MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvne0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvne0 25528
Description: A function on a closed interval with nonzero derivative is either monotone increasing or monotone decreasing. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvne0.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
dvne0.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
dvne0.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
dvne0.d (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐡))
dvne0.z (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
Assertion
Ref Expression
dvne0 (πœ‘ β†’ (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐡), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , β—‘ < ((𝐴[,]𝐡), ran 𝐹)))
Proof of Theorem dvne0
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvne0.z . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
2 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯ ∈ ran (ℝ D 𝐹) ↔ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹)))
32notbid 318 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 0 β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ ran (ℝ D 𝐹) ↔ Β¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹)))
41, 3syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ = 0 β†’ Β¬ π‘₯ ∈ ran (ℝ D 𝐹)))
54necon2ad 2956 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ran (ℝ D 𝐹) β†’ π‘₯ β‰  0))
65imp 408 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (ℝ D 𝐹)) β†’ π‘₯ β‰  0)
7 dvne0.f . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
8 cncff 24409 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
10 dvne0.a . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
11 dvne0.b . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
12 iccssre 13406 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
1310, 11, 12syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
14 dvfre 25468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„ ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„)
159, 13, 14syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„)
1615frnd 6726 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ran (ℝ D 𝐹) βŠ† ℝ)
1716sselda 3983 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (ℝ D 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
18 0re 11216 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
19 lttri2 11296 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ β‰  0 ↔ (π‘₯ < 0 ∨ 0 < π‘₯)))
2017, 18, 19sylancl 587 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (ℝ D 𝐹)) β†’ (π‘₯ β‰  0 ↔ (π‘₯ < 0 ∨ 0 < π‘₯)))
21 0xr 11261 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ*
22 elioomnf 13421 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 ∈ ℝ* β†’ (π‘₯ ∈ (-∞(,)0) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 0)))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (-∞(,)0) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘₯ < 0))
2423baib 537 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (-∞(,)0) ↔ π‘₯ < 0))
25 elrp 12976 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘₯))
2625baib 537 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↔ 0 < π‘₯))
2724, 26orbi12d 918 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ ((π‘₯ ∈ (-∞(,)0) ∨ π‘₯ ∈ ℝ+) ↔ (π‘₯ < 0 ∨ 0 < π‘₯)))
2817, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (ℝ D 𝐹)) β†’ ((π‘₯ ∈ (-∞(,)0) ∨ π‘₯ ∈ ℝ+) ↔ (π‘₯ < 0 ∨ 0 < π‘₯)))
2920, 28bitr4d 282 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (ℝ D 𝐹)) β†’ (π‘₯ β‰  0 ↔ (π‘₯ ∈ (-∞(,)0) ∨ π‘₯ ∈ ℝ+)))
306, 29mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (ℝ D 𝐹)) β†’ (π‘₯ ∈ (-∞(,)0) ∨ π‘₯ ∈ ℝ+))
31 elun 4149 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ((-∞(,)0) βˆͺ ℝ+) ↔ (π‘₯ ∈ (-∞(,)0) ∨ π‘₯ ∈ ℝ+))
3230, 31sylibr 233 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran (ℝ D 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ ((-∞(,)0) βˆͺ ℝ+))
3332ex 414 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ran (ℝ D 𝐹) β†’ π‘₯ ∈ ((-∞(,)0) βˆͺ ℝ+)))
3433ssrdv 3989 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (ℝ D 𝐹) βŠ† ((-∞(,)0) βˆͺ ℝ+))
35 disjssun 4468 . . . . 5 ((ran (ℝ D 𝐹) ∩ (-∞(,)0)) = βˆ… β†’ (ran (ℝ D 𝐹) βŠ† ((-∞(,)0) βˆͺ ℝ+) ↔ ran (ℝ D 𝐹) βŠ† ℝ+))
3634, 35syl5ibcom 244 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((ran (ℝ D 𝐹) ∩ (-∞(,)0)) = βˆ… β†’ ran (ℝ D 𝐹) βŠ† ℝ+))
3736imp 408 . . 3 ((πœ‘ ∧ (ran (ℝ D 𝐹) ∩ (-∞(,)0)) = βˆ…) β†’ ran (ℝ D 𝐹) βŠ† ℝ+)
3810adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ran (ℝ D 𝐹) βŠ† ℝ+) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3911adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ran (ℝ D 𝐹) βŠ† ℝ+) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
407adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ran (ℝ D 𝐹) βŠ† ℝ+) β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
41 dvne0.d . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐡))
4241feq2d 6704 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„ ↔ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„))
4315, 42mpbid 231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
4443ffnd 6719 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) Fn (𝐴(,)𝐡))
4544anim1i 616 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ran (ℝ D 𝐹) βŠ† ℝ+) β†’ ((ℝ D 𝐹) Fn (𝐴(,)𝐡) ∧ ran (ℝ D 𝐹) βŠ† ℝ+))
46 df-f 6548 . . . . . 6 ((ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„+ ↔ ((ℝ D 𝐹) Fn (𝐴(,)𝐡) ∧ ran (ℝ D 𝐹) βŠ† ℝ+))
4745, 46sylibr 233 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ran (ℝ D 𝐹) βŠ† ℝ+) β†’ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„+)
4838, 39, 40, 47dvgt0 25521 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ran (ℝ D 𝐹) βŠ† ℝ+) β†’ 𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐡), ran 𝐹))
4948orcd 872 . . 3 ((πœ‘ ∧ ran (ℝ D 𝐹) βŠ† ℝ+) β†’ (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐡), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , β—‘ < ((𝐴[,]𝐡), ran 𝐹)))
5037, 49syldan 592 . 2 ((πœ‘ ∧ (ran (ℝ D 𝐹) ∩ (-∞(,)0)) = βˆ…) β†’ (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐡), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , β—‘ < ((𝐴[,]𝐡), ran 𝐹)))
51 n0 4347 . . . 4 ((ran (ℝ D 𝐹) ∩ (-∞(,)0)) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ (ran (ℝ D 𝐹) ∩ (-∞(,)0)))
52 elin 3965 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (ran (ℝ D 𝐹) ∩ (-∞(,)0)) ↔ (π‘₯ ∈ ran (ℝ D 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)0)))
53 fvelrnb 6953 . . . . . . . . 9 ((ℝ D 𝐹) Fn (𝐴(,)𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ ran (ℝ D 𝐹) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) = π‘₯))
5444, 53syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ran (ℝ D 𝐹) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) = π‘₯))
5510adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ (-∞(,)0))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
5611adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ (-∞(,)0))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
577adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ (-∞(,)0))) β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
5844adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ (-∞(,)0))) β†’ (ℝ D 𝐹) Fn (𝐴(,)𝐡))
5943adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ (-∞(,)0))) β†’ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„)
6059ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) ∈ ℝ)
611ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ Β¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
62 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 0 ≀ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§))) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡))
63 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 0 ≀ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§))) β†’ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡))
64 ioossicc 13410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
65 rescncf 24413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cn→ℝ)))
6664, 7, 65mpsyl 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cn→ℝ))
6766ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 0 ≀ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§))) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cn→ℝ))
68 ax-resscn 11167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ℝ βŠ† β„‚
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
70 fss 6735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
719, 68, 70sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
7264, 13sstrid 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ)
73 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
7473tgioo2 24319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
7573, 74dvres 25428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚) ∧ ((𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ ∧ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ)) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴(,)𝐡))))
7669, 71, 13, 72, 75syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴(,)𝐡))))
77 retop 24278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
78 iooretop 24282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐴(,)𝐡) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
79 isopn3i 22586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴(,)𝐡) ∈ (topGenβ€˜ran (,))) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴(,)𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
8077, 78, 79mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴(,)𝐡)) = (𝐴(,)𝐡)
8180reseq2i 5979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴(,)𝐡))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴(,)𝐡))
82 fnresdm 6670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((ℝ D 𝐹) Fn (𝐴(,)𝐡) β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = (ℝ D 𝐹))
8344, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (𝐴(,)𝐡)) = (ℝ D 𝐹))
8481, 83eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴(,)𝐡))) = (ℝ D 𝐹))
8576, 84eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))) = (ℝ D 𝐹))
8685dmeqd 5906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))) = dom (ℝ D 𝐹))
8786, 41eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))) = (𝐴(,)𝐡))
8887ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 0 ≀ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§))) β†’ dom (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))) = (𝐴(,)𝐡))
8962, 63, 67, 88dvivth 25527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 0 ≀ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§))) β†’ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)))β€˜π‘¦)[,]((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)))β€˜π‘§)) βŠ† ran (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))))
9085ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 0 ≀ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§))) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))) = (ℝ D 𝐹))
9190fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 0 ≀ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§))) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)))β€˜π‘¦) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦))
9290fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 0 ≀ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§))) β†’ ((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)))β€˜π‘§) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§))
9391, 92oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 0 ≀ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§))) β†’ (((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)))β€˜π‘¦)[,]((ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡)))β€˜π‘§)) = (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§)))
9490rneqd 5938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 0 ≀ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§))) β†’ ran (ℝ D (𝐹 β†Ύ (𝐴(,)𝐡))) = ran (ℝ D 𝐹))
9589, 93, 943sstr3d 4029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 0 ≀ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§))) β†’ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§)) βŠ† ran (ℝ D 𝐹))
9618a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 0 ≀ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§))) β†’ 0 ∈ ℝ)
97 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 0 ≀ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§))) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ (-∞(,)0))
98 elioomnf 13421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (0 ∈ ℝ* β†’ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ (-∞(,)0) ↔ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) < 0)))
9921, 98ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ (-∞(,)0) ↔ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) < 0))
10097, 99sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 0 ≀ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§))) β†’ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) < 0))
101100simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 0 ≀ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§))) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) < 0)
102100simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 0 ≀ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§))) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
103 ltle 11302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) < 0 β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ≀ 0))
104102, 18, 103sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 0 ≀ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§))) β†’ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) < 0 β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ≀ 0))
105101, 104mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 0 ≀ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§))) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ≀ 0)
106 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 0 ≀ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§))) β†’ 0 ≀ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§))
10763, 60syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 0 ≀ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§))) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) ∈ ℝ)
108 elicc2 13389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) ∈ ℝ) β†’ (0 ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§)) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ≀ 0 ∧ 0 ≀ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§))))
109102, 107, 108syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 0 ≀ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§))) β†’ (0 ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§)) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ≀ 0 ∧ 0 ≀ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§))))
11096, 105, 106, 109mpbir3and 1343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 0 ≀ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§))) β†’ 0 ∈ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)[,]((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§)))
11195, 110sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ 0 ≀ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§))) β†’ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
112111expr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (0 ≀ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) β†’ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹)))
11361, 112mtod 197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ Β¬ 0 ≀ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§))
114 ltnle 11293 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) < 0 ↔ Β¬ 0 ≀ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§)))
11560, 18, 114sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) < 0 ↔ Β¬ 0 ≀ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§)))
116113, 115mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) < 0)
117 elioomnf 13421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 ∈ ℝ* β†’ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) ∈ (-∞(,)0) ↔ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) < 0)))
11821, 117ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) ∈ (-∞(,)0) ↔ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) < 0))
11960, 116, 118sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ (-∞(,)0))) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) ∈ (-∞(,)0))
120119ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ (-∞(,)0))) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) ∈ (-∞(,)0))
121 ffnfv 7118 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐡)⟢(-∞(,)0) ↔ ((ℝ D 𝐹) Fn (𝐴(,)𝐡) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) ∈ (-∞(,)0)))
12258, 120, 121sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ (-∞(,)0))) β†’ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐡)⟢(-∞(,)0))
12355, 56, 57, 122dvlt0 25522 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ (-∞(,)0))) β†’ 𝐹 Isom < , β—‘ < ((𝐴[,]𝐡), ran 𝐹))
124123olcd 873 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ (-∞(,)0))) β†’ (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐡), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , β—‘ < ((𝐴[,]𝐡), ran 𝐹)))
125124expr 458 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ (-∞(,)0) β†’ (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐡), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , β—‘ < ((𝐴[,]𝐡), ran 𝐹))))
126 eleq1 2822 . . . . . . . . . . 11 (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) = π‘₯ β†’ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ (-∞(,)0) ↔ π‘₯ ∈ (-∞(,)0)))
127126imbi1d 342 . . . . . . . . . 10 (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) = π‘₯ β†’ ((((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ (-∞(,)0) β†’ (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐡), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , β—‘ < ((𝐴[,]𝐡), ran 𝐹))) ↔ (π‘₯ ∈ (-∞(,)0) β†’ (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐡), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , β—‘ < ((𝐴[,]𝐡), ran 𝐹)))))
128125, 127syl5ibcom 244 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) = π‘₯ β†’ (π‘₯ ∈ (-∞(,)0) β†’ (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐡), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , β—‘ < ((𝐴[,]𝐡), ran 𝐹)))))
129128rexlimdva 3156 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) = π‘₯ β†’ (π‘₯ ∈ (-∞(,)0) β†’ (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐡), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , β—‘ < ((𝐴[,]𝐡), ran 𝐹)))))
13054, 129sylbid 239 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ran (ℝ D 𝐹) β†’ (π‘₯ ∈ (-∞(,)0) β†’ (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐡), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , β—‘ < ((𝐴[,]𝐡), ran 𝐹)))))
131130impd 412 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ran (ℝ D 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ (-∞(,)0)) β†’ (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐡), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , β—‘ < ((𝐴[,]𝐡), ran 𝐹))))
13252, 131biimtrid 241 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (ran (ℝ D 𝐹) ∩ (-∞(,)0)) β†’ (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐡), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , β—‘ < ((𝐴[,]𝐡), ran 𝐹))))
133132exlimdv 1937 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ (ran (ℝ D 𝐹) ∩ (-∞(,)0)) β†’ (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐡), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , β—‘ < ((𝐴[,]𝐡), ran 𝐹))))
13451, 133biimtrid 241 . . 3 (πœ‘ β†’ ((ran (ℝ D 𝐹) ∩ (-∞(,)0)) β‰  βˆ… β†’ (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐡), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , β—‘ < ((𝐴[,]𝐡), ran 𝐹))))
135134imp 408 . 2 ((πœ‘ ∧ (ran (ℝ D 𝐹) ∩ (-∞(,)0)) β‰  βˆ…) β†’ (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐡), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , β—‘ < ((𝐴[,]𝐡), ran 𝐹)))
13650, 135pm2.61dane 3030 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐡), ran 𝐹) ∨ 𝐹 Isom < , β—‘ < ((𝐴[,]𝐡), ran 𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323   class class class wbr 5149  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544   Isom wiso 6545  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  -∞cmnf 11246  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  β„+crp 12974  (,)cioo 13324  [,]cicc 13327  TopOpenctopn 17367  topGenctg 17383  β„‚fldccnfld 20944  Topctop 22395  intcnt 22521  β€“cnβ†’ccncf 24392   D cdv 25380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384
This theorem is referenced by:  dvne0f1  25529  dvcnvrelem1  25534
  Copyright terms: Public domain W3C validator