Theorem ragcom 28679

Description: Commutative rule for right angles. Theorem 8.2 of [Schwabhauser] p. 57. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
israg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
israg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
israg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
israg.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
israg.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
israg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
israg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
israg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
israg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
ragcom.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
ragcom	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Proof of Theorem ragcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		israg.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		israg.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		israg.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		israg.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		israg.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
6		israg.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
7		israg.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
8		israg.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
9		israg.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
10		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (𝑆‘𝐵) = (𝑆‘𝐵)
11	1, 2, 3, 7, 8, 4, 9, 10, 6	mircl 28642	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵)‘𝐶) ∈ 𝑃)
12		ragcom.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
13	1, 2, 3, 7, 8, 4, 5, 9, 6	israg 28678	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶))))
14	12, 13	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)))
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 11, 14	tgcgrcomlr 28461	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (((𝑆‘𝐵)‘𝐶) − 𝐴))
16	1, 2, 3, 7, 8, 4, 9, 10, 11, 5	miriso 28651	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐵)‘𝐶)) − ((𝑆‘𝐵)‘𝐴)) = (((𝑆‘𝐵)‘𝐶) − 𝐴))
17	1, 2, 3, 7, 8, 4, 9, 10, 6	mirmir 28643	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐵)‘𝐶)) = 𝐶)
18	17	oveq1d 7369	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐵)‘𝐶)) − ((𝑆‘𝐵)‘𝐴)) = (𝐶 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐴)))
19	15, 16, 18	3eqtr2d 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (𝐶 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐴)))
20	1, 2, 3, 7, 8, 4, 6, 9, 5	israg 28678	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐶 − 𝐴) = (𝐶 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐴))))
21	19, 20	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  ⟨“cs3 14753  Basecbs 17124  distcds 17174  TarskiGcstrkg 28408  Itvcitv 28414  LineGclng 28415  pInvGcmir 28633  ∟Gcrag 28674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-oadd 8397  df-er 8630  df-map 8760  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-dju 9803  df-card 9841  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-n0 12391  df-xnn0 12464  df-z 12478  df-uz 12741  df-fz 13412  df-fzo 13559  df-hash 14242  df-word 14425  df-concat 14482  df-s1 14508  df-s2 14759  df-s3 14760  df-trkgc 28429  df-trkgb 28430  df-trkgcb 28431  df-trkg 28434  df-mir 28634  df-rag 28675

This theorem is referenced by:  ragflat  28685  ragtriva  28686  perpcom  28694  ragperp  28698  footexALT  28699  footexlem1  28700  footexlem2  28701  perpdragALT  28708  colperpexlem3  28713  mideulem2  28715  hypcgrlem1  28780  trgcopy  28785