Theorem mdetfval1 21487

Description: First substitution of an alternative determinant definition. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Sep-2015.) (Revised by AV, 27-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetfval1.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetfval1.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetfval1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetfval1.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
mdetfval1.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
mdetfval1.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
mdetfval1.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mdetfval1.u	⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mdetfval1	⊢ 𝐷 = (𝑚 ∈ 𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))))))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑝,𝐵   𝑥,𝑚,𝑁,𝑝   𝑃,𝑚,𝑝   𝑅,𝑚,𝑝,𝑥   𝑆,𝑚   𝑈,𝑚   𝑚,𝑌   · ,𝑚

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑚,𝑝)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥,𝑚,𝑝)   𝑃(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑝)   · (𝑥,𝑝)   𝑈(𝑥,𝑝)   𝑌(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem mdetfval1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdetfval1.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2		mdetfval1.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		mdetfval1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4		mdetfval1.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
5		mdetfval1.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
6		mdetfval1.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
7		mdetfval1.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
8		mdetfval1.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mdetfval 21483	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑚 ∈ 𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))))))
10	4, 6	cofipsgn 20555	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) = (𝑌‘(𝑆‘𝑝)))
11	10	oveq1d 7228	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))) = ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))))
12	11	mpteq2dva 5150	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))) = (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))
13	12	oveq2d 7229	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))))))
14	13	mpteq2dv 5151	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑚 ∈ 𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))) = (𝑚 ∈ 𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))))
15	9, 14	syl5eq 2790	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → 𝐷 = (𝑚 ∈ 𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))))
16		df-nel 3047	. . 3 ⊢ (𝑁 ∉ Fin ↔ ¬ 𝑁 ∈ Fin)
17	1	nfimdetndef 21486	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∉ Fin → 𝐷 = ∅)
18	2	fveq2i 6720	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
19	3, 18	eqtri 2765	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
20	16	biimpi 219	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∉ Fin → ¬ 𝑁 ∈ Fin)
21	20	intnanrd 493	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∉ Fin → ¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
22		matbas0 21307	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = ∅)
23	21, 22	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∉ Fin → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = ∅)
24	19, 23	syl5eq 2790	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∉ Fin → 𝐵 = ∅)
25	24	mpteq1d 5144	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∉ Fin → (𝑚 ∈ 𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))) = (𝑚 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))))
26		mpt0 6520	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))) = ∅
27	25, 26	eqtrdi 2794	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∉ Fin → (𝑚 ∈ 𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))) = ∅)
28	17, 27	eqtr4d 2780	. . 3 ⊢ (𝑁 ∉ Fin → 𝐷 = (𝑚 ∈ 𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))))
29	16, 28	sylbir 238	. 2 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ Fin → 𝐷 = (𝑚 ∈ 𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))))
30	15, 29	pm2.61i 185	1 ⊢ 𝐷 = (𝑚 ∈ 𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ∉ wnel 3046  Vcvv 3408  ∅c0 4237   ↦ cmpt 5135   ∘ ccom 5555  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  Fincfn 8626  Basecbs 16760  ._rcmulr 16803   Σ_g cgsu 16945  SymGrpcsymg 18759  pmSgncpsgn 18881  mulGrpcmgp 19504  ℤRHomczrh 20466   Mat cmat 21304   maDet cmdat 21481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-hash 13897  df-word 14070  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-tset 16821  df-efmnd 18296  df-symg 18760  df-psgn 18883  df-mat 21305  df-mdet 21482

This theorem is referenced by:  mdetleib1  21488