MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smcnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smcnlem 30454
Description: Lemma for smcn 30455. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
smcn.c 𝐢 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
smcn.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
smcn.s 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
smcn.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
smcn.x 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
smcn.n 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
smcn.u π‘ˆ ∈ NrmCVec
smcn.t 𝑇 = (1 / (1 + ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ)))
Assertion
Ref Expression
smcnlem 𝑆 ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘Ÿ,𝑦,𝐢   𝐽,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦   π‘ˆ,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦   𝐾,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦   𝑆,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦   𝑋,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑇(π‘₯,𝑦,π‘Ÿ)   𝑁(π‘₯,𝑦,π‘Ÿ)

Proof of Theorem smcnlem
Dummy variables 𝑠 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smcn.u . . 3 π‘ˆ ∈ NrmCVec
2 smcn.x . . . 4 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
3 smcn.s . . . 4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
42, 3nvsf 30376 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑆:(β„‚ Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹)
51, 4ax-mp 5 . 2 𝑆:(β„‚ Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹
6 smcn.t . . . . . 6 𝑇 = (1 / (1 + ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ)))
7 1rp 12981 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ+
8 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
9 smcn.n . . . . . . . . . . . . 13 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
102, 9nvcl 30418 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
111, 8, 10sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
12 abscl 15228 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1312adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1411, 13readdcld 11244 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
152, 9nvge0 30430 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π‘¦))
161, 8, 15sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π‘¦))
17 absge0 15237 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ 0 ≀ (absβ€˜π‘₯))
1817adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (absβ€˜π‘₯))
1911, 13, 16, 18addge0d 11791 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ ((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)))
2014, 19ge0p1rpd 13049 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) ∈ ℝ+)
21 rpdivcl 13002 . . . . . . . . 9 (((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) ∈ ℝ+ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ) ∈ ℝ+)
2220, 21sylan 579 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ) ∈ ℝ+)
23 rpaddcl 12999 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ+ ∧ ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ) ∈ ℝ+) β†’ (1 + ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ)) ∈ ℝ+)
247, 22, 23sylancr 586 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (1 + ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ)) ∈ ℝ+)
2524rpreccld 13029 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (1 / (1 + ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ))) ∈ ℝ+)
266, 25eqeltrid 2831 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
27 smcn.c . . . . . . . . . . . 12 𝐢 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
282, 27imsmet 30448 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
291, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹)
3029a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ 𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
311a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
32 simplll 772 . . . . . . . . . 10 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
33 simpllr 773 . . . . . . . . . 10 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
342, 3nvscl 30383 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝑆𝑦) ∈ 𝑋)
3531, 32, 33, 34syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (π‘₯𝑆𝑦) ∈ 𝑋)
36 simprll 776 . . . . . . . . . 10 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
37 simprlr 777 . . . . . . . . . 10 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ 𝑀 ∈ 𝑋)
382, 3nvscl 30383 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ (𝑧𝑆𝑀) ∈ 𝑋)
3931, 36, 37, 38syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (𝑧𝑆𝑀) ∈ 𝑋)
40 metcl 24188 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯𝑆𝑦) ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝑆𝑀) ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀)) ∈ ℝ)
4130, 35, 39, 40syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀)) ∈ ℝ)
422, 3nvscl 30383 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝑧𝑆𝑦) ∈ 𝑋)
4331, 36, 33, 42syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (𝑧𝑆𝑦) ∈ 𝑋)
44 metcl 24188 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯𝑆𝑦) ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝑆𝑦) ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑦)) ∈ ℝ)
4530, 35, 43, 44syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑦)) ∈ ℝ)
46 metcl 24188 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑧𝑆𝑦) ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝑆𝑀) ∈ 𝑋) β†’ ((𝑧𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀)) ∈ ℝ)
4730, 43, 39, 46syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((𝑧𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀)) ∈ ℝ)
4845, 47readdcld 11244 . . . . . . . 8 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑦)) + ((𝑧𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀))) ∈ ℝ)
49 rpre 12985 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
5049ad2antlr 724 . . . . . . . 8 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
51 mettri 24208 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ ((π‘₯𝑆𝑦) ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝑆𝑀) ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝑆𝑦) ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀)) ≀ (((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑦)) + ((𝑧𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀))))
5230, 35, 39, 43, 51syl13anc 1369 . . . . . . . 8 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀)) ≀ (((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑦)) + ((𝑧𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀))))
531, 33, 10sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (π‘β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
5432abscld 15386 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
5553, 54readdcld 11244 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
56 peano2re 11388 . . . . . . . . . . 11 (((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ β†’ (((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) ∈ ℝ)
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) ∈ ℝ)
5826adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
5958rpred 13019 . . . . . . . . . 10 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
6057, 59remulcld 11245 . . . . . . . . 9 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) Β· 𝑇) ∈ ℝ)
6132, 36subcld 11572 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑧) ∈ β„‚)
6261abscld 15386 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑧)) ∈ ℝ)
6362, 53remulcld 11245 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑧)) Β· (π‘β€˜π‘¦)) ∈ ℝ)
6436abscld 15386 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (absβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
65 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ) = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
662, 65nvmcl 30403 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀) ∈ 𝑋)
6731, 33, 37, 66syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀) ∈ 𝑋)
682, 9nvcl 30418 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀)) ∈ ℝ)
691, 67, 68sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (π‘β€˜(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀)) ∈ ℝ)
7064, 69remulcld 11245 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((absβ€˜π‘§) Β· (π‘β€˜(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀))) ∈ ℝ)
7153, 59remulcld 11245 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((π‘β€˜π‘¦) Β· 𝑇) ∈ ℝ)
72 peano2re 11388 . . . . . . . . . . . . 13 ((absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ β†’ ((absβ€˜π‘₯) + 1) ∈ ℝ)
7354, 72syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((absβ€˜π‘₯) + 1) ∈ ℝ)
7473, 59remulcld 11245 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (((absβ€˜π‘₯) + 1) Β· 𝑇) ∈ ℝ)
751, 33, 15sylancr 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π‘¦))
7632, 36abssubd 15403 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑧)) = (absβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)))
7736, 32subcld 11572 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (𝑧 βˆ’ π‘₯) ∈ β„‚)
7877abscld 15386 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)) ∈ ℝ)
79 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
8079cnmetdval 24637 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑧)))
8132, 36, 80syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑧)))
8281, 76eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) = (absβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)))
83 simprrl 778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇)
8482, 83eqbrtrrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)) < 𝑇)
8578, 59, 84ltled 11363 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)) ≀ 𝑇)
8676, 85eqbrtrd 5163 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑧)) ≀ 𝑇)
8762, 59, 53, 75, 86lemul1ad 12154 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑧)) Β· (π‘β€˜π‘¦)) ≀ (𝑇 Β· (π‘β€˜π‘¦)))
8858rpcnd 13021 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
8953recnd 11243 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (π‘β€˜π‘¦) ∈ β„‚)
9088, 89mulcomd 11236 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (𝑇 Β· (π‘β€˜π‘¦)) = ((π‘β€˜π‘¦) Β· 𝑇))
9187, 90breqtrd 5167 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑧)) Β· (π‘β€˜π‘¦)) ≀ ((π‘β€˜π‘¦) Β· 𝑇))
9236absge0d 15394 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ 0 ≀ (absβ€˜π‘§))
932, 9nvge0 30430 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀) ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀)))
941, 67, 93sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀)))
9554, 78readdcld 11244 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((absβ€˜π‘₯) + (absβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯))) ∈ ℝ)
9632, 36pncan3d 11575 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (π‘₯ + (𝑧 βˆ’ π‘₯)) = 𝑧)
9796fveq2d 6888 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (absβ€˜(π‘₯ + (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = (absβ€˜π‘§))
9832, 77abstrid 15406 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (absβ€˜(π‘₯ + (𝑧 βˆ’ π‘₯))) ≀ ((absβ€˜π‘₯) + (absβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯))))
9997, 98eqbrtrrd 5165 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (absβ€˜π‘§) ≀ ((absβ€˜π‘₯) + (absβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯))))
100 1red 11216 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ 1 ∈ ℝ)
101 1re 11215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℝ
10222adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ) ∈ ℝ+)
103 ltaddrp 13014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 ∈ ℝ ∧ ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ) ∈ ℝ+) β†’ 1 < (1 + ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ)))
104101, 102, 103sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ 1 < (1 + ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ)))
10524adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (1 + ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ)) ∈ ℝ+)
106105recgt1d 13033 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (1 < (1 + ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ)) ↔ (1 / (1 + ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ))) < 1))
107104, 106mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (1 / (1 + ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ))) < 1)
1086, 107eqbrtrid 5176 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ 𝑇 < 1)
10959, 100, 108ltled 11363 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ 𝑇 ≀ 1)
11078, 59, 100, 85, 109letrd 11372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)) ≀ 1)
11178, 100, 54, 110leadd2dd 11830 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((absβ€˜π‘₯) + (absβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯))) ≀ ((absβ€˜π‘₯) + 1))
11264, 95, 73, 99, 111letrd 11372 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (absβ€˜π‘§) ≀ ((absβ€˜π‘₯) + 1))
1132, 65, 9, 27imsdval 30443 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦𝐢𝑀) = (π‘β€˜(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀)))
11431, 33, 37, 113syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (𝑦𝐢𝑀) = (π‘β€˜(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀)))
115 simprrr 779 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇)
116114, 115eqbrtrrd 5165 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (π‘β€˜(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀)) < 𝑇)
11769, 59, 116ltled 11363 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (π‘β€˜(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀)) ≀ 𝑇)
11864, 73, 69, 59, 92, 94, 112, 117lemul12ad 12157 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((absβ€˜π‘§) Β· (π‘β€˜(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀))) ≀ (((absβ€˜π‘₯) + 1) Β· 𝑇))
11963, 70, 71, 74, 91, 118le2addd 11834 . . . . . . . . . 10 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑧)) Β· (π‘β€˜π‘¦)) + ((absβ€˜π‘§) Β· (π‘β€˜(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀)))) ≀ (((π‘β€˜π‘¦) Β· 𝑇) + (((absβ€˜π‘₯) + 1) Β· 𝑇)))
120 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
1212, 120, 3, 9, 27imsdval2 30444 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯𝑆𝑦) ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝑆𝑦) ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑦)) = (π‘β€˜((π‘₯𝑆𝑦)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1𝑆(𝑧𝑆𝑦)))))
12231, 35, 43, 121syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑦)) = (π‘β€˜((π‘₯𝑆𝑦)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1𝑆(𝑧𝑆𝑦)))))
123 neg1cn 12327 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -1 ∈ β„‚
124 mulcl 11193 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-1 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (-1 Β· 𝑧) ∈ β„‚)
125123, 36, 124sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (-1 Β· 𝑧) ∈ β„‚)
1262, 120, 3nvdir 30388 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (-1 Β· 𝑧) ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯ + (-1 Β· 𝑧))𝑆𝑦) = ((π‘₯𝑆𝑦)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((-1 Β· 𝑧)𝑆𝑦)))
12731, 32, 125, 33, 126syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((π‘₯ + (-1 Β· 𝑧))𝑆𝑦) = ((π‘₯𝑆𝑦)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((-1 Β· 𝑧)𝑆𝑦)))
12836mulm1d 11667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (-1 Β· 𝑧) = -𝑧)
129128oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (π‘₯ + (-1 Β· 𝑧)) = (π‘₯ + -𝑧))
13032, 36negsubd 11578 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (π‘₯ + -𝑧) = (π‘₯ βˆ’ 𝑧))
131129, 130eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (π‘₯ + (-1 Β· 𝑧)) = (π‘₯ βˆ’ 𝑧))
132131oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((π‘₯ + (-1 Β· 𝑧))𝑆𝑦) = ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)𝑆𝑦))
133123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ -1 ∈ β„‚)
1342, 3nvsass 30385 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (-1 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((-1 Β· 𝑧)𝑆𝑦) = (-1𝑆(𝑧𝑆𝑦)))
13531, 133, 36, 33, 134syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((-1 Β· 𝑧)𝑆𝑦) = (-1𝑆(𝑧𝑆𝑦)))
136135oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((π‘₯𝑆𝑦)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((-1 Β· 𝑧)𝑆𝑦)) = ((π‘₯𝑆𝑦)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1𝑆(𝑧𝑆𝑦))))
137127, 132, 1363eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)𝑆𝑦) = ((π‘₯𝑆𝑦)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1𝑆(𝑧𝑆𝑦))))
138137fveq2d 6888 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (π‘β€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑧)𝑆𝑦)) = (π‘β€˜((π‘₯𝑆𝑦)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1𝑆(𝑧𝑆𝑦)))))
1392, 3, 9nvs 30420 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ βˆ’ 𝑧) ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑧)𝑆𝑦)) = ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑧)) Β· (π‘β€˜π‘¦)))
14031, 61, 33, 139syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (π‘β€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑧)𝑆𝑦)) = ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑧)) Β· (π‘β€˜π‘¦)))
141122, 138, 1403eqtr2d 2772 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑦)) = ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑧)) Β· (π‘β€˜π‘¦)))
1422, 65, 9, 27imsdval 30443 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝑧𝑆𝑦) ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝑆𝑀) ∈ 𝑋) β†’ ((𝑧𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀)) = (π‘β€˜((𝑧𝑆𝑦)( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)(𝑧𝑆𝑀))))
14331, 43, 39, 142syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((𝑧𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀)) = (π‘β€˜((𝑧𝑆𝑦)( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)(𝑧𝑆𝑀))))
1442, 65, 3nvmdi 30405 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧𝑆(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀)) = ((𝑧𝑆𝑦)( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)(𝑧𝑆𝑀)))
14531, 36, 33, 37, 144syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (𝑧𝑆(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀)) = ((𝑧𝑆𝑦)( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)(𝑧𝑆𝑀)))
146145fveq2d 6888 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (π‘β€˜(𝑧𝑆(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀))) = (π‘β€˜((𝑧𝑆𝑦)( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)(𝑧𝑆𝑀))))
1472, 3, 9nvs 30420 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ (𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝑧𝑆(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀))) = ((absβ€˜π‘§) Β· (π‘β€˜(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀))))
14831, 36, 67, 147syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (π‘β€˜(𝑧𝑆(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀))) = ((absβ€˜π‘§) Β· (π‘β€˜(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀))))
149143, 146, 1483eqtr2d 2772 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((𝑧𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀)) = ((absβ€˜π‘§) Β· (π‘β€˜(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀))))
150141, 149oveq12d 7422 . . . . . . . . . 10 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑦)) + ((𝑧𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀))) = (((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑧)) Β· (π‘β€˜π‘¦)) + ((absβ€˜π‘§) Β· (π‘β€˜(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀)))))
15154recnd 11243 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (absβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
152 1cnd 11210 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ 1 ∈ β„‚)
15389, 151, 152addassd 11237 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) = ((π‘β€˜π‘¦) + ((absβ€˜π‘₯) + 1)))
154153oveq1d 7419 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) Β· 𝑇) = (((π‘β€˜π‘¦) + ((absβ€˜π‘₯) + 1)) Β· 𝑇))
15573recnd 11243 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((absβ€˜π‘₯) + 1) ∈ β„‚)
15689, 155, 88adddird 11240 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (((π‘β€˜π‘¦) + ((absβ€˜π‘₯) + 1)) Β· 𝑇) = (((π‘β€˜π‘¦) Β· 𝑇) + (((absβ€˜π‘₯) + 1) Β· 𝑇)))
157154, 156eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) Β· 𝑇) = (((π‘β€˜π‘¦) Β· 𝑇) + (((absβ€˜π‘₯) + 1) Β· 𝑇)))
158119, 150, 1573brtr4d 5173 . . . . . . . . 9 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑦)) + ((𝑧𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀))) ≀ ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) Β· 𝑇))
1596oveq2i 7415 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) Β· 𝑇) = ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) Β· (1 / (1 + ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ))))
16057recnd 11243 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) ∈ β„‚)
161105rpcnd 13021 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (1 + ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ)) ∈ β„‚)
162105rpne0d 13024 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (1 + ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ)) β‰  0)
163160, 161, 162divrecd 11994 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / (1 + ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ))) = ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) Β· (1 / (1 + ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ)))))
164159, 163eqtr4id 2785 . . . . . . . . . 10 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) Β· 𝑇) = ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / (1 + ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ))))
165 simplr 766 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
166102rpred 13019 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ) ∈ ℝ)
167166ltp1d 12145 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ) < (((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ) + 1))
168102rpcnd 13021 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ) ∈ β„‚)
169168, 152addcomd 11417 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ) + 1) = (1 + ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ)))
170167, 169breqtrd 5167 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ) < (1 + ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ)))
17157, 165, 105, 170ltdiv23d 13086 . . . . . . . . . 10 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / (1 + ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ))) < π‘Ÿ)
172164, 171eqbrtrd 5163 . . . . . . . . 9 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) Β· 𝑇) < π‘Ÿ)
17348, 60, 50, 158, 172lelttrd 11373 . . . . . . . 8 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑦)) + ((𝑧𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀))) < π‘Ÿ)
17441, 48, 50, 52, 173lelttrd 11373 . . . . . . 7 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀)) < π‘Ÿ)
175174expr 456 . . . . . 6 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇) β†’ ((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀)) < π‘Ÿ))
176175ralrimivva 3194 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘§ ∈ β„‚ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 (((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇) β†’ ((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀)) < π‘Ÿ))
177 breq2 5145 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑇 β†’ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑠 ↔ (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇))
178 breq2 5145 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑇 β†’ ((𝑦𝐢𝑀) < 𝑠 ↔ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))
179177, 178anbi12d 630 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑇 β†’ (((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑠) ↔ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇)))
180179imbi1d 341 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑇 β†’ ((((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑠) β†’ ((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀)) < π‘Ÿ) ↔ (((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇) β†’ ((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀)) < π‘Ÿ)))
1811802ralbidv 3212 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑇 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ β„‚ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 (((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑠) β†’ ((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀)) < π‘Ÿ) ↔ βˆ€π‘§ ∈ β„‚ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 (((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇) β†’ ((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀)) < π‘Ÿ)))
182181rspcev 3606 . . . . 5 ((𝑇 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘§ ∈ β„‚ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 (((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇) β†’ ((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀)) < π‘Ÿ)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ β„‚ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 (((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑠) β†’ ((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀)) < π‘Ÿ))
18326, 176, 182syl2anc 583 . . . 4 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ β„‚ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 (((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑠) β†’ ((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀)) < π‘Ÿ))
184183ralrimiva 3140 . . 3 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ β„‚ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 (((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑠) β†’ ((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀)) < π‘Ÿ))
185184rgen2 3191 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ β„‚ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 (((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑠) β†’ ((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀)) < π‘Ÿ)
186 cnxmet 24639 . . 3 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
1872, 27imsxmet 30449 . . . 4 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
1881, 187ax-mp 5 . . 3 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹)
189 smcn.k . . . . 5 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
190189cnfldtopn 24648 . . . 4 𝐾 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
191 smcn.j . . . 4 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
192190, 191, 191txmetcn 24407 . . 3 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑆 ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽) ↔ (𝑆:(β„‚ Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ β„‚ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 (((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑠) β†’ ((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀)) < π‘Ÿ))))
193186, 188, 188, 192mp3an 1457 . 2 (𝑆 ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽) ↔ (𝑆:(β„‚ Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ β„‚ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 (((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑠) β†’ ((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀)) < π‘Ÿ)))
1945, 185, 193mpbir2an 708 1 𝑆 ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141   Γ— cxp 5667   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   Β· cmul 11114   < clt 11249   ≀ cle 11250   βˆ’ cmin 11445  -cneg 11446   / cdiv 11872  β„+crp 12977  abscabs 15184  TopOpenctopn 17373  βˆžMetcxmet 21220  Metcmet 21221  MetOpencmopn 21225  β„‚fldccnfld 21235   Cn ccn 23078   Γ—t ctx 23414  NrmCVeccnv 30341   +𝑣 cpv 30342  BaseSetcba 30343   ·𝑠OLD cns 30344   βˆ’π‘£ cnsb 30346  normCVcnmcv 30347  IndMetcims 30348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17454  df-qtop 17459  df-imas 17460  df-xps 17462  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711  df-mulg 18993  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-cnfld 21236  df-top 22746  df-topon 22763  df-topsp 22785  df-bases 22799  df-cn 23081  df-cnp 23082  df-tx 23416  df-hmeo 23609  df-xms 24176  df-tms 24178  df-grpo 30250  df-gid 30251  df-ginv 30252  df-gdiv 30253  df-ablo 30302  df-vc 30316  df-nv 30349  df-va 30352  df-ba 30353  df-sm 30354  df-0v 30355  df-vs 30356  df-nmcv 30357  df-ims 30358
This theorem is referenced by:  smcn  30455
  Copyright terms: Public domain W3C validator