Theorem nn0prpw 34439

Description: Two nonnegative integers are the same if and only if they are divisible by the same prime powers. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nn0prpw	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑝,𝐴   𝐵,𝑛,𝑝

Proof of Theorem nn0prpw

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5074	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))
2	1	a1d 25	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
3	2	ralrimivv 3113	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))
4		elnn0 12165	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
5		elnn0 12165	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
6		nnre 11910	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
7		nnre 11910	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
8		lttri2 10988	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
9	6, 7, 8	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
10	9	ancoms 458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
11		nn0prpwlem 34438	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
12		breq1 5073	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (𝑘 < 𝐵 ↔ 𝐴 < 𝐵))
13		breq2 5074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴))
14	13	bibi1d 343	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
15	14	notbid 317	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
16	15	2rexbidv 3228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
17	12, 16	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → ((𝑘 < 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)) ↔ (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))))
18	17	rspcv 3547	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))))
19	11, 18	mpan9 506	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
20		breq1 5073	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → (𝑘 < 𝐴 ↔ 𝐵 < 𝐴))
21		breq2 5074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))
22	21	bibi1d 343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → (((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴) ↔ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴)))
23		bicom 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴) ↔ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))
24	22, 23	bitrdi 286	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → (((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴) ↔ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
25	24	notbid 317	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → (¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴) ↔ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
26	25	2rexbidv 3228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
27	20, 26	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → ((𝑘 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴)) ↔ (𝐵 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))))
28	27	rspcv 3547	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴)) → (𝐵 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))))
29		nn0prpwlem 34438	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴)))
30	28, 29	impel 505	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐵 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
31	19, 30	jaod 855	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
32	10, 31	sylbid 239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
33		df-ne 2943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 = 𝐵)
34		rexnal2 3186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))
35	32, 33, 34	3imtr3g 294	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
36	35	con4d 115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
37	36	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
38		prmunb 16543	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝)
39		1nn 11914	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℕ
40		prmz 16308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
41		1nn0 12179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 ∈ ℕ0
42		zexpcl 13725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑝↑1) ∈ ℤ)
43	40, 41, 42	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝↑1) ∈ ℤ)
44		dvds0 15909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝↑1) ∈ ℤ → (𝑝↑1) ∥ 0)
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝↑1) ∥ 0)
46	45	3ad2ant2 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 < 𝑝) → (𝑝↑1) ∥ 0)
47		dvdsle 15947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑝↑1) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 → (𝑝↑1) ≤ 𝐴))
48	43, 47	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 → (𝑝↑1) ≤ 𝐴))
49		prmnn 16307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
50		nnre 11910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ → 𝑝 ∈ ℝ)
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
52		reexpcl 13727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑝↑1) ∈ ℝ)
53	51, 41, 52	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝↑1) ∈ ℝ)
54		lenlt 10984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑝↑1) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑝↑1) ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < (𝑝↑1)))
55	53, 6, 54	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < (𝑝↑1)))
56	49	nncnd 11919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℂ)
57	56	exp1d 13787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝↑1) = 𝑝)
58	57	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑝↑1) = 𝑝)
59	58	breq2d 5082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 < (𝑝↑1) ↔ 𝐴 < 𝑝))
60	59	notbid 317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (¬ 𝐴 < (𝑝↑1) ↔ ¬ 𝐴 < 𝑝))
61	55, 60	bitrd 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝑝))
62	48, 61	sylibd 238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 → ¬ 𝐴 < 𝑝))
63	62	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 → ¬ 𝐴 < 𝑝))
64	63	con2d 134	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴 < 𝑝 → ¬ (𝑝↑1) ∥ 𝐴))
65	64	3impia 1115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 < 𝑝) → ¬ (𝑝↑1) ∥ 𝐴)
66	46, 65	jcnd 163	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 < 𝑝) → ¬ ((𝑝↑1) ∥ 0 → (𝑝↑1) ∥ 𝐴))
67		biimpr 219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑝↑1) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑1) ∥ 0) → ((𝑝↑1) ∥ 0 → (𝑝↑1) ∥ 𝐴))
68	66, 67	nsyl 140	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 < 𝑝) → ¬ ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑1) ∥ 0))
69		oveq2 7263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑝↑𝑛) = (𝑝↑1))
70	69	breq1d 5080	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐴))
71	69	breq1d 5080	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑1) ∥ 0))
72	70, 71	bibi12d 345	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = 1 → (((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0) ↔ ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑1) ∥ 0)))
73	72	notbid 317	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 1 → (¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0) ↔ ¬ ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑1) ∥ 0)))
74	73	rspcev 3552	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ ¬ ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑1) ∥ 0)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0))
75	39, 68, 74	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 < 𝑝) → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0))
76	75	3expia 1119	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴 < 𝑝 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0)))
77	76	reximdva 3202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0)))
78	38, 77	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0))
79		rexnal2 3186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0))
80	78, 79	sylib 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0))
81	80	pm2.21d 121	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0) → 𝐴 = 0))
82		breq2 5074	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 = 0 → ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0))
83	82	bibi2d 342	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = 0 → (((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0)))
84	83	2ralbidv 3122	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = 0 → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0)))
85		eqeq2 2750	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐴 = 0))
86	84, 85	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = 0 → ((∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0) → 𝐴 = 0)))
87	81, 86	syl5ibr 245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
88	37, 87	jaoi 853	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0) → (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
89	5, 88	sylbi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
90	89	com12 32	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℕ0 → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
91		orcom 866	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0) ↔ (𝐵 = 0 ∨ 𝐵 ∈ ℕ))
92		df-or 844	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 = 0 ∨ 𝐵 ∈ ℕ) ↔ (¬ 𝐵 = 0 → 𝐵 ∈ ℕ))
93	5, 91, 92	3bitri 296	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (¬ 𝐵 = 0 → 𝐵 ∈ ℕ))
94		prmunb 16543	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐵 < 𝑝)
95	45	3ad2ant2 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 < 𝑝) → (𝑝↑1) ∥ 0)
96		dvdsle 15947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑝↑1) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐵 → (𝑝↑1) ≤ 𝐵))
97	43, 96	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐵 → (𝑝↑1) ≤ 𝐵))
98		lenlt 10984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑝↑1) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑝↑1) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < (𝑝↑1)))
99	53, 7, 98	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < (𝑝↑1)))
100	57	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑝↑1) = 𝑝)
101	100	breq2d 5082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 < (𝑝↑1) ↔ 𝐵 < 𝑝))
102	101	notbid 317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (¬ 𝐵 < (𝑝↑1) ↔ ¬ 𝐵 < 𝑝))
103	99, 102	bitrd 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑝))
104	97, 103	sylibd 238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝑝))
105	104	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝑝))
106	105	con2d 134	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐵 < 𝑝 → ¬ (𝑝↑1) ∥ 𝐵))
107	106	3impia 1115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 < 𝑝) → ¬ (𝑝↑1) ∥ 𝐵)
108	95, 107	jcnd 163	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 < 𝑝) → ¬ ((𝑝↑1) ∥ 0 → (𝑝↑1) ∥ 𝐵))
109		biimp 214	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑝↑1) ∥ 0 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐵) → ((𝑝↑1) ∥ 0 → (𝑝↑1) ∥ 𝐵))
110	108, 109	nsyl 140	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 < 𝑝) → ¬ ((𝑝↑1) ∥ 0 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐵))
111	69	breq1d 5080	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐵))
112	71, 111	bibi12d 345	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = 1 → (((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ((𝑝↑1) ∥ 0 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐵)))
113	112	notbid 317	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 1 → (¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ¬ ((𝑝↑1) ∥ 0 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐵)))
114	113	rspcev 3552	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ ¬ ((𝑝↑1) ∥ 0 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐵)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))
115	39, 110, 114	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 < 𝑝) → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))
116	115	3expia 1119	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐵 < 𝑝 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
117	116	reximdva 3202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝐵 < 𝑝 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
118	94, 117	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))
119		rexnal2 3186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))
120	118, 119	sylib 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵))
121	120	imim2i 16	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝐵 = 0 → 𝐵 ∈ ℕ) → (¬ 𝐵 = 0 → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
122	93, 121	sylbi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐵 = 0 → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
123	122	con4d 115	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐵 = 0))
124		eqcom 2745	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 0 ↔ 0 = 𝐵)
125	123, 124	syl6ib 250	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 0 = 𝐵))
126		breq2 5074	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 0))
127	126	bibi1d 343	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
128	127	2ralbidv 3122	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))
129		eqeq1 2742	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 = 𝐵 ↔ 0 = 𝐵))
130	128, 129	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → ((∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 0 = 𝐵)))
131	125, 130	syl5ibr 245	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐵 ∈ ℕ0 → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
132	90, 131	jaoi 853	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) → (𝐵 ∈ ℕ0 → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
133	132	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
134	4, 133	sylanb 580	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
135	3, 134	impbid2 225	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝↑𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑𝑛) ∥ 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   < clt 10940   ≤ cle 10941  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ↑cexp 13710   ∥ cdvds 15891  ℙcprime 16304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-dvds 15892  df-gcd 16130  df-prm 16305

This theorem is referenced by: (None)