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Theorem smcnlem 29681
Description: Lemma for smcn 29682. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
smcn.c 𝐢 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
smcn.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
smcn.s 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
smcn.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
smcn.x 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
smcn.n 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
smcn.u π‘ˆ ∈ NrmCVec
smcn.t 𝑇 = (1 / (1 + ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ)))
Assertion
Ref Expression
smcnlem 𝑆 ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘Ÿ,𝑦,𝐢   𝐽,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦   π‘ˆ,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦   𝐾,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦   𝑆,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦   𝑋,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑇(π‘₯,𝑦,π‘Ÿ)   𝑁(π‘₯,𝑦,π‘Ÿ)

Proof of Theorem smcnlem
Dummy variables 𝑠 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smcn.u . . 3 π‘ˆ ∈ NrmCVec
2 smcn.x . . . 4 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
3 smcn.s . . . 4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
42, 3nvsf 29603 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑆:(β„‚ Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹)
51, 4ax-mp 5 . 2 𝑆:(β„‚ Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹
6 smcn.t . . . . . 6 𝑇 = (1 / (1 + ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ)))
7 1rp 12924 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ+
8 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
9 smcn.n . . . . . . . . . . . . 13 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
102, 9nvcl 29645 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
111, 8, 10sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
12 abscl 15169 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1312adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1411, 13readdcld 11189 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
152, 9nvge0 29657 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π‘¦))
161, 8, 15sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π‘¦))
17 absge0 15178 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ 0 ≀ (absβ€˜π‘₯))
1817adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (absβ€˜π‘₯))
1911, 13, 16, 18addge0d 11736 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ ((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)))
2014, 19ge0p1rpd 12992 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) ∈ ℝ+)
21 rpdivcl 12945 . . . . . . . . 9 (((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) ∈ ℝ+ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ) ∈ ℝ+)
2220, 21sylan 581 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ) ∈ ℝ+)
23 rpaddcl 12942 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ+ ∧ ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ) ∈ ℝ+) β†’ (1 + ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ)) ∈ ℝ+)
247, 22, 23sylancr 588 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (1 + ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ)) ∈ ℝ+)
2524rpreccld 12972 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (1 / (1 + ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ))) ∈ ℝ+)
266, 25eqeltrid 2838 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
27 smcn.c . . . . . . . . . . . 12 𝐢 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
282, 27imsmet 29675 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
291, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹)
3029a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ 𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
311a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
32 simplll 774 . . . . . . . . . 10 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
33 simpllr 775 . . . . . . . . . 10 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
342, 3nvscl 29610 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝑆𝑦) ∈ 𝑋)
3531, 32, 33, 34syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (π‘₯𝑆𝑦) ∈ 𝑋)
36 simprll 778 . . . . . . . . . 10 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
37 simprlr 779 . . . . . . . . . 10 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ 𝑀 ∈ 𝑋)
382, 3nvscl 29610 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ (𝑧𝑆𝑀) ∈ 𝑋)
3931, 36, 37, 38syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (𝑧𝑆𝑀) ∈ 𝑋)
40 metcl 23701 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯𝑆𝑦) ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝑆𝑀) ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀)) ∈ ℝ)
4130, 35, 39, 40syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀)) ∈ ℝ)
422, 3nvscl 29610 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝑧𝑆𝑦) ∈ 𝑋)
4331, 36, 33, 42syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (𝑧𝑆𝑦) ∈ 𝑋)
44 metcl 23701 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯𝑆𝑦) ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝑆𝑦) ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑦)) ∈ ℝ)
4530, 35, 43, 44syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑦)) ∈ ℝ)
46 metcl 23701 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑧𝑆𝑦) ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝑆𝑀) ∈ 𝑋) β†’ ((𝑧𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀)) ∈ ℝ)
4730, 43, 39, 46syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((𝑧𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀)) ∈ ℝ)
4845, 47readdcld 11189 . . . . . . . 8 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑦)) + ((𝑧𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀))) ∈ ℝ)
49 rpre 12928 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
5049ad2antlr 726 . . . . . . . 8 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
51 mettri 23721 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ ((π‘₯𝑆𝑦) ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝑆𝑀) ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝑆𝑦) ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀)) ≀ (((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑦)) + ((𝑧𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀))))
5230, 35, 39, 43, 51syl13anc 1373 . . . . . . . 8 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀)) ≀ (((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑦)) + ((𝑧𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀))))
531, 33, 10sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (π‘β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
5432abscld 15327 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
5553, 54readdcld 11189 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
56 peano2re 11333 . . . . . . . . . . 11 (((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ β†’ (((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) ∈ ℝ)
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) ∈ ℝ)
5826adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
5958rpred 12962 . . . . . . . . . 10 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
6057, 59remulcld 11190 . . . . . . . . 9 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) Β· 𝑇) ∈ ℝ)
6132, 36subcld 11517 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑧) ∈ β„‚)
6261abscld 15327 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑧)) ∈ ℝ)
6362, 53remulcld 11190 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑧)) Β· (π‘β€˜π‘¦)) ∈ ℝ)
6436abscld 15327 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (absβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
65 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ) = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
662, 65nvmcl 29630 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀) ∈ 𝑋)
6731, 33, 37, 66syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀) ∈ 𝑋)
682, 9nvcl 29645 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀)) ∈ ℝ)
691, 67, 68sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (π‘β€˜(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀)) ∈ ℝ)
7064, 69remulcld 11190 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((absβ€˜π‘§) Β· (π‘β€˜(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀))) ∈ ℝ)
7153, 59remulcld 11190 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((π‘β€˜π‘¦) Β· 𝑇) ∈ ℝ)
72 peano2re 11333 . . . . . . . . . . . . 13 ((absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ β†’ ((absβ€˜π‘₯) + 1) ∈ ℝ)
7354, 72syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((absβ€˜π‘₯) + 1) ∈ ℝ)
7473, 59remulcld 11190 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (((absβ€˜π‘₯) + 1) Β· 𝑇) ∈ ℝ)
751, 33, 15sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜π‘¦))
7632, 36abssubd 15344 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑧)) = (absβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)))
7736, 32subcld 11517 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (𝑧 βˆ’ π‘₯) ∈ β„‚)
7877abscld 15327 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)) ∈ ℝ)
79 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
8079cnmetdval 24150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑧)))
8132, 36, 80syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑧)))
8281, 76eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) = (absβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)))
83 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇)
8482, 83eqbrtrrd 5130 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)) < 𝑇)
8578, 59, 84ltled 11308 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)) ≀ 𝑇)
8676, 85eqbrtrd 5128 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑧)) ≀ 𝑇)
8762, 59, 53, 75, 86lemul1ad 12099 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑧)) Β· (π‘β€˜π‘¦)) ≀ (𝑇 Β· (π‘β€˜π‘¦)))
8858rpcnd 12964 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
8953recnd 11188 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (π‘β€˜π‘¦) ∈ β„‚)
9088, 89mulcomd 11181 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (𝑇 Β· (π‘β€˜π‘¦)) = ((π‘β€˜π‘¦) Β· 𝑇))
9187, 90breqtrd 5132 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑧)) Β· (π‘β€˜π‘¦)) ≀ ((π‘β€˜π‘¦) Β· 𝑇))
9236absge0d 15335 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ 0 ≀ (absβ€˜π‘§))
932, 9nvge0 29657 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀) ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀)))
941, 67, 93sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ 0 ≀ (π‘β€˜(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀)))
9554, 78readdcld 11189 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((absβ€˜π‘₯) + (absβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯))) ∈ ℝ)
9632, 36pncan3d 11520 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (π‘₯ + (𝑧 βˆ’ π‘₯)) = 𝑧)
9796fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (absβ€˜(π‘₯ + (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = (absβ€˜π‘§))
9832, 77abstrid 15347 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (absβ€˜(π‘₯ + (𝑧 βˆ’ π‘₯))) ≀ ((absβ€˜π‘₯) + (absβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯))))
9997, 98eqbrtrrd 5130 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (absβ€˜π‘§) ≀ ((absβ€˜π‘₯) + (absβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯))))
100 1red 11161 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ 1 ∈ ℝ)
101 1re 11160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℝ
10222adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ) ∈ ℝ+)
103 ltaddrp 12957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 ∈ ℝ ∧ ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ) ∈ ℝ+) β†’ 1 < (1 + ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ)))
104101, 102, 103sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ 1 < (1 + ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ)))
10524adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (1 + ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ)) ∈ ℝ+)
106105recgt1d 12976 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (1 < (1 + ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ)) ↔ (1 / (1 + ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ))) < 1))
107104, 106mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (1 / (1 + ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ))) < 1)
1086, 107eqbrtrid 5141 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ 𝑇 < 1)
10959, 100, 108ltled 11308 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ 𝑇 ≀ 1)
11078, 59, 100, 85, 109letrd 11317 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)) ≀ 1)
11178, 100, 54, 110leadd2dd 11775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((absβ€˜π‘₯) + (absβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯))) ≀ ((absβ€˜π‘₯) + 1))
11264, 95, 73, 99, 111letrd 11317 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (absβ€˜π‘§) ≀ ((absβ€˜π‘₯) + 1))
1132, 65, 9, 27imsdval 29670 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦𝐢𝑀) = (π‘β€˜(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀)))
11431, 33, 37, 113syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (𝑦𝐢𝑀) = (π‘β€˜(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀)))
115 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇)
116114, 115eqbrtrrd 5130 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (π‘β€˜(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀)) < 𝑇)
11769, 59, 116ltled 11308 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (π‘β€˜(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀)) ≀ 𝑇)
11864, 73, 69, 59, 92, 94, 112, 117lemul12ad 12102 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((absβ€˜π‘§) Β· (π‘β€˜(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀))) ≀ (((absβ€˜π‘₯) + 1) Β· 𝑇))
11963, 70, 71, 74, 91, 118le2addd 11779 . . . . . . . . . 10 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑧)) Β· (π‘β€˜π‘¦)) + ((absβ€˜π‘§) Β· (π‘β€˜(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀)))) ≀ (((π‘β€˜π‘¦) Β· 𝑇) + (((absβ€˜π‘₯) + 1) Β· 𝑇)))
120 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
1212, 120, 3, 9, 27imsdval2 29671 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯𝑆𝑦) ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝑆𝑦) ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑦)) = (π‘β€˜((π‘₯𝑆𝑦)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1𝑆(𝑧𝑆𝑦)))))
12231, 35, 43, 121syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑦)) = (π‘β€˜((π‘₯𝑆𝑦)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1𝑆(𝑧𝑆𝑦)))))
123 neg1cn 12272 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -1 ∈ β„‚
124 mulcl 11140 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-1 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (-1 Β· 𝑧) ∈ β„‚)
125123, 36, 124sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (-1 Β· 𝑧) ∈ β„‚)
1262, 120, 3nvdir 29615 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (-1 Β· 𝑧) ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘₯ + (-1 Β· 𝑧))𝑆𝑦) = ((π‘₯𝑆𝑦)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((-1 Β· 𝑧)𝑆𝑦)))
12731, 32, 125, 33, 126syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((π‘₯ + (-1 Β· 𝑧))𝑆𝑦) = ((π‘₯𝑆𝑦)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((-1 Β· 𝑧)𝑆𝑦)))
12836mulm1d 11612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (-1 Β· 𝑧) = -𝑧)
129128oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (π‘₯ + (-1 Β· 𝑧)) = (π‘₯ + -𝑧))
13032, 36negsubd 11523 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (π‘₯ + -𝑧) = (π‘₯ βˆ’ 𝑧))
131129, 130eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (π‘₯ + (-1 Β· 𝑧)) = (π‘₯ βˆ’ 𝑧))
132131oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((π‘₯ + (-1 Β· 𝑧))𝑆𝑦) = ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)𝑆𝑦))
133123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ -1 ∈ β„‚)
1342, 3nvsass 29612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (-1 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((-1 Β· 𝑧)𝑆𝑦) = (-1𝑆(𝑧𝑆𝑦)))
13531, 133, 36, 33, 134syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((-1 Β· 𝑧)𝑆𝑦) = (-1𝑆(𝑧𝑆𝑦)))
136135oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((π‘₯𝑆𝑦)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)((-1 Β· 𝑧)𝑆𝑦)) = ((π‘₯𝑆𝑦)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1𝑆(𝑧𝑆𝑦))))
137127, 132, 1363eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝑧)𝑆𝑦) = ((π‘₯𝑆𝑦)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1𝑆(𝑧𝑆𝑦))))
138137fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (π‘β€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑧)𝑆𝑦)) = (π‘β€˜((π‘₯𝑆𝑦)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1𝑆(𝑧𝑆𝑦)))))
1392, 3, 9nvs 29647 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯ βˆ’ 𝑧) ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑧)𝑆𝑦)) = ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑧)) Β· (π‘β€˜π‘¦)))
14031, 61, 33, 139syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (π‘β€˜((π‘₯ βˆ’ 𝑧)𝑆𝑦)) = ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑧)) Β· (π‘β€˜π‘¦)))
141122, 138, 1403eqtr2d 2779 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑦)) = ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑧)) Β· (π‘β€˜π‘¦)))
1422, 65, 9, 27imsdval 29670 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝑧𝑆𝑦) ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝑆𝑀) ∈ 𝑋) β†’ ((𝑧𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀)) = (π‘β€˜((𝑧𝑆𝑦)( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)(𝑧𝑆𝑀))))
14331, 43, 39, 142syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((𝑧𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀)) = (π‘β€˜((𝑧𝑆𝑦)( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)(𝑧𝑆𝑀))))
1442, 65, 3nvmdi 29632 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧𝑆(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀)) = ((𝑧𝑆𝑦)( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)(𝑧𝑆𝑀)))
14531, 36, 33, 37, 144syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (𝑧𝑆(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀)) = ((𝑧𝑆𝑦)( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)(𝑧𝑆𝑀)))
146145fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (π‘β€˜(𝑧𝑆(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀))) = (π‘β€˜((𝑧𝑆𝑦)( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)(𝑧𝑆𝑀))))
1472, 3, 9nvs 29647 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝑧 ∈ β„‚ ∧ (𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀) ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝑧𝑆(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀))) = ((absβ€˜π‘§) Β· (π‘β€˜(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀))))
14831, 36, 67, 147syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (π‘β€˜(𝑧𝑆(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀))) = ((absβ€˜π‘§) Β· (π‘β€˜(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀))))
149143, 146, 1483eqtr2d 2779 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((𝑧𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀)) = ((absβ€˜π‘§) Β· (π‘β€˜(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀))))
150141, 149oveq12d 7376 . . . . . . . . . 10 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑦)) + ((𝑧𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀))) = (((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑧)) Β· (π‘β€˜π‘¦)) + ((absβ€˜π‘§) Β· (π‘β€˜(𝑦( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝑀)))))
15154recnd 11188 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (absβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
152 1cnd 11155 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ 1 ∈ β„‚)
15389, 151, 152addassd 11182 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) = ((π‘β€˜π‘¦) + ((absβ€˜π‘₯) + 1)))
154153oveq1d 7373 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) Β· 𝑇) = (((π‘β€˜π‘¦) + ((absβ€˜π‘₯) + 1)) Β· 𝑇))
15573recnd 11188 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((absβ€˜π‘₯) + 1) ∈ β„‚)
15689, 155, 88adddird 11185 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (((π‘β€˜π‘¦) + ((absβ€˜π‘₯) + 1)) Β· 𝑇) = (((π‘β€˜π‘¦) Β· 𝑇) + (((absβ€˜π‘₯) + 1) Β· 𝑇)))
157154, 156eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) Β· 𝑇) = (((π‘β€˜π‘¦) Β· 𝑇) + (((absβ€˜π‘₯) + 1) Β· 𝑇)))
158119, 150, 1573brtr4d 5138 . . . . . . . . 9 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑦)) + ((𝑧𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀))) ≀ ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) Β· 𝑇))
1596oveq2i 7369 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) Β· 𝑇) = ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) Β· (1 / (1 + ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ))))
16057recnd 11188 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) ∈ β„‚)
161105rpcnd 12964 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (1 + ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ)) ∈ β„‚)
162105rpne0d 12967 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (1 + ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ)) β‰  0)
163160, 161, 162divrecd 11939 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / (1 + ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ))) = ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) Β· (1 / (1 + ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ)))))
164159, 163eqtr4id 2792 . . . . . . . . . 10 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) Β· 𝑇) = ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / (1 + ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ))))
165 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
166102rpred 12962 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ) ∈ ℝ)
167166ltp1d 12090 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ) < (((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ) + 1))
168102rpcnd 12964 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ) ∈ β„‚)
169168, 152addcomd 11362 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ) + 1) = (1 + ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ)))
170167, 169breqtrd 5132 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ) < (1 + ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ)))
17157, 165, 105, 170ltdiv23d 13029 . . . . . . . . . 10 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / (1 + ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) / π‘Ÿ))) < π‘Ÿ)
172164, 171eqbrtrd 5128 . . . . . . . . 9 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((((π‘β€˜π‘¦) + (absβ€˜π‘₯)) + 1) Β· 𝑇) < π‘Ÿ)
17348, 60, 50, 158, 172lelttrd 11318 . . . . . . . 8 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ (((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑦)) + ((𝑧𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀))) < π‘Ÿ)
17441, 48, 50, 52, 173lelttrd 11318 . . . . . . 7 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) ∧ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))) β†’ ((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀)) < π‘Ÿ)
175174expr 458 . . . . . 6 ((((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑋)) β†’ (((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇) β†’ ((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀)) < π‘Ÿ))
176175ralrimivva 3194 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘§ ∈ β„‚ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 (((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇) β†’ ((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀)) < π‘Ÿ))
177 breq2 5110 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑇 β†’ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑠 ↔ (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇))
178 breq2 5110 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑇 β†’ ((𝑦𝐢𝑀) < 𝑠 ↔ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇))
179177, 178anbi12d 632 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑇 β†’ (((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑠) ↔ ((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇)))
180179imbi1d 342 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑇 β†’ ((((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑠) β†’ ((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀)) < π‘Ÿ) ↔ (((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇) β†’ ((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀)) < π‘Ÿ)))
1811802ralbidv 3209 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑇 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ β„‚ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 (((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑠) β†’ ((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀)) < π‘Ÿ) ↔ βˆ€π‘§ ∈ β„‚ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 (((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇) β†’ ((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀)) < π‘Ÿ)))
182181rspcev 3580 . . . . 5 ((𝑇 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘§ ∈ β„‚ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 (((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑇) β†’ ((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀)) < π‘Ÿ)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ β„‚ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 (((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑠) β†’ ((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀)) < π‘Ÿ))
18326, 176, 182syl2anc 585 . . . 4 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ β„‚ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 (((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑠) β†’ ((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀)) < π‘Ÿ))
184183ralrimiva 3140 . . 3 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ β„‚ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 (((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑠) β†’ ((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀)) < π‘Ÿ))
185184rgen2 3191 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ β„‚ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 (((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑠) β†’ ((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀)) < π‘Ÿ)
186 cnxmet 24152 . . 3 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
1872, 27imsxmet 29676 . . . 4 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
1881, 187ax-mp 5 . . 3 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹)
189 smcn.k . . . . 5 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
190189cnfldtopn 24161 . . . 4 𝐾 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
191 smcn.j . . . 4 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
192190, 191, 191txmetcn 23920 . . 3 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑆 ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽) ↔ (𝑆:(β„‚ Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ β„‚ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 (((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑠) β†’ ((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀)) < π‘Ÿ))))
193186, 188, 188, 192mp3an 1462 . 2 (𝑆 ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽) ↔ (𝑆:(β„‚ Γ— 𝑋)βŸΆπ‘‹ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘  ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ β„‚ βˆ€π‘€ ∈ 𝑋 (((π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐢𝑀) < 𝑠) β†’ ((π‘₯𝑆𝑦)𝐢(𝑧𝑆𝑀)) < π‘Ÿ)))
1945, 185, 193mpbir2an 710 1 𝑆 ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5106   Γ— cxp 5632   ∘ ccom 5638  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   Β· cmul 11061   < clt 11194   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390  -cneg 11391   / cdiv 11817  β„+crp 12920  abscabs 15125  TopOpenctopn 17308  βˆžMetcxmet 20797  Metcmet 20798  MetOpencmopn 20802  β„‚fldccnfld 20812   Cn ccn 22591   Γ—t ctx 22927  NrmCVeccnv 29568   +𝑣 cpv 29569  BaseSetcba 29570   ·𝑠OLD cns 29571   βˆ’π‘£ cnsb 29573  normCVcnmcv 29574  IndMetcims 29575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-xms 23689  df-tms 23691  df-grpo 29477  df-gid 29478  df-ginv 29479  df-gdiv 29480  df-ablo 29529  df-vc 29543  df-nv 29576  df-va 29579  df-ba 29580  df-sm 29581  df-0v 29582  df-vs 29583  df-nmcv 29584  df-ims 29585
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