Theorem mdetfval1 22536

Description: First substitution of an alternative determinant definition. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Sep-2015.) (Revised by AV, 27-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetfval1.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetfval1.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetfval1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetfval1.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
mdetfval1.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
mdetfval1.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
mdetfval1.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mdetfval1.u	⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mdetfval1	⊢ 𝐷 = (𝑚 ∈ 𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))))))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑝,𝐵   𝑥,𝑚,𝑁,𝑝   𝑃,𝑚,𝑝   𝑅,𝑚,𝑝,𝑥   𝑆,𝑚   𝑈,𝑚   𝑚,𝑌   · ,𝑚

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑚,𝑝)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥,𝑚,𝑝)   𝑃(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑝)   · (𝑥,𝑝)   𝑈(𝑥,𝑝)   𝑌(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem mdetfval1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdetfval1.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2		mdetfval1.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		mdetfval1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4		mdetfval1.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
5		mdetfval1.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
6		mdetfval1.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
7		mdetfval1.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
8		mdetfval1.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mdetfval 22532	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑚 ∈ 𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))))))
10	4, 6	cofipsgn 21542	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) = (𝑌‘(𝑆‘𝑝)))
11	10	oveq1d 7434	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))) = ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))))
12	11	mpteq2dva 5249	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))) = (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))
13	12	oveq2d 7435	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))))))
14	13	mpteq2dv 5251	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑚 ∈ 𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))) = (𝑚 ∈ 𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))))
15	9, 14	eqtrid 2777	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → 𝐷 = (𝑚 ∈ 𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))))
16		df-nel 3036	. . 3 ⊢ (𝑁 ∉ Fin ↔ ¬ 𝑁 ∈ Fin)
17	1	nfimdetndef 22535	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∉ Fin → 𝐷 = ∅)
18	2	fveq2i 6899	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
19	3, 18	eqtri 2753	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
20	16	biimpi 215	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∉ Fin → ¬ 𝑁 ∈ Fin)
21	20	intnanrd 488	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∉ Fin → ¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
22		matbas0 22354	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = ∅)
23	21, 22	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∉ Fin → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = ∅)
24	19, 23	eqtrid 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∉ Fin → 𝐵 = ∅)
25	24	mpteq1d 5244	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∉ Fin → (𝑚 ∈ 𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))) = (𝑚 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))))
26		mpt0 6698	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))) = ∅
27	25, 26	eqtrdi 2781	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∉ Fin → (𝑚 ∈ 𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))) = ∅)
28	17, 27	eqtr4d 2768	. . 3 ⊢ (𝑁 ∉ Fin → 𝐷 = (𝑚 ∈ 𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))))
29	16, 28	sylbir 234	. 2 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ Fin → 𝐷 = (𝑚 ∈ 𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))))
30	15, 29	pm2.61i 182	1 ⊢ 𝐷 = (𝑚 ∈ 𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∉ wnel 3035  Vcvv 3461  ∅c0 4322   ↦ cmpt 5232   ∘ ccom 5682  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  Fincfn 8964  Basecbs 17183  ._rcmulr 17237   Σ_g cgsu 17425  SymGrpcsymg 19333  pmSgncpsgn 19456  mulGrpcmgp 20086  ℤRHomczrh 21442   Mat cmat 22351   maDet cmdat 22530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-hash 14326  df-word 14501  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-tset 17255  df-efmnd 18829  df-symg 19334  df-psgn 19458  df-mat 22352  df-mdet 22531

This theorem is referenced by:  mdetleib1  22537