MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nfimdetndef Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nfimdetndef 22485
Description: The determinant is not defined for an infinite matrix. (Contributed by AV, 27-Dec-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
nfimdetndef.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
Assertion
Ref Expression
nfimdetndef (𝑁 ∉ Fin → 𝐷 = ∅)

Proof of Theorem nfimdetndef
Dummy variables 𝑚 𝑝 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfimdetndef.d . . 3 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2 eqid 2728 . . 3 (𝑁 Mat 𝑅) = (𝑁 Mat 𝑅)
3 eqid 2728 . . 3 (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
4 eqid 2728 . . 3 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
5 eqid 2728 . . 3 (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
6 eqid 2728 . . 3 (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
7 eqid 2728 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
8 eqid 2728 . . 3 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mdetfval 22482 . 2 𝐷 = (𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥)))))))
10 df-nel 3043 . . . . . . 7 (𝑁 ∉ Fin ↔ ¬ 𝑁 ∈ Fin)
1110biimpi 215 . . . . . 6 (𝑁 ∉ Fin → ¬ 𝑁 ∈ Fin)
1211intnanrd 489 . . . . 5 (𝑁 ∉ Fin → ¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
13 matbas0 22304 . . . . 5 (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = ∅)
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝑁 ∉ Fin → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = ∅)
1514mpteq1d 5238 . . 3 (𝑁 ∉ Fin → (𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥))))))) = (𝑚 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥))))))))
16 mpt0 6692 . . 3 (𝑚 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥))))))) = ∅
1715, 16eqtrdi 2784 . 2 (𝑁 ∉ Fin → (𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥))))))) = ∅)
189, 17eqtrid 2780 1 (𝑁 ∉ Fin → 𝐷 = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wnel 3042  Vcvv 3470  c0 4319  cmpt 5226  ccom 5677  cfv 6543  (class class class)co 7415  Fincfn 8958  Basecbs 17174  .rcmulr 17228   Σg cgsu 17416  SymGrpcsymg 19315  pmSgncpsgn 19438  mulGrpcmgp 20068  ℤRHomczrh 21419   Mat cmat 22301   maDet cmdat 22480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-1cn 11191  ax-addcl 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-nn 12238  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-mat 22302  df-mdet 22481
This theorem is referenced by:  mdetfval1  22486
  Copyright terms: Public domain W3C validator