Theorem madeun 33993

Description: The made set is the union of the old set and the new set. (Contributed by Scott Fenton, 9-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
madeun	⊢ ( M ‘𝐴) = (( O ‘𝐴) ∪ ( N ‘𝐴))

Proof of Theorem madeun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		newval 33966	. . 3 ⊢ ( N ‘𝐴) = (( M ‘𝐴) ∖ ( O ‘𝐴))
2	1	uneq2i 4090	. 2 ⊢ (( O ‘𝐴) ∪ ( N ‘𝐴)) = (( O ‘𝐴) ∪ (( M ‘𝐴) ∖ ( O ‘𝐴)))
3		oldssmade 33987	. . 3 ⊢ ( O ‘𝐴) ⊆ ( M ‘𝐴)
4		undif 4412	. . 3 ⊢ (( O ‘𝐴) ⊆ ( M ‘𝐴) ↔ (( O ‘𝐴) ∪ (( M ‘𝐴) ∖ ( O ‘𝐴))) = ( M ‘𝐴))
5	3, 4	mpbi 229	. 2 ⊢ (( O ‘𝐴) ∪ (( M ‘𝐴) ∖ ( O ‘𝐴))) = ( M ‘𝐴)
6	2, 5	eqtr2i 2767	1 ⊢ ( M ‘𝐴) = (( O ‘𝐴) ∪ ( N ‘𝐴))

Syntax hints:   = wceq 1539   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883  ‘cfv 6418   M cmade 33953   O cold 33954   N cnew 33955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-1o 8267  df-2o 8268  df-no 33773  df-slt 33774  df-bday 33775  df-sslt 33903  df-scut 33905  df-made 33958  df-old 33959  df-new 33960

This theorem is referenced by:  oldsuc  33995