Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nfimdetndef Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nfimdetndef 21289
 Description: The determinant is not defined for an infinite matrix. (Contributed by AV, 27-Dec-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
nfimdetndef.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
Assertion
Ref Expression
nfimdetndef (𝑁 ∉ Fin → 𝐷 = ∅)

Proof of Theorem nfimdetndef
Dummy variables 𝑚 𝑝 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfimdetndef.d . . 3 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2 eqid 2758 . . 3 (𝑁 Mat 𝑅) = (𝑁 Mat 𝑅)
3 eqid 2758 . . 3 (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
4 eqid 2758 . . 3 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
5 eqid 2758 . . 3 (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
6 eqid 2758 . . 3 (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
7 eqid 2758 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
8 eqid 2758 . . 3 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mdetfval 21286 . 2 𝐷 = (𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥)))))))
10 df-nel 3056 . . . . . . 7 (𝑁 ∉ Fin ↔ ¬ 𝑁 ∈ Fin)
1110biimpi 219 . . . . . 6 (𝑁 ∉ Fin → ¬ 𝑁 ∈ Fin)
1211intnanrd 493 . . . . 5 (𝑁 ∉ Fin → ¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
13 matbas0 21110 . . . . 5 (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = ∅)
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝑁 ∉ Fin → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = ∅)
1514mpteq1d 5121 . . 3 (𝑁 ∉ Fin → (𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥))))))) = (𝑚 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥))))))))
16 mpt0 6473 . . 3 (𝑚 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥))))))) = ∅
1715, 16eqtrdi 2809 . 2 (𝑁 ∉ Fin → (𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝑚𝑥))))))) = ∅)
189, 17syl5eq 2805 1 (𝑁 ∉ Fin → 𝐷 = ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∉ wnel 3055  Vcvv 3409  ∅c0 4225   ↦ cmpt 5112   ∘ ccom 5528  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  Fincfn 8527  Basecbs 16541  .rcmulr 16624   Σg cgsu 16772  SymGrpcsymg 18562  pmSgncpsgn 18684  mulGrpcmgp 19307  ℤRHomczrh 20269   Mat cmat 21107   maDet cmdat 21284 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pr 5298 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-nul 4226  df-if 4421  df-sn 4523  df-pr 4525  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-id 5430  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-slot 16545  df-base 16547  df-mat 21108  df-mdet 21285 This theorem is referenced by:  mdetfval1  21290
 Copyright terms: Public domain W3C validator