MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetfval1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetfval1 22447
Description: First substitution of an alternative determinant definition. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Sep-2015.) (Revised by AV, 27-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetfval1.d ๐ท = (๐‘ maDet ๐‘…)
mdetfval1.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
mdetfval1.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
mdetfval1.p ๐‘ƒ = (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))
mdetfval1.y ๐‘Œ = (โ„คRHomโ€˜๐‘…)
mdetfval1.s ๐‘† = (pmSgnโ€˜๐‘)
mdetfval1.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
mdetfval1.u ๐‘ˆ = (mulGrpโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
mdetfval1 ๐ท = (๐‘š โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ ((๐‘Œโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘)) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘š๐‘ฅ)))))))
Distinct variable groups:   ๐‘š,๐‘,๐ต   ๐‘ฅ,๐‘š,๐‘,๐‘   ๐‘ƒ,๐‘š,๐‘   ๐‘…,๐‘š,๐‘,๐‘ฅ   ๐‘†,๐‘š   ๐‘ˆ,๐‘š   ๐‘š,๐‘Œ   ยท ,๐‘š
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ฅ,๐‘š,๐‘)   ๐ต(๐‘ฅ)   ๐ท(๐‘ฅ,๐‘š,๐‘)   ๐‘ƒ(๐‘ฅ)   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘)   ยท (๐‘ฅ,๐‘)   ๐‘ˆ(๐‘ฅ,๐‘)   ๐‘Œ(๐‘ฅ,๐‘)

Proof of Theorem mdetfval1
StepHypRef Expression
1 mdetfval1.d . . . 4 ๐ท = (๐‘ maDet ๐‘…)
2 mdetfval1.a . . . 4 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
3 mdetfval1.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
4 mdetfval1.p . . . 4 ๐‘ƒ = (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))
5 mdetfval1.y . . . 4 ๐‘Œ = (โ„คRHomโ€˜๐‘…)
6 mdetfval1.s . . . 4 ๐‘† = (pmSgnโ€˜๐‘)
7 mdetfval1.t . . . 4 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
8 mdetfval1.u . . . 4 ๐‘ˆ = (mulGrpโ€˜๐‘…)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mdetfval 22443 . . 3 ๐ท = (๐‘š โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘š๐‘ฅ)))))))
104, 6cofipsgn 21486 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) = (๐‘Œโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘)))
1110oveq1d 7420 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘š๐‘ฅ)))) = ((๐‘Œโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘)) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘š๐‘ฅ)))))
1211mpteq2dva 5241 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ Fin โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘š๐‘ฅ))))) = (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ ((๐‘Œโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘)) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘š๐‘ฅ))))))
1312oveq2d 7421 . . . 4 (๐‘ โˆˆ Fin โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘š๐‘ฅ)))))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ ((๐‘Œโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘)) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘š๐‘ฅ)))))))
1413mpteq2dv 5243 . . 3 (๐‘ โˆˆ Fin โ†’ (๐‘š โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘š๐‘ฅ))))))) = (๐‘š โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ ((๐‘Œโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘)) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘š๐‘ฅ))))))))
159, 14eqtrid 2778 . 2 (๐‘ โˆˆ Fin โ†’ ๐ท = (๐‘š โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ ((๐‘Œโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘)) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘š๐‘ฅ))))))))
16 df-nel 3041 . . 3 (๐‘ โˆ‰ Fin โ†” ยฌ ๐‘ โˆˆ Fin)
171nfimdetndef 22446 . . . 4 (๐‘ โˆ‰ Fin โ†’ ๐ท = โˆ…)
182fveq2i 6888 . . . . . . . 8 (Baseโ€˜๐ด) = (Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘…))
193, 18eqtri 2754 . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘…))
2016biimpi 215 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆ‰ Fin โ†’ ยฌ ๐‘ โˆˆ Fin)
2120intnanrd 489 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆ‰ Fin โ†’ ยฌ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ V))
22 matbas0 22265 . . . . . . . 8 (ยฌ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ V) โ†’ (Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘…)) = โˆ…)
2321, 22syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ โˆ‰ Fin โ†’ (Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘…)) = โˆ…)
2419, 23eqtrid 2778 . . . . . 6 (๐‘ โˆ‰ Fin โ†’ ๐ต = โˆ…)
2524mpteq1d 5236 . . . . 5 (๐‘ โˆ‰ Fin โ†’ (๐‘š โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ ((๐‘Œโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘)) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘š๐‘ฅ))))))) = (๐‘š โˆˆ โˆ… โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ ((๐‘Œโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘)) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘š๐‘ฅ))))))))
26 mpt0 6686 . . . . 5 (๐‘š โˆˆ โˆ… โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ ((๐‘Œโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘)) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘š๐‘ฅ))))))) = โˆ…
2725, 26eqtrdi 2782 . . . 4 (๐‘ โˆ‰ Fin โ†’ (๐‘š โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ ((๐‘Œโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘)) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘š๐‘ฅ))))))) = โˆ…)
2817, 27eqtr4d 2769 . . 3 (๐‘ โˆ‰ Fin โ†’ ๐ท = (๐‘š โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ ((๐‘Œโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘)) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘š๐‘ฅ))))))))
2916, 28sylbir 234 . 2 (ยฌ ๐‘ โˆˆ Fin โ†’ ๐ท = (๐‘š โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ ((๐‘Œโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘)) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘š๐‘ฅ))))))))
3015, 29pm2.61i 182 1 ๐ท = (๐‘š โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ ((๐‘Œโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘)) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘š๐‘ฅ)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โˆ‰ wnel 3040  Vcvv 3468  โˆ…c0 4317   โ†ฆ cmpt 5224   โˆ˜ ccom 5673  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  Basecbs 17153  .rcmulr 17207   ฮฃg cgsu 17395  SymGrpcsymg 19286  pmSgncpsgn 19409  mulGrpcmgp 20039  โ„คRHomczrh 21386   Mat cmat 22262   maDet cmdat 22441
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14296  df-word 14471  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-tset 17225  df-efmnd 18794  df-symg 19287  df-psgn 19411  df-mat 22263  df-mdet 22442
This theorem is referenced by:  mdetleib1  22448
  Copyright terms: Public domain W3C validator