MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapfienlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapfienlem2 9267
Description: Lemma 2 for mapfien 9269. (Contributed by AV, 3-Jul-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mapfien.s 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐵m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}
mapfien.t 𝑇 = {𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊}
mapfien.w 𝑊 = (𝐺𝑍)
mapfien.f (𝜑𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
mapfien.g (𝜑𝐺:𝐵1-1-onto𝐷)
mapfien.a (𝜑𝐴𝑈)
mapfien.b (𝜑𝐵𝑉)
mapfien.c (𝜑𝐶𝑋)
mapfien.d (𝜑𝐷𝑌)
mapfien.z (𝜑𝑍𝐵)
Assertion
Ref Expression
mapfienlem2 ((𝜑𝑔𝑇) → ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) finSupp 𝑍)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑥   𝜑,𝑔   𝑥,𝐷   𝑆,𝑔   𝑇,𝑔   𝑥,𝑊   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑔)   𝐵(𝑔)   𝐶(𝑔)   𝐷(𝑔)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑈(𝑥,𝑔)   𝑉(𝑥,𝑔)   𝑊(𝑔)   𝑋(𝑥,𝑔)   𝑌(𝑥,𝑔)   𝑍(𝑔)

Proof of Theorem mapfienlem2
StepHypRef Expression
1 mapfien.z . . . 4 (𝜑𝑍𝐵)
21adantr 482 . . 3 ((𝜑𝑔𝑇) → 𝑍𝐵)
3 mapfien.w . . . . 5 𝑊 = (𝐺𝑍)
4 mapfien.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺:𝐵1-1-onto𝐷)
5 f1of 6771 . . . . . . 7 (𝐺:𝐵1-1-onto𝐷𝐺:𝐵𝐷)
64, 5syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺:𝐵𝐷)
76, 1ffvelcdmd 7022 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺𝑍) ∈ 𝐷)
83, 7eqeltrid 2842 . . . 4 (𝜑𝑊𝐷)
98adantr 482 . . 3 ((𝜑𝑔𝑇) → 𝑊𝐷)
10 elrabi 3631 . . . . . 6 (𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊} → 𝑔 ∈ (𝐷m 𝐶))
11 elmapi 8712 . . . . . 6 (𝑔 ∈ (𝐷m 𝐶) → 𝑔:𝐶𝐷)
1210, 11syl 17 . . . . 5 (𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊} → 𝑔:𝐶𝐷)
13 mapfien.t . . . . 5 𝑇 = {𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊}
1412, 13eleq2s 2856 . . . 4 (𝑔𝑇𝑔:𝐶𝐷)
1514adantl 483 . . 3 ((𝜑𝑔𝑇) → 𝑔:𝐶𝐷)
16 f1ocnv 6783 . . . . 5 (𝐺:𝐵1-1-onto𝐷𝐺:𝐷1-1-onto𝐵)
17 f1of 6771 . . . . 5 (𝐺:𝐷1-1-onto𝐵𝐺:𝐷𝐵)
184, 16, 173syl 18 . . . 4 (𝜑𝐺:𝐷𝐵)
1918adantr 482 . . 3 ((𝜑𝑔𝑇) → 𝐺:𝐷𝐵)
20 ssidd 3958 . . 3 ((𝜑𝑔𝑇) → 𝐷𝐷)
21 mapfien.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑋)
2221adantr 482 . . 3 ((𝜑𝑔𝑇) → 𝐶𝑋)
23 mapfien.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑌)
2423adantr 482 . . 3 ((𝜑𝑔𝑇) → 𝐷𝑌)
25 breq1 5099 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑔 → (𝑥 finSupp 𝑊𝑔 finSupp 𝑊))
2625elrab 3637 . . . . . 6 (𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊} ↔ (𝑔 ∈ (𝐷m 𝐶) ∧ 𝑔 finSupp 𝑊))
2726simprbi 498 . . . . 5 (𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊} → 𝑔 finSupp 𝑊)
2827, 13eleq2s 2856 . . . 4 (𝑔𝑇𝑔 finSupp 𝑊)
2928adantl 483 . . 3 ((𝜑𝑔𝑇) → 𝑔 finSupp 𝑊)
304, 1jca 513 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺:𝐵1-1-onto𝐷𝑍𝐵))
313eqcomi 2746 . . . . . 6 (𝐺𝑍) = 𝑊
3230, 31jctir 522 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺:𝐵1-1-onto𝐷𝑍𝐵) ∧ (𝐺𝑍) = 𝑊))
3332adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑇) → ((𝐺:𝐵1-1-onto𝐷𝑍𝐵) ∧ (𝐺𝑍) = 𝑊))
34 f1ocnvfv 7210 . . . . 5 ((𝐺:𝐵1-1-onto𝐷𝑍𝐵) → ((𝐺𝑍) = 𝑊 → (𝐺𝑊) = 𝑍))
3534imp 408 . . . 4 (((𝐺:𝐵1-1-onto𝐷𝑍𝐵) ∧ (𝐺𝑍) = 𝑊) → (𝐺𝑊) = 𝑍)
3633, 35syl 17 . . 3 ((𝜑𝑔𝑇) → (𝐺𝑊) = 𝑍)
372, 9, 15, 19, 20, 22, 24, 29, 36fsuppcor 9265 . 2 ((𝜑𝑔𝑇) → (𝐺𝑔) finSupp 𝑍)
38 mapfien.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
39 f1ocnv 6783 . . . 4 (𝐹:𝐶1-1-onto𝐴𝐹:𝐴1-1-onto𝐶)
40 f1of1 6770 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐶𝐹:𝐴1-1𝐶)
4138, 39, 403syl 18 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴1-1𝐶)
4241adantr 482 . 2 ((𝜑𝑔𝑇) → 𝐹:𝐴1-1𝐶)
43 mapfien.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑉)
446, 43jca 513 . . . 4 (𝜑 → (𝐺:𝐵𝐷𝐵𝑉))
45 fex 7162 . . . 4 ((𝐺:𝐵𝐷𝐵𝑉) → 𝐺 ∈ V)
46 cnvexg 7843 . . . 4 (𝐺 ∈ V → 𝐺 ∈ V)
4744, 45, 463syl 18 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ V)
48 coexg 7848 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑔𝑇) → (𝐺𝑔) ∈ V)
4947, 48sylan 581 . 2 ((𝜑𝑔𝑇) → (𝐺𝑔) ∈ V)
5037, 42, 2, 49fsuppco 9263 1 ((𝜑𝑔𝑇) → ((𝐺𝑔) ∘ 𝐹) finSupp 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1541  wcel 2106  {crab 3404  Vcvv 3442   class class class wbr 5096  ccnv 5623  ccom 5628  wf 6479  1-1wf1 6480  1-1-ontowf1o 6482  cfv 6483  (class class class)co 7341  m cmap 8690   finSupp cfsupp 9230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5233  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4857  df-iun 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7785  df-1st 7903  df-2nd 7904  df-supp 8052  df-1o 8371  df-map 8692  df-en 8809  df-fin 8812  df-fsupp 9231
This theorem is referenced by:  mapfienlem3  9268
  Copyright terms: Public domain W3C validator