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Theorem fmul01lt1lem1 43815
Description: Given a finite multiplication of values betweeen 0 and 1, a value larger than its first element is larger the whole multiplication. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmul01lt1lem1.1 𝑖𝐵
fmul01lt1lem1.2 𝑖𝜑
fmul01lt1lem1.3 𝐴 = seq𝐿( · , 𝐵)
fmul01lt1lem1.4 (𝜑𝐿 ∈ ℤ)
fmul01lt1lem1.5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝐿))
fmul01lt1lem1.6 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
fmul01lt1lem1.7 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝑖))
fmul01lt1lem1.8 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ≤ 1)
fmul01lt1lem1.9 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
fmul01lt1lem1.10 (𝜑 → (𝐵𝐿) < 𝐸)
Assertion
Ref Expression
fmul01lt1lem1 (𝜑 → (𝐴𝑀) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑖,𝐿   𝑖,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐴(𝑖)   𝐵(𝑖)   𝐸(𝑖)

Proof of Theorem fmul01lt1lem1
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝑀 = 𝐿) → 𝑀 = 𝐿)
21fveq2d 6846 . . . 4 ((𝜑𝑀 = 𝐿) → (𝐴𝑀) = (𝐴𝐿))
3 fmul01lt1lem1.3 . . . . . 6 𝐴 = seq𝐿( · , 𝐵)
43a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑀 = 𝐿) → 𝐴 = seq𝐿( · , 𝐵))
54fveq1d 6844 . . . 4 ((𝜑𝑀 = 𝐿) → (𝐴𝐿) = (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿))
6 fmul01lt1lem1.4 . . . . . 6 (𝜑𝐿 ∈ ℤ)
7 seq1 13919 . . . . . 6 (𝐿 ∈ ℤ → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿) = (𝐵𝐿))
86, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿) = (𝐵𝐿))
98adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑀 = 𝐿) → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿) = (𝐵𝐿))
102, 5, 93eqtrd 2780 . . 3 ((𝜑𝑀 = 𝐿) → (𝐴𝑀) = (𝐵𝐿))
11 fmul01lt1lem1.10 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐿) < 𝐸)
1211adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑀 = 𝐿) → (𝐵𝐿) < 𝐸)
1310, 12eqbrtrd 5127 . 2 ((𝜑𝑀 = 𝐿) → (𝐴𝑀) < 𝐸)
14 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐿) → ¬ 𝑀 = 𝐿)
1514neqned 2950 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐿) → 𝑀𝐿)
166zred 12607 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
17 fmul01lt1lem1.5 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝐿))
18 eluzelz 12773 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (ℤ𝐿) → 𝑀 ∈ ℤ)
1917, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2019zred 12607 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
21 eluzle 12776 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (ℤ𝐿) → 𝐿𝑀)
2217, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐿𝑀)
2316, 20, 223jca 1128 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿𝑀))
2423adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐿) → (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿𝑀))
25 leltne 11244 . . . . 5 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿𝑀) → (𝐿 < 𝑀𝑀𝐿))
2624, 25syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐿) → (𝐿 < 𝑀𝑀𝐿))
2715, 26mpbird 256 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐿) → 𝐿 < 𝑀)
283fveq1i 6843 . . . 4 (𝐴𝑀) = (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝑀)
29 remulcl 11136 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑗 · 𝑘) ∈ ℝ)
3029adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → (𝑗 · 𝑘) ∈ ℝ)
31 recn 11141 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℝ → 𝑗 ∈ ℂ)
32313ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → 𝑗 ∈ ℂ)
33 recn 11141 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 ∈ ℂ)
34333ad2ant2 1134 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ ℂ)
35 recn 11141 . . . . . . . . 9 (𝑙 ∈ ℝ → 𝑙 ∈ ℂ)
36353ad2ant3 1135 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → 𝑙 ∈ ℂ)
3732, 34, 36mulassd 11178 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → ((𝑗 · 𝑘) · 𝑙) = (𝑗 · (𝑘 · 𝑙)))
3837adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ)) → ((𝑗 · 𝑘) · 𝑙) = (𝑗 · (𝑘 · 𝑙)))
39 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → 𝐿 < 𝑀)
4039olcd 872 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (𝑀 < 𝐿𝐿 < 𝑀))
4120, 16jca 512 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
4241adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
43 lttri2 11237 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑀𝐿 ↔ (𝑀 < 𝐿𝐿 < 𝑀)))
4442, 43syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (𝑀𝐿 ↔ (𝑀 < 𝐿𝐿 < 𝑀)))
4540, 44mpbird 256 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → 𝑀𝐿)
4645neneqd 2948 . . . . . . 7 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → ¬ 𝑀 = 𝐿)
47 uzp1 12804 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (ℤ𝐿) → (𝑀 = 𝐿𝑀 ∈ (ℤ‘(𝐿 + 1))))
4817, 47syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 = 𝐿𝑀 ∈ (ℤ‘(𝐿 + 1))))
4948adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (𝑀 = 𝐿𝑀 ∈ (ℤ‘(𝐿 + 1))))
5049ord 862 . . . . . . 7 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (¬ 𝑀 = 𝐿𝑀 ∈ (ℤ‘(𝐿 + 1))))
5146, 50mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ‘(𝐿 + 1)))
526adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → 𝐿 ∈ ℤ)
53 uzid 12778 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ (ℤ𝐿))
5452, 53syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → 𝐿 ∈ (ℤ𝐿))
55 fmul01lt1lem1.2 . . . . . . . . . 10 𝑖𝜑
56 nfv 1917 . . . . . . . . . 10 𝑖 𝑗 ∈ (𝐿...𝑀)
5755, 56nfan 1902 . . . . . . . . 9 𝑖(𝜑𝑗 ∈ (𝐿...𝑀))
58 fmul01lt1lem1.1 . . . . . . . . . . 11 𝑖𝐵
59 nfcv 2907 . . . . . . . . . . 11 𝑖𝑗
6058, 59nffv 6852 . . . . . . . . . 10 𝑖(𝐵𝑗)
6160nfel1 2923 . . . . . . . . 9 𝑖(𝐵𝑗) ∈ ℝ
6257, 61nfim 1899 . . . . . . . 8 𝑖((𝜑𝑗 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑗) ∈ ℝ)
63 eleq1 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 ∈ (𝐿...𝑀) ↔ 𝑗 ∈ (𝐿...𝑀)))
6463anbi2d 629 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) ↔ (𝜑𝑗 ∈ (𝐿...𝑀))))
65 fveq2 6842 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → (𝐵𝑖) = (𝐵𝑗))
6665eleq1d 2822 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → ((𝐵𝑖) ∈ ℝ ↔ (𝐵𝑗) ∈ ℝ))
6764, 66imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 → (((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑗 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑗) ∈ ℝ)))
68 fmul01lt1lem1.6 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
6962, 67, 68chvarfv 2233 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑗) ∈ ℝ)
7069adantlr 713 . . . . . 6 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑗) ∈ ℝ)
7130, 38, 51, 54, 70seqsplit 13941 . . . . 5 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝑀) = ((seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿) · (seq(𝐿 + 1)( · , 𝐵)‘𝑀)))
72 eluzfz1 13448 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (ℤ𝐿) → 𝐿 ∈ (𝐿...𝑀))
7317, 72syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐿 ∈ (𝐿...𝑀))
7473ancli 549 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝜑𝐿 ∈ (𝐿...𝑀)))
75 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . 13 𝑖 𝐿 ∈ (𝐿...𝑀)
7655, 75nfan 1902 . . . . . . . . . . . 12 𝑖(𝜑𝐿 ∈ (𝐿...𝑀))
77 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑖𝐿
7858, 77nffv 6852 . . . . . . . . . . . . 13 𝑖(𝐵𝐿)
7978nfel1 2923 . . . . . . . . . . . 12 𝑖(𝐵𝐿) ∈ ℝ
8076, 79nfim 1899 . . . . . . . . . . 11 𝑖((𝜑𝐿 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝐿) ∈ ℝ)
81 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝐿 → (𝑖 ∈ (𝐿...𝑀) ↔ 𝐿 ∈ (𝐿...𝑀)))
8281anbi2d 629 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝐿 → ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) ↔ (𝜑𝐿 ∈ (𝐿...𝑀))))
83 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝐿 → (𝐵𝑖) = (𝐵𝐿))
8483eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝐿 → ((𝐵𝑖) ∈ ℝ ↔ (𝐵𝐿) ∈ ℝ))
8582, 84imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝐿 → (((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝐿 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝐿) ∈ ℝ)))
8680, 85, 68vtoclg1f 3524 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ (𝐿...𝑀) → ((𝜑𝐿 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝐿) ∈ ℝ))
8773, 74, 86sylc 65 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝐿) ∈ ℝ)
888, 87eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 (𝜑 → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿) ∈ ℝ)
8988adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿) ∈ ℝ)
906adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝐿 ∈ ℤ)
9119adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
92 elfzelz 13441 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
9392adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝑗 ∈ ℤ)
9416adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝐿 ∈ ℝ)
95 peano2re 11328 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐿 ∈ ℝ → (𝐿 + 1) ∈ ℝ)
9616, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐿 + 1) ∈ ℝ)
9796adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → (𝐿 + 1) ∈ ℝ)
9892zred 12607 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
9998adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝑗 ∈ ℝ)
10016lep1d 12086 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐿 ≤ (𝐿 + 1))
101100adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝐿 ≤ (𝐿 + 1))
102 elfzle1 13444 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀) → (𝐿 + 1) ≤ 𝑗)
103102adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → (𝐿 + 1) ≤ 𝑗)
10494, 97, 99, 101, 103letrd 11312 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝐿𝑗)
105 elfzle2 13445 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀) → 𝑗𝑀)
106105adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝑗𝑀)
10790, 91, 93, 104, 106elfzd 13432 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝑗 ∈ (𝐿...𝑀))
108107, 69syldan 591 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → (𝐵𝑗) ∈ ℝ)
109108adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → (𝐵𝑗) ∈ ℝ)
11051, 109, 30seqcl 13928 . . . . . . 7 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (seq(𝐿 + 1)( · , 𝐵)‘𝑀) ∈ ℝ)
11189, 110remulcld 11185 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → ((seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿) · (seq(𝐿 + 1)( · , 𝐵)‘𝑀)) ∈ ℝ)
112 fmul01lt1lem1.9 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
113112rpred 12957 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
114113adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → 𝐸 ∈ ℝ)
115 1red 11156 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → 1 ∈ ℝ)
116 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑖0
117 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑖
118116, 117, 78nfbr 5152 . . . . . . . . . . . . 13 𝑖0 ≤ (𝐵𝐿)
11976, 118nfim 1899 . . . . . . . . . . . 12 𝑖((𝜑𝐿 ∈ (𝐿...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝐿))
12083breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝐿 → (0 ≤ (𝐵𝑖) ↔ 0 ≤ (𝐵𝐿)))
12182, 120imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝐿 → (((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝑖)) ↔ ((𝜑𝐿 ∈ (𝐿...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝐿))))
122 fmul01lt1lem1.7 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝑖))
123119, 121, 122vtoclg1f 3524 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 ∈ (𝐿...𝑀) → ((𝜑𝐿 ∈ (𝐿...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝐿)))
12473, 74, 123sylc 65 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ (𝐵𝐿))
125124, 8breqtrrd 5133 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿))
126125adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → 0 ≤ (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿))
127 nfv 1917 . . . . . . . . . . 11 𝑖 𝐿 < 𝑀
12855, 127nfan 1902 . . . . . . . . . 10 𝑖(𝜑𝐿 < 𝑀)
129 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 seq(𝐿 + 1)( · , 𝐵) = seq(𝐿 + 1)( · , 𝐵)
1306peano2zd 12610 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐿 + 1) ∈ ℤ)
131130adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (𝐿 + 1) ∈ ℤ)
13216adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → 𝐿 ∈ ℝ)
133132, 39gtned 11290 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → 𝑀𝐿)
134133neneqd 2948 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → ¬ 𝑀 = 𝐿)
13517adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ𝐿))
136135, 47syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (𝑀 = 𝐿𝑀 ∈ (ℤ‘(𝐿 + 1))))
137 orel1 887 . . . . . . . . . . 11 𝑀 = 𝐿 → ((𝑀 = 𝐿𝑀 ∈ (ℤ‘(𝐿 + 1))) → 𝑀 ∈ (ℤ‘(𝐿 + 1))))
138134, 136, 137sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ‘(𝐿 + 1)))
13919adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
140 zltp1le 12553 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿 < 𝑀 ↔ (𝐿 + 1) ≤ 𝑀))
14152, 139, 140syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (𝐿 < 𝑀 ↔ (𝐿 + 1) ≤ 𝑀))
14239, 141mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (𝐿 + 1) ≤ 𝑀)
14320adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
144143leidd 11721 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → 𝑀𝑀)
145131, 139, 139, 142, 144elfzd 13432 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀))
1466adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝐿 ∈ ℤ)
14719adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
148 elfzelz 13441 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀) → 𝑖 ∈ ℤ)
149148adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝑖 ∈ ℤ)
15016adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝐿 ∈ ℝ)
151150, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → (𝐿 + 1) ∈ ℝ)
152148zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀) → 𝑖 ∈ ℝ)
153152adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝑖 ∈ ℝ)
154100adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝐿 ≤ (𝐿 + 1))
155 elfzle1 13444 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀) → (𝐿 + 1) ≤ 𝑖)
156155adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → (𝐿 + 1) ≤ 𝑖)
157150, 151, 153, 154, 156letrd 11312 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝐿𝑖)
158 elfzle2 13445 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀) → 𝑖𝑀)
159158adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝑖𝑀)
160146, 147, 149, 157, 159elfzd 13432 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝑖 ∈ (𝐿...𝑀))
161160, 68syldan 591 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
162161adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
163 simpll 765 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝜑)
1646ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝐿 ∈ ℤ)
16519ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
166148adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝑖 ∈ ℤ)
16716ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝐿 ∈ ℝ)
16896ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → (𝐿 + 1) ∈ ℝ)
169152adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝑖 ∈ ℝ)
170100ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝐿 ≤ (𝐿 + 1))
171155adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → (𝐿 + 1) ≤ 𝑖)
172167, 168, 169, 170, 171letrd 11312 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝐿𝑖)
173158adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝑖𝑀)
174164, 165, 166, 172, 173elfzd 13432 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝑖 ∈ (𝐿...𝑀))
175163, 174, 122syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝑖))
176 fmul01lt1lem1.8 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ≤ 1)
177163, 174, 176syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → (𝐵𝑖) ≤ 1)
17858, 128, 129, 131, 138, 145, 162, 175, 177fmul01 43811 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (0 ≤ (seq(𝐿 + 1)( · , 𝐵)‘𝑀) ∧ (seq(𝐿 + 1)( · , 𝐵)‘𝑀) ≤ 1))
179178simprd 496 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (seq(𝐿 + 1)( · , 𝐵)‘𝑀) ≤ 1)
180110, 115, 89, 126, 179lemul2ad 12095 . . . . . . 7 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → ((seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿) · (seq(𝐿 + 1)( · , 𝐵)‘𝑀)) ≤ ((seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿) · 1))
18188recnd 11183 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿) ∈ ℂ)
182181mulid1d 11172 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿) · 1) = (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿))
183182adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → ((seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿) · 1) = (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿))
184180, 183breqtrd 5131 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → ((seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿) · (seq(𝐿 + 1)( · , 𝐵)‘𝑀)) ≤ (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿))
1858, 11eqbrtrd 5127 . . . . . . 7 (𝜑 → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿) < 𝐸)
186185adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿) < 𝐸)
187111, 89, 114, 184, 186lelttrd 11313 . . . . 5 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → ((seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿) · (seq(𝐿 + 1)( · , 𝐵)‘𝑀)) < 𝐸)
18871, 187eqbrtrd 5127 . . . 4 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝑀) < 𝐸)
18928, 188eqbrtrid 5140 . . 3 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (𝐴𝑀) < 𝐸)
19027, 189syldan 591 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐿) → (𝐴𝑀) < 𝐸)
19113, 190pm2.61dan 811 1 (𝜑 → (𝐴𝑀) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wnf 1785  wcel 2106  wnfc 2887  wne 2943   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cz 12499  cuz 12763  +crp 12915  ...cfz 13424  seqcseq 13906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907
This theorem is referenced by:  fmul01lt1lem2  43816
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