Theorem rpnnen3 43787

Description: Dedekind cut injection of ℝ into 𝒫 ℚ. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rpnnen3	⊢ ℝ ≼ 𝒫 ℚ

Proof of Theorem rpnnen3

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qex 12989	. . 3 ⊢ ℚ ∈ V
2	1	pwex 5351	. 2 ⊢ 𝒫 ℚ ∈ V
3		ssrab2 4034	. . . . 5 ⊢ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ⊆ ℚ
4	1	elpw2 5305	. . . . 5 ⊢ ({𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ∈ 𝒫 ℚ ↔ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ⊆ ℚ)
5	3, 4	mpbir 234	. . . 4 ⊢ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ∈ 𝒫 ℚ
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ∈ 𝒫 ℚ)
7		lttri2 11296	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎)))
8		rpnnen3lem 43786	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 𝑏) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏})
9		rpnnen3lem 43786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 < 𝑎) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎})
10	9	ancom1s 665	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 < 𝑎) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎})
11	10	necomd 3013	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 < 𝑎) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏})
12	8, 11	jaodan 972	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎)) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏})
13	12	ex 417	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑏 < 𝑎) → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏}))
14	7, 13	sylbid 243	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎 ≠ 𝑏 → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} ≠ {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏}))
15	14	necon4d 2982	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ({𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} = {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏} → 𝑎 = 𝑏))
16		breq2 5113	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑐 < 𝑎 ↔ 𝑐 < 𝑏))
17	16	rabbidv 3423	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} = {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏})
18	15, 17	impbid1 228	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ({𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑎} = {𝑐 ∈ ℚ ∣ 𝑐 < 𝑏} ↔ 𝑎 = 𝑏))
19	6, 18	dom2 8988	. 2 ⊢ (𝒫 ℚ ∈ V → ℝ ≼ 𝒫 ℚ)
20	2, 19	ax-mp 5	1 ⊢ ℝ ≼ 𝒫 ℚ

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  {crab 3416  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905  𝒫 cpw 4562   class class class wbr 5109   ≼ cdom 8937  ℝcr 11103   < clt 11247  ℚcq 12976

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-q 12977

This theorem is used by: (None)