Theorem rpnnen3 41105

Description: Dedekind cut injection of ℝ into 𝒫 ℚ. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rpnnen3	⊢ ℝ ≼ 𝒫 ℚ

Proof of Theorem rpnnen3

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qex 12794	. . 3 ⊢ ℚ ∈ V
2	1	pwex 5320	. 2 ⊢ 𝒫 ℚ ∈ V
3		ssrab2 4024	. . . . 5 ⊢ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ⊆ ℚ
4	1	elpw2 5286	. . . . 5 ⊢ ({𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ∈ 𝒫 ℚ ↔ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ⊆ ℚ)
5	3, 4	mpbir 230	. . . 4 ⊢ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ∈ 𝒫 ℚ
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ∈ 𝒫 ℚ)
7		lttri2 11150	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎)))
8		rpnnen3lem 41104	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 𝑏) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏})
9		rpnnen3lem 41104	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 < 𝑎) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎})
10	9	ancom1s 650	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 < 𝑎) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎})
11	10	necomd 2996	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 < 𝑎) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏})
12	8, 11	jaodan 955	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎)) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏})
13	12	ex 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏}))
14	7, 13	sylbid 239	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎 ≠ 𝑏 → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏}))
15	14	necon4d 2964	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ({𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} = {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏} → 𝑎 = 𝑏))
16		breq2 5093	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑐 < 𝑎 ↔ 𝑐 < 𝑏))
17	16	rabbidv 3411	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} = {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏})
18	15, 17	impbid1 224	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ({𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} = {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏} ↔ 𝑎 = 𝑏))
19	6, 18	dom2 8848	. 2 ⊢ (𝒫 ℚ ∈ V → ℝ ≼ 𝒫 ℚ)
20	2, 19	ax-mp 5	1 ⊢ ℝ ≼ 𝒫 ℚ

Syntax hints:   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940  {crab 3403  Vcvv 3441   ⊆ wss 3897  𝒫 cpw 4546   class class class wbr 5089   ≼ cdom 8794  ℝcr 10963   < clt 11102  ℚcq 12781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041  ax-pre-sup 11042

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-er 8561  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-sup 9291  df-inf 9292  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-div 11726  df-nn 12067  df-n0 12327  df-z 12413  df-uz 12676  df-q 12782

This theorem is referenced by: (None)