Theorem nfimdetndef 22937

Description: The determinant is not defined for an infinite matrix. (Contributed by AV, 27-Dec-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
nfimdetndef.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
nfimdetndef	⊢ (𝑁 ∉ Fin → 𝐷 = ∅)

Proof of Theorem nfimdetndef

Dummy variables 𝑚 𝑝 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfimdetndef.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑁 Mat 𝑅) = (𝑁 Mat 𝑅)
3		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
4		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
5		eqid 2763	. . 3 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
6		eqid 2763	. . 3 ⊢ (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
7		eqid 2763	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
8		eqid 2763	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mdetfval 22934	. 2 ⊢ 𝐷 = (𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))))))
10		df-nel 3066	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∉ Fin ↔ ¬ 𝑁 ∈ Fin)
11	10	biimpi 219	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∉ Fin → ¬ 𝑁 ∈ Fin)
12	11	intnanrd 495	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∉ Fin → ¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
13		matbas0 22758	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = ∅)
14	12, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∉ Fin → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = ∅)
15	14	mpteq1d 5199	. . 3 ⊢ (𝑁 ∉ Fin → (𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))) = (𝑚 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))))
16		mpt0 6706	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))) = ∅
17	15, 16	eqtrdi 2814	. 2 ⊢ (𝑁 ∉ Fin → (𝑚 ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))) = ∅)
18	9, 17	eqtrid 2810	1 ⊢ (𝑁 ∉ Fin → 𝐷 = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∉ wnel 3065  Vcvv 3454  ∅c0 4281   ↦ cmpt 5190   ∘ ccom 5660  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  Fincfn 9004  Basecbs 17419  ._rcmulr 17461   Σ_g cgsu 17643  SymGrpcsymg 19616  pmSgncpsgn 19736  mulGrpcmgp 20393  ℤRHomczrh 21838   Mat cmat 22755   maDet cmdat 22932

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-1cn 11288  ax-addcl 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-nn 12366  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-mat 22756  df-mdet 22933

This theorem is used by:  mdetfval1  22938