MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atanlogsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atanlogsub 26410
Description: A variation on atanlogadd 26408, to show that โˆš(1 + i๐‘ง) / โˆš(1 โˆ’ i๐‘ง) = โˆš((1 + i๐‘ง) / (1 โˆ’ i๐‘ง)) under more limited conditions. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
atanlogsub ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โ‰  0) โ†’ ((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆ’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ ran log)

Proof of Theorem atanlogsub
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 11164 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„‚
2 ax-icn 11165 . . . . . . 7 i โˆˆ โ„‚
3 atandm2 26371 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โ‰  0 โˆง (1 + (i ยท ๐ด)) โ‰  0))
43simp1bi 1145 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5 mulcl 11190 . . . . . . 7 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
62, 4, 5sylancr 587 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
7 addcl 11188 . . . . . 6 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
81, 6, 7sylancr 587 . . . . 5 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (1 + (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
93simp3bi 1147 . . . . 5 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (1 + (i ยท ๐ด)) โ‰  0)
108, 9logcld 26070 . . . 4 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆˆ โ„‚)
11 subcl 11455 . . . . . 6 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
121, 6, 11sylancr 587 . . . . 5 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
133simp2bi 1146 . . . . 5 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)) โ‰  0)
1412, 13logcld 26070 . . . 4 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) โˆˆ โ„‚)
1510, 14subcld 11567 . . 3 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ ((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆ’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ โ„‚)
1615adantr 481 . 2 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โ‰  0) โ†’ ((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆ’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ โ„‚)
174recld 15137 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
18 0re 11212 . . . . . . 7 0 โˆˆ โ„
19 lttri2 11292 . . . . . . 7 (((โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) โ‰  0 โ†” ((โ„œโ€˜๐ด) < 0 โˆจ 0 < (โ„œโ€˜๐ด))))
2017, 18, 19sylancl 586 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) โ‰  0 โ†” ((โ„œโ€˜๐ด) < 0 โˆจ 0 < (โ„œโ€˜๐ด))))
2120biimpa 477 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โ‰  0) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) < 0 โˆจ 0 < (โ„œโ€˜๐ด)))
2215imnegd 15153 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (โ„‘โ€˜-((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆ’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) = -(โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆ’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))))
2310, 14negsubdi2d 11583 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ -((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆ’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) = ((logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) โˆ’ (logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))))
24 mulneg2 11647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท -๐ด) = -(i ยท ๐ด))
252, 4, 24sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (i ยท -๐ด) = -(i ยท ๐ด))
2625oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (1 + (i ยท -๐ด)) = (1 + -(i ยท ๐ด)))
27 negsub 11504 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + -(i ยท ๐ด)) = (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))
281, 6, 27sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (1 + -(i ยท ๐ด)) = (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))
2926, 28eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (1 + (i ยท -๐ด)) = (1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))
3029fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (logโ€˜(1 + (i ยท -๐ด))) = (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))
3125oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (1 โˆ’ (i ยท -๐ด)) = (1 โˆ’ -(i ยท ๐ด)))
32 subneg 11505 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ -(i ยท ๐ด)) = (1 + (i ยท ๐ด)))
331, 6, 32sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (1 โˆ’ -(i ยท ๐ด)) = (1 + (i ยท ๐ด)))
3431, 33eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (1 โˆ’ (i ยท -๐ด)) = (1 + (i ยท ๐ด)))
3534fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท -๐ด))) = (logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))))
3630, 35oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ ((logโ€˜(1 + (i ยท -๐ด))) โˆ’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท -๐ด)))) = ((logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))) โˆ’ (logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด)))))
3723, 36eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ -((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆ’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) = ((logโ€˜(1 + (i ยท -๐ด))) โˆ’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท -๐ด)))))
3837fveq2d 6892 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ (โ„‘โ€˜-((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆ’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) = (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 + (i ยท -๐ด))) โˆ’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท -๐ด))))))
3922, 38eqtr3d 2774 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ -(โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆ’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) = (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 + (i ยท -๐ด))) โˆ’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท -๐ด))))))
4039adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง (โ„œโ€˜๐ด) < 0) โ†’ -(โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆ’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) = (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 + (i ยท -๐ด))) โˆ’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท -๐ด))))))
41 atandmneg 26400 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ -๐ด โˆˆ dom arctan)
4217lt0neg1d 11779 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ dom arctan โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) < 0 โ†” 0 < -(โ„œโ€˜๐ด)))
4342biimpa 477 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง (โ„œโ€˜๐ด) < 0) โ†’ 0 < -(โ„œโ€˜๐ด))
444adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง (โ„œโ€˜๐ด) < 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4544renegd 15152 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง (โ„œโ€˜๐ด) < 0) โ†’ (โ„œโ€˜-๐ด) = -(โ„œโ€˜๐ด))
4643, 45breqtrrd 5175 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง (โ„œโ€˜๐ด) < 0) โ†’ 0 < (โ„œโ€˜-๐ด))
47 atanlogsublem 26409 . . . . . . . . . 10 ((-๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜-๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 + (i ยท -๐ด))) โˆ’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท -๐ด))))) โˆˆ (-ฯ€(,)ฯ€))
4841, 46, 47syl2an2r 683 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง (โ„œโ€˜๐ด) < 0) โ†’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 + (i ยท -๐ด))) โˆ’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท -๐ด))))) โˆˆ (-ฯ€(,)ฯ€))
49 picn 25960 . . . . . . . . . . 11 ฯ€ โˆˆ โ„‚
5049negnegi 11526 . . . . . . . . . 10 --ฯ€ = ฯ€
5150oveq2i 7416 . . . . . . . . 9 (-ฯ€(,)--ฯ€) = (-ฯ€(,)ฯ€)
5248, 51eleqtrrdi 2844 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง (โ„œโ€˜๐ด) < 0) โ†’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 + (i ยท -๐ด))) โˆ’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท -๐ด))))) โˆˆ (-ฯ€(,)--ฯ€))
5340, 52eqeltrd 2833 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง (โ„œโ€˜๐ด) < 0) โ†’ -(โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆ’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) โˆˆ (-ฯ€(,)--ฯ€))
54 pire 25959 . . . . . . . . 9 ฯ€ โˆˆ โ„
5554renegcli 11517 . . . . . . . 8 -ฯ€ โˆˆ โ„
5615adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง (โ„œโ€˜๐ด) < 0) โ†’ ((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆ’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ โ„‚)
5756imcld 15138 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง (โ„œโ€˜๐ด) < 0) โ†’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆ’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) โˆˆ โ„)
58 iooneg 13444 . . . . . . . 8 ((-ฯ€ โˆˆ โ„ โˆง ฯ€ โˆˆ โ„ โˆง (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆ’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) โˆˆ โ„) โ†’ ((โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆ’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) โˆˆ (-ฯ€(,)ฯ€) โ†” -(โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆ’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) โˆˆ (-ฯ€(,)--ฯ€)))
5955, 54, 57, 58mp3an12i 1465 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง (โ„œโ€˜๐ด) < 0) โ†’ ((โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆ’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) โˆˆ (-ฯ€(,)ฯ€) โ†” -(โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆ’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) โˆˆ (-ฯ€(,)--ฯ€)))
6053, 59mpbird 256 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง (โ„œโ€˜๐ด) < 0) โ†’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆ’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) โˆˆ (-ฯ€(,)ฯ€))
61 atanlogsublem 26409 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง 0 < (โ„œโ€˜๐ด)) โ†’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆ’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) โˆˆ (-ฯ€(,)ฯ€))
6260, 61jaodan 956 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง ((โ„œโ€˜๐ด) < 0 โˆจ 0 < (โ„œโ€˜๐ด))) โ†’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆ’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) โˆˆ (-ฯ€(,)ฯ€))
6321, 62syldan 591 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โ‰  0) โ†’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆ’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) โˆˆ (-ฯ€(,)ฯ€))
64 eliooord 13379 . . . 4 ((โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆ’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) โˆˆ (-ฯ€(,)ฯ€) โ†’ (-ฯ€ < (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆ’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) โˆง (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆ’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) < ฯ€))
6563, 64syl 17 . . 3 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โ‰  0) โ†’ (-ฯ€ < (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆ’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) โˆง (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆ’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) < ฯ€))
6665simpld 495 . 2 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โ‰  0) โ†’ -ฯ€ < (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆ’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))))
6765simprd 496 . . 3 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โ‰  0) โ†’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆ’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) < ฯ€)
6816imcld 15138 . . . 4 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โ‰  0) โ†’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆ’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) โˆˆ โ„)
69 ltle 11298 . . . 4 (((โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆ’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) โˆˆ โ„ โˆง ฯ€ โˆˆ โ„) โ†’ ((โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆ’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) < ฯ€ โ†’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆ’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) โ‰ค ฯ€))
7068, 54, 69sylancl 586 . . 3 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โ‰  0) โ†’ ((โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆ’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) < ฯ€ โ†’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆ’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) โ‰ค ฯ€))
7167, 70mpd 15 . 2 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โ‰  0) โ†’ (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆ’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) โ‰ค ฯ€)
72 ellogrn 26059 . 2 (((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆ’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ ran log โ†” (((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆ’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ โ„‚ โˆง -ฯ€ < (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆ’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) โˆง (โ„‘โ€˜((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆ’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด))))) โ‰ค ฯ€))
7316, 66, 71, 72syl3anbrc 1343 1 ((๐ด โˆˆ dom arctan โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โ‰  0) โ†’ ((logโ€˜(1 + (i ยท ๐ด))) โˆ’ (logโ€˜(1 โˆ’ (i ยท ๐ด)))) โˆˆ ran log)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  ran crn 5676  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11104  โ„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107  ici 11108   + caddc 11109   ยท cmul 11111   < clt 11244   โ‰ค cle 11245   โˆ’ cmin 11440  -cneg 11441  (,)cioo 13320  โ„œcre 15040  โ„‘cim 15041  ฯ€cpi 16006  logclog 26054  arctancatan 26358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-tan 16011  df-pi 16012  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375  df-log 26056  df-atan 26361
This theorem is referenced by:  atantan  26417
  Copyright terms: Public domain W3C validator