Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0prpw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0prpw 34150
Description: Two nonnegative integers are the same if and only if they are divisible by the same prime powers. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
nn0prpw ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑝,𝐴   𝐵,𝑛,𝑝

Proof of Theorem nn0prpw
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5034 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))
21a1d 25 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
32ralrimivv 3102 . 2 (𝐴 = 𝐵 → ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))
4 elnn0 11978 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
5 elnn0 11978 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
6 nnre 11723 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
7 nnre 11723 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
8 lttri2 10801 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
96, 7, 8syl2an 599 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
109ancoms 462 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
11 nn0prpwlem 34149 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ ℕ → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
12 breq1 5033 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝐴 → (𝑘 < 𝐵𝐴 < 𝐵))
13 breq2 5034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝐴 → ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴))
1413bibi1d 347 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝐴 → (((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
1514notbid 321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝐴 → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
16152rexbidv 3210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝐴 → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
1712, 16imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝐴 → ((𝑘 < 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)) ↔ (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))))
1817rspcv 3521 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))))
1911, 18mpan9 510 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
20 breq1 5033 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝐵 → (𝑘 < 𝐴𝐵 < 𝐴))
21 breq2 5034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝐵 → ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))
2221bibi1d 347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝐵 → (((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐵 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴)))
23 bicom 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑝𝑛) ∥ 𝐵 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))
2422, 23bitrdi 290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝐵 → (((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
2524notbid 321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝐵 → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴) ↔ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
26252rexbidv 3210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝐵 → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
2720, 26imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝐵 → ((𝑘 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴)) ↔ (𝐵 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))))
2827rspcv 3521 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴)) → (𝐵 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))))
29 nn0prpwlem 34149 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℕ → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴)))
3028, 29impel 509 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐵 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
3119, 30jaod 858 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
3210, 31sylbid 243 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
33 df-ne 2935 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐴 = 𝐵)
34 rexnal2 3170 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))
3532, 33, 343imtr3g 298 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
3635con4d 115 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
3736ex 416 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
38 prmunb 16350 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝)
39 1nn 11727 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℕ
40 prmz 16116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
41 1nn0 11992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℕ0
42 zexpcl 13536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑝↑1) ∈ ℤ)
4340, 41, 42sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝↑1) ∈ ℤ)
44 dvds0 15717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑝↑1) ∈ ℤ → (𝑝↑1) ∥ 0)
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝↑1) ∥ 0)
46453ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 < 𝑝) → (𝑝↑1) ∥ 0)
47 dvdsle 15755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑝↑1) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 → (𝑝↑1) ≤ 𝐴))
4843, 47sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 → (𝑝↑1) ≤ 𝐴))
49 prmnn 16115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
50 nnre 11723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑝 ∈ ℕ → 𝑝 ∈ ℝ)
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
52 reexpcl 13538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑝↑1) ∈ ℝ)
5351, 41, 52sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝↑1) ∈ ℝ)
54 lenlt 10797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑝↑1) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑝↑1) ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < (𝑝↑1)))
5553, 6, 54syl2an 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < (𝑝↑1)))
5649nncnd 11732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℂ)
5756exp1d 13597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝↑1) = 𝑝)
5857adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑝↑1) = 𝑝)
5958breq2d 5042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 < (𝑝↑1) ↔ 𝐴 < 𝑝))
6059notbid 321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (¬ 𝐴 < (𝑝↑1) ↔ ¬ 𝐴 < 𝑝))
6155, 60bitrd 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝑝))
6248, 61sylibd 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 → ¬ 𝐴 < 𝑝))
6362ancoms 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 → ¬ 𝐴 < 𝑝))
6463con2d 136 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴 < 𝑝 → ¬ (𝑝↑1) ∥ 𝐴))
65643impia 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 < 𝑝) → ¬ (𝑝↑1) ∥ 𝐴)
6646, 65jcnd 166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 < 𝑝) → ¬ ((𝑝↑1) ∥ 0 → (𝑝↑1) ∥ 𝐴))
67 biimpr 223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑝↑1) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑1) ∥ 0) → ((𝑝↑1) ∥ 0 → (𝑝↑1) ∥ 𝐴))
6866, 67nsyl 142 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 < 𝑝) → ¬ ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑1) ∥ 0))
69 oveq2 7178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 1 → (𝑝𝑛) = (𝑝↑1))
7069breq1d 5040 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 1 → ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐴))
7169breq1d 5040 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 1 → ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑1) ∥ 0))
7270, 71bibi12d 349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 1 → (((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0) ↔ ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑1) ∥ 0)))
7372notbid 321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 1 → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0) ↔ ¬ ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑1) ∥ 0)))
7473rspcev 3526 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℕ ∧ ¬ ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑1) ∥ 0)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0))
7539, 68, 74sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 < 𝑝) → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0))
76753expia 1122 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴 < 𝑝 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0)))
7776reximdva 3184 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℕ → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0)))
7838, 77mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0))
79 rexnal2 3170 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0))
8078, 79sylib 221 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℕ → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0))
8180pm2.21d 121 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0) → 𝐴 = 0))
82 breq2 5034 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 = 0 → ((𝑝𝑛) ∥ 𝐵 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0))
8382bibi2d 346 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 = 0 → (((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0)))
84832ralbidv 3111 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = 0 → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0)))
85 eqeq2 2750 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = 0 → (𝐴 = 𝐵𝐴 = 0))
8684, 85imbi12d 348 . . . . . . . . 9 (𝐵 = 0 → ((∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0) → 𝐴 = 0)))
8781, 86syl5ibr 249 . . . . . . . 8 (𝐵 = 0 → (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
8837, 87jaoi 856 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0) → (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
895, 88sylbi 220 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
9089com12 32 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℕ0 → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
91 orcom 869 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0) ↔ (𝐵 = 0 ∨ 𝐵 ∈ ℕ))
92 df-or 847 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 = 0 ∨ 𝐵 ∈ ℕ) ↔ (¬ 𝐵 = 0 → 𝐵 ∈ ℕ))
935, 91, 923bitri 300 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (¬ 𝐵 = 0 → 𝐵 ∈ ℕ))
94 prmunb 16350 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐵 < 𝑝)
95453ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 < 𝑝) → (𝑝↑1) ∥ 0)
96 dvdsle 15755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑝↑1) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐵 → (𝑝↑1) ≤ 𝐵))
9743, 96sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐵 → (𝑝↑1) ≤ 𝐵))
98 lenlt 10797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑝↑1) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑝↑1) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < (𝑝↑1)))
9953, 7, 98syl2an 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < (𝑝↑1)))
10057adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑝↑1) = 𝑝)
101100breq2d 5042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 < (𝑝↑1) ↔ 𝐵 < 𝑝))
102101notbid 321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (¬ 𝐵 < (𝑝↑1) ↔ ¬ 𝐵 < 𝑝))
10399, 102bitrd 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑝))
10497, 103sylibd 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝑝))
105104ancoms 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝑝))
106105con2d 136 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐵 < 𝑝 → ¬ (𝑝↑1) ∥ 𝐵))
1071063impia 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 < 𝑝) → ¬ (𝑝↑1) ∥ 𝐵)
10895, 107jcnd 166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 < 𝑝) → ¬ ((𝑝↑1) ∥ 0 → (𝑝↑1) ∥ 𝐵))
109 biimp 218 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑝↑1) ∥ 0 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐵) → ((𝑝↑1) ∥ 0 → (𝑝↑1) ∥ 𝐵))
110108, 109nsyl 142 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 < 𝑝) → ¬ ((𝑝↑1) ∥ 0 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐵))
11169breq1d 5040 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 1 → ((𝑝𝑛) ∥ 𝐵 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐵))
11271, 111bibi12d 349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 1 → (((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ((𝑝↑1) ∥ 0 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐵)))
113112notbid 321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 1 → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ¬ ((𝑝↑1) ∥ 0 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐵)))
114113rspcev 3526 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℕ ∧ ¬ ((𝑝↑1) ∥ 0 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐵)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))
11539, 110, 114sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 < 𝑝) → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))
1161153expia 1122 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐵 < 𝑝 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
117116reximdva 3184 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℕ → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝐵 < 𝑝 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
11894, 117mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))
119 rexnal2 3170 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))
120118, 119sylib 221 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℕ → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))
121120imim2i 16 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝐵 = 0 → 𝐵 ∈ ℕ) → (¬ 𝐵 = 0 → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
12293, 121sylbi 220 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐵 = 0 → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
123122con4d 115 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ0 → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐵 = 0))
124 eqcom 2745 . . . . . . 7 (𝐵 = 0 ↔ 0 = 𝐵)
125123, 124syl6ib 254 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ0 → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 0 = 𝐵))
126 breq2 5034 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 → ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0))
127126bibi1d 347 . . . . . . . 8 (𝐴 = 0 → (((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
1281272ralbidv 3111 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
129 eqeq1 2742 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 → (𝐴 = 𝐵 ↔ 0 = 𝐵))
130128, 129imbi12d 348 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → ((∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 0 = 𝐵)))
131125, 130syl5ibr 249 . . . . 5 (𝐴 = 0 → (𝐵 ∈ ℕ0 → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
13290, 131jaoi 856 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) → (𝐵 ∈ ℕ0 → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
133132imp 410 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
1344, 133sylanb 584 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
1353, 134impbid2 229 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934  wral 3053  wrex 3054   class class class wbr 5030  (class class class)co 7170  cr 10614  0cc0 10615  1c1 10616   < clt 10753  cle 10754  cn 11716  0cn0 11976  cz 12062  cexp 13521  cdvds 15699  cprime 16112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-2o 8132  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-sup 8979  df-inf 8980  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-rp 12473  df-fz 12982  df-fl 13253  df-mod 13329  df-seq 13461  df-exp 13522  df-fac 13726  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-dvds 15700  df-gcd 15938  df-prm 16113
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator