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Theorem fmul01lt1lem1 40738
Description: Given a finite multiplication of values betweeen 0 and 1, a value larger than its first element is larger the whole multiplication. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmul01lt1lem1.1 𝑖𝐵
fmul01lt1lem1.2 𝑖𝜑
fmul01lt1lem1.3 𝐴 = seq𝐿( · , 𝐵)
fmul01lt1lem1.4 (𝜑𝐿 ∈ ℤ)
fmul01lt1lem1.5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝐿))
fmul01lt1lem1.6 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
fmul01lt1lem1.7 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝑖))
fmul01lt1lem1.8 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ≤ 1)
fmul01lt1lem1.9 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
fmul01lt1lem1.10 (𝜑 → (𝐵𝐿) < 𝐸)
Assertion
Ref Expression
fmul01lt1lem1 (𝜑 → (𝐴𝑀) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑖,𝐿   𝑖,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐴(𝑖)   𝐵(𝑖)   𝐸(𝑖)

Proof of Theorem fmul01lt1lem1
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑀 = 𝐿) → 𝑀 = 𝐿)
21fveq2d 6452 . . . 4 ((𝜑𝑀 = 𝐿) → (𝐴𝑀) = (𝐴𝐿))
3 fmul01lt1lem1.3 . . . . . 6 𝐴 = seq𝐿( · , 𝐵)
43a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑀 = 𝐿) → 𝐴 = seq𝐿( · , 𝐵))
54fveq1d 6450 . . . 4 ((𝜑𝑀 = 𝐿) → (𝐴𝐿) = (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿))
6 fmul01lt1lem1.4 . . . . . 6 (𝜑𝐿 ∈ ℤ)
7 seq1 13137 . . . . . 6 (𝐿 ∈ ℤ → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿) = (𝐵𝐿))
86, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿) = (𝐵𝐿))
98adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑀 = 𝐿) → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿) = (𝐵𝐿))
102, 5, 93eqtrd 2818 . . 3 ((𝜑𝑀 = 𝐿) → (𝐴𝑀) = (𝐵𝐿))
11 fmul01lt1lem1.10 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐿) < 𝐸)
1211adantr 474 . . 3 ((𝜑𝑀 = 𝐿) → (𝐵𝐿) < 𝐸)
1310, 12eqbrtrd 4910 . 2 ((𝜑𝑀 = 𝐿) → (𝐴𝑀) < 𝐸)
14 simpr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐿) → ¬ 𝑀 = 𝐿)
1514neqned 2976 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐿) → 𝑀𝐿)
166zred 11839 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
17 fmul01lt1lem1.5 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝐿))
18 eluzelz 12007 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (ℤ𝐿) → 𝑀 ∈ ℤ)
1917, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2019zred 11839 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
21 eluzle 12010 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (ℤ𝐿) → 𝐿𝑀)
2217, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐿𝑀)
2316, 20, 223jca 1119 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿𝑀))
2423adantr 474 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐿) → (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿𝑀))
25 leltne 10468 . . . . 5 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿𝑀) → (𝐿 < 𝑀𝑀𝐿))
2624, 25syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐿) → (𝐿 < 𝑀𝑀𝐿))
2715, 26mpbird 249 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐿) → 𝐿 < 𝑀)
283fveq1i 6449 . . . 4 (𝐴𝑀) = (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝑀)
29 remulcl 10359 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑗 · 𝑘) ∈ ℝ)
3029adantl 475 . . . . . 6 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ)) → (𝑗 · 𝑘) ∈ ℝ)
31 recn 10364 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℝ → 𝑗 ∈ ℂ)
32313ad2ant1 1124 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → 𝑗 ∈ ℂ)
33 recn 10364 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℝ → 𝑘 ∈ ℂ)
34333ad2ant2 1125 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ ℂ)
35 recn 10364 . . . . . . . . 9 (𝑙 ∈ ℝ → 𝑙 ∈ ℂ)
36353ad2ant3 1126 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → 𝑙 ∈ ℂ)
3732, 34, 36mulassd 10402 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ) → ((𝑗 · 𝑘) · 𝑙) = (𝑗 · (𝑘 · 𝑙)))
3837adantl 475 . . . . . 6 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑙 ∈ ℝ)) → ((𝑗 · 𝑘) · 𝑙) = (𝑗 · (𝑘 · 𝑙)))
39 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → 𝐿 < 𝑀)
4039olcd 863 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (𝑀 < 𝐿𝐿 < 𝑀))
4120, 16jca 507 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
4241adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
43 lttri2 10461 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑀𝐿 ↔ (𝑀 < 𝐿𝐿 < 𝑀)))
4442, 43syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (𝑀𝐿 ↔ (𝑀 < 𝐿𝐿 < 𝑀)))
4540, 44mpbird 249 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → 𝑀𝐿)
4645neneqd 2974 . . . . . . 7 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → ¬ 𝑀 = 𝐿)
47 uzp1 12032 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (ℤ𝐿) → (𝑀 = 𝐿𝑀 ∈ (ℤ‘(𝐿 + 1))))
4817, 47syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 = 𝐿𝑀 ∈ (ℤ‘(𝐿 + 1))))
4948adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (𝑀 = 𝐿𝑀 ∈ (ℤ‘(𝐿 + 1))))
5049ord 853 . . . . . . 7 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (¬ 𝑀 = 𝐿𝑀 ∈ (ℤ‘(𝐿 + 1))))
5146, 50mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ‘(𝐿 + 1)))
526adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → 𝐿 ∈ ℤ)
53 uzid 12012 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ (ℤ𝐿))
5452, 53syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → 𝐿 ∈ (ℤ𝐿))
55 fmul01lt1lem1.2 . . . . . . . . . 10 𝑖𝜑
56 nfv 1957 . . . . . . . . . 10 𝑖 𝑗 ∈ (𝐿...𝑀)
5755, 56nfan 1946 . . . . . . . . 9 𝑖(𝜑𝑗 ∈ (𝐿...𝑀))
58 fmul01lt1lem1.1 . . . . . . . . . . 11 𝑖𝐵
59 nfcv 2934 . . . . . . . . . . 11 𝑖𝑗
6058, 59nffv 6458 . . . . . . . . . 10 𝑖(𝐵𝑗)
6160nfel1 2948 . . . . . . . . 9 𝑖(𝐵𝑗) ∈ ℝ
6257, 61nfim 1943 . . . . . . . 8 𝑖((𝜑𝑗 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑗) ∈ ℝ)
63 eleq1 2847 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 ∈ (𝐿...𝑀) ↔ 𝑗 ∈ (𝐿...𝑀)))
6463anbi2d 622 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) ↔ (𝜑𝑗 ∈ (𝐿...𝑀))))
65 fveq2 6448 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → (𝐵𝑖) = (𝐵𝑗))
6665eleq1d 2844 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → ((𝐵𝑖) ∈ ℝ ↔ (𝐵𝑗) ∈ ℝ))
6764, 66imbi12d 336 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 → (((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑗 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑗) ∈ ℝ)))
68 fmul01lt1lem1.6 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
6962, 67, 68chvar 2360 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑗) ∈ ℝ)
7069adantlr 705 . . . . . 6 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑗) ∈ ℝ)
7130, 38, 51, 54, 70seqsplit 13157 . . . . 5 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝑀) = ((seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿) · (seq(𝐿 + 1)( · , 𝐵)‘𝑀)))
72 eluzfz1 12670 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (ℤ𝐿) → 𝐿 ∈ (𝐿...𝑀))
7317, 72syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐿 ∈ (𝐿...𝑀))
7473ancli 544 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝜑𝐿 ∈ (𝐿...𝑀)))
75 nfv 1957 . . . . . . . . . . . . 13 𝑖 𝐿 ∈ (𝐿...𝑀)
7655, 75nfan 1946 . . . . . . . . . . . 12 𝑖(𝜑𝐿 ∈ (𝐿...𝑀))
77 nfcv 2934 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑖𝐿
7858, 77nffv 6458 . . . . . . . . . . . . 13 𝑖(𝐵𝐿)
7978nfel1 2948 . . . . . . . . . . . 12 𝑖(𝐵𝐿) ∈ ℝ
8076, 79nfim 1943 . . . . . . . . . . 11 𝑖((𝜑𝐿 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝐿) ∈ ℝ)
81 eleq1 2847 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝐿 → (𝑖 ∈ (𝐿...𝑀) ↔ 𝐿 ∈ (𝐿...𝑀)))
8281anbi2d 622 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝐿 → ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) ↔ (𝜑𝐿 ∈ (𝐿...𝑀))))
83 fveq2 6448 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝐿 → (𝐵𝑖) = (𝐵𝐿))
8483eleq1d 2844 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝐿 → ((𝐵𝑖) ∈ ℝ ↔ (𝐵𝐿) ∈ ℝ))
8582, 84imbi12d 336 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝐿 → (((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝐿 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝐿) ∈ ℝ)))
8680, 85, 68vtoclg1f 3466 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ (𝐿...𝑀) → ((𝜑𝐿 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝐿) ∈ ℝ))
8773, 74, 86sylc 65 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝐿) ∈ ℝ)
888, 87eqeltrd 2859 . . . . . . . 8 (𝜑 → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿) ∈ ℝ)
8988adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿) ∈ ℝ)
906adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝐿 ∈ ℤ)
9119adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
92 elfzelz 12664 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
9392adantl 475 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝑗 ∈ ℤ)
9490, 91, 933jca 1119 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ))
9516adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝐿 ∈ ℝ)
96 peano2re 10551 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐿 ∈ ℝ → (𝐿 + 1) ∈ ℝ)
9716, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐿 + 1) ∈ ℝ)
9897adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → (𝐿 + 1) ∈ ℝ)
9992zred 11839 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
10099adantl 475 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝑗 ∈ ℝ)
10116lep1d 11312 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐿 ≤ (𝐿 + 1))
102101adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝐿 ≤ (𝐿 + 1))
103 elfzle1 12666 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀) → (𝐿 + 1) ≤ 𝑗)
104103adantl 475 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → (𝐿 + 1) ≤ 𝑗)
10595, 98, 100, 102, 104letrd 10535 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝐿𝑗)
106 elfzle2 12667 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀) → 𝑗𝑀)
107106adantl 475 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝑗𝑀)
108105, 107jca 507 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → (𝐿𝑗𝑗𝑀))
109 elfz2 12655 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (𝐿...𝑀) ↔ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐿𝑗𝑗𝑀)))
11094, 108, 109sylanbrc 578 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝑗 ∈ (𝐿...𝑀))
111110, 69syldan 585 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → (𝐵𝑗) ∈ ℝ)
112111adantlr 705 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑗 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → (𝐵𝑗) ∈ ℝ)
11351, 112, 30seqcl 13144 . . . . . . 7 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (seq(𝐿 + 1)( · , 𝐵)‘𝑀) ∈ ℝ)
11489, 113remulcld 10409 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → ((seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿) · (seq(𝐿 + 1)( · , 𝐵)‘𝑀)) ∈ ℝ)
115 fmul01lt1lem1.9 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
116115rpred 12186 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
117116adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → 𝐸 ∈ ℝ)
118 1red 10379 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → 1 ∈ ℝ)
119 nfcv 2934 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑖0
120 nfcv 2934 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑖
121119, 120, 78nfbr 4935 . . . . . . . . . . . . 13 𝑖0 ≤ (𝐵𝐿)
12276, 121nfim 1943 . . . . . . . . . . . 12 𝑖((𝜑𝐿 ∈ (𝐿...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝐿))
12383breq2d 4900 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝐿 → (0 ≤ (𝐵𝑖) ↔ 0 ≤ (𝐵𝐿)))
12482, 123imbi12d 336 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝐿 → (((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝑖)) ↔ ((𝜑𝐿 ∈ (𝐿...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝐿))))
125 fmul01lt1lem1.7 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝑖))
126122, 124, 125vtoclg1f 3466 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 ∈ (𝐿...𝑀) → ((𝜑𝐿 ∈ (𝐿...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝐿)))
12773, 74, 126sylc 65 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ (𝐵𝐿))
128127, 8breqtrrd 4916 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿))
129128adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → 0 ≤ (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿))
130 nfv 1957 . . . . . . . . . . 11 𝑖 𝐿 < 𝑀
13155, 130nfan 1946 . . . . . . . . . 10 𝑖(𝜑𝐿 < 𝑀)
132 eqid 2778 . . . . . . . . . 10 seq(𝐿 + 1)( · , 𝐵) = seq(𝐿 + 1)( · , 𝐵)
1336peano2zd 11842 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐿 + 1) ∈ ℤ)
134133adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (𝐿 + 1) ∈ ℤ)
13516adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → 𝐿 ∈ ℝ)
136135, 39gtned 10513 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → 𝑀𝐿)
137136neneqd 2974 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → ¬ 𝑀 = 𝐿)
13817adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ𝐿))
139138, 47syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (𝑀 = 𝐿𝑀 ∈ (ℤ‘(𝐿 + 1))))
140 orel1 875 . . . . . . . . . . 11 𝑀 = 𝐿 → ((𝑀 = 𝐿𝑀 ∈ (ℤ‘(𝐿 + 1))) → 𝑀 ∈ (ℤ‘(𝐿 + 1))))
141137, 139, 140sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ‘(𝐿 + 1)))
14219adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
143134, 142, 1423jca 1119 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → ((𝐿 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
144 zltp1le 11784 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿 < 𝑀 ↔ (𝐿 + 1) ≤ 𝑀))
14552, 142, 144syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (𝐿 < 𝑀 ↔ (𝐿 + 1) ≤ 𝑀))
14639, 145mpbid 224 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (𝐿 + 1) ≤ 𝑀)
14720adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
148147leidd 10944 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → 𝑀𝑀)
149146, 148jca 507 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → ((𝐿 + 1) ≤ 𝑀𝑀𝑀))
150 elfz2 12655 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀) ↔ (((𝐿 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ((𝐿 + 1) ≤ 𝑀𝑀𝑀)))
151143, 149, 150sylanbrc 578 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀))
1526adantr 474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝐿 ∈ ℤ)
15319adantr 474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
154 elfzelz 12664 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀) → 𝑖 ∈ ℤ)
155154adantl 475 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝑖 ∈ ℤ)
156152, 153, 1553jca 1119 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
15716adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝐿 ∈ ℝ)
158157, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → (𝐿 + 1) ∈ ℝ)
159154zred 11839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀) → 𝑖 ∈ ℝ)
160159adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝑖 ∈ ℝ)
161101adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝐿 ≤ (𝐿 + 1))
162 elfzle1 12666 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀) → (𝐿 + 1) ≤ 𝑖)
163162adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → (𝐿 + 1) ≤ 𝑖)
164157, 158, 160, 161, 163letrd 10535 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝐿𝑖)
165 elfzle2 12667 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀) → 𝑖𝑀)
166165adantl 475 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝑖𝑀)
167164, 166jca 507 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → (𝐿𝑖𝑖𝑀))
168 elfz2 12655 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (𝐿...𝑀) ↔ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (𝐿𝑖𝑖𝑀)))
169156, 167, 168sylanbrc 578 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝑖 ∈ (𝐿...𝑀))
170169, 68syldan 585 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
171170adantlr 705 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
172 simpll 757 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝜑)
1736ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝐿 ∈ ℤ)
17419ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
175154adantl 475 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝑖 ∈ ℤ)
176173, 174, 1753jca 1119 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
17716ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝐿 ∈ ℝ)
17897ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → (𝐿 + 1) ∈ ℝ)
179159adantl 475 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝑖 ∈ ℝ)
180101ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝐿 ≤ (𝐿 + 1))
181162adantl 475 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → (𝐿 + 1) ≤ 𝑖)
182177, 178, 179, 180, 181letrd 10535 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝐿𝑖)
183165adantl 475 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝑖𝑀)
184182, 183jca 507 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → (𝐿𝑖𝑖𝑀))
185176, 184, 168sylanbrc 578 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 𝑖 ∈ (𝐿...𝑀))
186172, 185, 125syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → 0 ≤ (𝐵𝑖))
187 fmul01lt1lem1.8 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (𝐿...𝑀)) → (𝐵𝑖) ≤ 1)
188172, 185, 187syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐿 < 𝑀) ∧ 𝑖 ∈ ((𝐿 + 1)...𝑀)) → (𝐵𝑖) ≤ 1)
18958, 131, 132, 134, 141, 151, 171, 186, 188fmul01 40734 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (0 ≤ (seq(𝐿 + 1)( · , 𝐵)‘𝑀) ∧ (seq(𝐿 + 1)( · , 𝐵)‘𝑀) ≤ 1))
190189simprd 491 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (seq(𝐿 + 1)( · , 𝐵)‘𝑀) ≤ 1)
191113, 118, 89, 129, 190lemul2ad 11321 . . . . . . 7 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → ((seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿) · (seq(𝐿 + 1)( · , 𝐵)‘𝑀)) ≤ ((seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿) · 1))
19288recnd 10407 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿) ∈ ℂ)
193192mulid1d 10396 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿) · 1) = (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿))
194193adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → ((seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿) · 1) = (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿))
195191, 194breqtrd 4914 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → ((seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿) · (seq(𝐿 + 1)( · , 𝐵)‘𝑀)) ≤ (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿))
1968, 11eqbrtrd 4910 . . . . . . 7 (𝜑 → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿) < 𝐸)
197196adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿) < 𝐸)
198114, 89, 117, 195, 197lelttrd 10536 . . . . 5 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → ((seq𝐿( · , 𝐵)‘𝐿) · (seq(𝐿 + 1)( · , 𝐵)‘𝑀)) < 𝐸)
19971, 198eqbrtrd 4910 . . . 4 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (seq𝐿( · , 𝐵)‘𝑀) < 𝐸)
20028, 199syl5eqbr 4923 . . 3 ((𝜑𝐿 < 𝑀) → (𝐴𝑀) < 𝐸)
20127, 200syldan 585 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐿) → (𝐴𝑀) < 𝐸)
20213, 201pm2.61dan 803 1 (𝜑 → (𝐴𝑀) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  wo 836  w3a 1071   = wceq 1601  wnf 1827  wcel 2107  wnfc 2919  wne 2969   class class class wbr 4888  cfv 6137  (class class class)co 6924  cc 10272  cr 10273  0cc0 10274  1c1 10275   + caddc 10277   · cmul 10279   < clt 10413  cle 10414  cz 11733  cuz 11997  +crp 12142  ...cfz 12648  seqcseq 13124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-n0 11648  df-z 11734  df-uz 11998  df-rp 12143  df-fz 12649  df-fzo 12790  df-seq 13125
This theorem is referenced by:  fmul01lt1lem2  40739
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