Theorem nn0prpw 36647

Description: Two nonnegative integers are the same if and only if they are divisible by the same prime powers. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nn0prpw	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑝,𝐴   𝐵,𝑛,𝑝

Proof of Theorem nn0prpw

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5103	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))
2	1	a1d 25	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
3	2	ralrimivv 3202	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))
4		elnn0 12480	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
5		elnn0 12480	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
6		nnre 12214	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
7		nnre 12214	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
8		lttri2 11262	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
9	6, 7, 8	syl2an 605	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
10	9	ancoms 462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
11		nn0prpwlem 36646	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
12		breq1 5102	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (𝑘 < 𝐵 ↔ 𝐴 < 𝐵))
13		breq2 5103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴))
14	13	bibi1d 345	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
15	14	notbid 320	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
16	15	2rexbidv 3226	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
17	12, 16	imbi12d 346	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → ((𝑘 < 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)) ↔ (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))))
18	17	rspcv 3577	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))))
19	11, 18	mpan9 514	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
20		breq1 5102	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → (𝑘 < 𝐴 ↔ 𝐵 < 𝐴))
21		breq2 5103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))
22	21	bibi1d 345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → (((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴) ↔ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴)))
23		bicom 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴) ↔ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))
24	22, 23	bitrdi 289	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → (((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴) ↔ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
25	24	notbid 320	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → (¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴) ↔ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
26	25	2rexbidv 3226	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
27	20, 26	imbi12d 346	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → ((𝑘 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴)) ↔ (𝐵 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))))
28	27	rspcv 3577	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴)) → (𝐵 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))))
29		nn0prpwlem 36646	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴)))
30	28, 29	impel 513	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐵 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
31	19, 30	jaod 870	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
32	10, 31	sylbid 242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
33		df-ne 2957	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 = 𝐵)
34		rexnal2 3143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))
35	32, 33, 34	3imtr3g 297	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
36	35	con4d 115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
37	36	ex 416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
38		prmunb 16933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝)
39		1nn 12218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℕ
40		prmz 16692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
41		1nn0 12494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 ∈ ℕ0
42		zexpcl 14086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑝↑1) ∈ ℤ)
43	40, 41, 42	sylancl 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝↑1) ∈ ℤ)
44		dvds0 16288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝↑1) ∈ ℤ → (𝑝↑1) ∥ 0)
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝↑1) ∥ 0)
46	45	3ad2ant2 1146	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 < 𝑝) → (𝑝↑1) ∥ 0)
47		dvdsle 16327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑝↑1) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 → (𝑝↑1) ≤ 𝐴))
48	43, 47	sylan 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 → (𝑝↑1) ≤ 𝐴))
49		prmnn 16691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
50		nnre 12214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → 𝑝 ∈ ℝ)
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
52		reexpcl 14088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑝↑1) ∈ ℝ)
53	51, 41, 52	sylancl 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝↑1) ∈ ℝ)
54		lenlt 11258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑝↑1) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑝↑1) ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < (𝑝↑1)))
55	53, 6, 54	syl2an 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < (𝑝↑1)))
56	49	nncnd 12223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℂ)
57	56	exp1d 14151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝↑1) = 𝑝)
58	57	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑝↑1) = 𝑝)
59	58	breq2d 5111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 < (𝑝↑1) ↔ 𝐴 < 𝑝))
60	59	notbid 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (¬ 𝐴 < (𝑝↑1) ↔ ¬ 𝐴 < 𝑝))
61	55, 60	bitrd 281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝑝))
62	48, 61	sylibd 241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 → ¬ 𝐴 < 𝑝))
63	62	ancoms 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 → ¬ 𝐴 < 𝑝))
64	63	con2d 134	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴 < 𝑝 → ¬ (𝑝↑1) ∥ 𝐴))
65	64	3impia 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 < 𝑝) → ¬ (𝑝↑1) ∥ 𝐴)
66	46, 65	jcnd 163	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 < 𝑝) → ¬ ((𝑝↑1) ∥ 0 → (𝑝↑1) ∥ 𝐴))
67		biimpr 222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑝↑1) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑1) ∥ 0) → ((𝑝↑1) ∥ 0 → (𝑝↑1) ∥ 𝐴))
68	66, 67	nsyl 140	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 < 𝑝) → ¬ ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑1) ∥ 0))
69		oveq2 7400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑝↑𝑛) = (𝑝↑1))
70	69	breq1d 5109	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐴))
71	69	breq1d 5109	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑1) ∥ 0))
72	70, 71	bibi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = 1 → (((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0) ↔ ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑1) ∥ 0)))
73	72	notbid 320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 1 → (¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0) ↔ ¬ ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑1) ∥ 0)))
74	73	rspcev 3581	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ ¬ ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑1) ∥ 0)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0))
75	39, 68, 74	sylancr 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 < 𝑝) → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0))
76	75	3expia 1133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴 < 𝑝 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0)))
77	76	reximdva 3174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0)))
78	38, 77	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0))
79		rexnal2 3143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0))
80	78, 79	sylib 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0))
81	80	pm2.21d 121	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0) → 𝐴 = 0))
82		breq2 5103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 = 0 → ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0))
83	82	bibi2d 344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = 0 → (((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0)))
84	83	2ralbidv 3225	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = 0 → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0)))
85		eqeq2 2773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐴 = 0))
86	84, 85	imbi12d 346	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = 0 → ((∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0) → 𝐴 = 0)))
87	81, 86	imbitrrid 248	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
88	37, 87	jaoi 868	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0) → (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
89	5, 88	sylbi 219	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
90	89	com12 32	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℕ0 → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
91		orcom 881	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0) ↔ (𝐵 = 0 ∨ 𝐵 ∈ ℕ))
92		df-or 859	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 = 0 ∨ 𝐵 ∈ ℕ) ↔ (¬ 𝐵 = 0 → 𝐵 ∈ ℕ))
93	5, 91, 92	3bitri 299	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (¬ 𝐵 = 0 → 𝐵 ∈ ℕ))
94		prmunb 16933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐵 < 𝑝)
95	45	3ad2ant2 1146	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 < 𝑝) → (𝑝↑1) ∥ 0)
96		dvdsle 16327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑝↑1) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐵 → (𝑝↑1) ≤ 𝐵))
97	43, 96	sylan 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐵 → (𝑝↑1) ≤ 𝐵))
98		lenlt 11258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑝↑1) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑝↑1) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < (𝑝↑1)))
99	53, 7, 98	syl2an 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < (𝑝↑1)))
100	57	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑝↑1) = 𝑝)
101	100	breq2d 5111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 < (𝑝↑1) ↔ 𝐵 < 𝑝))
102	101	notbid 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (¬ 𝐵 < (𝑝↑1) ↔ ¬ 𝐵 < 𝑝))
103	99, 102	bitrd 281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑝))
104	97, 103	sylibd 241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝑝))
105	104	ancoms 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝑝))
106	105	con2d 134	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐵 < 𝑝 → ¬ (𝑝↑1) ∥ 𝐵))
107	106	3impia 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 < 𝑝) → ¬ (𝑝↑1) ∥ 𝐵)
108	95, 107	jcnd 163	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 < 𝑝) → ¬ ((𝑝↑1) ∥ 0 → (𝑝↑1) ∥ 𝐵))
109		biimp 217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑝↑1) ∥ 0 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐵) → ((𝑝↑1) ∥ 0 → (𝑝↑1) ∥ 𝐵))
110	108, 109	nsyl 140	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 < 𝑝) → ¬ ((𝑝↑1) ∥ 0 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐵))
111	69	breq1d 5109	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐵))
112	71, 111	bibi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = 1 → (((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ((𝑝↑1) ∥ 0 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐵)))
113	112	notbid 320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 1 → (¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ¬ ((𝑝↑1) ∥ 0 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐵)))
114	113	rspcev 3581	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ ¬ ((𝑝↑1) ∥ 0 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐵)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))
115	39, 110, 114	sylancr 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 < 𝑝) → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))
116	115	3expia 1133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐵 < 𝑝 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
117	116	reximdva 3174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝐵 < 𝑝 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
118	94, 117	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))
119		rexnal2 3143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))
120	118, 119	sylib 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))
121	120	imim2i 16	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝐵 = 0 → 𝐵 ∈ ℕ) → (¬ 𝐵 = 0 → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
122	93, 121	sylbi 219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐵 = 0 → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
123	122	con4d 115	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐵 = 0))
124		eqcom 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 0 ↔ 0 = 𝐵)
125	123, 124	imbitrdi 253	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 0 = 𝐵))
126		breq2 5103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0))
127	126	bibi1d 345	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
128	127	2ralbidv 3225	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
129		eqeq1 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 = 𝐵 ↔ 0 = 𝐵))
130	128, 129	imbi12d 346	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → ((∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 0 = 𝐵)))
131	125, 130	imbitrrid 248	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐵 ∈ ℕ0 → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
132	90, 131	jaoi 868	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) → (𝐵 ∈ ℕ0 → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
133	132	imp 410	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
134	4, 133	sylanb 590	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
135	3, 134	impbid2 228	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3075  ∃wrex 3085   class class class wbr 5099  (class class class)co 7392  ℝcr 11069  0cc0 11070  1c1 11071   < clt 11213   ≤ cle 11214  ℕcn 12207  ℕ₀cn0 12478  ℤcz 12565  ↑cexp 14071   ∥ cdvds 16269  ℙcprime 16688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-rp 12991  df-fz 13510  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14012  df-exp 14072  df-fac 14284  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-dvds 16270  df-gcd 16512  df-prm 16689

This theorem is referenced by: (None)