Theorem rpnnen3 43341

Description: Dedekind cut injection of ℝ into 𝒫 ℚ. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rpnnen3	⊢ ℝ ≼ 𝒫 ℚ

Proof of Theorem rpnnen3

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qex 12878	. . 3 ⊢ ℚ ∈ V
2	1	pwex 5326	. 2 ⊢ 𝒫 ℚ ∈ V
3		ssrab2 4033	. . . . 5 ⊢ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ⊆ ℚ
4	1	elpw2 5280	. . . . 5 ⊢ ({𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ∈ 𝒫 ℚ ↔ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ⊆ ℚ)
5	3, 4	mpbir 231	. . . 4 ⊢ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ∈ 𝒫 ℚ
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ∈ 𝒫 ℚ)
7		lttri2 11219	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎)))
8		rpnnen3lem 43340	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 𝑏) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏})
9		rpnnen3lem 43340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 < 𝑎) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎})
10	9	ancom1s 654	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 < 𝑎) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎})
11	10	necomd 2988	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 < 𝑎) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏})
12	8, 11	jaodan 960	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎)) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏})
13	12	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏}))
14	7, 13	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎 ≠ 𝑏 → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏}))
15	14	necon4d 2957	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ({𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} = {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏} → 𝑎 = 𝑏))
16		breq2 5103	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑐 < 𝑎 ↔ 𝑐 < 𝑏))
17	16	rabbidv 3407	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} = {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏})
18	15, 17	impbid1 225	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ({𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} = {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏} ↔ 𝑎 = 𝑏))
19	6, 18	dom2 8936	. 2 ⊢ (𝒫 ℚ ∈ V → ℝ ≼ 𝒫 ℚ)
20	2, 19	ax-mp 5	1 ⊢ ℝ ≼ 𝒫 ℚ

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {crab 3400  Vcvv 3441   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4555   class class class wbr 5099   ≼ cdom 8885  ℝcr 11029   < clt 11170  ℚcq 12865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-q 12866

This theorem is referenced by: (None)