Theorem mapfienlem2 9095

Description: Lemma 2 for mapfien 9097. (Contributed by AV, 3-Jul-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapfien.s	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐵 ↑m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}
mapfien.t	⊢ 𝑇 = {𝑥 ∈ (𝐷 ↑m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊}
mapfien.w	⊢ 𝑊 = (𝐺‘𝑍)
mapfien.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶–1-1-onto→𝐴)
mapfien.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵–1-1-onto→𝐷)
mapfien.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
mapfien.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
mapfien.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
mapfien.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
mapfien.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mapfienlem2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((◡𝐺 ∘ 𝑔) ∘ ◡𝐹) finSupp 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑥   𝜑,𝑔   𝑥,𝐷   𝑆,𝑔   𝑇,𝑔   𝑥,𝑊   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑔)   𝐵(𝑔)   𝐶(𝑔)   𝐷(𝑔)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑈(𝑥,𝑔)   𝑉(𝑥,𝑔)   𝑊(𝑔)   𝑋(𝑥,𝑔)   𝑌(𝑥,𝑔)   𝑍(𝑔)

Proof of Theorem mapfienlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapfien.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑍 ∈ 𝐵)
3		mapfien.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (𝐺‘𝑍)
4		mapfien.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵–1-1-onto→𝐷)
5		f1of 6700	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺:𝐵–1-1-onto→𝐷 → 𝐺:𝐵⟶𝐷)
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶𝐷)
7	6, 1	ffvelrnd 6944	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑍) ∈ 𝐷)
8	3, 7	eqeltrid 2843	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐷)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑊 ∈ 𝐷)
10		elrabi 3611	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (𝐷 ↑m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊} → 𝑔 ∈ (𝐷 ↑m 𝐶))
11		elmapi 8595	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ (𝐷 ↑m 𝐶) → 𝑔:𝐶⟶𝐷)
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (𝐷 ↑m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊} → 𝑔:𝐶⟶𝐷)
13		mapfien.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = {𝑥 ∈ (𝐷 ↑m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊}
14	12, 13	eleq2s 2857	. . . 4 ⊢ (𝑔 ∈ 𝑇 → 𝑔:𝐶⟶𝐷)
15	14	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑔:𝐶⟶𝐷)
16		f1ocnv 6712	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝐵–1-1-onto→𝐷 → ◡𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐵)
17		f1of 6700	. . . . 5 ⊢ (◡𝐺:𝐷–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐺:𝐷⟶𝐵)
18	4, 16, 17	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡𝐺:𝐷⟶𝐵)
19	18	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ◡𝐺:𝐷⟶𝐵)
20		ssidd 3940	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝐷 ⊆ 𝐷)
21		mapfien.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
22	21	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝐶 ∈ 𝑋)
23		mapfien.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
24	23	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝐷 ∈ 𝑌)
25		breq1 5073	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑔 → (𝑥 finSupp 𝑊 ↔ 𝑔 finSupp 𝑊))
26	25	elrab 3617	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (𝐷 ↑m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊} ↔ (𝑔 ∈ (𝐷 ↑m 𝐶) ∧ 𝑔 finSupp 𝑊))
27	26	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ {𝑥 ∈ (𝐷 ↑m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊} → 𝑔 finSupp 𝑊)
28	27, 13	eleq2s 2857	. . . 4 ⊢ (𝑔 ∈ 𝑇 → 𝑔 finSupp 𝑊)
29	28	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑔 finSupp 𝑊)
30	4, 1	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝐵–1-1-onto→𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵))
31	3	eqcomi 2747	. . . . . 6 ⊢ (𝐺‘𝑍) = 𝑊
32	30, 31	jctir 520	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐺:𝐵–1-1-onto→𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺‘𝑍) = 𝑊))
33	32	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝐺:𝐵–1-1-onto→𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺‘𝑍) = 𝑊))
34		f1ocnvfv 7131	. . . . 5 ⊢ ((𝐺:𝐵–1-1-onto→𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝐺‘𝑍) = 𝑊 → (◡𝐺‘𝑊) = 𝑍))
35	34	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝐺:𝐵–1-1-onto→𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺‘𝑍) = 𝑊) → (◡𝐺‘𝑊) = 𝑍)
36	33, 35	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (◡𝐺‘𝑊) = 𝑍)
37	2, 9, 15, 19, 20, 22, 24, 29, 36	fsuppcor 9093	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (◡𝐺 ∘ 𝑔) finSupp 𝑍)
38		mapfien.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶–1-1-onto→𝐴)
39		f1ocnv 6712	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐶–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐶)
40		f1of1 6699	. . . 4 ⊢ (◡𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐶 → ◡𝐹:𝐴–1-1→𝐶)
41	38, 39, 40	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹:𝐴–1-1→𝐶)
42	41	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ◡𝐹:𝐴–1-1→𝐶)
43		mapfien.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
44	6, 43	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝐵⟶𝐷 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
45		fex 7084	. . . 4 ⊢ ((𝐺:𝐵⟶𝐷 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ V)
46		cnvexg 7745	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → ◡𝐺 ∈ V)
47	44, 45, 46	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡𝐺 ∈ V)
48		coexg 7750	. . 3 ⊢ ((◡𝐺 ∈ V ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (◡𝐺 ∘ 𝑔) ∈ V)
49	47, 48	sylan 579	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (◡𝐺 ∘ 𝑔) ∈ V)
50	37, 42, 2, 49	fsuppco 9091	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((◡𝐺 ∘ 𝑔) ∘ ◡𝐹) finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {crab 3067  Vcvv 3422   class class class wbr 5070  ^◡ccnv 5579   ∘ ccom 5584  ⟶wf 6414  –1-1→wf1 6415  –1-1-onto→wf1o 6417  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573   finSupp cfsupp 9058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-1o 8267  df-map 8575  df-en 8692  df-fin 8695  df-fsupp 9059

This theorem is referenced by:  mapfienlem3  9096