Theorem mdetfval1 22910

Description: First substitution of an alternative determinant definition. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Sep-2015.) (Revised by AV, 27-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetfval1.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetfval1.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetfval1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetfval1.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
mdetfval1.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
mdetfval1.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
mdetfval1.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mdetfval1.u	⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mdetfval1	⊢ 𝐷 = (𝑚 ∈ 𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))))))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑝,𝐵   𝑥,𝑚,𝑁,𝑝   𝑃,𝑚,𝑝   𝑅,𝑚,𝑝,𝑥   𝑆,𝑚   𝑈,𝑚   𝑚,𝑌   · ,𝑚

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑚, 𝑝)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥, 𝑚, 𝑝)   𝑃(𝑥)   𝑆(𝑥, 𝑝)   · (𝑥, 𝑝)   𝑈(𝑥, 𝑝)   𝑌(𝑥, 𝑝)

Proof of Theorem mdetfval1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdetfval1.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2		mdetfval1.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		mdetfval1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4		mdetfval1.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
5		mdetfval1.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
6		mdetfval1.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
7		mdetfval1.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
8		mdetfval1.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mdetfval 22906	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑚 ∈ 𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))))))
10	4, 6	cofipsgn 21904	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) = (𝑌‘(𝑆‘𝑝)))
11	10	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))) = ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))))
12	11	mpteq2dva 5197	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))) = (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))
13	12	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))))))
14	13	mpteq2dv 5198	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑚 ∈ 𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))) = (𝑚 ∈ 𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))))
15	9, 14	eqtrid 2807	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → 𝐷 = (𝑚 ∈ 𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))))
16		df-nel 3062	. . 3 ⊢ (𝑁 ∉ Fin ↔ ¬ 𝑁 ∈ Fin)
17	1	nfimdetndef 22909	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∉ Fin → 𝐷 = ∅)
18	2	fveq2i 6888	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
19	3, 18	eqtri 2783	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
20	16	biimpi 219	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∉ Fin → ¬ 𝑁 ∈ Fin)
21	20	intnanrd 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∉ Fin → ¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
22		matbas0 22730	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = ∅)
23	21, 22	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∉ Fin → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = ∅)
24	19, 23	eqtrid 2807	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∉ Fin → 𝐵 = ∅)
25	24	mpteq1d 5194	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∉ Fin → (𝑚 ∈ 𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))) = (𝑚 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))))
26		mpt0 6681	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))) = ∅
27	25, 26	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∉ Fin → (𝑚 ∈ 𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))) = ∅)
28	17, 27	eqtr4d 2798	. . 3 ⊢ (𝑁 ∉ Fin → 𝐷 = (𝑚 ∈ 𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))))
29	16, 28	sylbir 238	. 2 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ Fin → 𝐷 = (𝑚 ∈ 𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))))))
30	15, 29	pm2.61i 184	1 ⊢ 𝐷 = (𝑚 ∈ 𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ ((𝑌‘(𝑆‘𝑝)) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ∉ wnel 3061  Vcvv 3450  ∅c0 4278   ↦ cmpt 5185   ∘ ccom 5654  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Fincfn 8976  Basecbs 17392  ._rcmulr 17434   Σ_g cgsu 17616  SymGrpcsymg 19588  pmSgncpsgn 19708  mulGrpcmgp 20365  ℤRHomczrh 21810   Mat cmat 22727   maDet cmdat 22904

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-map 8852  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-hash 14478  df-word 14662  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-tset 17452  df-efmnd 19070  df-symg 19589  df-psgn 19710  df-mat 22728  df-mdet 22905

This theorem is used by:  mdetleib1  22911