Theorem madeun 27828

Description: The made set is the union of the old set and the new set. (Contributed by Scott Fenton, 9-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
madeun	⊢ ( M ‘𝐴) = (( O ‘𝐴) ∪ ( N ‘𝐴))

Proof of Theorem madeun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		newval 27800	. . 3 ⊢ ( N ‘𝐴) = (( M ‘𝐴) ∖ ( O ‘𝐴))
2	1	uneq2i 4159	. 2 ⊢ (( O ‘𝐴) ∪ ( N ‘𝐴)) = (( O ‘𝐴) ∪ (( M ‘𝐴) ∖ ( O ‘𝐴)))
3		oldssmade 27822	. . 3 ⊢ ( O ‘𝐴) ⊆ ( M ‘𝐴)
4		undif 4483	. . 3 ⊢ (( O ‘𝐴) ⊆ ( M ‘𝐴) ↔ (( O ‘𝐴) ∪ (( M ‘𝐴) ∖ ( O ‘𝐴))) = ( M ‘𝐴))
5	3, 4	mpbi 229	. 2 ⊢ (( O ‘𝐴) ∪ (( M ‘𝐴) ∖ ( O ‘𝐴))) = ( M ‘𝐴)
6	2, 5	eqtr2i 2756	1 ⊢ ( M ‘𝐴) = (( O ‘𝐴) ∪ ( N ‘𝐴))

Syntax hints:   = wceq 1533   ∖ cdif 3944   ∪ cun 3945   ⊆ wss 3947  ‘cfv 6551   M cmade 27787   O cold 27788   N cnew 27789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-1o 8491  df-2o 8492  df-no 27594  df-slt 27595  df-bday 27596  df-sslt 27732  df-scut 27734  df-made 27792  df-old 27793  df-new 27794

This theorem is referenced by:  oldsuc  27830  sltonold  28171