Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smcnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smcnlem 28592
 Description: Lemma for smcn 28593. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
smcn.c 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
smcn.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
smcn.s 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
smcn.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
smcn.x 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
smcn.n 𝑁 = (normCV𝑈)
smcn.u 𝑈 ∈ NrmCVec
smcn.t 𝑇 = (1 / (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟)))
Assertion
Ref Expression
smcnlem 𝑆 ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑟,𝑦,𝐶   𝐽,𝑟,𝑥,𝑦   𝑈,𝑟,𝑥,𝑦   𝐾,𝑟,𝑥,𝑦   𝑆,𝑟,𝑥,𝑦   𝑋,𝑟,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑦,𝑟)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑟)

Proof of Theorem smcnlem
Dummy variables 𝑠 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smcn.u . . 3 𝑈 ∈ NrmCVec
2 smcn.x . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3 smcn.s . . . 4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
42, 3nvsf 28514 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑆:(ℂ × 𝑋)⟶𝑋)
51, 4ax-mp 5 . 2 𝑆:(ℂ × 𝑋)⟶𝑋
6 smcn.t . . . . . 6 𝑇 = (1 / (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟)))
7 1rp 12447 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ+
8 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) → 𝑦𝑋)
9 smcn.n . . . . . . . . . . . . 13 𝑁 = (normCV𝑈)
102, 9nvcl 28556 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦𝑋) → (𝑁𝑦) ∈ ℝ)
111, 8, 10sylancr 590 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) → (𝑁𝑦) ∈ ℝ)
12 abscl 14699 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
1312adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
1411, 13readdcld 10721 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) ∈ ℝ)
152, 9nvge0 28568 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦𝑋) → 0 ≤ (𝑁𝑦))
161, 8, 15sylancr 590 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) → 0 ≤ (𝑁𝑦))
17 absge0 14708 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝑥))
1817adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) → 0 ≤ (abs‘𝑥))
1911, 13, 16, 18addge0d 11267 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) → 0 ≤ ((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)))
2014, 19ge0p1rpd 12515 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) → (((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) ∈ ℝ+)
21 rpdivcl 12468 . . . . . . . . 9 (((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ+) → ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟) ∈ ℝ+)
2220, 21sylan 583 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟) ∈ ℝ+)
23 rpaddcl 12465 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ+ ∧ ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟) ∈ ℝ+) → (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟)) ∈ ℝ+)
247, 22, 23sylancr 590 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟)) ∈ ℝ+)
2524rpreccld 12495 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (1 / (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟))) ∈ ℝ+)
266, 25eqeltrid 2856 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑇 ∈ ℝ+)
27 smcn.c . . . . . . . . . . . 12 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
282, 27imsmet 28586 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
291, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 𝐶 ∈ (Met‘𝑋)
3029a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
311a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
32 simplll 774 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℂ)
33 simpllr 775 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 𝑦𝑋)
342, 3nvscl 28521 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥𝑆𝑦) ∈ 𝑋)
3531, 32, 33, 34syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑥𝑆𝑦) ∈ 𝑋)
36 simprll 778 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 𝑧 ∈ ℂ)
37 simprlr 779 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 𝑤𝑋)
382, 3nvscl 28521 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) → (𝑧𝑆𝑤) ∈ 𝑋)
3931, 36, 37, 38syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑧𝑆𝑤) ∈ 𝑋)
40 metcl 23047 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑆𝑦) ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝑆𝑤) ∈ 𝑋) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) ∈ ℝ)
4130, 35, 39, 40syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) ∈ ℝ)
422, 3nvscl 28521 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) → (𝑧𝑆𝑦) ∈ 𝑋)
4331, 36, 33, 42syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑧𝑆𝑦) ∈ 𝑋)
44 metcl 23047 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑆𝑦) ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝑆𝑦) ∈ 𝑋) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑦)) ∈ ℝ)
4530, 35, 43, 44syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑦)) ∈ ℝ)
46 metcl 23047 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑧𝑆𝑦) ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝑆𝑤) ∈ 𝑋) → ((𝑧𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) ∈ ℝ)
4730, 43, 39, 46syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((𝑧𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) ∈ ℝ)
4845, 47readdcld 10721 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑦)) + ((𝑧𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤))) ∈ ℝ)
49 rpre 12451 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
5049ad2antlr 726 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 𝑟 ∈ ℝ)
51 mettri 23067 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝑥𝑆𝑦) ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝑆𝑤) ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝑆𝑦) ∈ 𝑋)) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) ≤ (((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑦)) + ((𝑧𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤))))
5230, 35, 39, 43, 51syl13anc 1369 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) ≤ (((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑦)) + ((𝑧𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤))))
531, 33, 10sylancr 590 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑁𝑦) ∈ ℝ)
5432abscld 14857 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
5553, 54readdcld 10721 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) ∈ ℝ)
56 peano2re 10864 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) ∈ ℝ → (((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) ∈ ℝ)
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) ∈ ℝ)
5826adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℝ+)
5958rpred 12485 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℝ)
6057, 59remulcld 10722 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) · 𝑇) ∈ ℝ)
6132, 36subcld 11048 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑥𝑧) ∈ ℂ)
6261abscld 14857 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (abs‘(𝑥𝑧)) ∈ ℝ)
6362, 53remulcld 10722 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((abs‘(𝑥𝑧)) · (𝑁𝑦)) ∈ ℝ)
6436abscld 14857 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (abs‘𝑧) ∈ ℝ)
65 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( −𝑣𝑈) = ( −𝑣𝑈)
662, 65nvmcl 28541 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦𝑋𝑤𝑋) → (𝑦( −𝑣𝑈)𝑤) ∈ 𝑋)
6731, 33, 37, 66syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑦( −𝑣𝑈)𝑤) ∈ 𝑋)
682, 9nvcl 28556 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑦( −𝑣𝑈)𝑤) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤)) ∈ ℝ)
691, 67, 68sylancr 590 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑁‘(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤)) ∈ ℝ)
7064, 69remulcld 10722 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((abs‘𝑧) · (𝑁‘(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤))) ∈ ℝ)
7153, 59remulcld 10722 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((𝑁𝑦) · 𝑇) ∈ ℝ)
72 peano2re 10864 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs‘𝑥) ∈ ℝ → ((abs‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
7354, 72syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((abs‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
7473, 59remulcld 10722 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (((abs‘𝑥) + 1) · 𝑇) ∈ ℝ)
751, 33, 15sylancr 590 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 0 ≤ (𝑁𝑦))
7632, 36abssubd 14874 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (abs‘(𝑥𝑧)) = (abs‘(𝑧𝑥)))
7736, 32subcld 11048 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑧𝑥) ∈ ℂ)
7877abscld 14857 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (abs‘(𝑧𝑥)) ∈ ℝ)
79 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
8079cnmetdval 23485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝑥𝑧)))
8132, 36, 80syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑥(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝑥𝑧)))
8281, 76eqtrd 2793 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑥(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝑧𝑥)))
83 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇)
8482, 83eqbrtrrd 5060 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (abs‘(𝑧𝑥)) < 𝑇)
8578, 59, 84ltled 10839 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (abs‘(𝑧𝑥)) ≤ 𝑇)
8676, 85eqbrtrd 5058 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (abs‘(𝑥𝑧)) ≤ 𝑇)
8762, 59, 53, 75, 86lemul1ad 11630 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((abs‘(𝑥𝑧)) · (𝑁𝑦)) ≤ (𝑇 · (𝑁𝑦)))
8858rpcnd 12487 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℂ)
8953recnd 10720 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑁𝑦) ∈ ℂ)
9088, 89mulcomd 10713 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑇 · (𝑁𝑦)) = ((𝑁𝑦) · 𝑇))
9187, 90breqtrd 5062 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((abs‘(𝑥𝑧)) · (𝑁𝑦)) ≤ ((𝑁𝑦) · 𝑇))
9236absge0d 14865 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 0 ≤ (abs‘𝑧))
932, 9nvge0 28568 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑦( −𝑣𝑈)𝑤) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤)))
941, 67, 93sylancr 590 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 0 ≤ (𝑁‘(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤)))
9554, 78readdcld 10721 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((abs‘𝑥) + (abs‘(𝑧𝑥))) ∈ ℝ)
9632, 36pncan3d 11051 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑥 + (𝑧𝑥)) = 𝑧)
9796fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (abs‘(𝑥 + (𝑧𝑥))) = (abs‘𝑧))
9832, 77abstrid 14877 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (abs‘(𝑥 + (𝑧𝑥))) ≤ ((abs‘𝑥) + (abs‘(𝑧𝑥))))
9997, 98eqbrtrrd 5060 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (abs‘𝑧) ≤ ((abs‘𝑥) + (abs‘(𝑧𝑥))))
100 1red 10693 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 1 ∈ ℝ)
101 1re 10692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℝ
10222adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟) ∈ ℝ+)
103 ltaddrp 12480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 ∈ ℝ ∧ ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟) ∈ ℝ+) → 1 < (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟)))
104101, 102, 103sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 1 < (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟)))
10524adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟)) ∈ ℝ+)
106105recgt1d 12499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (1 < (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟)) ↔ (1 / (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟))) < 1))
107104, 106mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (1 / (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟))) < 1)
1086, 107eqbrtrid 5071 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 𝑇 < 1)
10959, 100, 108ltled 10839 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 𝑇 ≤ 1)
11078, 59, 100, 85, 109letrd 10848 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (abs‘(𝑧𝑥)) ≤ 1)
11178, 100, 54, 110leadd2dd 11306 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((abs‘𝑥) + (abs‘(𝑧𝑥))) ≤ ((abs‘𝑥) + 1))
11264, 95, 73, 99, 111letrd 10848 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (abs‘𝑧) ≤ ((abs‘𝑥) + 1))
1132, 65, 9, 27imsdval 28581 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦𝑋𝑤𝑋) → (𝑦𝐶𝑤) = (𝑁‘(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤)))
11431, 33, 37, 113syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑦𝐶𝑤) = (𝑁‘(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤)))
115 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇)
116114, 115eqbrtrrd 5060 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑁‘(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤)) < 𝑇)
11769, 59, 116ltled 10839 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑁‘(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤)) ≤ 𝑇)
11864, 73, 69, 59, 92, 94, 112, 117lemul12ad 11633 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((abs‘𝑧) · (𝑁‘(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤))) ≤ (((abs‘𝑥) + 1) · 𝑇))
11963, 70, 71, 74, 91, 118le2addd 11310 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (((abs‘(𝑥𝑧)) · (𝑁𝑦)) + ((abs‘𝑧) · (𝑁‘(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤)))) ≤ (((𝑁𝑦) · 𝑇) + (((abs‘𝑥) + 1) · 𝑇)))
120 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . . 14 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
1212, 120, 3, 9, 27imsdval2 28582 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥𝑆𝑦) ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝑆𝑦) ∈ 𝑋) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑦)) = (𝑁‘((𝑥𝑆𝑦)( +𝑣𝑈)(-1𝑆(𝑧𝑆𝑦)))))
12231, 35, 43, 121syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑦)) = (𝑁‘((𝑥𝑆𝑦)( +𝑣𝑈)(-1𝑆(𝑧𝑆𝑦)))))
123 neg1cn 11801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -1 ∈ ℂ
124 mulcl 10672 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (-1 · 𝑧) ∈ ℂ)
125123, 36, 124sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (-1 · 𝑧) ∈ ℂ)
1262, 120, 3nvdir 28526 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (-1 · 𝑧) ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋)) → ((𝑥 + (-1 · 𝑧))𝑆𝑦) = ((𝑥𝑆𝑦)( +𝑣𝑈)((-1 · 𝑧)𝑆𝑦)))
12731, 32, 125, 33, 126syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((𝑥 + (-1 · 𝑧))𝑆𝑦) = ((𝑥𝑆𝑦)( +𝑣𝑈)((-1 · 𝑧)𝑆𝑦)))
12836mulm1d 11143 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (-1 · 𝑧) = -𝑧)
129128oveq2d 7172 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑥 + (-1 · 𝑧)) = (𝑥 + -𝑧))
13032, 36negsubd 11054 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑥 + -𝑧) = (𝑥𝑧))
131129, 130eqtrd 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑥 + (-1 · 𝑧)) = (𝑥𝑧))
132131oveq1d 7171 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((𝑥 + (-1 · 𝑧))𝑆𝑦) = ((𝑥𝑧)𝑆𝑦))
133123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → -1 ∈ ℂ)
1342, 3nvsass 28523 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋)) → ((-1 · 𝑧)𝑆𝑦) = (-1𝑆(𝑧𝑆𝑦)))
13531, 133, 36, 33, 134syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((-1 · 𝑧)𝑆𝑦) = (-1𝑆(𝑧𝑆𝑦)))
136135oveq2d 7172 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((𝑥𝑆𝑦)( +𝑣𝑈)((-1 · 𝑧)𝑆𝑦)) = ((𝑥𝑆𝑦)( +𝑣𝑈)(-1𝑆(𝑧𝑆𝑦))))
137127, 132, 1363eqtr3d 2801 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((𝑥𝑧)𝑆𝑦) = ((𝑥𝑆𝑦)( +𝑣𝑈)(-1𝑆(𝑧𝑆𝑦))))
138137fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑁‘((𝑥𝑧)𝑆𝑦)) = (𝑁‘((𝑥𝑆𝑦)( +𝑣𝑈)(-1𝑆(𝑧𝑆𝑦)))))
1392, 3, 9nvs 28558 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥𝑧) ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) → (𝑁‘((𝑥𝑧)𝑆𝑦)) = ((abs‘(𝑥𝑧)) · (𝑁𝑦)))
14031, 61, 33, 139syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑁‘((𝑥𝑧)𝑆𝑦)) = ((abs‘(𝑥𝑧)) · (𝑁𝑦)))
141122, 138, 1403eqtr2d 2799 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑦)) = ((abs‘(𝑥𝑧)) · (𝑁𝑦)))
1422, 65, 9, 27imsdval 28581 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑧𝑆𝑦) ∈ 𝑋 ∧ (𝑧𝑆𝑤) ∈ 𝑋) → ((𝑧𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) = (𝑁‘((𝑧𝑆𝑦)( −𝑣𝑈)(𝑧𝑆𝑤))))
14331, 43, 39, 142syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((𝑧𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) = (𝑁‘((𝑧𝑆𝑦)( −𝑣𝑈)(𝑧𝑆𝑤))))
1442, 65, 3nvmdi 28543 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋𝑤𝑋)) → (𝑧𝑆(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤)) = ((𝑧𝑆𝑦)( −𝑣𝑈)(𝑧𝑆𝑤)))
14531, 36, 33, 37, 144syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑧𝑆(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤)) = ((𝑧𝑆𝑦)( −𝑣𝑈)(𝑧𝑆𝑤)))
146145fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑁‘(𝑧𝑆(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤))) = (𝑁‘((𝑧𝑆𝑦)( −𝑣𝑈)(𝑧𝑆𝑤))))
1472, 3, 9nvs 28558 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑦( −𝑣𝑈)𝑤) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑧𝑆(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤))) = ((abs‘𝑧) · (𝑁‘(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤))))
14831, 36, 67, 147syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (𝑁‘(𝑧𝑆(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤))) = ((abs‘𝑧) · (𝑁‘(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤))))
149143, 146, 1483eqtr2d 2799 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((𝑧𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) = ((abs‘𝑧) · (𝑁‘(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤))))
150141, 149oveq12d 7174 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑦)) + ((𝑧𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤))) = (((abs‘(𝑥𝑧)) · (𝑁𝑦)) + ((abs‘𝑧) · (𝑁‘(𝑦( −𝑣𝑈)𝑤)))))
15154recnd 10720 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (abs‘𝑥) ∈ ℂ)
152 1cnd 10687 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 1 ∈ ℂ)
15389, 151, 152addassd 10714 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) = ((𝑁𝑦) + ((abs‘𝑥) + 1)))
154153oveq1d 7171 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) · 𝑇) = (((𝑁𝑦) + ((abs‘𝑥) + 1)) · 𝑇))
15573recnd 10720 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((abs‘𝑥) + 1) ∈ ℂ)
15689, 155, 88adddird 10717 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (((𝑁𝑦) + ((abs‘𝑥) + 1)) · 𝑇) = (((𝑁𝑦) · 𝑇) + (((abs‘𝑥) + 1) · 𝑇)))
157154, 156eqtrd 2793 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) · 𝑇) = (((𝑁𝑦) · 𝑇) + (((abs‘𝑥) + 1) · 𝑇)))
158119, 150, 1573brtr4d 5068 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑦)) + ((𝑧𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤))) ≤ ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) · 𝑇))
1596oveq2i 7167 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) · 𝑇) = ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) · (1 / (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟))))
16057recnd 10720 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) ∈ ℂ)
161105rpcnd 12487 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟)) ∈ ℂ)
162105rpne0d 12490 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟)) ≠ 0)
163160, 161, 162divrecd 11470 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟))) = ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) · (1 / (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟)))))
164159, 163eqtr4id 2812 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) · 𝑇) = ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟))))
165 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → 𝑟 ∈ ℝ+)
166102rpred 12485 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟) ∈ ℝ)
167166ltp1d 11621 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟) < (((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟) + 1))
168102rpcnd 12487 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟) ∈ ℂ)
169168, 152addcomd 10893 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟) + 1) = (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟)))
170167, 169breqtrd 5062 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟) < (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟)))
17157, 165, 105, 170ltdiv23d 12552 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / (1 + ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) / 𝑟))) < 𝑟)
172164, 171eqbrtrd 5058 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((((𝑁𝑦) + (abs‘𝑥)) + 1) · 𝑇) < 𝑟)
17348, 60, 50, 158, 172lelttrd 10849 . . . . . . . 8 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → (((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑦)) + ((𝑧𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤))) < 𝑟)
17441, 48, 50, 52, 173lelttrd 10849 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) < 𝑟)
175174expr 460 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝑋)) → (((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) < 𝑟))
176175ralrimivva 3120 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤𝑋 (((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) < 𝑟))
177 breq2 5040 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑇 → ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑠 ↔ (𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇))
178 breq2 5040 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑇 → ((𝑦𝐶𝑤) < 𝑠 ↔ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇))
179177, 178anbi12d 633 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑇 → (((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) ↔ ((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇)))
180179imbi1d 345 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑇 → ((((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) < 𝑟) ↔ (((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) < 𝑟)))
1811802ralbidv 3128 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑇 → (∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤𝑋 (((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) < 𝑟) ↔ ∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤𝑋 (((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) < 𝑟)))
182181rspcev 3543 . . . . 5 ((𝑇 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤𝑋 (((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑇 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑇) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) < 𝑟)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤𝑋 (((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) < 𝑟))
18326, 176, 182syl2anc 587 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤𝑋 (((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) < 𝑟))
184183ralrimiva 3113 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) → ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤𝑋 (((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) < 𝑟))
185184rgen2 3132 . 2 𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤𝑋 (((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) < 𝑟)
186 cnxmet 23487 . . 3 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
1872, 27imsxmet 28587 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
1881, 187ax-mp 5 . . 3 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋)
189 smcn.k . . . . 5 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
190189cnfldtopn 23496 . . . 4 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
191 smcn.j . . . 4 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
192190, 191, 191txmetcn 23263 . . 3 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋)) → (𝑆 ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ↔ (𝑆:(ℂ × 𝑋)⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤𝑋 (((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) < 𝑟))))
193186, 188, 188, 192mp3an 1458 . 2 (𝑆 ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ↔ (𝑆:(ℂ × 𝑋)⟶𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤𝑋 (((𝑥(abs ∘ − )𝑧) < 𝑠 ∧ (𝑦𝐶𝑤) < 𝑠) → ((𝑥𝑆𝑦)𝐶(𝑧𝑆𝑤)) < 𝑟)))
1945, 185, 193mpbir2an 710 1 𝑆 ∈ ((𝐾 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  ∃wrex 3071   class class class wbr 5036   × cxp 5526   ∘ ccom 5532  ⟶wf 6336  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  ℂcc 10586  ℝcr 10587  0cc0 10588  1c1 10589   + caddc 10591   · cmul 10593   < clt 10726   ≤ cle 10727   − cmin 10921  -cneg 10922   / cdiv 11348  ℝ+crp 12443  abscabs 14654  TopOpenctopn 16766  ∞Metcxmet 20164  Metcmet 20165  MetOpencmopn 20169  ℂfldccnfld 20179   Cn ccn 21937   ×t ctx 22273  NrmCVeccnv 28479   +𝑣 cpv 28480  BaseSetcba 28481   ·𝑠OLD cns 28482   −𝑣 cnsb 28484  normCVcnmcv 28485  IndMetcims 28486 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666  ax-addf 10667  ax-mulf 10668 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-supp 7842  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-2o 8119  df-er 8305  df-map 8424  df-ixp 8493  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-fsupp 8880  df-fi 8921  df-sup 8952  df-inf 8953  df-oi 9020  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-q 12402  df-rp 12444  df-xneg 12561  df-xadd 12562  df-xmul 12563  df-icc 12799  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-seq 13432  df-exp 13493  df-hash 13754  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-struct 16556  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-sets 16561  df-ress 16562  df-plusg 16649  df-mulr 16650  df-starv 16651  df-sca 16652  df-vsca 16653  df-ip 16654  df-tset 16655  df-ple 16656  df-ds 16658  df-unif 16659  df-hom 16660  df-cco 16661  df-rest 16767  df-topn 16768  df-0g 16786  df-gsum 16787  df-topgen 16788  df-pt 16789  df-prds 16792  df-xrs 16846  df-qtop 16851  df-imas 16852  df-xps 16854  df-mre 16928  df-mrc 16929  df-acs 16931  df-mgm 17931  df-sgrp 17980  df-mnd 17991  df-submnd 18036  df-mulg 18305  df-cntz 18527  df-cmn 18988  df-psmet 20171  df-xmet 20172  df-met 20173  df-bl 20174  df-mopn 20175  df-cnfld 20180  df-top 21607  df-topon 21624  df-topsp 21646  df-bases 21659  df-cn 21940  df-cnp 21941  df-tx 22275  df-hmeo 22468  df-xms 23035  df-tms 23037  df-grpo 28388  df-gid 28389  df-ginv 28390  df-gdiv 28391  df-ablo 28440  df-vc 28454  df-nv 28487  df-va 28490  df-ba 28491  df-sm 28492  df-0v 28493  df-vs 28494  df-nmcv 28495  df-ims 28496 This theorem is referenced by:  smcn  28593
 Copyright terms: Public domain W3C validator