Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
||
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mulsubd | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Product of two differences. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
Ref | Expression |
---|---|
mulm1d.1 | โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
mulnegd.2 | โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
subdid.3 | โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
muladdd.4 | โข (๐ โ ๐ท โ โ) |
Ref | Expression |
---|---|
mulsubd | โข (๐ โ ((๐ด โ ๐ต) ยท (๐ถ โ ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) โ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | mulm1d.1 | . 2 โข (๐ โ ๐ด โ โ) | |
2 | mulnegd.2 | . 2 โข (๐ โ ๐ต โ โ) | |
3 | subdid.3 | . 2 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) | |
4 | muladdd.4 | . 2 โข (๐ โ ๐ท โ โ) | |
5 | mulsub 11519 | . 2 โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง (๐ถ โ โ โง ๐ท โ โ)) โ ((๐ด โ ๐ต) ยท (๐ถ โ ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) โ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)))) | |
6 | 1, 2, 3, 4, 5 | syl22anc 836 | 1 โข (๐ โ ((๐ด โ ๐ต) ยท (๐ถ โ ๐ท)) = (((๐ด ยท ๐ถ) + (๐ท ยท ๐ต)) โ ((๐ด ยท ๐ท) + (๐ถ ยท ๐ต)))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1540 โ wcel 2105 (class class class)co 7337 โcc 10970 + caddc 10975 ยท cmul 10977 โ cmin 11306 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1912 ax-6 1970 ax-7 2010 ax-8 2107 ax-9 2115 ax-10 2136 ax-11 2153 ax-12 2170 ax-ext 2707 ax-sep 5243 ax-nul 5250 ax-pow 5308 ax-pr 5372 ax-un 7650 ax-resscn 11029 ax-1cn 11030 ax-icn 11031 ax-addcl 11032 ax-addrcl 11033 ax-mulcl 11034 ax-mulrcl 11035 ax-mulcom 11036 ax-addass 11037 ax-mulass 11038 ax-distr 11039 ax-i2m1 11040 ax-1ne0 11041 ax-1rid 11042 ax-rnegex 11043 ax-rrecex 11044 ax-cnre 11045 ax-pre-lttri 11046 ax-pre-lttrn 11047 ax-pre-ltadd 11048 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2067 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2814 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3350 df-rab 3404 df-v 3443 df-sbc 3728 df-csb 3844 df-dif 3901 df-un 3903 df-in 3905 df-ss 3915 df-nul 4270 df-if 4474 df-pw 4549 df-sn 4574 df-pr 4576 df-op 4580 df-uni 4853 df-br 5093 df-opab 5155 df-mpt 5176 df-id 5518 df-po 5532 df-so 5533 df-xp 5626 df-rel 5627 df-cnv 5628 df-co 5629 df-dm 5630 df-rn 5631 df-res 5632 df-ima 5633 df-iota 6431 df-fun 6481 df-fn 6482 df-f 6483 df-f1 6484 df-fo 6485 df-f1o 6486 df-fv 6487 df-riota 7293 df-ov 7340 df-oprab 7341 df-mpo 7342 df-er 8569 df-en 8805 df-dom 8806 df-sdom 8807 df-pnf 11112 df-mnf 11113 df-ltxr 11115 df-sub 11308 df-neg 11309 |
This theorem is referenced by: sinadd 15972 cosadd 15973 pellexlem6 40918 pell1234qrmulcl 40939 smfmullem1 44666 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |