MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvne0 25375
Description: A function on a closed interval with nonzero derivative is either monotone increasing or monotone decreasing. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvne0.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dvne0.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dvne0.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
dvne0.d (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
dvne0.z (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
Assertion
Ref Expression
dvne0 (𝜑 → (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹)))

Proof of Theorem dvne0
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvne0.z . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
2 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 0 → (𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹) ↔ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹)))
32notbid 317 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 0 → (¬ 𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹) ↔ ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹)))
41, 3syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 = 0 → ¬ 𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹)))
54necon2ad 2958 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹) → 𝑥 ≠ 0))
65imp 407 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹)) → 𝑥 ≠ 0)
7 dvne0.f . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
8 cncff 24256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
10 dvne0.a . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
11 dvne0.b . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
12 iccssre 13346 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
1310, 11, 12syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
14 dvfre 25315 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
159, 13, 14syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
1615frnd 6676 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ran (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ)
1716sselda 3944 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹)) → 𝑥 ∈ ℝ)
18 0re 11157 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
19 lttri2 11237 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑥 ≠ 0 ↔ (𝑥 < 0 ∨ 0 < 𝑥)))
2017, 18, 19sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹)) → (𝑥 ≠ 0 ↔ (𝑥 < 0 ∨ 0 < 𝑥)))
21 0xr 11202 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ*
22 elioomnf 13361 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (-∞(,)0) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 0)))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (-∞(,)0) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 0))
2423baib 536 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (-∞(,)0) ↔ 𝑥 < 0))
25 elrp 12917 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
2625baib 536 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ 0 < 𝑥))
2724, 26orbi12d 917 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ (-∞(,)0) ∨ 𝑥 ∈ ℝ+) ↔ (𝑥 < 0 ∨ 0 < 𝑥)))
2817, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹)) → ((𝑥 ∈ (-∞(,)0) ∨ 𝑥 ∈ ℝ+) ↔ (𝑥 < 0 ∨ 0 < 𝑥)))
2920, 28bitr4d 281 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹)) → (𝑥 ≠ 0 ↔ (𝑥 ∈ (-∞(,)0) ∨ 𝑥 ∈ ℝ+)))
306, 29mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹)) → (𝑥 ∈ (-∞(,)0) ∨ 𝑥 ∈ ℝ+))
31 elun 4108 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ((-∞(,)0) ∪ ℝ+) ↔ (𝑥 ∈ (-∞(,)0) ∨ 𝑥 ∈ ℝ+))
3230, 31sylibr 233 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹)) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)0) ∪ ℝ+))
3332ex 413 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)0) ∪ ℝ+)))
3433ssrdv 3950 . . . . 5 (𝜑 → ran (ℝ D 𝐹) ⊆ ((-∞(,)0) ∪ ℝ+))
35 disjssun 4427 . . . . 5 ((ran (ℝ D 𝐹) ∩ (-∞(,)0)) = ∅ → (ran (ℝ D 𝐹) ⊆ ((-∞(,)0) ∪ ℝ+) ↔ ran (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ+))
3634, 35syl5ibcom 244 . . . 4 (𝜑 → ((ran (ℝ D 𝐹) ∩ (-∞(,)0)) = ∅ → ran (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ+))
3736imp 407 . . 3 ((𝜑 ∧ (ran (ℝ D 𝐹) ∩ (-∞(,)0)) = ∅) → ran (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ+)
3810adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ran (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
3911adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ran (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
407adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ran (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ+) → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
41 dvne0.d . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
4241feq2d 6654 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ ↔ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
4315, 42mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
4443ffnd 6669 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) Fn (𝐴(,)𝐵))
4544anim1i 615 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ran (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ+) → ((ℝ D 𝐹) Fn (𝐴(,)𝐵) ∧ ran (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ+))
46 df-f 6500 . . . . . 6 ((ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ+ ↔ ((ℝ D 𝐹) Fn (𝐴(,)𝐵) ∧ ran (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ+))
4745, 46sylibr 233 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ran (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ+) → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ+)
4838, 39, 40, 47dvgt0 25368 . . . 4 ((𝜑 ∧ ran (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ+) → 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹))
4948orcd 871 . . 3 ((𝜑 ∧ ran (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ+) → (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹)))
5037, 49syldan 591 . 2 ((𝜑 ∧ (ran (ℝ D 𝐹) ∩ (-∞(,)0)) = ∅) → (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹)))
51 n0 4306 . . . 4 ((ran (ℝ D 𝐹) ∩ (-∞(,)0)) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (ran (ℝ D 𝐹) ∩ (-∞(,)0)))
52 elin 3926 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ran (ℝ D 𝐹) ∩ (-∞(,)0)) ↔ (𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)0)))
53 fvelrnb 6903 . . . . . . . . 9 ((ℝ D 𝐹) Fn (𝐴(,)𝐵) → (𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = 𝑥))
5444, 53syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = 𝑥))
5510adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) → 𝐴 ∈ ℝ)
5611adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) → 𝐵 ∈ ℝ)
577adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
5844adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) → (ℝ D 𝐹) Fn (𝐴(,)𝐵))
5943adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
6059ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ)
611ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
62 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
63 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))
64 ioossicc 13350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
65 rescncf 24260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ)))
6664, 7, 65mpsyl 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
6766ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
68 ax-resscn 11108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ℝ ⊆ ℂ
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
70 fss 6685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
719, 68, 70sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
7264, 13sstrid 3955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
73 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
7473tgioo2 24166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
7573, 74dvres 25275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵))))
7669, 71, 13, 72, 75syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵))))
77 retop 24125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
78 iooretop 24129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
79 isopn3i 22433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
8077, 78, 79mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐴(,)𝐵)
8180reseq2i 5934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))
82 fnresdm 6620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((ℝ D 𝐹) Fn (𝐴(,)𝐵) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (ℝ D 𝐹))
8344, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (ℝ D 𝐹))
8481, 83eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵))) = (ℝ D 𝐹))
8576, 84eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))) = (ℝ D 𝐹))
8685dmeqd 5861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))) = dom (ℝ D 𝐹))
8786, 41eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))) = (𝐴(,)𝐵))
8887ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))) = (𝐴(,)𝐵))
8962, 63, 67, 88dvivth 25374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → (((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)))‘𝑦)[,]((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)))‘𝑧)) ⊆ ran (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))))
9085ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))) = (ℝ D 𝐹))
9190fveq1d 6844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)))‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
9290fveq1d 6844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)))‘𝑧) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))
9391, 92oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → (((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)))‘𝑦)[,]((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)))‘𝑧)) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑦)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))
9490rneqd 5893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → ran (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))) = ran (ℝ D 𝐹))
9589, 93, 943sstr3d 3990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑦)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑧)) ⊆ ran (ℝ D 𝐹))
9618a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → 0 ∈ ℝ)
97 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))
98 elioomnf 13361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (0 ∈ ℝ* → (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0) ↔ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) < 0)))
9921, 98ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0) ↔ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) < 0))
10097, 99sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) < 0))
101100simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) < 0)
102100simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ ℝ)
103 ltle 11243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) < 0 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ≤ 0))
104102, 18, 103sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) < 0 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ≤ 0))
105101, 104mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ≤ 0)
106 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))
10763, 60syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ)
108 elicc2 13329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ) → (0 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑧)) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))))
109102, 107, 108syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → (0 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑧)) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))))
11096, 105, 106, 109mpbir3and 1342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → 0 ∈ (((ℝ D 𝐹)‘𝑦)[,]((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))
11195, 110sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) → 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
112111expr 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧) → 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹)))
11361, 112mtod 197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))
114 ltnle 11234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((ℝ D 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))
11560, 18, 114sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))
116113, 115mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑧) < 0)
117 elioomnf 13361 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 ∈ ℝ* → (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)0) ↔ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧) < 0)))
11821, 117ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)0) ↔ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧) < 0))
11960, 116, 118sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)0))
120119ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) → ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)0))
121 ffnfv 7066 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶(-∞(,)0) ↔ ((ℝ D 𝐹) Fn (𝐴(,)𝐵) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)0)))
12258, 120, 121sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶(-∞(,)0))
12355, 56, 57, 122dvlt0 25369 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) → 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹))
124123olcd 872 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0))) → (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹)))
125124expr 457 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0) → (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹))))
126 eleq1 2825 . . . . . . . . . . 11 (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = 𝑥 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0) ↔ 𝑥 ∈ (-∞(,)0)))
127126imbi1d 341 . . . . . . . . . 10 (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = 𝑥 → ((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) ∈ (-∞(,)0) → (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹))) ↔ (𝑥 ∈ (-∞(,)0) → (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹)))))
128125, 127syl5ibcom 244 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = 𝑥 → (𝑥 ∈ (-∞(,)0) → (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹)))))
129128rexlimdva 3152 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = 𝑥 → (𝑥 ∈ (-∞(,)0) → (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹)))))
13054, 129sylbid 239 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹) → (𝑥 ∈ (-∞(,)0) → (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹)))))
131130impd 411 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ran (ℝ D 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (-∞(,)0)) → (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹))))
13252, 131biimtrid 241 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ran (ℝ D 𝐹) ∩ (-∞(,)0)) → (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹))))
133132exlimdv 1936 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑥 𝑥 ∈ (ran (ℝ D 𝐹) ∩ (-∞(,)0)) → (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹))))
13451, 133biimtrid 241 . . 3 (𝜑 → ((ran (ℝ D 𝐹) ∩ (-∞(,)0)) ≠ ∅ → (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹))))
135134imp 407 . 2 ((𝜑 ∧ (ran (ℝ D 𝐹) ∩ (-∞(,)0)) ≠ ∅) → (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹)))
13650, 135pm2.61dane 3032 1 (𝜑 → (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  cun 3908  cin 3909  wss 3910  c0 4282   class class class wbr 5105  ccnv 5632  dom cdm 5633  ran crn 5634  cres 5635   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496   Isom wiso 6497  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  -∞cmnf 11187  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  +crp 12915  (,)cioo 13264  [,]cicc 13267  TopOpenctopn 17303  topGenctg 17319  fldccnfld 20796  Topctop 22242  intcnt 22368  cnccncf 24239   D cdv 25227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231
This theorem is referenced by:  dvne0f1  25376  dvcnvrelem1  25381
  Copyright terms: Public domain W3C validator