MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matbas0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matbas0 22130
Description: There is no matrix for a not finite dimension or a proper class as the underlying ring. (Contributed by AV, 28-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
matbas0 (Β¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (Baseβ€˜(𝑁 Mat 𝑅)) = βˆ…)

Proof of Theorem matbas0
Dummy variables 𝑛 π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-mat 22128 . . . 4 Mat = (𝑛 ∈ Fin, π‘Ÿ ∈ V ↦ ((π‘Ÿ freeLMod (𝑛 Γ— 𝑛)) sSet ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘Ÿ maMul βŸ¨π‘›, 𝑛, π‘›βŸ©)⟩))
21mpondm0 7649 . . 3 (Β¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (𝑁 Mat 𝑅) = βˆ…)
32fveq2d 6895 . 2 (Β¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (Baseβ€˜(𝑁 Mat 𝑅)) = (Baseβ€˜βˆ…))
4 base0 17153 . 2 βˆ… = (Baseβ€˜βˆ…)
53, 4eqtr4di 2790 1 (Β¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (Baseβ€˜(𝑁 Mat 𝑅)) = βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  βˆ…c0 4322  βŸ¨cop 4634  βŸ¨cotp 4636   Γ— cxp 5674  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Fincfn 8941   sSet csts 17100  ndxcnx 17130  Basecbs 17148  .rcmulr 17202   freeLMod cfrlm 21520   maMul cmmul 22105   Mat cmat 22127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-1cn 11170  ax-addcl 11172
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-nn 12217  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-mat 22128
This theorem is referenced by:  nfimdetndef  22311  mdetfval1  22312
  Copyright terms: Public domain W3C validator