Theorem ragmir 28935

Description: Right angle property is preserved by point inversion. Theorem 8.4 of [Schwabhauser] p. 58. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
israg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
israg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
israg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
israg.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
israg.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
israg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
israg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
israg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
israg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
ragmir.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
ragmir	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵((𝑆‘𝐵)‘𝐶)”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Proof of Theorem ragmir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		israg.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		israg.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		israg.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		israg.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		israg.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6		israg.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		israg.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
8		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (𝑆‘𝐵) = (𝑆‘𝐵)
9		israg.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	mirmir 28897	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐵)‘𝐶)) = 𝐶)
11	10	oveq2d 7424	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐵)‘𝐶))) = (𝐴 − 𝐶))
12		ragmir.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
13		israg.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 7, 9	israg 28932	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶))))
15	12, 14	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)))
16	11, 15	eqtr2d 2805	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐵)‘𝐶))))
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	mircl 28896	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵)‘𝐶) ∈ 𝑃)
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 7, 17	israg 28932	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵((𝑆‘𝐵)‘𝐶)”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐶)) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘((𝑆‘𝐵)‘𝐶)))))
19	16, 18	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵((𝑆‘𝐵)‘𝐶)”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  ⟨“cs3 14875  Basecbs 17265  distcds 17315  TarskiGcstrkg 28658  Itvcitv 28664  LineGclng 28665  pInvGcmir 28887  ∟Gcrag 28928

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-hash 14363  df-word 14547  df-concat 14604  df-s1 14630  df-s2 14881  df-s3 14882  df-trkgc 28679  df-trkgb 28680  df-trkgcb 28681  df-trkg 28684  df-mir 28888  df-rag 28929

This theorem is referenced by: (None)