Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rpnnen3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen3 41385
Description: Dedekind cut injection of into 𝒫 ℚ. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
rpnnen3 ℝ ≼ 𝒫 ℚ

Proof of Theorem rpnnen3
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qex 12893 . . 3 ℚ ∈ V
21pwex 5340 . 2 𝒫 ℚ ∈ V
3 ssrab2 4042 . . . . 5 {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ⊆ ℚ
41elpw2 5307 . . . . 5 ({𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ∈ 𝒫 ℚ ↔ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ⊆ ℚ)
53, 4mpbir 230 . . . 4 {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ∈ 𝒫 ℚ
65a1i 11 . . 3 (𝑎 ∈ ℝ → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ∈ 𝒫 ℚ)
7 lttri2 11244 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎𝑏 ↔ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑎)))
8 rpnnen3lem 41384 . . . . . . . 8 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 𝑏) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏})
9 rpnnen3lem 41384 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 < 𝑎) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎})
109ancom1s 652 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 < 𝑎) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎})
1110necomd 3000 . . . . . . . 8 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 < 𝑎) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏})
128, 11jaodan 957 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑎)) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏})
1312ex 414 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑎) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏}))
147, 13sylbid 239 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎𝑏 → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏}))
1514necon4d 2968 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ({𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} = {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏} → 𝑎 = 𝑏))
16 breq2 5114 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (𝑐 < 𝑎𝑐 < 𝑏))
1716rabbidv 3418 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} = {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏})
1815, 17impbid1 224 . . 3 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ({𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} = {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏} ↔ 𝑎 = 𝑏))
196, 18dom2 8942 . 2 (𝒫 ℚ ∈ V → ℝ ≼ 𝒫 ℚ)
202, 19ax-mp 5 1 ℝ ≼ 𝒫 ℚ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  {crab 3410  Vcvv 3448  wss 3915  𝒫 cpw 4565   class class class wbr 5110  cdom 8888  cr 11057   < clt 11196  cq 12880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator