Theorem ragcom 26487

Description: Commutative rule for right angles. Theorem 8.2 of [Schwabhauser] p. 57. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
israg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
israg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
israg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
israg.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
israg.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
israg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
israg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
israg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
israg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
ragcom.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
ragcom	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Proof of Theorem ragcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		israg.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		israg.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		israg.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		israg.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		israg.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
6		israg.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
7		israg.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
8		israg.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
9		israg.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
10		eqid 2824	. . . . 5 ⊢ (𝑆‘𝐵) = (𝑆‘𝐵)
11	1, 2, 3, 7, 8, 4, 9, 10, 6	mircl 26450	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵)‘𝐶) ∈ 𝑃)
12		ragcom.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
13	1, 2, 3, 7, 8, 4, 5, 9, 6	israg 26486	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶))))
14	12, 13	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)))
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 11, 14	tgcgrcomlr 26269	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (((𝑆‘𝐵)‘𝐶) − 𝐴))
16	1, 2, 3, 7, 8, 4, 9, 10, 11, 5	miriso 26459	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐵)‘𝐶)) − ((𝑆‘𝐵)‘𝐴)) = (((𝑆‘𝐵)‘𝐶) − 𝐴))
17	1, 2, 3, 7, 8, 4, 9, 10, 6	mirmir 26451	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐵)‘𝐶)) = 𝐶)
18	17	oveq1d 7174	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐵)‘𝐶)) − ((𝑆‘𝐵)‘𝐴)) = (𝐶 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐴)))
19	15, 16, 18	3eqtr2d 2865	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (𝐶 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐴)))
20	1, 2, 3, 7, 8, 4, 6, 9, 5	israg 26486	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐶 − 𝐴) = (𝐶 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐴))))
21	19, 20	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  ⟨“cs3 14207  Basecbs 16486  distcds 16577  TarskiGcstrkg 26219  Itvcitv 26225  LineGclng 26226  pInvGcmir 26441  ∟Gcrag 26482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-dju 9333  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-xnn0 11971  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-hash 13694  df-word 13865  df-concat 13926  df-s1 13953  df-s2 14213  df-s3 14214  df-trkgc 26237  df-trkgb 26238  df-trkgcb 26239  df-trkg 26242  df-mir 26442  df-rag 26483

This theorem is referenced by:  ragflat  26493  ragtriva  26494  perpcom  26502  ragperp  26506  footexALT  26507  footexlem1  26508  footexlem2  26509  perpdragALT  26516  colperpexlem3  26521  mideulem2  26523  hypcgrlem1  26588  trgcopy  26593