MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atanlogsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atanlogsub 24934
Description: A variation on atanlogadd 24932, to show that √(1 + i𝑧) / √(1 − i𝑧) = √((1 + i𝑧) / (1 − i𝑧)) under more limited conditions. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
atanlogsub ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)

Proof of Theorem atanlogsub
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 10247 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
2 ax-icn 10248 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
3 atandm2 24895 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
43simp1bi 1175 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ∈ ℂ)
5 mulcl 10273 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
62, 4, 5sylancr 581 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
7 addcl 10271 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
81, 6, 7sylancr 581 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
93simp3bi 1177 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)
108, 9logcld 24608 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
11 subcl 10534 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
121, 6, 11sylancr 581 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
133simp2bi 1176 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0)
1412, 13logcld 24608 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
1510, 14subcld 10646 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
1615adantr 472 . 2 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
174recld 14221 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
18 0re 10295 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
19 lttri2 10374 . . . . . . 7 (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((ℜ‘𝐴) ≠ 0 ↔ ((ℜ‘𝐴) < 0 ∨ 0 < (ℜ‘𝐴))))
2017, 18, 19sylancl 580 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → ((ℜ‘𝐴) ≠ 0 ↔ ((ℜ‘𝐴) < 0 ∨ 0 < (ℜ‘𝐴))))
2120biimpa 468 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℜ‘𝐴) < 0 ∨ 0 < (ℜ‘𝐴)))
2215imnegd 14237 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom arctan → (ℑ‘-((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = -(ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
2310, 14negsubdi2d 10662 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom arctan → -((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
24 mulneg2 10721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
252, 4, 24sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ dom arctan → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
2625oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · -𝐴)) = (1 + -(i · 𝐴)))
27 negsub 10583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + -(i · 𝐴)) = (1 − (i · 𝐴)))
281, 6, 27sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + -(i · 𝐴)) = (1 − (i · 𝐴)))
2926, 28eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · -𝐴)) = (1 − (i · 𝐴)))
3029fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 + (i · -𝐴))) = (log‘(1 − (i · 𝐴))))
3125oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · -𝐴)) = (1 − -(i · 𝐴)))
32 subneg 10584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − -(i · 𝐴)) = (1 + (i · 𝐴)))
331, 6, 32sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − -(i · 𝐴)) = (1 + (i · 𝐴)))
3431, 33eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · -𝐴)) = (1 + (i · 𝐴)))
3534fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 − (i · -𝐴))) = (log‘(1 + (i · 𝐴))))
3630, 35oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · -𝐴))) − (log‘(1 − (i · -𝐴)))) = ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
3723, 36eqtr4d 2802 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom arctan → -((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 + (i · -𝐴))) − (log‘(1 − (i · -𝐴)))))
3837fveq2d 6379 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom arctan → (ℑ‘-((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (ℑ‘((log‘(1 + (i · -𝐴))) − (log‘(1 − (i · -𝐴))))))
3922, 38eqtr3d 2801 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan → -(ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (ℑ‘((log‘(1 + (i · -𝐴))) − (log‘(1 − (i · -𝐴))))))
4039adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → -(ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (ℑ‘((log‘(1 + (i · -𝐴))) − (log‘(1 − (i · -𝐴))))))
41 atandmneg 24924 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom arctan → -𝐴 ∈ dom arctan)
4241adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → -𝐴 ∈ dom arctan)
4317lt0neg1d 10851 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom arctan → ((ℜ‘𝐴) < 0 ↔ 0 < -(ℜ‘𝐴)))
4443biimpa 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → 0 < -(ℜ‘𝐴))
454adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
4645renegd 14236 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → (ℜ‘-𝐴) = -(ℜ‘𝐴))
4744, 46breqtrrd 4837 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → 0 < (ℜ‘-𝐴))
48 atanlogsublem 24933 . . . . . . . . . 10 ((-𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘-𝐴)) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · -𝐴))) − (log‘(1 − (i · -𝐴))))) ∈ (-π(,)π))
4942, 47, 48syl2anc 579 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · -𝐴))) − (log‘(1 − (i · -𝐴))))) ∈ (-π(,)π))
50 picn 24503 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℂ
5150negnegi 10605 . . . . . . . . . 10 --π = π
5251oveq2i 6853 . . . . . . . . 9 (-π(,)--π) = (-π(,)π)
5349, 52syl6eleqr 2855 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · -𝐴))) − (log‘(1 − (i · -𝐴))))) ∈ (-π(,)--π))
5440, 53eqeltrd 2844 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → -(ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∈ (-π(,)--π))
55 pire 24502 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℝ
5655renegcli 10596 . . . . . . . . 9 -π ∈ ℝ
5756a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → -π ∈ ℝ)
5855a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → π ∈ ℝ)
5915adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
6059imcld 14222 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∈ ℝ)
61 iooneg 12497 . . . . . . . 8 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∈ ℝ) → ((ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∈ (-π(,)π) ↔ -(ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∈ (-π(,)--π)))
6257, 58, 60, 61syl3anc 1490 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∈ (-π(,)π) ↔ -(ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∈ (-π(,)--π)))
6354, 62mpbird 248 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∈ (-π(,)π))
64 atanlogsublem 24933 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∈ (-π(,)π))
6563, 64jaodan 980 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ ((ℜ‘𝐴) < 0 ∨ 0 < (ℜ‘𝐴))) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∈ (-π(,)π))
6621, 65syldan 585 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∈ (-π(,)π))
67 eliooord 12435 . . . 4 ((ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∈ (-π(,)π) → (-π < (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∧ (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) < π))
6866, 67syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (-π < (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∧ (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) < π))
6968simpld 488 . 2 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → -π < (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
7068simprd 489 . . 3 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) < π)
7116imcld 14222 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∈ ℝ)
72 ltle 10380 . . . 4 (((ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) < π → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ≤ π))
7371, 55, 72sylancl 580 . . 3 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) < π → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ≤ π))
7470, 73mpd 15 . 2 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ≤ π)
75 ellogrn 24597 . 2 (((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log ↔ (((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∧ (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ≤ π))
7616, 69, 74, 75syl3anbrc 1443 1 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937   class class class wbr 4809  dom cdm 5277  ran crn 5278  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190  ici 10191   + caddc 10192   · cmul 10194   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520  -cneg 10521  (,)cioo 12377  cre 14124  cim 14125  πcpi 15081  logclog 24592  arctancatan 24882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ioc 12382  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14094  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-limsup 14489  df-clim 14506  df-rlim 14507  df-sum 14704  df-ef 15082  df-sin 15084  df-cos 15085  df-tan 15086  df-pi 15087  df-struct 16134  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-ress 16140  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-starv 16231  df-sca 16232  df-vsca 16233  df-ip 16234  df-tset 16235  df-ple 16236  df-ds 16238  df-unif 16239  df-hom 16240  df-cco 16241  df-rest 16351  df-topn 16352  df-0g 16370  df-gsum 16371  df-topgen 16372  df-pt 16373  df-prds 16376  df-xrs 16430  df-qtop 16435  df-imas 16436  df-xps 16438  df-mre 16514  df-mrc 16515  df-acs 16517  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-submnd 17604  df-mulg 17810  df-cntz 18015  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220  df-perf 21221  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-haus 21399  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cncf 22960  df-limc 23921  df-dv 23922  df-log 24594  df-atan 24885
This theorem is referenced by:  atantan  24941
  Copyright terms: Public domain W3C validator