Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmul01lt1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmul01lt1lem1 44895
Description: Given a finite multiplication of values betweeen 0 and 1, a value larger than its first element is larger the whole multiplication. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmul01lt1lem1.1 โ„ฒ๐‘–๐ต
fmul01lt1lem1.2 โ„ฒ๐‘–๐œ‘
fmul01lt1lem1.3 ๐ด = seq๐ฟ( ยท , ๐ต)
fmul01lt1lem1.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„ค)
fmul01lt1lem1.5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ฟ))
fmul01lt1lem1.6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ฟ...๐‘€)) โ†’ (๐ตโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„)
fmul01lt1lem1.7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ฟ...๐‘€)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ตโ€˜๐‘–))
fmul01lt1lem1.8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ฟ...๐‘€)) โ†’ (๐ตโ€˜๐‘–) โ‰ค 1)
fmul01lt1lem1.9 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„+)
fmul01lt1lem1.10 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ€˜๐ฟ) < ๐ธ)
Assertion
Ref Expression
fmul01lt1lem1 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ€˜๐‘€) < ๐ธ)
Distinct variable groups:   ๐‘–,๐ฟ   ๐‘–,๐‘€
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘–)   ๐ด(๐‘–)   ๐ต(๐‘–)   ๐ธ(๐‘–)

Proof of Theorem fmul01lt1lem1
Dummy variables ๐‘— ๐‘˜ ๐‘™ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ = ๐ฟ) โ†’ ๐‘€ = ๐ฟ)
21fveq2d 6895 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ = ๐ฟ) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘€) = (๐ดโ€˜๐ฟ))
3 fmul01lt1lem1.3 . . . . . 6 ๐ด = seq๐ฟ( ยท , ๐ต)
43a1i 11 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ = ๐ฟ) โ†’ ๐ด = seq๐ฟ( ยท , ๐ต))
54fveq1d 6893 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ = ๐ฟ) โ†’ (๐ดโ€˜๐ฟ) = (seq๐ฟ( ยท , ๐ต)โ€˜๐ฟ))
6 fmul01lt1lem1.4 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„ค)
7 seq1 14003 . . . . . 6 (๐ฟ โˆˆ โ„ค โ†’ (seq๐ฟ( ยท , ๐ต)โ€˜๐ฟ) = (๐ตโ€˜๐ฟ))
86, 7syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (seq๐ฟ( ยท , ๐ต)โ€˜๐ฟ) = (๐ตโ€˜๐ฟ))
98adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ = ๐ฟ) โ†’ (seq๐ฟ( ยท , ๐ต)โ€˜๐ฟ) = (๐ตโ€˜๐ฟ))
102, 5, 93eqtrd 2771 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ = ๐ฟ) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘€) = (๐ตโ€˜๐ฟ))
11 fmul01lt1lem1.10 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ€˜๐ฟ) < ๐ธ)
1211adantr 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ = ๐ฟ) โ†’ (๐ตโ€˜๐ฟ) < ๐ธ)
1310, 12eqbrtrd 5164 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘€ = ๐ฟ) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘€) < ๐ธ)
14 simpr 484 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐‘€ = ๐ฟ) โ†’ ยฌ ๐‘€ = ๐ฟ)
1514neqned 2942 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐‘€ = ๐ฟ) โ†’ ๐‘€ โ‰  ๐ฟ)
166zred 12688 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„)
17 fmul01lt1lem1.5 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ฟ))
18 eluzelz 12854 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ฟ) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
1917, 18syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
2019zred 12688 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
21 eluzle 12857 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ฟ) โ†’ ๐ฟ โ‰ค ๐‘€)
2217, 21syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โ‰ค ๐‘€)
2316, 20, 223jca 1126 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ฟ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง ๐ฟ โ‰ค ๐‘€))
2423adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐‘€ = ๐ฟ) โ†’ (๐ฟ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง ๐ฟ โ‰ค ๐‘€))
25 leltne 11325 . . . . 5 ((๐ฟ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง ๐ฟ โ‰ค ๐‘€) โ†’ (๐ฟ < ๐‘€ โ†” ๐‘€ โ‰  ๐ฟ))
2624, 25syl 17 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐‘€ = ๐ฟ) โ†’ (๐ฟ < ๐‘€ โ†” ๐‘€ โ‰  ๐ฟ))
2715, 26mpbird 257 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐‘€ = ๐ฟ) โ†’ ๐ฟ < ๐‘€)
283fveq1i 6892 . . . 4 (๐ดโ€˜๐‘€) = (seq๐ฟ( ยท , ๐ต)โ€˜๐‘€)
29 remulcl 11215 . . . . . . 7 ((๐‘— โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘— ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„)
3029adantl 481 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โˆง (๐‘— โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐‘— ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„)
31 recn 11220 . . . . . . . . 9 (๐‘— โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„‚)
32313ad2ant1 1131 . . . . . . . 8 ((๐‘— โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„‚)
33 recn 11220 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
34333ad2ant2 1132 . . . . . . . 8 ((๐‘— โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
35 recn 11220 . . . . . . . . 9 (๐‘™ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘™ โˆˆ โ„‚)
36353ad2ant3 1133 . . . . . . . 8 ((๐‘— โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘™ โˆˆ โ„‚)
3732, 34, 36mulassd 11259 . . . . . . 7 ((๐‘— โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘— ยท ๐‘˜) ยท ๐‘™) = (๐‘— ยท (๐‘˜ ยท ๐‘™)))
3837adantl 481 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โˆง (๐‘— โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘™ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐‘— ยท ๐‘˜) ยท ๐‘™) = (๐‘— ยท (๐‘˜ ยท ๐‘™)))
39 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โ†’ ๐ฟ < ๐‘€)
4039olcd 873 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โ†’ (๐‘€ < ๐ฟ โˆจ ๐ฟ < ๐‘€))
4120, 16jca 511 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„))
4241adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„))
43 lttri2 11318 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘€ โ‰  ๐ฟ โ†” (๐‘€ < ๐ฟ โˆจ ๐ฟ < ๐‘€)))
4442, 43syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โ†’ (๐‘€ โ‰  ๐ฟ โ†” (๐‘€ < ๐ฟ โˆจ ๐ฟ < ๐‘€)))
4540, 44mpbird 257 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โ†’ ๐‘€ โ‰  ๐ฟ)
4645neneqd 2940 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โ†’ ยฌ ๐‘€ = ๐ฟ)
47 uzp1 12885 . . . . . . . . . 10 (๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ฟ) โ†’ (๐‘€ = ๐ฟ โˆจ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฟ + 1))))
4817, 47syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ = ๐ฟ โˆจ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฟ + 1))))
4948adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โ†’ (๐‘€ = ๐ฟ โˆจ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฟ + 1))))
5049ord 863 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โ†’ (ยฌ ๐‘€ = ๐ฟ โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฟ + 1))))
5146, 50mpd 15 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฟ + 1)))
526adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„ค)
53 uzid 12859 . . . . . . 7 (๐ฟ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ฟ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ฟ))
5452, 53syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โ†’ ๐ฟ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ฟ))
55 fmul01lt1lem1.2 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘–๐œ‘
56 nfv 1910 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘– ๐‘— โˆˆ (๐ฟ...๐‘€)
5755, 56nfan 1895 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘–(๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (๐ฟ...๐‘€))
58 fmul01lt1lem1.1 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘–๐ต
59 nfcv 2898 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘–๐‘—
6058, 59nffv 6901 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘–(๐ตโ€˜๐‘—)
6160nfel1 2914 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘–(๐ตโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„
6257, 61nfim 1892 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘–((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (๐ฟ...๐‘€)) โ†’ (๐ตโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„)
63 eleq1 2816 . . . . . . . . . 10 (๐‘– = ๐‘— โ†’ (๐‘– โˆˆ (๐ฟ...๐‘€) โ†” ๐‘— โˆˆ (๐ฟ...๐‘€)))
6463anbi2d 628 . . . . . . . . 9 (๐‘– = ๐‘— โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ฟ...๐‘€)) โ†” (๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (๐ฟ...๐‘€))))
65 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (๐‘– = ๐‘— โ†’ (๐ตโ€˜๐‘–) = (๐ตโ€˜๐‘—))
6665eleq1d 2813 . . . . . . . . 9 (๐‘– = ๐‘— โ†’ ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โ†” (๐ตโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„))
6764, 66imbi12d 344 . . . . . . . 8 (๐‘– = ๐‘— โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ฟ...๐‘€)) โ†’ (๐ตโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (๐ฟ...๐‘€)) โ†’ (๐ตโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„)))
68 fmul01lt1lem1.6 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ฟ...๐‘€)) โ†’ (๐ตโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„)
6962, 67, 68chvarfv 2226 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (๐ฟ...๐‘€)) โ†’ (๐ตโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„)
7069adantlr 714 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โˆง ๐‘— โˆˆ (๐ฟ...๐‘€)) โ†’ (๐ตโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„)
7130, 38, 51, 54, 70seqsplit 14024 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โ†’ (seq๐ฟ( ยท , ๐ต)โ€˜๐‘€) = ((seq๐ฟ( ยท , ๐ต)โ€˜๐ฟ) ยท (seq(๐ฟ + 1)( ยท , ๐ต)โ€˜๐‘€)))
72 eluzfz1 13532 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ฟ) โ†’ ๐ฟ โˆˆ (๐ฟ...๐‘€))
7317, 72syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ (๐ฟ...๐‘€))
7473ancli 548 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐œ‘ โˆง ๐ฟ โˆˆ (๐ฟ...๐‘€)))
75 nfv 1910 . . . . . . . . . . . . 13 โ„ฒ๐‘– ๐ฟ โˆˆ (๐ฟ...๐‘€)
7655, 75nfan 1895 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘–(๐œ‘ โˆง ๐ฟ โˆˆ (๐ฟ...๐‘€))
77 nfcv 2898 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„ฒ๐‘–๐ฟ
7858, 77nffv 6901 . . . . . . . . . . . . 13 โ„ฒ๐‘–(๐ตโ€˜๐ฟ)
7978nfel1 2914 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘–(๐ตโ€˜๐ฟ) โˆˆ โ„
8076, 79nfim 1892 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘–((๐œ‘ โˆง ๐ฟ โˆˆ (๐ฟ...๐‘€)) โ†’ (๐ตโ€˜๐ฟ) โˆˆ โ„)
81 eleq1 2816 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘– = ๐ฟ โ†’ (๐‘– โˆˆ (๐ฟ...๐‘€) โ†” ๐ฟ โˆˆ (๐ฟ...๐‘€)))
8281anbi2d 628 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘– = ๐ฟ โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ฟ...๐‘€)) โ†” (๐œ‘ โˆง ๐ฟ โˆˆ (๐ฟ...๐‘€))))
83 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘– = ๐ฟ โ†’ (๐ตโ€˜๐‘–) = (๐ตโ€˜๐ฟ))
8483eleq1d 2813 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘– = ๐ฟ โ†’ ((๐ตโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„ โ†” (๐ตโ€˜๐ฟ) โˆˆ โ„))
8582, 84imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (๐‘– = ๐ฟ โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ฟ...๐‘€)) โ†’ (๐ตโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ โˆˆ (๐ฟ...๐‘€)) โ†’ (๐ตโ€˜๐ฟ) โˆˆ โ„)))
8680, 85, 68vtoclg1f 3554 . . . . . . . . . 10 (๐ฟ โˆˆ (๐ฟ...๐‘€) โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ โˆˆ (๐ฟ...๐‘€)) โ†’ (๐ตโ€˜๐ฟ) โˆˆ โ„))
8773, 74, 86sylc 65 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ€˜๐ฟ) โˆˆ โ„)
888, 87eqeltrd 2828 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (seq๐ฟ( ยท , ๐ต)โ€˜๐ฟ) โˆˆ โ„)
8988adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โ†’ (seq๐ฟ( ยท , ๐ต)โ€˜๐ฟ) โˆˆ โ„)
906adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ((๐ฟ + 1)...๐‘€)) โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„ค)
9119adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ((๐ฟ + 1)...๐‘€)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
92 elfzelz 13525 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— โˆˆ ((๐ฟ + 1)...๐‘€) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„ค)
9392adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ((๐ฟ + 1)...๐‘€)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„ค)
9416adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ((๐ฟ + 1)...๐‘€)) โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„)
95 peano2re 11409 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ฟ โˆˆ โ„ โ†’ (๐ฟ + 1) โˆˆ โ„)
9616, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐ฟ + 1) โˆˆ โ„)
9796adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ((๐ฟ + 1)...๐‘€)) โ†’ (๐ฟ + 1) โˆˆ โ„)
9892zred 12688 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘— โˆˆ ((๐ฟ + 1)...๐‘€) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„)
9998adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ((๐ฟ + 1)...๐‘€)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„)
10016lep1d 12167 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โ‰ค (๐ฟ + 1))
101100adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ((๐ฟ + 1)...๐‘€)) โ†’ ๐ฟ โ‰ค (๐ฟ + 1))
102 elfzle1 13528 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘— โˆˆ ((๐ฟ + 1)...๐‘€) โ†’ (๐ฟ + 1) โ‰ค ๐‘—)
103102adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ((๐ฟ + 1)...๐‘€)) โ†’ (๐ฟ + 1) โ‰ค ๐‘—)
10494, 97, 99, 101, 103letrd 11393 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ((๐ฟ + 1)...๐‘€)) โ†’ ๐ฟ โ‰ค ๐‘—)
105 elfzle2 13529 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— โˆˆ ((๐ฟ + 1)...๐‘€) โ†’ ๐‘— โ‰ค ๐‘€)
106105adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ((๐ฟ + 1)...๐‘€)) โ†’ ๐‘— โ‰ค ๐‘€)
10790, 91, 93, 104, 106elfzd 13516 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ((๐ฟ + 1)...๐‘€)) โ†’ ๐‘— โˆˆ (๐ฟ...๐‘€))
108107, 69syldan 590 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ((๐ฟ + 1)...๐‘€)) โ†’ (๐ตโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„)
109108adantlr 714 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โˆง ๐‘— โˆˆ ((๐ฟ + 1)...๐‘€)) โ†’ (๐ตโ€˜๐‘—) โˆˆ โ„)
11051, 109, 30seqcl 14011 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โ†’ (seq(๐ฟ + 1)( ยท , ๐ต)โ€˜๐‘€) โˆˆ โ„)
11189, 110remulcld 11266 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โ†’ ((seq๐ฟ( ยท , ๐ต)โ€˜๐ฟ) ยท (seq(๐ฟ + 1)( ยท , ๐ต)โ€˜๐‘€)) โˆˆ โ„)
112 fmul01lt1lem1.9 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„+)
113112rpred 13040 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„)
114113adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„)
115 1red 11237 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
116 nfcv 2898 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„ฒ๐‘–0
117 nfcv 2898 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„ฒ๐‘– โ‰ค
118116, 117, 78nfbr 5189 . . . . . . . . . . . . 13 โ„ฒ๐‘–0 โ‰ค (๐ตโ€˜๐ฟ)
11976, 118nfim 1892 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘–((๐œ‘ โˆง ๐ฟ โˆˆ (๐ฟ...๐‘€)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ตโ€˜๐ฟ))
12083breq2d 5154 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘– = ๐ฟ โ†’ (0 โ‰ค (๐ตโ€˜๐‘–) โ†” 0 โ‰ค (๐ตโ€˜๐ฟ)))
12182, 120imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘– = ๐ฟ โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ฟ...๐‘€)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ตโ€˜๐‘–)) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ โˆˆ (๐ฟ...๐‘€)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ตโ€˜๐ฟ))))
122 fmul01lt1lem1.7 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ฟ...๐‘€)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ตโ€˜๐‘–))
123119, 121, 122vtoclg1f 3554 . . . . . . . . . . 11 (๐ฟ โˆˆ (๐ฟ...๐‘€) โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ โˆˆ (๐ฟ...๐‘€)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ตโ€˜๐ฟ)))
12473, 74, 123sylc 65 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐ตโ€˜๐ฟ))
125124, 8breqtrrd 5170 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (seq๐ฟ( ยท , ๐ต)โ€˜๐ฟ))
126125adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โ†’ 0 โ‰ค (seq๐ฟ( ยท , ๐ต)โ€˜๐ฟ))
127 nfv 1910 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘– ๐ฟ < ๐‘€
12855, 127nfan 1895 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘–(๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€)
129 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 seq(๐ฟ + 1)( ยท , ๐ต) = seq(๐ฟ + 1)( ยท , ๐ต)
1306peano2zd 12691 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ฟ + 1) โˆˆ โ„ค)
131130adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โ†’ (๐ฟ + 1) โˆˆ โ„ค)
13216adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„)
133132, 39gtned 11371 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โ†’ ๐‘€ โ‰  ๐ฟ)
134133neneqd 2940 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โ†’ ยฌ ๐‘€ = ๐ฟ)
13517adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ฟ))
136135, 47syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โ†’ (๐‘€ = ๐ฟ โˆจ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฟ + 1))))
137 orel1 887 . . . . . . . . . . 11 (ยฌ ๐‘€ = ๐ฟ โ†’ ((๐‘€ = ๐ฟ โˆจ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฟ + 1))) โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฟ + 1))))
138134, 136, 137sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฟ + 1)))
13919adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
140 zltp1le 12634 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ฟ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ฟ < ๐‘€ โ†” (๐ฟ + 1) โ‰ค ๐‘€))
14152, 139, 140syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โ†’ (๐ฟ < ๐‘€ โ†” (๐ฟ + 1) โ‰ค ๐‘€))
14239, 141mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โ†’ (๐ฟ + 1) โ‰ค ๐‘€)
14320adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
144143leidd 11802 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โ†’ ๐‘€ โ‰ค ๐‘€)
145131, 139, 139, 142, 144elfzd 13516 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โ†’ ๐‘€ โˆˆ ((๐ฟ + 1)...๐‘€))
1466adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ((๐ฟ + 1)...๐‘€)) โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„ค)
14719adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ((๐ฟ + 1)...๐‘€)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
148 elfzelz 13525 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘– โˆˆ ((๐ฟ + 1)...๐‘€) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„ค)
149148adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ((๐ฟ + 1)...๐‘€)) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„ค)
15016adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ((๐ฟ + 1)...๐‘€)) โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„)
151150, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ((๐ฟ + 1)...๐‘€)) โ†’ (๐ฟ + 1) โˆˆ โ„)
152148zred 12688 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘– โˆˆ ((๐ฟ + 1)...๐‘€) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„)
153152adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ((๐ฟ + 1)...๐‘€)) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„)
154100adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ((๐ฟ + 1)...๐‘€)) โ†’ ๐ฟ โ‰ค (๐ฟ + 1))
155 elfzle1 13528 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘– โˆˆ ((๐ฟ + 1)...๐‘€) โ†’ (๐ฟ + 1) โ‰ค ๐‘–)
156155adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ((๐ฟ + 1)...๐‘€)) โ†’ (๐ฟ + 1) โ‰ค ๐‘–)
157150, 151, 153, 154, 156letrd 11393 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ((๐ฟ + 1)...๐‘€)) โ†’ ๐ฟ โ‰ค ๐‘–)
158 elfzle2 13529 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘– โˆˆ ((๐ฟ + 1)...๐‘€) โ†’ ๐‘– โ‰ค ๐‘€)
159158adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ((๐ฟ + 1)...๐‘€)) โ†’ ๐‘– โ‰ค ๐‘€)
160146, 147, 149, 157, 159elfzd 13516 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ((๐ฟ + 1)...๐‘€)) โ†’ ๐‘– โˆˆ (๐ฟ...๐‘€))
161160, 68syldan 590 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ((๐ฟ + 1)...๐‘€)) โ†’ (๐ตโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„)
162161adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โˆง ๐‘– โˆˆ ((๐ฟ + 1)...๐‘€)) โ†’ (๐ตโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„)
163 simpll 766 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โˆง ๐‘– โˆˆ ((๐ฟ + 1)...๐‘€)) โ†’ ๐œ‘)
1646ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โˆง ๐‘– โˆˆ ((๐ฟ + 1)...๐‘€)) โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„ค)
16519ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โˆง ๐‘– โˆˆ ((๐ฟ + 1)...๐‘€)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
166148adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โˆง ๐‘– โˆˆ ((๐ฟ + 1)...๐‘€)) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„ค)
16716ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โˆง ๐‘– โˆˆ ((๐ฟ + 1)...๐‘€)) โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„)
16896ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โˆง ๐‘– โˆˆ ((๐ฟ + 1)...๐‘€)) โ†’ (๐ฟ + 1) โˆˆ โ„)
169152adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โˆง ๐‘– โˆˆ ((๐ฟ + 1)...๐‘€)) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„)
170100ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โˆง ๐‘– โˆˆ ((๐ฟ + 1)...๐‘€)) โ†’ ๐ฟ โ‰ค (๐ฟ + 1))
171155adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โˆง ๐‘– โˆˆ ((๐ฟ + 1)...๐‘€)) โ†’ (๐ฟ + 1) โ‰ค ๐‘–)
172167, 168, 169, 170, 171letrd 11393 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โˆง ๐‘– โˆˆ ((๐ฟ + 1)...๐‘€)) โ†’ ๐ฟ โ‰ค ๐‘–)
173158adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โˆง ๐‘– โˆˆ ((๐ฟ + 1)...๐‘€)) โ†’ ๐‘– โ‰ค ๐‘€)
174164, 165, 166, 172, 173elfzd 13516 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โˆง ๐‘– โˆˆ ((๐ฟ + 1)...๐‘€)) โ†’ ๐‘– โˆˆ (๐ฟ...๐‘€))
175163, 174, 122syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โˆง ๐‘– โˆˆ ((๐ฟ + 1)...๐‘€)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ตโ€˜๐‘–))
176 fmul01lt1lem1.8 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ฟ...๐‘€)) โ†’ (๐ตโ€˜๐‘–) โ‰ค 1)
177163, 174, 176syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โˆง ๐‘– โˆˆ ((๐ฟ + 1)...๐‘€)) โ†’ (๐ตโ€˜๐‘–) โ‰ค 1)
17858, 128, 129, 131, 138, 145, 162, 175, 177fmul01 44891 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โ†’ (0 โ‰ค (seq(๐ฟ + 1)( ยท , ๐ต)โ€˜๐‘€) โˆง (seq(๐ฟ + 1)( ยท , ๐ต)โ€˜๐‘€) โ‰ค 1))
179178simprd 495 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โ†’ (seq(๐ฟ + 1)( ยท , ๐ต)โ€˜๐‘€) โ‰ค 1)
180110, 115, 89, 126, 179lemul2ad 12176 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โ†’ ((seq๐ฟ( ยท , ๐ต)โ€˜๐ฟ) ยท (seq(๐ฟ + 1)( ยท , ๐ต)โ€˜๐‘€)) โ‰ค ((seq๐ฟ( ยท , ๐ต)โ€˜๐ฟ) ยท 1))
18188recnd 11264 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (seq๐ฟ( ยท , ๐ต)โ€˜๐ฟ) โˆˆ โ„‚)
182181mulridd 11253 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((seq๐ฟ( ยท , ๐ต)โ€˜๐ฟ) ยท 1) = (seq๐ฟ( ยท , ๐ต)โ€˜๐ฟ))
183182adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โ†’ ((seq๐ฟ( ยท , ๐ต)โ€˜๐ฟ) ยท 1) = (seq๐ฟ( ยท , ๐ต)โ€˜๐ฟ))
184180, 183breqtrd 5168 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โ†’ ((seq๐ฟ( ยท , ๐ต)โ€˜๐ฟ) ยท (seq(๐ฟ + 1)( ยท , ๐ต)โ€˜๐‘€)) โ‰ค (seq๐ฟ( ยท , ๐ต)โ€˜๐ฟ))
1858, 11eqbrtrd 5164 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (seq๐ฟ( ยท , ๐ต)โ€˜๐ฟ) < ๐ธ)
186185adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โ†’ (seq๐ฟ( ยท , ๐ต)โ€˜๐ฟ) < ๐ธ)
187111, 89, 114, 184, 186lelttrd 11394 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โ†’ ((seq๐ฟ( ยท , ๐ต)โ€˜๐ฟ) ยท (seq(๐ฟ + 1)( ยท , ๐ต)โ€˜๐‘€)) < ๐ธ)
18871, 187eqbrtrd 5164 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โ†’ (seq๐ฟ( ยท , ๐ต)โ€˜๐‘€) < ๐ธ)
18928, 188eqbrtrid 5177 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ฟ < ๐‘€) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘€) < ๐ธ)
19027, 189syldan 590 . 2 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐‘€ = ๐ฟ) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘€) < ๐ธ)
19113, 190pm2.61dan 812 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ€˜๐‘€) < ๐ธ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1085   = wceq 1534  โ„ฒwnf 1778   โˆˆ wcel 2099  โ„ฒwnfc 2878   โ‰  wne 2935   class class class wbr 5142  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11128  โ„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   ยท cmul 11135   < clt 11270   โ‰ค cle 11271  โ„คcz 12580  โ„คโ‰ฅcuz 12844  โ„+crp 12998  ...cfz 13508  seqcseq 13990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991
This theorem is referenced by:  fmul01lt1lem2  44896
  Copyright terms: Public domain W3C validator