MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smcnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smcnlem 28388
Description: Lemma for smcn 28389. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
smcn.c 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
smcn.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
smcn.s 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
smcn.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
smcn.x 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
smcn.n 𝑁 = (normCV𝑈)
smcn.u 𝑈 ∈ NrmCVec
smcn.t 𝑇 = (1 / (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟)))
Assertion
Ref Expression
smcnlem 𝑆 ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑟,𝑦,𝐶   𝐽,𝑟,𝑥,𝑦   𝑈,𝑟,𝑥,𝑦   𝐾,𝑟,𝑥,𝑦   𝑆,𝑟,𝑥,𝑦   𝑋,𝑟,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑦,𝑟)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑟)

Proof of Theorem smcnlem
Dummy variables 𝑠 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smcn.u . . 3 𝑈 ∈ NrmCVec
2 smcn.x . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3 smcn.s . . . 4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
42, 3nvsf 28310 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑆:(ℂ × 𝑋)⟶𝑋)
51, 4ax-mp 5 . 2 𝑆:(ℂ × 𝑋)⟶𝑋
6 smcn.t . . . . . 6 𝑇 = (1 / (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟)))
7 1rp 12383 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ+
8 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) → 𝑦𝑋)
9 smcn.n . . . . . . . . . . . . 13 𝑁 = (normCV𝑈)
102, 9nvcl 28352 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦𝑋) → (𝑁𝑦) ∈ ℝ)
111, 8, 10sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) → (𝑁𝑦) ∈ ℝ)
12 abscl 14628 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
1312adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
1411, 13readdcld 10659 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) ∈ ℝ)
152, 9nvge0 28364 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦𝑋) → 0 ≤ (𝑁𝑦))
161, 8, 15sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) → 0 ≤ (𝑁𝑦))
17 absge0 14637 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝑥))
1817adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) → 0 ≤ (abs‘𝑥))
1911, 13, 16, 18addge0d 11205 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) → 0 ≤ ((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)))
2014, 19ge0p1rpd 12451 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) → (((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) ∈ ℝ+)
21 rpdivcl 12404 . . . . . . . . 9 (((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ+) → ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟) ∈ ℝ+)
2220, 21sylan 580 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟) ∈ ℝ+)
23 rpaddcl 12401 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ+ ∧ ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟) ∈ ℝ+) → (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟)) ∈ ℝ+)
247, 22, 23sylancr 587 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟)) ∈ ℝ+)
2524rpreccld 12431 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (1 / (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟))) ∈ ℝ+)
266, 25eqeltrid 2922 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑇 ∈ ℝ+)
27 smcn.c . . . . . . . . . . . 12 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
282, 27imsmet 28382 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
291, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 𝐶 ∈ (Met‘𝑋)
3029a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
311a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
32 simplll 771 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℂ)
33 simpllr 772 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 𝑦𝑋)
342, 3nvscl 28317 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥𝑆𝑦) ∈ 𝑋)
3531, 32, 33, 34syl3anc 1365 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑥𝑆𝑦) ∈ 𝑋)
36 simprll 775 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 𝑧 ∈ ℂ)
37 simprlr 776 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 𝑤𝑋)
382, 3nvscl 28317 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) → (𝑧𝑆𝑤) ∈ 𝑋)
3931, 36, 37, 38syl3anc 1365 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑧𝑆𝑤) ∈ 𝑋)
40 metcl 22857 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑆𝑦) ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝑆𝑤) ∈ 𝑋) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) ∈ ℝ)
4130, 35, 39, 40syl3anc 1365 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) ∈ ℝ)
422, 3nvscl 28317 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) → (𝑧𝑆𝑦) ∈ 𝑋)
4331, 36, 33, 42syl3anc 1365 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑧𝑆𝑦) ∈ 𝑋)
44 metcl 22857 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑆𝑦) ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝑆𝑦) ∈ 𝑋) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑦)) ∈ ℝ)
4530, 35, 43, 44syl3anc 1365 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑦)) ∈ ℝ)
46 metcl 22857 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑧𝑆𝑦) ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝑆𝑤) ∈ 𝑋) → ((𝑧𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) ∈ ℝ)
4730, 43, 39, 46syl3anc 1365 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((𝑧𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) ∈ ℝ)
4845, 47readdcld 10659 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑦)) + ((𝑧𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤))) ∈ ℝ)
49 rpre 12387 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
5049ad2antlr 723 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 𝑟 ∈ ℝ)
51 mettri 22877 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑥𝑆𝑦) ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝑆𝑤) ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝑆𝑦) ∈ 𝑋)) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) ≤ (((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑦)) + ((𝑧𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤))))
5230, 35, 39, 43, 51syl13anc 1366 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) ≤ (((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑦)) + ((𝑧𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤))))
531, 33, 10sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑁𝑦) ∈ ℝ)
5432abscld 14786 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
5553, 54readdcld 10659 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) ∈ ℝ)
56 peano2re 10802 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) ∈ ℝ → (((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) ∈ ℝ)
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) ∈ ℝ)
5826adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℝ+)
5958rpred 12421 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℝ)
6057, 59remulcld 10660 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) · 𝑇) ∈ ℝ)
6132, 36subcld 10986 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑥𝑧) ∈ ℂ)
6261abscld 14786 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (abs‘(𝑥𝑧)) ∈ ℝ)
6362, 53remulcld 10660 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((abs‘(𝑥𝑧)) · (𝑁𝑦)) ∈ ℝ)
6436abscld 14786 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (abs‘𝑧) ∈ ℝ)
65 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( −𝑣𝑈) = ( −𝑣𝑈)
662, 65nvmcl 28337 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦𝑋𝑤𝑋) → (𝑦( −𝑣𝑈)𝑤) ∈ 𝑋)
6731, 33, 37, 66syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑦( −𝑣𝑈)𝑤) ∈ 𝑋)
682, 9nvcl 28352 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑦( −𝑣𝑈)𝑤) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤)) ∈ ℝ)
691, 67, 68sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑁‘(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤)) ∈ ℝ)
7064, 69remulcld 10660 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((abs‘𝑧) · (𝑁‘(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤))) ∈ ℝ)
7153, 59remulcld 10660 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((𝑁𝑦) · 𝑇) ∈ ℝ)
72 peano2re 10802 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs‘𝑥) ∈ ℝ → ((abs‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
7354, 72syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((abs‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
7473, 59remulcld 10660 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (((abs‘𝑥) + 1) · 𝑇) ∈ ℝ)
751, 33, 15sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 0 ≤ (𝑁𝑦))
7632, 36abssubd 14803 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (abs‘(𝑥𝑧)) = (abs‘(𝑧𝑥)))
7736, 32subcld 10986 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑧𝑥) ∈ ℂ)
7877abscld 14786 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (abs‘(𝑧𝑥)) ∈ ℝ)
79 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
8079cnmetdval 23294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝑥𝑧)))
8132, 36, 80syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑥(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝑥𝑧)))
8281, 76eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑥(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝑧𝑥)))
83 simprrl 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇)
8482, 83eqbrtrrd 5087 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (abs‘(𝑧𝑥)) < 𝑇)
8578, 59, 84ltled 10777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (abs‘(𝑧𝑥)) ≤ 𝑇)
8676, 85eqbrtrd 5085 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (abs‘(𝑥𝑧)) ≤ 𝑇)
8762, 59, 53, 75, 86lemul1ad 11568 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((abs‘(𝑥𝑧)) · (𝑁𝑦)) ≤ (𝑇 · (𝑁𝑦)))
8858rpcnd 12423 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℂ)
8953recnd 10658 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑁𝑦) ∈ ℂ)
9088, 89mulcomd 10651 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑇 · (𝑁𝑦)) = ((𝑁𝑦) · 𝑇))
9187, 90breqtrd 5089 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((abs‘(𝑥𝑧)) · (𝑁𝑦)) ≤ ((𝑁𝑦) · 𝑇))
9236absge0d 14794 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 0 ≤ (abs‘𝑧))
932, 9nvge0 28364 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑦( −𝑣𝑈)𝑤) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤)))
941, 67, 93sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 0 ≤ (𝑁‘(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤)))
9554, 78readdcld 10659 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((abs‘𝑥) + (abs‘(𝑧𝑥))) ∈ ℝ)
9632, 36pncan3d 10989 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑥 + (𝑧𝑥)) = 𝑧)
9796fveq2d 6671 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (abs‘(𝑥 + (𝑧𝑥))) = (abs‘𝑧))
9832, 77abstrid 14806 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (abs‘(𝑥 + (𝑧𝑥))) ≤ ((abs‘𝑥) + (abs‘(𝑧𝑥))))
9997, 98eqbrtrrd 5087 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (abs‘𝑧) ≤ ((abs‘𝑥) + (abs‘(𝑧𝑥))))
100 1red 10631 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 1 ∈ ℝ)
101 1re 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℝ
10222adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟) ∈ ℝ+)
103 ltaddrp 12416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 ∈ ℝ ∧ ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟) ∈ ℝ+) → 1 < (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟)))
104101, 102, 103sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 1 < (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟)))
10524adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟)) ∈ ℝ+)
106105recgt1d 12435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (1 < (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟)) ↔ (1 / (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟))) < 1))
107104, 106mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (1 / (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟))) < 1)
1086, 107eqbrtrid 5098 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 𝑇 < 1)
10959, 100, 108ltled 10777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 𝑇 ≤ 1)
11078, 59, 100, 85, 109letrd 10786 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (abs‘(𝑧𝑥)) ≤ 1)
11178, 100, 54, 110leadd2dd 11244 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((abs‘𝑥) + (abs‘(𝑧𝑥))) ≤ ((abs‘𝑥) + 1))
11264, 95, 73, 99, 111letrd 10786 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (abs‘𝑧) ≤ ((abs‘𝑥) + 1))
1132, 65, 9, 27imsdval 28377 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦𝑋𝑤𝑋) → (𝑦𝐶𝑤) = (𝑁‘(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤)))
11431, 33, 37, 113syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑦𝐶𝑤) = (𝑁‘(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤)))
115 simprrr 778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇)
116114, 115eqbrtrrd 5087 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑁‘(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤)) < 𝑇)
11769, 59, 116ltled 10777 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑁‘(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤)) ≤ 𝑇)
11864, 73, 69, 59, 92, 94, 112, 117lemul12ad 11571 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((abs‘𝑧) · (𝑁‘(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤))) ≤ (((abs‘𝑥) + 1) · 𝑇))
11963, 70, 71, 74, 91, 118le2addd 11248 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (((abs‘(𝑥𝑧)) · (𝑁𝑦)) + ((abs‘𝑧) · (𝑁‘(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤)))) ≤ (((𝑁𝑦) · 𝑇) + (((abs‘𝑥) + 1) · 𝑇)))
120 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
1212, 120, 3, 9, 27imsdval2 28378 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥𝑆𝑦) ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝑆𝑦) ∈ 𝑋) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑦)) = (𝑁‘((𝑥𝑆𝑦)( +𝑣𝑈)(-1𝑆(𝑧𝑆𝑦)))))
12231, 35, 43, 121syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑦)) = (𝑁‘((𝑥𝑆𝑦)( +𝑣𝑈)(-1𝑆(𝑧𝑆𝑦)))))
123 neg1cn 11740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -1 ∈ ℂ
124 mulcl 10610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (-1 · 𝑧) ∈ ℂ)
125123, 36, 124sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (-1 · 𝑧) ∈ ℂ)
1262, 120, 3nvdir 28322 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (-1 · 𝑧) ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋)) → ((𝑥 + (-1 · 𝑧))𝑆𝑦) = ((𝑥𝑆𝑦)( +𝑣𝑈)((-1 · 𝑧)𝑆𝑦)))
12731, 32, 125, 33, 126syl13anc 1366 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((𝑥 + (-1 · 𝑧))𝑆𝑦) = ((𝑥𝑆𝑦)( +𝑣𝑈)((-1 · 𝑧)𝑆𝑦)))
12836mulm1d 11081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (-1 · 𝑧) = -𝑧)
129128oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑥 + (-1 · 𝑧)) = (𝑥 + -𝑧))
13032, 36negsubd 10992 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑥 + -𝑧) = (𝑥𝑧))
131129, 130eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑥 + (-1 · 𝑧)) = (𝑥𝑧))
132131oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((𝑥 + (-1 · 𝑧))𝑆𝑦) = ((𝑥𝑧)𝑆𝑦))
133123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → -1 ∈ ℂ)
1342, 3nvsass 28319 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋)) → ((-1 · 𝑧)𝑆𝑦) = (-1𝑆(𝑧𝑆𝑦)))
13531, 133, 36, 33, 134syl13anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((-1 · 𝑧)𝑆𝑦) = (-1𝑆(𝑧𝑆𝑦)))
136135oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((𝑥𝑆𝑦)( +𝑣𝑈)((-1 · 𝑧)𝑆𝑦)) = ((𝑥𝑆𝑦)( +𝑣𝑈)(-1𝑆(𝑧𝑆𝑦))))
137127, 132, 1363eqtr3d 2869 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((𝑥𝑧)𝑆𝑦) = ((𝑥𝑆𝑦)( +𝑣𝑈)(-1𝑆(𝑧𝑆𝑦))))
138137fveq2d 6671 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑁‘((𝑥𝑧)𝑆𝑦)) = (𝑁‘((𝑥𝑆𝑦)( +𝑣𝑈)(-1𝑆(𝑧𝑆𝑦)))))
1392, 3, 9nvs 28354 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥𝑧) ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) → (𝑁‘((𝑥𝑧)𝑆𝑦)) = ((abs‘(𝑥𝑧)) · (𝑁𝑦)))
14031, 61, 33, 139syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑁‘((𝑥𝑧)𝑆𝑦)) = ((abs‘(𝑥𝑧)) · (𝑁𝑦)))
141122, 138, 1403eqtr2d 2867 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑦)) = ((abs‘(𝑥𝑧)) · (𝑁𝑦)))
1422, 65, 9, 27imsdval 28377 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑧𝑆𝑦) ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝑆𝑤) ∈ 𝑋) → ((𝑧𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) = (𝑁‘((𝑧𝑆𝑦)( −𝑣𝑈)(𝑧𝑆𝑤))))
14331, 43, 39, 142syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((𝑧𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) = (𝑁‘((𝑧𝑆𝑦)( −𝑣𝑈)(𝑧𝑆𝑤))))
1442, 65, 3nvmdi 28339 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋𝑤𝑋)) → (𝑧𝑆(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤)) = ((𝑧𝑆𝑦)( −𝑣𝑈)(𝑧𝑆𝑤)))
14531, 36, 33, 37, 144syl13anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑧𝑆(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤)) = ((𝑧𝑆𝑦)( −𝑣𝑈)(𝑧𝑆𝑤)))
146145fveq2d 6671 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑁‘(𝑧𝑆(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤))) = (𝑁‘((𝑧𝑆𝑦)( −𝑣𝑈)(𝑧𝑆𝑤))))
1472, 3, 9nvs 28354 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑦( −𝑣𝑈)𝑤) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑧𝑆(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤))) = ((abs‘𝑧) · (𝑁‘(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤))))
14831, 36, 67, 147syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑁‘(𝑧𝑆(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤))) = ((abs‘𝑧) · (𝑁‘(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤))))
149143, 146, 1483eqtr2d 2867 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((𝑧𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) = ((abs‘𝑧) · (𝑁‘(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤))))
150141, 149oveq12d 7166 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑦)) + ((𝑧𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤))) = (((abs‘(𝑥𝑧)) · (𝑁𝑦)) + ((abs‘𝑧) · (𝑁‘(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤)))))
15154recnd 10658 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (abs‘𝑥) ∈ ℂ)
152 1cnd 10625 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 1 ∈ ℂ)
15389, 151, 152addassd 10652 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) = ((𝑁𝑦) + ((abs‘𝑥) + 1)))
154153oveq1d 7163 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) · 𝑇) = (((𝑁𝑦) + ((abs‘𝑥) + 1)) · 𝑇))
15573recnd 10658 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((abs‘𝑥) + 1) ∈ ℂ)
15689, 155, 88adddird 10655 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (((𝑁𝑦) + ((abs‘𝑥) + 1)) · 𝑇) = (((𝑁𝑦) · 𝑇) + (((abs‘𝑥) + 1) · 𝑇)))
157154, 156eqtrd 2861 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) · 𝑇) = (((𝑁𝑦) · 𝑇) + (((abs‘𝑥) + 1) · 𝑇)))
158119, 150, 1573brtr4d 5095 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑦)) + ((𝑧𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤))) ≤ ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) · 𝑇))
15957recnd 10658 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) ∈ ℂ)
160105rpcnd 12423 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟)) ∈ ℂ)
161105rpne0d 12426 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟)) ≠ 0)
162159, 160, 161divrecd 11408 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟))) = ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) · (1 / (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟)))))
1636oveq2i 7159 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) · 𝑇) = ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) · (1 / (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟))))
164162, 163syl6reqr 2880 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) · 𝑇) = ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟))))
165 simplr 765 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 𝑟 ∈ ℝ+)
166102rpred 12421 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟) ∈ ℝ)
167166ltp1d 11559 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟) < (((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟) + 1))
168102rpcnd 12423 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟) ∈ ℂ)
169168, 152addcomd 10831 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟) + 1) = (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟)))
170167, 169breqtrd 5089 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟) < (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟)))
17157, 165, 105, 170ltdiv23d 12488 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟))) < 𝑟)
172164, 171eqbrtrd 5085 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) · 𝑇) < 𝑟)
17348, 60, 50, 158, 172lelttrd 10787 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑦)) + ((𝑧𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤))) < 𝑟)
17441, 48, 50, 52, 173lelttrd 10787 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) < 𝑟)
175174expr 457 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋)) → (((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) < 𝑟))
176175ralrimivva 3196 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤𝑋 (((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) < 𝑟))
177 breq2 5067 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑇 → ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑠 ↔ (𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇))
178 breq2 5067 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑇 → ((𝑦𝐶𝑤) < 𝑠 ↔ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))
179177, 178anbi12d 630 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑇 → (((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) ↔ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇)))
180179imbi1d 343 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑇 → ((((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) < 𝑟) ↔ (((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) < 𝑟)))
1811802ralbidv 3204 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑇 → (∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤𝑋 (((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) < 𝑟) ↔ ∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤𝑋 (((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) < 𝑟)))
182181rspcev 3627 . . . . 5 ((𝑇 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤𝑋 (((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) < 𝑟)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤𝑋 (((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) < 𝑟))
18326, 176, 182syl2anc 584 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤𝑋 (((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) < 𝑟))
184183ralrimiva 3187 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) → ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤𝑋 (((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) < 𝑟))
185184rgen2 3208 . 2 𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤𝑋 (((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) < 𝑟)
186 cnxmet 23296 . . 3 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
1872, 27imsxmet 28383 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
1881, 187ax-mp 5 . . 3 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋)
189 smcn.k . . . . 5 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
190189cnfldtopn 23305 . . . 4 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
191 smcn.j . . . 4 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
192190, 191, 191txmetcn 23073 . . 3 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋)) → (𝑆 ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ↔ (𝑆:(ℂ × 𝑋)⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤𝑋 (((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) < 𝑟))))
193186, 188, 188, 192mp3an 1454 . 2 (𝑆 ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ↔ (𝑆:(ℂ × 𝑋)⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤𝑋 (((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) < 𝑟)))
1945, 185, 193mpbir2an 707 1 𝑆 ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3143  wrex 3144   class class class wbr 5063   × cxp 5552  ccom 5558  wf 6348  cfv 6352  (class class class)co 7148  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664  cle 10665  cmin 10859  -cneg 10860   / cdiv 11286  +crp 12379  abscabs 14583  TopOpenctopn 16685  ∞Metcxmet 20446  Metcmet 20447  MetOpencmopn 20451  fldccnfld 20461   Cn ccn 21748   ×t ctx 22084  NrmCVeccnv 28275   +𝑣 cpv 28276  BaseSetcba 28277   ·𝑠OLD cns 28278  𝑣 cnsb 28280  normCVcnmcv 28281  IndMetcims 28282
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7399  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-fi 8864  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-icc 12735  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-seq 13360  df-exp 13420  df-hash 13681  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-starv 16570  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-unif 16578  df-hom 16579  df-cco 16580  df-rest 16686  df-topn 16687  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-topgen 16707  df-pt 16708  df-prds 16711  df-xrs 16765  df-qtop 16770  df-imas 16771  df-xps 16773  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17945  df-mulg 18155  df-cntz 18377  df-cmn 18828  df-psmet 20453  df-xmet 20454  df-met 20455  df-bl 20456  df-mopn 20457  df-cnfld 20462  df-top 21418  df-topon 21435  df-topsp 21457  df-bases 21470  df-cn 21751  df-cnp 21752  df-tx 22086  df-hmeo 22279  df-xms 22845  df-tms 22847  df-grpo 28184  df-gid 28185  df-ginv 28186  df-gdiv 28187  df-ablo 28236  df-vc 28250  df-nv 28283  df-va 28286  df-ba 28287  df-sm 28288  df-0v 28289  df-vs 28290  df-nmcv 28291  df-ims 28292
This theorem is referenced by:  smcn  28389
  Copyright terms: Public domain W3C validator