Theorem nfimdetndef 22465

Description: The determinant is not defined for an infinite matrix. (Contributed by AV, 27-Dec-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
nfimdetndef.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
nfimdetndef	⊢ (𝑁 ∉ Fin → 𝐷 = ∅)

Proof of Theorem nfimdetndef

Dummy variables 𝑚 𝑝 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfimdetndef.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2		eqid 2727	. . 3 ⊢ (𝑁 Mat 𝑅) = (𝑁 Mat 𝑅)
3		eqid 2727	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
4		eqid 2727	. . 3 ⊢ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
5		eqid 2727	. . 3 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
6		eqid 2727	. . 3 ⊢ (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
7		eqid 2727	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
8		eqid 2727	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mdetfval 22462	. 2 ⊢ 𝐷 = (𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))))))
10		df-nel 3042	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∉ Fin ↔ ¬ 𝑁 ∈ Fin)
11	10	biimpi 215	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∉ Fin → ¬ 𝑁 ∈ Fin)
12	11	intnanrd 489	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∉ Fin → ¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
13		matbas0 22284	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = ∅)
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∉ Fin → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = ∅)
15	14	mpteq1d 5237	. . 3 ⊢ (𝑁 ∉ Fin → (𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))) = (𝑚 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))))
16		mpt0 6691	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))) = ∅
17	15, 16	eqtrdi 2783	. 2 ⊢ (𝑁 ∉ Fin → (𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))) = ∅)
18	9, 17	eqtrid 2779	1 ⊢ (𝑁 ∉ Fin → 𝐷 = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∉ wnel 3041  Vcvv 3469  ∅c0 4318   ↦ cmpt 5225   ∘ ccom 5676  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8953  Basecbs 17165  ._rcmulr 17219   Σ_g cgsu 17407  SymGrpcsymg 19305  pmSgncpsgn 19428  mulGrpcmgp 20058  ℤRHomczrh 21405   Mat cmat 22281   maDet cmdat 22460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-1cn 11182  ax-addcl 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-nn 12229  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-mat 22282  df-mdet 22461

This theorem is referenced by:  mdetfval1  22466