MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  madeoldsuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem madeoldsuc 27379
Description: The made set is the old set of its successor. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
madeoldsuc (𝐴 ∈ On β†’ ( M β€˜π΄) = ( O β€˜suc 𝐴))

Proof of Theorem madeoldsuc
StepHypRef Expression
1 df-suc 6371 . . . . . . . 8 suc 𝐴 = (𝐴 βˆͺ {𝐴})
21imaeq2i 6058 . . . . . . 7 ( M β€œ suc 𝐴) = ( M β€œ (𝐴 βˆͺ {𝐴}))
3 imaundi 6150 . . . . . . 7 ( M β€œ (𝐴 βˆͺ {𝐴})) = (( M β€œ 𝐴) βˆͺ ( M β€œ {𝐴}))
42, 3eqtri 2761 . . . . . 6 ( M β€œ suc 𝐴) = (( M β€œ 𝐴) βˆͺ ( M β€œ {𝐴}))
54unieqi 4922 . . . . 5 βˆͺ ( M β€œ suc 𝐴) = βˆͺ (( M β€œ 𝐴) βˆͺ ( M β€œ {𝐴}))
6 uniun 4935 . . . . 5 βˆͺ (( M β€œ 𝐴) βˆͺ ( M β€œ {𝐴})) = (βˆͺ ( M β€œ 𝐴) βˆͺ βˆͺ ( M β€œ {𝐴}))
75, 6eqtri 2761 . . . 4 βˆͺ ( M β€œ suc 𝐴) = (βˆͺ ( M β€œ 𝐴) βˆͺ βˆͺ ( M β€œ {𝐴}))
87a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ On β†’ βˆͺ ( M β€œ suc 𝐴) = (βˆͺ ( M β€œ 𝐴) βˆͺ βˆͺ ( M β€œ {𝐴})))
9 oldval 27349 . . . . 5 (𝐴 ∈ On β†’ ( O β€˜π΄) = βˆͺ ( M β€œ 𝐴))
109eqcomd 2739 . . . 4 (𝐴 ∈ On β†’ βˆͺ ( M β€œ 𝐴) = ( O β€˜π΄))
11 madef 27351 . . . . . . . 8 M :OnβŸΆπ’« No
12 ffn 6718 . . . . . . . 8 ( M :OnβŸΆπ’« No β†’ M Fn On)
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . 7 M Fn On
14 fnsnfv 6971 . . . . . . . 8 (( M Fn On ∧ 𝐴 ∈ On) β†’ {( M β€˜π΄)} = ( M β€œ {𝐴}))
1514eqcomd 2739 . . . . . . 7 (( M Fn On ∧ 𝐴 ∈ On) β†’ ( M β€œ {𝐴}) = {( M β€˜π΄)})
1613, 15mpan 689 . . . . . 6 (𝐴 ∈ On β†’ ( M β€œ {𝐴}) = {( M β€˜π΄)})
1716unieqd 4923 . . . . 5 (𝐴 ∈ On β†’ βˆͺ ( M β€œ {𝐴}) = βˆͺ {( M β€˜π΄)})
18 fvex 6905 . . . . . 6 ( M β€˜π΄) ∈ V
1918unisn 4931 . . . . 5 βˆͺ {( M β€˜π΄)} = ( M β€˜π΄)
2017, 19eqtrdi 2789 . . . 4 (𝐴 ∈ On β†’ βˆͺ ( M β€œ {𝐴}) = ( M β€˜π΄))
2110, 20uneq12d 4165 . . 3 (𝐴 ∈ On β†’ (βˆͺ ( M β€œ 𝐴) βˆͺ βˆͺ ( M β€œ {𝐴})) = (( O β€˜π΄) βˆͺ ( M β€˜π΄)))
22 oldssmade 27372 . . . . 5 ( O β€˜π΄) βŠ† ( M β€˜π΄)
2322a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ On β†’ ( O β€˜π΄) βŠ† ( M β€˜π΄))
24 ssequn1 4181 . . . 4 (( O β€˜π΄) βŠ† ( M β€˜π΄) ↔ (( O β€˜π΄) βˆͺ ( M β€˜π΄)) = ( M β€˜π΄))
2523, 24sylib 217 . . 3 (𝐴 ∈ On β†’ (( O β€˜π΄) βˆͺ ( M β€˜π΄)) = ( M β€˜π΄))
268, 21, 253eqtrrd 2778 . 2 (𝐴 ∈ On β†’ ( M β€˜π΄) = βˆͺ ( M β€œ suc 𝐴))
27 onsuc 7799 . . 3 (𝐴 ∈ On β†’ suc 𝐴 ∈ On)
28 oldval 27349 . . 3 (suc 𝐴 ∈ On β†’ ( O β€˜suc 𝐴) = βˆͺ ( M β€œ suc 𝐴))
2927, 28syl 17 . 2 (𝐴 ∈ On β†’ ( O β€˜suc 𝐴) = βˆͺ ( M β€œ suc 𝐴))
3026, 29eqtr4d 2776 1 (𝐴 ∈ On β†’ ( M β€˜π΄) = ( O β€˜suc 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603  {csn 4629  βˆͺ cuni 4909   β€œ cima 5680  Oncon0 6365  suc csuc 6367   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544   No csur 27143   M cmade 27337   O cold 27338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-1o 8466  df-2o 8467  df-no 27146  df-slt 27147  df-bday 27148  df-sslt 27283  df-scut 27285  df-made 27342  df-old 27343
This theorem is referenced by:  oldsuc  27380  oldlim  27381
  Copyright terms: Public domain W3C validator