Theorem ragcom 28785

Description: Commutative rule for right angles. Theorem 8.2 of [Schwabhauser] p. 57. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
israg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
israg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
israg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
israg.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
israg.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
israg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
israg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
israg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
israg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
ragcom.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
ragcom	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Proof of Theorem ragcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		israg.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		israg.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		israg.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		israg.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		israg.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
6		israg.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
7		israg.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
8		israg.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
9		israg.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
10		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑆‘𝐵) = (𝑆‘𝐵)
11	1, 2, 3, 7, 8, 4, 9, 10, 6	mircl 28748	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵)‘𝐶) ∈ 𝑃)
12		ragcom.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
13	1, 2, 3, 7, 8, 4, 5, 9, 6	israg 28784	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶))))
14	12, 13	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)))
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 11, 14	tgcgrcomlr 28567	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (((𝑆‘𝐵)‘𝐶) − 𝐴))
16	1, 2, 3, 7, 8, 4, 9, 10, 11, 5	miriso 28757	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐵)‘𝐶)) − ((𝑆‘𝐵)‘𝐴)) = (((𝑆‘𝐵)‘𝐶) − 𝐴))
17	1, 2, 3, 7, 8, 4, 9, 10, 6	mirmir 28749	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐵)‘𝐶)) = 𝐶)
18	17	oveq1d 7373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐵)‘𝐶)) − ((𝑆‘𝐵)‘𝐴)) = (𝐶 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐴)))
19	15, 16, 18	3eqtr2d 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (𝐶 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐴)))
20	1, 2, 3, 7, 8, 4, 6, 9, 5	israg 28784	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐶 − 𝐴) = (𝐶 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐴))))
21	19, 20	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ⟨“cs3 14793  Basecbs 17168  distcds 17218  TarskiGcstrkg 28514  Itvcitv 28520  LineGclng 28521  pInvGcmir 28739  ∟Gcrag 28780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-oadd 8400  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-dju 9814  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-n0 12427  df-xnn0 12500  df-z 12514  df-uz 12778  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-hash 14282  df-word 14465  df-concat 14522  df-s1 14548  df-s2 14799  df-s3 14800  df-trkgc 28535  df-trkgb 28536  df-trkgcb 28537  df-trkg 28540  df-mir 28740  df-rag 28781

This theorem is referenced by:  ragflat  28791  ragtriva  28792  perpcom  28800  ragperp  28804  footexALT  28805  footexlem1  28806  footexlem2  28807  perpdragALT  28814  colperpexlem3  28819  mideulem2  28821  hypcgrlem1  28886  trgcopy  28891