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Theorem fmul01lt1lem1 44966
Description: Given a finite multiplication of values betweeen 0 and 1, a value larger than its first element is larger the whole multiplication. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmul01lt1lem1.1 𝑖𝐵
fmul01lt1lem1.2 𝑖𝜑
fmul01lt1lem1.3 𝐴 = seq𝐿( · , 𝐵)
fmul01lt1lem1.4 (𝜑𝐿 ∈ ℤ)
fmul01lt1lem1.5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝐿))
fmul01lt1lem1.6 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
fmul01lt1lem1.7 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝑖))
fmul01lt1lem1.8 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ≤ 1)
fmul01lt1lem1.9 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
fmul01lt1lem1.10 (𝜑 → (𝐵𝐿) < 𝐸)
Assertion
Ref Expression
fmul01lt1lem1 (𝜑 → (𝐴𝑀) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑖,𝐿   𝑖,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐴(𝑖)   𝐵(𝑖)   𝐸(𝑖)

Proof of Theorem fmul01lt1lem1
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑀 = 𝐿) → 𝑀 = 𝐿)
21fveq2d 6895 . . . 4 ((𝜑𝑀 = 𝐿) → (𝐴𝑀) = (𝐴𝐿))
3 fmul01lt1lem1.3 . . . . . 6 𝐴 = seq𝐿( · , 𝐵)
43a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑀 = 𝐿) → 𝐴 = seq𝐿( · , 𝐵))
54fveq1d 6893 . . . 4 ((𝜑𝑀 = 𝐿) → (𝐴𝐿) = (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿))
6 fmul01lt1lem1.4 . . . . . 6 (𝜑𝐿 ∈ ℤ)
7 seq1 14005 . . . . . 6 (𝐿 ∈ ℤ → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿) = (𝐵𝐿))
86, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿) = (𝐵𝐿))
98adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑀 = 𝐿) → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿) = (𝐵𝐿))
102, 5, 93eqtrd 2772 . . 3 ((𝜑𝑀 = 𝐿) → (𝐴𝑀) = (𝐵𝐿))
11 fmul01lt1lem1.10 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐿) < 𝐸)
1211adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑀 = 𝐿) → (𝐵𝐿) < 𝐸)
1310, 12eqbrtrd 5164 . 2 ((𝜑𝑀 = 𝐿) → (𝐴𝑀) < 𝐸)
14 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐿) → ¬ 𝑀 = 𝐿)
1514neqned 2943 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐿) → 𝑀𝐿)
166zred 12690 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
17 fmul01lt1lem1.5 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝐿))
18 eluzelz 12856 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (ℤ𝐿) → 𝑀 ∈ ℤ)
1917, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2019zred 12690 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
21 eluzle 12859 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (ℤ𝐿) → 𝐿𝑀)
2217, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐿𝑀)
2316, 20, 223jca 1126 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿𝑀))
2423adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐿) → (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿𝑀))
25 leltne 11327 . . . . 5 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿𝑀) → (𝐿 < 𝑀𝑀𝐿))
2624, 25syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐿) → (𝐿 < 𝑀𝑀𝐿))
2715, 26mpbird 257 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐿) → 𝐿 < 𝑀)
283fveq1i 6892 . . . 4 (𝐴𝑀) = (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝑀)
29 remulcl 11217 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑗 · 𝑘) ∈ ℝ)
3029adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → (𝑗 · 𝑘) ∈ ℝ)
31 recn 11222 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℝ → 𝑗 ∈ ℂ)
32313ad2ant1 1131 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → 𝑗 ∈ ℂ)
33 recn 11222 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 ∈ ℂ)
34333ad2ant2 1132 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ ℂ)
35 recn 11222 . . . . . . . . 9 (𝑙 ∈ ℝ → 𝑙 ∈ ℂ)
36353ad2ant3 1133 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → 𝑙 ∈ ℂ)
3732, 34, 36mulassd 11261 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → ((𝑗 · 𝑘) · 𝑙) = (𝑗 · (𝑘 · 𝑙)))
3837adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ)) → ((𝑗 · 𝑘) · 𝑙) = (𝑗 · (𝑘 · 𝑙)))
39 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → 𝐿 < 𝑀)
4039olcd 873 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (𝑀 < 𝐿𝐿 < 𝑀))
4120, 16jca 511 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
4241adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
43 lttri2 11320 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑀𝐿 ↔ (𝑀 < 𝐿𝐿 < 𝑀)))
4442, 43syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (𝑀𝐿 ↔ (𝑀 < 𝐿𝐿 < 𝑀)))
4540, 44mpbird 257 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → 𝑀𝐿)
4645neneqd 2941 . . . . . . 7 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → ¬ 𝑀 = 𝐿)
47 uzp1 12887 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (ℤ𝐿) → (𝑀 = 𝐿𝑀 ∈ (ℤ‘(𝐿 + 1))))
4817, 47syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 = 𝐿𝑀 ∈ (ℤ‘(𝐿 + 1))))
4948adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (𝑀 = 𝐿𝑀 ∈ (ℤ‘(𝐿 + 1))))
5049ord 863 . . . . . . 7 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (¬ 𝑀 = 𝐿𝑀 ∈ (ℤ‘(𝐿 + 1))))
5146, 50mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ‘(𝐿 + 1)))
526adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → 𝐿 ∈ ℤ)
53 uzid 12861 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ (ℤ𝐿))
5452, 53syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → 𝐿 ∈ (ℤ𝐿))
55 fmul01lt1lem1.2 . . . . . . . . . 10 𝑖𝜑
56 nfv 1910 . . . . . . . . . 10 𝑖 𝑗 ∈ (𝐿...𝑀)
5755, 56nfan 1895 . . . . . . . . 9 𝑖(𝜑𝑗 ∈ (𝐿...𝑀))
58 fmul01lt1lem1.1 . . . . . . . . . . 11 𝑖𝐵
59 nfcv 2899 . . . . . . . . . . 11 𝑖𝑗
6058, 59nffv 6901 . . . . . . . . . 10 𝑖(𝐵𝑗)
6160nfel1 2915 . . . . . . . . 9 𝑖(𝐵𝑗) ∈ ℝ
6257, 61nfim 1892 . . . . . . . 8 𝑖((𝜑𝑗 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑗) ∈ ℝ)
63 eleq1 2817 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 ∈ (𝐿...𝑀) ↔ 𝑗 ∈ (𝐿...𝑀)))
6463anbi2d 629 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) ↔ (𝜑𝑗 ∈ (𝐿...𝑀))))
65 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → (𝐵𝑖) = (𝐵𝑗))
6665eleq1d 2814 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → ((𝐵𝑖) ∈ ℝ ↔ (𝐵𝑗) ∈ ℝ))
6764, 66imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 → (((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑗 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑗) ∈ ℝ)))
68 fmul01lt1lem1.6 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
6962, 67, 68chvarfv 2229 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑗) ∈ ℝ)
7069adantlr 714 . . . . . 6 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑗) ∈ ℝ)
7130, 38, 51, 54, 70seqsplit 14026 . . . . 5 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝑀) = ((seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿) · (seq(𝐿 + 1)( · , 𝐵)‘𝑀)))
72 eluzfz1 13534 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (ℤ𝐿) → 𝐿 ∈ (𝐿...𝑀))
7317, 72syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐿 ∈ (𝐿...𝑀))
7473ancli 548 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝜑𝐿 ∈ (𝐿...𝑀)))
75 nfv 1910 . . . . . . . . . . . . 13 𝑖 𝐿 ∈ (𝐿...𝑀)
7655, 75nfan 1895 . . . . . . . . . . . 12 𝑖(𝜑𝐿 ∈ (𝐿...𝑀))
77 nfcv 2899 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑖𝐿
7858, 77nffv 6901 . . . . . . . . . . . . 13 𝑖(𝐵𝐿)
7978nfel1 2915 . . . . . . . . . . . 12 𝑖(𝐵𝐿) ∈ ℝ
8076, 79nfim 1892 . . . . . . . . . . 11 𝑖((𝜑𝐿 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝐿) ∈ ℝ)
81 eleq1 2817 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝐿 → (𝑖 ∈ (𝐿...𝑀) ↔ 𝐿 ∈ (𝐿...𝑀)))
8281anbi2d 629 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝐿 → ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) ↔ (𝜑𝐿 ∈ (𝐿...𝑀))))
83 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝐿 → (𝐵𝑖) = (𝐵𝐿))
8483eleq1d 2814 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝐿 → ((𝐵𝑖) ∈ ℝ ↔ (𝐵𝐿) ∈ ℝ))
8582, 84imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝐿 → (((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝐿 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝐿) ∈ ℝ)))
8680, 85, 68vtoclg1f 3555 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ (𝐿...𝑀) → ((𝜑𝐿 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝐿) ∈ ℝ))
8773, 74, 86sylc 65 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝐿) ∈ ℝ)
888, 87eqeltrd 2829 . . . . . . . 8 (𝜑 → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿) ∈ ℝ)
8988adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿) ∈ ℝ)
906adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝐿 ∈ ℤ)
9119adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
92 elfzelz 13527 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
9392adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝑗 ∈ ℤ)
9416adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝐿 ∈ ℝ)
95 peano2re 11411 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐿 ∈ ℝ → (𝐿 + 1) ∈ ℝ)
9616, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐿 + 1) ∈ ℝ)
9796adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → (𝐿 + 1) ∈ ℝ)
9892zred 12690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
9998adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝑗 ∈ ℝ)
10016lep1d 12169 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐿 ≤ (𝐿 + 1))
101100adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝐿 ≤ (𝐿 + 1))
102 elfzle1 13530 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀) → (𝐿 + 1) ≤ 𝑗)
103102adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → (𝐿 + 1) ≤ 𝑗)
10494, 97, 99, 101, 103letrd 11395 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝐿𝑗)
105 elfzle2 13531 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀) → 𝑗𝑀)
106105adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝑗𝑀)
10790, 91, 93, 104, 106elfzd 13518 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝑗 ∈ (𝐿...𝑀))
108107, 69syldan 590 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → (𝐵𝑗) ∈ ℝ)
109108adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → (𝐵𝑗) ∈ ℝ)
11051, 109, 30seqcl 14013 . . . . . . 7 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (seq(𝐿 + 1)( · , 𝐵)‘𝑀) ∈ ℝ)
11189, 110remulcld 11268 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → ((seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿) · (seq(𝐿 + 1)( · , 𝐵)‘𝑀)) ∈ ℝ)
112 fmul01lt1lem1.9 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
113112rpred 13042 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
114113adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → 𝐸 ∈ ℝ)
115 1red 11239 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → 1 ∈ ℝ)
116 nfcv 2899 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑖0
117 nfcv 2899 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑖
118116, 117, 78nfbr 5189 . . . . . . . . . . . . 13 𝑖0 ≤ (𝐵𝐿)
11976, 118nfim 1892 . . . . . . . . . . . 12 𝑖((𝜑𝐿 ∈ (𝐿...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝐿))
12083breq2d 5154 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝐿 → (0 ≤ (𝐵𝑖) ↔ 0 ≤ (𝐵𝐿)))
12182, 120imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝐿 → (((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝑖)) ↔ ((𝜑𝐿 ∈ (𝐿...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝐿))))
122 fmul01lt1lem1.7 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝑖))
123119, 121, 122vtoclg1f 3555 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 ∈ (𝐿...𝑀) → ((𝜑𝐿 ∈ (𝐿...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝐿)))
12473, 74, 123sylc 65 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ (𝐵𝐿))
125124, 8breqtrrd 5170 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿))
126125adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → 0 ≤ (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿))
127 nfv 1910 . . . . . . . . . . 11 𝑖 𝐿 < 𝑀
12855, 127nfan 1895 . . . . . . . . . 10 𝑖(𝜑𝐿 < 𝑀)
129 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 seq(𝐿 + 1)( · , 𝐵) = seq(𝐿 + 1)( · , 𝐵)
1306peano2zd 12693 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐿 + 1) ∈ ℤ)
131130adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (𝐿 + 1) ∈ ℤ)
13216adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → 𝐿 ∈ ℝ)
133132, 39gtned 11373 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → 𝑀𝐿)
134133neneqd 2941 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → ¬ 𝑀 = 𝐿)
13517adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ𝐿))
136135, 47syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (𝑀 = 𝐿𝑀 ∈ (ℤ‘(𝐿 + 1))))
137 orel1 887 . . . . . . . . . . 11 𝑀 = 𝐿 → ((𝑀 = 𝐿𝑀 ∈ (ℤ‘(𝐿 + 1))) → 𝑀 ∈ (ℤ‘(𝐿 + 1))))
138134, 136, 137sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ‘(𝐿 + 1)))
13919adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
140 zltp1le 12636 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿 < 𝑀 ↔ (𝐿 + 1) ≤ 𝑀))
14152, 139, 140syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (𝐿 < 𝑀 ↔ (𝐿 + 1) ≤ 𝑀))
14239, 141mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (𝐿 + 1) ≤ 𝑀)
14320adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
144143leidd 11804 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → 𝑀𝑀)
145131, 139, 139, 142, 144elfzd 13518 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀))
1466adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝐿 ∈ ℤ)
14719adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
148 elfzelz 13527 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀) → 𝑖 ∈ ℤ)
149148adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝑖 ∈ ℤ)
15016adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝐿 ∈ ℝ)
151150, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → (𝐿 + 1) ∈ ℝ)
152148zred 12690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀) → 𝑖 ∈ ℝ)
153152adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝑖 ∈ ℝ)
154100adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝐿 ≤ (𝐿 + 1))
155 elfzle1 13530 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀) → (𝐿 + 1) ≤ 𝑖)
156155adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → (𝐿 + 1) ≤ 𝑖)
157150, 151, 153, 154, 156letrd 11395 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝐿𝑖)
158 elfzle2 13531 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀) → 𝑖𝑀)
159158adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝑖𝑀)
160146, 147, 149, 157, 159elfzd 13518 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝑖 ∈ (𝐿...𝑀))
161160, 68syldan 590 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
162161adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
163 simpll 766 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝜑)
1646ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝐿 ∈ ℤ)
16519ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
166148adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝑖 ∈ ℤ)
16716ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝐿 ∈ ℝ)
16896ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → (𝐿 + 1) ∈ ℝ)
169152adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝑖 ∈ ℝ)
170100ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝐿 ≤ (𝐿 + 1))
171155adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → (𝐿 + 1) ≤ 𝑖)
172167, 168, 169, 170, 171letrd 11395 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝐿𝑖)
173158adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝑖𝑀)
174164, 165, 166, 172, 173elfzd 13518 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝑖 ∈ (𝐿...𝑀))
175163, 174, 122syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝑖))
176 fmul01lt1lem1.8 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ≤ 1)
177163, 174, 176syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → (𝐵𝑖) ≤ 1)
17858, 128, 129, 131, 138, 145, 162, 175, 177fmul01 44962 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (0 ≤ (seq(𝐿 + 1)( · , 𝐵)‘𝑀) ∧ (seq(𝐿 + 1)( · , 𝐵)‘𝑀) ≤ 1))
179178simprd 495 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (seq(𝐿 + 1)( · , 𝐵)‘𝑀) ≤ 1)
180110, 115, 89, 126, 179lemul2ad 12178 . . . . . . 7 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → ((seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿) · (seq(𝐿 + 1)( · , 𝐵)‘𝑀)) ≤ ((seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿) · 1))
18188recnd 11266 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿) ∈ ℂ)
182181mulridd 11255 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿) · 1) = (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿))
183182adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → ((seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿) · 1) = (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿))
184180, 183breqtrd 5168 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → ((seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿) · (seq(𝐿 + 1)( · , 𝐵)‘𝑀)) ≤ (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿))
1858, 11eqbrtrd 5164 . . . . . . 7 (𝜑 → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿) < 𝐸)
186185adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿) < 𝐸)
187111, 89, 114, 184, 186lelttrd 11396 . . . . 5 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → ((seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿) · (seq(𝐿 + 1)( · , 𝐵)‘𝑀)) < 𝐸)
18871, 187eqbrtrd 5164 . . . 4 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝑀) < 𝐸)
18928, 188eqbrtrid 5177 . . 3 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (𝐴𝑀) < 𝐸)
19027, 189syldan 590 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐿) → (𝐴𝑀) < 𝐸)
19113, 190pm2.61dan 812 1 (𝜑 → (𝐴𝑀) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wo 846  w3a 1085   = wceq 1534  wnf 1778  wcel 2099  wnfc 2879  wne 2936   class class class wbr 5142  cfv 6542  (class class class)co 7414  cc 11130  cr 11131  0cc0 11132  1c1 11133   + caddc 11135   · cmul 11137   < clt 11272  cle 11273  cz 12582  cuz 12846  +crp 13000  ...cfz 13510  seqcseq 13992
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-rp 13001  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-seq 13993
This theorem is referenced by:  fmul01lt1lem2  44967
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