60 | 59 | notbid 318 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (¬
𝐴 < (𝑝↑1) ↔ ¬ 𝐴 < 𝑝)) | 
| 61 | 55, 60 | bitrd 279 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝑝)) | 
| 62 | 48, 61 | sylibd 239 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 → ¬ 𝐴 < 𝑝)) | 
| 63 | 62 | ancoms 458 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 → ¬ 𝐴 < 𝑝)) | 
| 64 | 63 | con2d 134 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴 < 𝑝 → ¬ (𝑝↑1) ∥ 𝐴)) | 
| 65 | 64 | 3impia 1118 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 < 𝑝) → ¬ (𝑝↑1) ∥ 𝐴) | 
| 66 | 46, 65 | jcnd 163 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 < 𝑝) → ¬ ((𝑝↑1) ∥ 0 → (𝑝↑1) ∥ 𝐴)) | 
| 67 |  | biimpr 220 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑝↑1) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑1) ∥ 0) → ((𝑝↑1) ∥ 0 → (𝑝↑1) ∥ 𝐴)) | 
| 68 | 66, 67 | nsyl 140 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 < 𝑝) → ¬ ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑1) ∥ 0)) | 
| 69 |  | oveq2 7439 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑛 = 1 → (𝑝↑𝑛) = (𝑝↑1)) | 
| 70 | 69 | breq1d 5153 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑛 = 1 → ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐴)) | 
| 71 | 69 | breq1d 5153 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑛 = 1 → ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑1) ∥ 0)) | 
| 72 | 70, 71 | bibi12d 345 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑛 = 1 → (((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0) ↔ ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑1) ∥ 0))) | 
| 73 | 72 | notbid 318 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑛 = 1 → (¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0) ↔ ¬ ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑1) ∥ 0))) | 
| 74 | 73 | rspcev 3622 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((1
∈ ℕ ∧ ¬ ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑1) ∥ 0)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0)) | 
| 75 | 39, 68, 74 | sylancr 587 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 < 𝑝) → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0)) | 
| 76 | 75 | 3expia 1122 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴 < 𝑝 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0))) | 
| 77 | 76 | reximdva 3168 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴 ∈ ℕ →
(∃𝑝 ∈ ℙ
𝐴 < 𝑝 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0))) | 
| 78 | 38, 77 | mpd 15 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ∈ ℕ →
∃𝑝 ∈ ℙ
∃𝑛 ∈ ℕ
¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0)) | 
| 79 |  | rexnal2 3135 | . . . . . . . . . . 11
⊢
(∃𝑝 ∈
ℙ ∃𝑛 ∈
ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0)) | 
| 80 | 78, 79 | sylib 218 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ¬
∀𝑝 ∈ ℙ
∀𝑛 ∈ ℕ
((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0)) | 
| 81 | 80 | pm2.21d 121 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 ∈ ℕ →
(∀𝑝 ∈ ℙ
∀𝑛 ∈ ℕ
((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0) → 𝐴 = 0)) | 
| 82 |  | breq2 5147 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐵 = 0 → ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0)) | 
| 83 | 82 | bibi2d 342 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐵 = 0 → (((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0))) | 
| 84 | 83 | 2ralbidv 3221 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝐵 = 0 → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0))) | 
| 85 |  | eqeq2 2749 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐴 = 0)) | 
| 86 | 84, 85 | imbi12d 344 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝐵 = 0 → ((∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0) → 𝐴 = 0))) | 
| 87 | 81, 86 | imbitrrid 246 | . . . . . . . 8
⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))) | 
| 88 | 37, 87 | jaoi 858 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0) → (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))) | 
| 89 | 5, 88 | sylbi 217 | . . . . . 6
⊢ (𝐵 ∈ ℕ0
→ (𝐴 ∈ ℕ
→ (∀𝑝 ∈
ℙ ∀𝑛 ∈
ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))) | 
| 90 | 89 | com12 32 | . . . . 5
⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℕ0
→ (∀𝑝 ∈
ℙ ∀𝑛 ∈
ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))) | 
| 91 |  | orcom 871 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0) ↔ (𝐵 = 0 ∨ 𝐵 ∈ ℕ)) | 
| 92 |  | df-or 849 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐵 = 0 ∨ 𝐵 ∈ ℕ) ↔ (¬ 𝐵 = 0 → 𝐵 ∈ ℕ)) | 
| 93 | 5, 91, 92 | 3bitri 297 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝐵 ∈ ℕ0
↔ (¬ 𝐵 = 0 →
𝐵 ∈
ℕ)) | 
| 94 |  | prmunb 16952 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐵 ∈ ℕ →
∃𝑝 ∈ ℙ
𝐵 < 𝑝) | 
| 95 | 45 | 3ad2ant2 1135 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 < 𝑝) → (𝑝↑1) ∥ 0) | 
| 96 |  | dvdsle 16347 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝑝↑1) ∈ ℤ ∧
𝐵 ∈ ℕ) →
((𝑝↑1) ∥ 𝐵 → (𝑝↑1) ≤ 𝐵)) | 
| 97 | 43, 96 | sylan 580 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐵 → (𝑝↑1) ≤ 𝐵)) | 
| 98 |  | lenlt 11339 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝑝↑1) ∈ ℝ ∧
𝐵 ∈ ℝ) →
((𝑝↑1) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < (𝑝↑1))) | 
| 99 | 53, 7, 98 | syl2an 596 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < (𝑝↑1))) | 
| 100 | 57 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑝↑1) = 𝑝) | 
| 101 | 100 | breq2d 5155 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 < (𝑝↑1) ↔ 𝐵 < 𝑝)) | 
| 102 | 101 | notbid 318 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (¬
𝐵 < (𝑝↑1) ↔ ¬ 𝐵 < 𝑝)) | 
| 103 | 99, 102 | bitrd 279 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑝)) | 
| 104 | 97, 103 | sylibd 239 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝑝)) | 
| 105 | 104 | ancoms 458 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝑝)) | 
| 106 | 105 | con2d 134 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐵 < 𝑝 → ¬ (𝑝↑1) ∥ 𝐵)) | 
| 107 | 106 | 3impia 1118 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 < 𝑝) → ¬ (𝑝↑1) ∥ 𝐵) | 
| 108 | 95, 107 | jcnd 163 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 < 𝑝) → ¬ ((𝑝↑1) ∥ 0 → (𝑝↑1) ∥ 𝐵)) | 
| 109 |  | biimp 215 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑝↑1) ∥ 0 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐵) → ((𝑝↑1) ∥ 0 → (𝑝↑1) ∥ 𝐵)) | 
| 110 | 108, 109 | nsyl 140 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 < 𝑝) → ¬ ((𝑝↑1) ∥ 0 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐵)) | 
| 111 | 69 | breq1d 5153 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑛 = 1 → ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐵)) | 
| 112 | 71, 111 | bibi12d 345 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑛 = 1 → (((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ((𝑝↑1) ∥ 0 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐵))) | 
| 113 | 112 | notbid 318 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑛 = 1 → (¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ¬ ((𝑝↑1) ∥ 0 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐵))) | 
| 114 | 113 | rspcev 3622 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((1
∈ ℕ ∧ ¬ ((𝑝↑1) ∥ 0 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐵)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)) | 
| 115 | 39, 110, 114 | sylancr 587 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 < 𝑝) → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)) | 
| 116 | 115 | 3expia 1122 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐵 < 𝑝 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))) | 
| 117 | 116 | reximdva 3168 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐵 ∈ ℕ →
(∃𝑝 ∈ ℙ
𝐵 < 𝑝 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))) | 
| 118 | 94, 117 | mpd 15 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐵 ∈ ℕ →
∃𝑝 ∈ ℙ
∃𝑛 ∈ ℕ
¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)) | 
| 119 |  | rexnal2 3135 | . . . . . . . . . . 11
⊢
(∃𝑝 ∈
ℙ ∃𝑛 ∈
ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)) | 
| 120 | 118, 119 | sylib 218 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝐵 ∈ ℕ → ¬
∀𝑝 ∈ ℙ
∀𝑛 ∈ ℕ
((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)) | 
| 121 | 120 | imim2i 16 | . . . . . . . . 9
⊢ ((¬
𝐵 = 0 → 𝐵 ∈ ℕ) → (¬
𝐵 = 0 → ¬
∀𝑝 ∈ ℙ
∀𝑛 ∈ ℕ
((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))) | 
| 122 | 93, 121 | sylbi 217 | . . . . . . . 8
⊢ (𝐵 ∈ ℕ0
→ (¬ 𝐵 = 0 →
¬ ∀𝑝 ∈
ℙ ∀𝑛 ∈
ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))) | 
| 123 | 122 | con4d 115 | . . . . . . 7
⊢ (𝐵 ∈ ℕ0
→ (∀𝑝 ∈
ℙ ∀𝑛 ∈
ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐵 = 0)) | 
| 124 |  | eqcom 2744 | . . . . . . 7
⊢ (𝐵 = 0 ↔ 0 = 𝐵) | 
| 125 | 123, 124 | imbitrdi 251 | . . . . . 6
⊢ (𝐵 ∈ ℕ0
→ (∀𝑝 ∈
ℙ ∀𝑛 ∈
ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 0 = 𝐵)) | 
| 126 |  | breq2 5147 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 = 0 → ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0)) | 
| 127 | 126 | bibi1d 343 | . . . . . . . 8
⊢ (𝐴 = 0 → (((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))) | 
| 128 | 127 | 2ralbidv 3221 | . . . . . . 7
⊢ (𝐴 = 0 → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))) | 
| 129 |  | eqeq1 2741 | . . . . . . 7
⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 = 𝐵 ↔ 0 = 𝐵)) | 
| 130 | 128, 129 | imbi12d 344 | . . . . . 6
⊢ (𝐴 = 0 → ((∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 0 = 𝐵))) | 
| 131 | 125, 130 | imbitrrid 246 | . . . . 5
⊢ (𝐴 = 0 → (𝐵 ∈ ℕ0 →
(∀𝑝 ∈ ℙ
∀𝑛 ∈ ℕ
((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))) | 
| 132 | 90, 131 | jaoi 858 | . . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) → (𝐵 ∈ ℕ0 →
(∀𝑝 ∈ ℙ
∀𝑛 ∈ ℕ
((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))) | 
| 133 | 132 | imp 406 | . . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) →
(∀𝑝 ∈ ℙ
∀𝑛 ∈ ℕ
((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)) | 
| 134 | 4, 133 | sylanb 581 | . 2
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝐵 ∈
ℕ0) → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)) | 
| 135 | 3, 134 | impbid2 226 | 1
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝐵 ∈
ℕ0) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))) |