Theorem madeun 27367

Description: The made set is the union of the old set and the new set. (Contributed by Scott Fenton, 9-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
madeun	⊢ ( M ‘𝐴) = (( O ‘𝐴) ∪ ( N ‘𝐴))

Proof of Theorem madeun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		newval 27339	. . 3 ⊢ ( N ‘𝐴) = (( M ‘𝐴) ∖ ( O ‘𝐴))
2	1	uneq2i 4159	. 2 ⊢ (( O ‘𝐴) ∪ ( N ‘𝐴)) = (( O ‘𝐴) ∪ (( M ‘𝐴) ∖ ( O ‘𝐴)))
3		oldssmade 27361	. . 3 ⊢ ( O ‘𝐴) ⊆ ( M ‘𝐴)
4		undif 4480	. . 3 ⊢ (( O ‘𝐴) ⊆ ( M ‘𝐴) ↔ (( O ‘𝐴) ∪ (( M ‘𝐴) ∖ ( O ‘𝐴))) = ( M ‘𝐴))
5	3, 4	mpbi 229	. 2 ⊢ (( O ‘𝐴) ∪ (( M ‘𝐴) ∖ ( O ‘𝐴))) = ( M ‘𝐴)
6	2, 5	eqtr2i 2761	1 ⊢ ( M ‘𝐴) = (( O ‘𝐴) ∪ ( N ‘𝐴))

Syntax hints:   = wceq 1541   ∖ cdif 3944   ∪ cun 3945   ⊆ wss 3947  ‘cfv 6540   M cmade 27326   O cold 27327   N cnew 27328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-1o 8462  df-2o 8463  df-no 27135  df-slt 27136  df-bday 27137  df-sslt 27272  df-scut 27274  df-made 27331  df-old 27332  df-new 27333

This theorem is referenced by:  oldsuc  27369