MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetfval1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetfval1 22510
Description: First substitution of an alternative determinant definition. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Sep-2015.) (Revised by AV, 27-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetfval1.d ๐ท = (๐‘ maDet ๐‘…)
mdetfval1.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
mdetfval1.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
mdetfval1.p ๐‘ƒ = (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))
mdetfval1.y ๐‘Œ = (โ„คRHomโ€˜๐‘…)
mdetfval1.s ๐‘† = (pmSgnโ€˜๐‘)
mdetfval1.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
mdetfval1.u ๐‘ˆ = (mulGrpโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
mdetfval1 ๐ท = (๐‘š โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ ((๐‘Œโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘)) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘š๐‘ฅ)))))))
Distinct variable groups:   ๐‘š,๐‘,๐ต   ๐‘ฅ,๐‘š,๐‘,๐‘   ๐‘ƒ,๐‘š,๐‘   ๐‘…,๐‘š,๐‘,๐‘ฅ   ๐‘†,๐‘š   ๐‘ˆ,๐‘š   ๐‘š,๐‘Œ   ยท ,๐‘š
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ฅ,๐‘š,๐‘)   ๐ต(๐‘ฅ)   ๐ท(๐‘ฅ,๐‘š,๐‘)   ๐‘ƒ(๐‘ฅ)   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘)   ยท (๐‘ฅ,๐‘)   ๐‘ˆ(๐‘ฅ,๐‘)   ๐‘Œ(๐‘ฅ,๐‘)

Proof of Theorem mdetfval1
StepHypRef Expression
1 mdetfval1.d . . . 4 ๐ท = (๐‘ maDet ๐‘…)
2 mdetfval1.a . . . 4 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
3 mdetfval1.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
4 mdetfval1.p . . . 4 ๐‘ƒ = (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))
5 mdetfval1.y . . . 4 ๐‘Œ = (โ„คRHomโ€˜๐‘…)
6 mdetfval1.s . . . 4 ๐‘† = (pmSgnโ€˜๐‘)
7 mdetfval1.t . . . 4 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
8 mdetfval1.u . . . 4 ๐‘ˆ = (mulGrpโ€˜๐‘…)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mdetfval 22506 . . 3 ๐ท = (๐‘š โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘š๐‘ฅ)))))))
104, 6cofipsgn 21529 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) = (๐‘Œโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘)))
1110oveq1d 7431 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘š๐‘ฅ)))) = ((๐‘Œโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘)) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘š๐‘ฅ)))))
1211mpteq2dva 5243 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ Fin โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘š๐‘ฅ))))) = (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ ((๐‘Œโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘)) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘š๐‘ฅ))))))
1312oveq2d 7432 . . . 4 (๐‘ โˆˆ Fin โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘š๐‘ฅ)))))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ ((๐‘Œโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘)) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘š๐‘ฅ)))))))
1413mpteq2dv 5245 . . 3 (๐‘ โˆˆ Fin โ†’ (๐‘š โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘š๐‘ฅ))))))) = (๐‘š โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ ((๐‘Œโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘)) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘š๐‘ฅ))))))))
159, 14eqtrid 2777 . 2 (๐‘ โˆˆ Fin โ†’ ๐ท = (๐‘š โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ ((๐‘Œโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘)) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘š๐‘ฅ))))))))
16 df-nel 3037 . . 3 (๐‘ โˆ‰ Fin โ†” ยฌ ๐‘ โˆˆ Fin)
171nfimdetndef 22509 . . . 4 (๐‘ โˆ‰ Fin โ†’ ๐ท = โˆ…)
182fveq2i 6895 . . . . . . . 8 (Baseโ€˜๐ด) = (Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘…))
193, 18eqtri 2753 . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘…))
2016biimpi 215 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆ‰ Fin โ†’ ยฌ ๐‘ โˆˆ Fin)
2120intnanrd 488 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆ‰ Fin โ†’ ยฌ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ V))
22 matbas0 22328 . . . . . . . 8 (ยฌ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ V) โ†’ (Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘…)) = โˆ…)
2321, 22syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ โˆ‰ Fin โ†’ (Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘…)) = โˆ…)
2419, 23eqtrid 2777 . . . . . 6 (๐‘ โˆ‰ Fin โ†’ ๐ต = โˆ…)
2524mpteq1d 5238 . . . . 5 (๐‘ โˆ‰ Fin โ†’ (๐‘š โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ ((๐‘Œโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘)) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘š๐‘ฅ))))))) = (๐‘š โˆˆ โˆ… โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ ((๐‘Œโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘)) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘š๐‘ฅ))))))))
26 mpt0 6692 . . . . 5 (๐‘š โˆˆ โˆ… โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ ((๐‘Œโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘)) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘š๐‘ฅ))))))) = โˆ…
2725, 26eqtrdi 2781 . . . 4 (๐‘ โˆ‰ Fin โ†’ (๐‘š โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ ((๐‘Œโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘)) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘š๐‘ฅ))))))) = โˆ…)
2817, 27eqtr4d 2768 . . 3 (๐‘ โˆ‰ Fin โ†’ ๐ท = (๐‘š โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ ((๐‘Œโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘)) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘š๐‘ฅ))))))))
2916, 28sylbir 234 . 2 (ยฌ ๐‘ โˆˆ Fin โ†’ ๐ท = (๐‘š โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ ((๐‘Œโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘)) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘š๐‘ฅ))))))))
3015, 29pm2.61i 182 1 ๐ท = (๐‘š โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ ((๐‘Œโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘)) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘š๐‘ฅ)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โˆ‰ wnel 3036  Vcvv 3463  โˆ…c0 4318   โ†ฆ cmpt 5226   โˆ˜ ccom 5676  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Fincfn 8962  Basecbs 17179  .rcmulr 17233   ฮฃg cgsu 17421  SymGrpcsymg 19325  pmSgncpsgn 19448  mulGrpcmgp 20078  โ„คRHomczrh 21429   Mat cmat 22325   maDet cmdat 22504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-hash 14322  df-word 14497  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-tset 17251  df-efmnd 18825  df-symg 19326  df-psgn 19450  df-mat 22326  df-mdet 22505
This theorem is referenced by:  mdetleib1  22511
  Copyright terms: Public domain W3C validator