Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0prpw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0prpw 34795
Description: Two nonnegative integers are the same if and only if they are divisible by the same prime powers. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
nn0prpw ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑝,𝐴   𝐵,𝑛,𝑝

Proof of Theorem nn0prpw
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5109 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))
21a1d 25 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
32ralrimivv 3195 . 2 (𝐴 = 𝐵 → ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))
4 elnn0 12415 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
5 elnn0 12415 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
6 nnre 12160 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
7 nnre 12160 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
8 lttri2 11237 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
96, 7, 8syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
109ancoms 459 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
11 nn0prpwlem 34794 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ ℕ → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
12 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝐴 → (𝑘 < 𝐵𝐴 < 𝐵))
13 breq2 5109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝐴 → ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴))
1413bibi1d 343 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝐴 → (((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
1514notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝐴 → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
16152rexbidv 3213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝐴 → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
1712, 16imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝐴 → ((𝑘 < 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)) ↔ (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))))
1817rspcv 3577 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))))
1911, 18mpan9 507 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
20 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝐵 → (𝑘 < 𝐴𝐵 < 𝐴))
21 breq2 5109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝐵 → ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))
2221bibi1d 343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝐵 → (((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐵 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴)))
23 bicom 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑝𝑛) ∥ 𝐵 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))
2422, 23bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝐵 → (((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
2524notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝐵 → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴) ↔ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
26252rexbidv 3213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝐵 → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
2720, 26imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝐵 → ((𝑘 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴)) ↔ (𝐵 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))))
2827rspcv 3577 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴)) → (𝐵 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))))
29 nn0prpwlem 34794 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℕ → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴)))
3028, 29impel 506 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐵 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
3119, 30jaod 857 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
3210, 31sylbid 239 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
33 df-ne 2944 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐴 = 𝐵)
34 rexnal2 3132 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))
3532, 33, 343imtr3g 294 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
3635con4d 115 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
3736ex 413 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
38 prmunb 16786 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝)
39 1nn 12164 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℕ
40 prmz 16551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
41 1nn0 12429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℕ0
42 zexpcl 13982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑝↑1) ∈ ℤ)
4340, 41, 42sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝↑1) ∈ ℤ)
44 dvds0 16154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑝↑1) ∈ ℤ → (𝑝↑1) ∥ 0)
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝↑1) ∥ 0)
46453ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 < 𝑝) → (𝑝↑1) ∥ 0)
47 dvdsle 16192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑝↑1) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 → (𝑝↑1) ≤ 𝐴))
4843, 47sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 → (𝑝↑1) ≤ 𝐴))
49 prmnn 16550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
50 nnre 12160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑝 ∈ ℕ → 𝑝 ∈ ℝ)
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
52 reexpcl 13984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑝↑1) ∈ ℝ)
5351, 41, 52sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝↑1) ∈ ℝ)
54 lenlt 11233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑝↑1) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑝↑1) ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < (𝑝↑1)))
5553, 6, 54syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < (𝑝↑1)))
5649nncnd 12169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℂ)
5756exp1d 14046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝↑1) = 𝑝)
5857adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑝↑1) = 𝑝)
5958breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 < (𝑝↑1) ↔ 𝐴 < 𝑝))
6059notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (¬ 𝐴 < (𝑝↑1) ↔ ¬ 𝐴 < 𝑝))
6155, 60bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝑝))
6248, 61sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 → ¬ 𝐴 < 𝑝))
6362ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 → ¬ 𝐴 < 𝑝))
6463con2d 134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴 < 𝑝 → ¬ (𝑝↑1) ∥ 𝐴))
65643impia 1117 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 < 𝑝) → ¬ (𝑝↑1) ∥ 𝐴)
6646, 65jcnd 163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 < 𝑝) → ¬ ((𝑝↑1) ∥ 0 → (𝑝↑1) ∥ 𝐴))
67 biimpr 219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑝↑1) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑1) ∥ 0) → ((𝑝↑1) ∥ 0 → (𝑝↑1) ∥ 𝐴))
6866, 67nsyl 140 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 < 𝑝) → ¬ ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑1) ∥ 0))
69 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 1 → (𝑝𝑛) = (𝑝↑1))
7069breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 1 → ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐴))
7169breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 1 → ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑1) ∥ 0))
7270, 71bibi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 1 → (((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0) ↔ ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑1) ∥ 0)))
7372notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 1 → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0) ↔ ¬ ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑1) ∥ 0)))
7473rspcev 3581 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℕ ∧ ¬ ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑1) ∥ 0)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0))
7539, 68, 74sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 < 𝑝) → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0))
76753expia 1121 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴 < 𝑝 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0)))
7776reximdva 3165 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℕ → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0)))
7838, 77mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0))
79 rexnal2 3132 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0))
8078, 79sylib 217 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℕ → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0))
8180pm2.21d 121 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0) → 𝐴 = 0))
82 breq2 5109 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 = 0 → ((𝑝𝑛) ∥ 𝐵 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0))
8382bibi2d 342 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 = 0 → (((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0)))
84832ralbidv 3212 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = 0 → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0)))
85 eqeq2 2748 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = 0 → (𝐴 = 𝐵𝐴 = 0))
8684, 85imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝐵 = 0 → ((∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0) → 𝐴 = 0)))
8781, 86syl5ibr 245 . . . . . . . 8 (𝐵 = 0 → (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
8837, 87jaoi 855 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0) → (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
895, 88sylbi 216 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
9089com12 32 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℕ0 → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
91 orcom 868 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0) ↔ (𝐵 = 0 ∨ 𝐵 ∈ ℕ))
92 df-or 846 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 = 0 ∨ 𝐵 ∈ ℕ) ↔ (¬ 𝐵 = 0 → 𝐵 ∈ ℕ))
935, 91, 923bitri 296 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (¬ 𝐵 = 0 → 𝐵 ∈ ℕ))
94 prmunb 16786 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐵 < 𝑝)
95453ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 < 𝑝) → (𝑝↑1) ∥ 0)
96 dvdsle 16192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑝↑1) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐵 → (𝑝↑1) ≤ 𝐵))
9743, 96sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐵 → (𝑝↑1) ≤ 𝐵))
98 lenlt 11233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑝↑1) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑝↑1) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < (𝑝↑1)))
9953, 7, 98syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < (𝑝↑1)))
10057adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑝↑1) = 𝑝)
101100breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 < (𝑝↑1) ↔ 𝐵 < 𝑝))
102101notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (¬ 𝐵 < (𝑝↑1) ↔ ¬ 𝐵 < 𝑝))
10399, 102bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑝))
10497, 103sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝑝))
105104ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝑝))
106105con2d 134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐵 < 𝑝 → ¬ (𝑝↑1) ∥ 𝐵))
1071063impia 1117 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 < 𝑝) → ¬ (𝑝↑1) ∥ 𝐵)
10895, 107jcnd 163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 < 𝑝) → ¬ ((𝑝↑1) ∥ 0 → (𝑝↑1) ∥ 𝐵))
109 biimp 214 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑝↑1) ∥ 0 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐵) → ((𝑝↑1) ∥ 0 → (𝑝↑1) ∥ 𝐵))
110108, 109nsyl 140 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 < 𝑝) → ¬ ((𝑝↑1) ∥ 0 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐵))
11169breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 1 → ((𝑝𝑛) ∥ 𝐵 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐵))
11271, 111bibi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 1 → (((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ((𝑝↑1) ∥ 0 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐵)))
113112notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 1 → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ¬ ((𝑝↑1) ∥ 0 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐵)))
114113rspcev 3581 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℕ ∧ ¬ ((𝑝↑1) ∥ 0 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐵)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))
11539, 110, 114sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 < 𝑝) → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))
1161153expia 1121 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐵 < 𝑝 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
117116reximdva 3165 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℕ → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝐵 < 𝑝 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
11894, 117mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))
119 rexnal2 3132 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))
120118, 119sylib 217 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℕ → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))
121120imim2i 16 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝐵 = 0 → 𝐵 ∈ ℕ) → (¬ 𝐵 = 0 → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
12293, 121sylbi 216 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐵 = 0 → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
123122con4d 115 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ0 → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐵 = 0))
124 eqcom 2743 . . . . . . 7 (𝐵 = 0 ↔ 0 = 𝐵)
125123, 124syl6ib 250 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ0 → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 0 = 𝐵))
126 breq2 5109 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 → ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0))
127126bibi1d 343 . . . . . . . 8 (𝐴 = 0 → (((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
1281272ralbidv 3212 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
129 eqeq1 2740 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 → (𝐴 = 𝐵 ↔ 0 = 𝐵))
130128, 129imbi12d 344 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → ((∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 0 = 𝐵)))
131125, 130syl5ibr 245 . . . . 5 (𝐴 = 0 → (𝐵 ∈ ℕ0 → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
13290, 131jaoi 855 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) → (𝐵 ∈ ℕ0 → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
133132imp 407 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
1344, 133sylanb 581 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
1353, 134impbid2 225 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   < clt 11189  cle 11190  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499  cexp 13967  cdvds 16136  cprime 16547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-prm 16548
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator